常数项级数概念性质

1无穷级数无穷级数是研究函数的工具表示函数研究函数性质数值计算常数项级数幂级数傅里叶级数无穷级数

第十一章2第一节常数项级数的概念和性质一、问题的提出二、级数的概念三、基本性质四、收敛的必要条件3北京化工大学公元前5世纪，芝诺提出：假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍，乌龟在阿基里斯前面1000米处。设阿基里斯跑1000米,时间为t;乌龟领先100米,跑到1100米；阿基里斯跑完100米时,时间为t/10;乌龟仍领先10米,跑到1110米;

阿基里斯跑完下一个10米时，时间为t/100,乌龟仍前于他1米…芝诺解说：阿基里斯能够继续逼近乌龟，但决不可能追上它。阿基里斯追乌龟0m1000mt1100m1110mt/10t/10t4一、问题的提出1.计算圆的面积正六边形的面积正十二边形的面积正形的面积5二、级数的概念1.级数的定义:一般项定义：给定一个数列将各项依即称上式为(常数项)无穷级数，其中第

n

项叫做级数的一般项。次相加,简记为6部分和数列级数的前n项和称为级数的部分和.72.级数的收敛与发散:8当级数收敛时,称差值为级数的余项.显然9例1.讨论等比级数

(又称几何级数)(q

称为公比

)的敛散性.

解:1)若从而因此级数收敛,从而则部分和因此级数发散.其和为102).若因此级数发散;因此n为奇数n为偶数从而综合1)、2)可知,时,等比级数收敛;时,等比级数发散.则级数成为不存在,因此级数发散.11例2.判别下列级数的敛散性:解:(1)所以级数(1)发散;技巧:利用“拆项相消”求和12(2)所以级数(2)收敛,其和为1.技巧:利用“拆项相消”求和13

例3.判别级数的敛散性.解:故原级数收敛,其和为14解15三、无穷级数的基本性质性质1.

若级数收敛于S,则各项乘以常数

c

所得级数也收敛,证:令则这说明收敛,其和为cS.说明:

级数各项乘以非零常数后其敛散性不变.即其和为cS.16性质2.

设有两个收敛级数则级数也收敛,其和为证:

令则这说明级数也收敛,其和为17说明:(2)若两级数中一个收敛一个发散,则必发散.(3)但若二级数都发散,不一定发散.例如,

性质2表明收敛级数可逐项相加或减，所得级数仍然收敛.(用反证法可证)18性质3.在级数前面加上或去掉有限项,

不会影响级数的敛散性.证:将级数的前k项去掉,的部分和为数敛散性相同.当级数收敛时,其和的关系为:类似可证前面加上有限项的情况.极限状况相同,故新旧两级所得新级数有限项不影响级数的敛散性，但是级数和会改变.19性质4.收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级数的和.证:

设收敛级数若按某一规律加括弧,则新级数的部分和序列为原级数部分和序列的一个子序列,推论:

若加括弧后的级数发散,则原级数必发散.注意:

收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.但发散.因此必有例如，用反证法可证例如20四、收敛的必要条件证明:性质5.级数收敛的必要条件:21注意:1.如果级数的一般项不趋于零,则级数发散;

发散2.必要条件不充分.22但矛盾!所以调和级数是发散的23例4.判断级数的敛散性:解:

考虑加括号后的级数发散,从而原级数发散.24例5.判断下列级数的敛散性,若收敛求其和:解:(1)因为25进行拆项相消这说明原级数收敛,其和为26这说明原级数收敛,其和为3.(2)27

常数项级数的基本概念

基本审敛法小结：28无穷级数收敛性举例：Koch雪花.做法：先给定一个正三角形，然后在每条边上对称的产生边长为原边长1/3的小正三角形．如此类推在每条凸边上都做类似的操作，29五、无穷级数收敛性举例：Koch雪花.做法：先给定一个正三角形，然后在每条边上对称的产生边长为原边长1/3的小正三角形．如此类推在每条凸边上都做类似的操作，就得到了Koch雪花，面积、周长无限or有限？30观察雪花分形过程依次类推设原三角形的周长为P1=3,面积为S1=√3/4第一次分叉后面积为周长为周长为