高等数学中值定理的题型及解题方法

-.z高等数学中值定理的题型与解题方法高数中值定理包含：1.罗尔中值定理(rolle);2.拉格朗日中值定理(lagrange);3.柯西中值定理(cauchy);还有经常用到的泰勒展开式(taylor),其中，一定是开区间.全国考研的学生都害怕中值定理，看到题目的求解过程看得懂，但是自己不会做，这里往往是在构造函数不会处理，这里给总结一下中值定理所涵盖的题型，保证拿到题目就会做。题型一：证明：根本思路，首先考虑的就是罗尔定理(rolle)，还要考虑极值的问题。例1.在可导，，，证明：存在，使得.分析：由，，容易想到零点定理。证明：，存在，使得，又，同号，，存在，使得，，所以根据罗尔中值定理：存在，使得.例2.在可导，，，证明：存在，使得证明：〔1〕，在使得上有最大值和最小值，根据介值性定理，即存在，使得，〔2〕，所以根据罗尔中值定理：存在，使得.例3.在三阶可导，，，证明：存在，使得证明：〔1〕，存在，使得，〔2〕，所以，存在，使得，〔3〕，所以，存在，使得，例3.在可导，，，，证明：存在，使得证明：，，存在，使得，又在可导，存在，使得题型二：证明：含，无其它字母根本思路，有三种方法：〔1〕复原法。能够化成这种形式例1.在可导，，证明：存在，使得.分析：由，证明：令，存在，使得，而存在，使得例2.在可导，，证明：存在，使得.分析：由，证明：令，，存在，使得，而即存在，使得例3.在上二阶可导，，证明：存在，使得.分析：由，证明：令，，使得，所以，又因为由罗尔定理知，存在，使得.记：①②〔2〕分组构造法。①②〔复原法行不通〕例1.，在可导，，证明：①存在，使得，②存在，使得.证明：①令，，使得，即②〔分析〕令，存在，使得.题型三：证明：含.分几种情形：情形1：结论中只有例1.，在可导，，证明：①存在，使得，②存在，使得.证明：①令，使得②,使得，所以存在，使得例2.，在可导，，证明：①存在，使得，②存在，使得.证明：①令，，，使得②,使得，，所以存在，使得情形2：结论中含有，但是两者复杂度不同。例1.，在可导证明：存在，使得.证明：①令，由柯西中值定理使得，所以使得，得证。例2.，在可导证明：存在，使得.证明：①令，由柯西中值定理使得，所以使得，得证。例3.，在可导,证明：存在，使得.(分析：“留复杂〞)证明：①令，由拉格朗日中值定理使得，，即.题型四：证明：拉格朗日中值定理的两惯性思维。可导①②见到3点两次使用拉格朗日中值定理。例1.，且则解：，.又因为例2.，且，则的大小关系。解：由拉格朗日中值定理知，单调递增又又因为例3.在可导，且，在至少有一个零点。证明：证明：1〕因为在至少有一个零点，所以2〕下边用两次拉格朗日中值定理，所以，，例4.在二阶可导，有一条曲线，如图证明：，使得证明：1〕使得因为共线，所以，所以由罗尔定理知，使得题型五：Taylor公式的常规证明。例1.，证明：存在，使得.〔题外分析：考虑什么时候该用泰勒公式什么时候不用！时考虑，但是为题型一，考虑罗尔定理时比拟为难，有时候用拉格朗日中值定理，有时候不用，该怎么考虑呢，分情况：〕证明：，两个式子相减得：，在上有，则，所以根据介值定理得：存在，使得例2.，在二阶可导，，，证明：存