线性代数经济数学2课程习题集

-.z?线性代数(经济数学2〕?课程习题集西南科技大学成人、网络教育学院所有习题【说明】：本课程?线性代数(经济数学2〕?〔编号为01007〕共有计算题1,计算题2,计算题3,计算题4,计算题5等多种试题类型，其中，本习题集中有[计算题5]等试题类型未进入。一、计算题11.设三阶行列式为求余子式M11，M12，M13及代数余子式A11，A12，A13．2.用德蒙行列式计算4阶行列式3.求解以下线性方程组：其中4.问取何值时齐次线性方程组有非零解.5.问取何值时齐次线性方程组有非零解.二、计算题26.计算的值。7.计算行列式的值。8.计算的值。9.计算行列式的值。10.计算的值。11.求满足以下等式的矩阵*。12.A为任一方阵，证明，均为对称阵。13.设矩阵求AB．14.求和15.用初等变换法解矩阵方程A*=B其中16.设矩阵求17.求的逆。18.设n阶方阵A可逆，试证明A的伴随矩阵A*可逆，并求。19.求矩阵的逆。20.求矩阵的逆。三、计算题321.设矩阵求矩阵A的秩R(A)。22.求向量组的秩。其中，，，，。23.设向量组，，可由向量组，，线性表示。试将向量，，由，，线性表示。24.问a取什么值时以下向量组线性相关.a1(a11)Ta2(1a1)Ta3(11a)25.求以下向量组的秩,并求一个最大无关组a1(1214)Ta2(9100104)Ta3(2428)T。四、计算题426.求线性方和组的解27.求解以下线性方程组28.当a、b为何值时，线性方程组有解，当其有解时，求出其全部解。29.求解齐次线性方程组30.求非齐次方程组的一个解及对应的齐次线性方程组的根底解系31.试用正交变换法将以下二次型化为标准形，并求出变换阵．32.设矩阵求A的正交相似对角阵，并求出正交变换阵P。33.求一个正交变换将二次型f2*123*223*334*2*3化成标准形。34.求一个正交变换将二次型f*12*22*32*422*1*22*1*42*2*32*3*4化成标准形。35.试求一个正交的相似变换矩阵,将对称阵化为对角阵。五、计算题5〔略〕……答案一、计算题11.解：，〔3分〕，〔6分〕，〔8分〕2.解：对照德蒙行列式，此处a1=4，a2=3，a3=7，a4=-5〔3分〕所以有〔5分〕=10368〔8分〕3.解：写出系数行列式D〔3分〕D为n阶德蒙行列式，据题设〔5分〕由克莱姆法则知方程组有唯一解。易知〔8分〕4.解系数行列式为〔4分〕令D0得0或1〔6分〕于是当0或1时该齐次线性方程组有非零解〔8分〕5.解系数行列式为〔4分〕(1)3(3)4(1)2(1)(3+)(1)32(1)23〔6分〕令D0得02或3于是当02或3时该齐次线性方程组有非零解〔8分〕二、计算题26.解：〔4分〕〔8分〕〔10分〕7.解

〔2分〕〔4分〕〔6分〕〔8分〕=-60〔10分〕8.解：〔5分〕〔10分〕9.解：对于行列式，使用性质进展计算。有〔第3列减第2列〕〔3分〕〔第2列减第1列〕〔6分〕〔由于2，3列对应相等〕〔8分〕=0〔10分〕10.解〔5分〕〔10分〕11.解将上述等式看成〔2分〕由矩阵的加法及数乘矩阵的运算规律，得∴〔4分〕=〔6分〕=〔8分〕=〔10分〕12.证：对称阵：〔20分〕〔4分〕∴是对称阵.〔6分〕〔8分〕∴是对称阵〔10分〕13.解AB〔2分〕〔6分〕〔8分〕〔10分〕14.解〔3分〕∴〔6分〕而〔10分〕15.解〔1分〕〔3分〕〔5分〕〔7分〕〔9分〕∴*=A-1B〔10分〕16.解：〔2分〕〔4分〕〔6分〕〔8分〕于是〔10分〕17.解：〔3分〕〔7分〕∴〔10分〕18.证：因为A可逆，所以|A|≠0，〔1分〕且于是有A*=|A|A-1〔3分〕对上式两边取行列式，并由方阵行列式性质〔2〕〔注意|A|是一个数〕得|A*|=||A|A-1|=|A|n|A-1|〔5分〕又因|A-1|≠0〔∵A可逆，由定义知A-1可逆〕∴|A*|≠0所以A*是可逆的．〔6分〕因为〔8分〕可知〔10分〕19.解：令，〔2分〕于是则〔4分〕用伴随矩阵极易写出〔6分〕〔8分〕〔10分〕20.解|A|20故A1存在〔2分〕因为〔6分〕所以〔10分〕三、计算题321.解：对A作初等行变换，将它化为阶梯形，有

〔2分〕〔4分〕〔6分〕〔8分〕

最后阶梯形矩阵的秩为3，所以R(A)=3〔12分〕22.解：把排成的矩阵A〔2分〕〔8分〕

这是一个"下三角形"矩阵

〔12分〕23.解：由上视为的线性方程组，解出来。

〔2分〕〔6分〕〔10分〕所以〔12分〕24.解以所给向量为列向量的矩阵记为A〔2分〕由〔8分〕知当a1、0、1时R(A)3此时向量组线性相关〔12分〕25.解由〔7分〕知R(a1a2a3)2因为向量a1与a2的分量不成比例故a1a2线性无关四、计算题426.解：〔3分〕〔6分〕〔9分〕方程有解〔12分〕视*3为自由未知量，方程组有无数多个解〔即解不唯一〕〔15分〕27.解：〔3分〕〔6分〕到此，,导出组根底解系含5－2=3个根底解向量．导出组有2个自由未知量．由最后的矩阵看取为自由未知量．〔8分〕写出同解方程组并把自由未知量移到等号右端〔等号右端自由未知量以表示〕得：〔12分〕即〔15分〕28.解：〔3分〕〔5分〕时方程组有解〔无穷多解〕。〔7分〕〔10分〕得一般解：补齐用解向量形式表出为：〔15分〕29.解〔第1行乘-2，-5分别加到第2，3行〕〔1分〕〔第2行乘-6加到第3行〕〔2分〕〔第2行与第3行交换〕〔3分〕〔第2行乘3加到第3行〕〔4分〕〔第3行乘〕〔5分〕〔第3行乘17加到第2行〕〔6分〕〔第2行乘-2加到第1行〕〔7分〕〔第3行乘5加到第1行〕〔8分〕〔9分〕因为，，且左上角化成了三阶单位方阵，所以根底解系中应含有一个解向量．〔10分〕与原方程同解的方程组有〔12分〕即〔15分〕30.解对增广矩阵进展初等行变换有〔3分〕与所给方程组同解的方程为〔6分〕当*30时得所给方程组的一个解(81302)T〔9分〕与对应的齐次方程组同解的方程为〔12分〕当*31时得对应的齐次方程组的根底解系(1110)T〔15分〕31.解

〔2分〕〔4分〕〔6分〕〔8分〕

对应的特征向量

，，〔10分〕

标准化

，，〔12分〕

∴正交变换阵为

CTAC

〔15分〕32.解

〔1〕

∴A的特征值是．〔2分〕

得A的正交相似的对角阵

〔4分〕

〔2〕对于，由

得根底解系

〔6分〕

对于，由

得根底解系

〔8分〕

对于，由

得根底解系

〔10分〕

〔3〕由于属于A的3个不同特征值的特征向量，它们必正交．将其标准化，得

〔12分〕

〔4〕写出正交变换阵

〔14分〕

〔5〕有

〔15分〕33.解二次型的矩阵为由得A的特征值为122531〔3分〕当12时,解方程(A2E)*0由得特征向量(100)T取p1(100)T〔6分〕当25时解方程(A5E)*0由得特征向量(011)T取〔9分〕当31时解方程(AE)*0由得特征向量(011)T取〔12分〕于是有正交矩阵T(p1p2p3)和正交变换*Ty使f2y125y22y32〔15分〕34.解二次型矩阵为由〔3分〕得A的特征值为1123341当11时可得单位特征向量〔6分〕当23时可得单位特征向量〔9分〕当341时可得线性无关的单位特征向量〔12分〕于是有正交矩阵T(p1p2p3p4)和正交变换*Ty使fy123y22y32y42〔15分〕35.解:将所给矩阵记为A由(1)(4)(2)得矩阵A的特征值为122134〔3分〕对于12解方程(