2020年湖南省长沙市高考数学一模试卷(文科)含答案解析

2020年湖南省长沙市高考数学一模试卷（文科）一、选择题1．设i为虚数单位，则复数3﹣i的虚部是（）A．3B．﹣iC．1D．﹣12A=xx20B=yy=sinxx∈R}，则A∪B=（）．记集合{|+＞}，{|，A．（﹣2，+∞）B．[﹣1，1]C．[﹣1，1]∪[2，+∞）D．（﹣2，1]3．某空间几何体的三视图中，有一个是正方形，则该空间几何体不可能是（）A．圆柱B．圆锥C．棱锥D．棱柱4．已知向量=（cosα，sinβ），=（sinα，cosβ），若∥，则α，β的值可以是（）A．α=，β=﹣B．α=，β=C．α=，β=﹣D．α=，β=﹣5．已知数列的前4项为2，0，2，0，则依次归纳该数列的通项不可能是（）A．an=（﹣1）n﹣1+1B．an=C．an=2sin D．an=cos（n﹣1）π+16．已知定义在R上的函数f（x）满足f（x+1）=﹣f（x），且f（x）=，则下列函数值为1的是（）A．f（2.5）B．f（f（2.5））C．f（f（1.5））D．f（2）7．某研究性学习小组调查研究学生使用智能手机对学习的影响，部分统计数据如表使用智能手机不使用智能手机合计学习成绩优秀4812学习成绩不优秀16218合计201030附表：（pK2≥k0）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828经计算K2=10，则下列选项正确的是：（）A．有99.5%的把握认为使用智能手机对学习有影响B．有99.5%的把握认为使用智能手机对学习无影响C．有99.9%的把握认为使用智能手机对学习有影响D．有99.9%的把握认为使用智能手机对学习无影响8．函数的单调递增区间是（）A．B．C．D．9．平面直径坐标系xOy中，动点P到圆（x﹣2）2+y2=1上的点的最小距离与其到直线x=﹣1的距离相等，则P点的轨迹方程是（）A．y2=8xB．x2=8yC．y2=4xD．x2=4y第1页（共17页）10．非负实数 x、y满足ln（x+y﹣1）≤0，则关于 x﹣y的最大值和最小值分别为（ ）A．2和1 B．2和﹣1 C．1和﹣1 D．2和﹣211．如果执行如图所示的程序框图，则输出的数 S不可能是（ ）A．0.7B．0.75C．0.8D．0.9xgx）=x1fxgx）的语句为假命题的是（）12．已知函数f（x）=e，（+，则关于（），（A．?x∈R，f（x）＞g（x）B．?x1，x2∈R，f（x1）＜g（x2）C．?x0∈R，f（x0）=g（x0）D．?x0∈R，使得?x∈R，f（x0）﹣g（x0）≤f（x）﹣g（x）二、填空题13．在空间直角坐标系中， 已知点A（1，0，1），B（﹣1，1，2），则线段AB的长度为_______．14．记等差数列 {an}的前n项和为Sn，若S3=2a3，S5=15，则a2020=_______．15ABC的周长等于2（sinA+sinBsinC），则其外接圆半径等于_______．．△+16MN﹣=1左、右支上的点，设是平行于x轴的单位向量，则|．，分别为双曲线?|的最小值为_______．三、解答题17．如图，OPQ是半径为 2，圆心角为 的扇形，C是扇形弧上的一动点，记∠ COP=θ，四边形OPCQ的面积为 S．1）找出S与θ的函数关系；2）试探求当θ取何值时，S最大，并求出这个最大值．第2页（共17页）18．空气质量指数（ AirQualityIndex，简称AQI）是定量描述空气质量状况的指数，空气质量按照AQI大小分为六级：0～50为优；51～100为良；101～150为轻度污染；151～200为中度污染；201～300为重度污染；＞300为严重污染．一环保人士记录了去年某地某月10天的AQI的茎叶图如图所示．（1）利用该样本估计该地本月空气质量优良（AQI≤100）的天数；（按这个月总共30天计算）2）若从样本的空气质量不佳（AQI＞100）的这些天中，随机地抽取两天深入分析各种污染指标，求该两天的空气质量等级恰好不同的概率．19．如图，矩形 BDEF垂直于正方形 ABCD，GC垂直于平面 ABCD，且AB=DE=2CG=2．1）求三棱锥A﹣FGC的体积．2）求证：面GEF⊥面AEF．20．已知椭圆C1：+=1ab0）的顶点到直线l1：y=x的距离分别为，．（＞＞1）求C1的标准方程；2）设平行于l1的直线l交C1与A、B两点，若以AB为直径的圆恰好过坐标原点，求直线l的方程．21．已知函数 f（x）=x2+ （a为实常数）．（1）若f（x）在（0，+∞）上单调递增，求实数 a的取值范围；（2）判断是否存在直线 l与f（x）的图象有两个不同的切点，并证明你的结论．[选修4-1：几何证明选讲 ]22．如图，C，D是以AB为直径的半圆上两点，且 = ．1）若CD∥AB，证明：直线AC平分∠DAB；2）作DE⊥AB交AC于E，证明：CD2=AE?AC．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲 ]第3页（共17页）23．在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为2，θ∈[0，2π]．ρ﹣4ρcosθ+3=0（1）求C1的直角坐标方程；（2）曲线C2的参数方程为 （t为参数），求C1与C2的公共点的极坐标．[选修4-5：不等式选讲 ]24．设α、β、γ均为实数．1）证明：|cos（α+β）|≤|cosα|+|sinβ|；|sin（α+β）|≤|cosα|+|cosβ|．2）若α+β+γ=0．证明：|cosα|+|cosβ|+|cosγ|≥1．第4页（共17页）2020年湖南省长沙市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题1．设i为虚数单位，则复数 3﹣i的虚部是（ ）A．3 B．﹣i C．1 D．﹣1【考点】复数的基本概念．【分析】直接由复数的基本概念得答案．【解答】解：∵复数 3﹣i，∴复数3﹣i的虚部是：﹣1．故选：D．2A=xx20B=yy=sinxx∈R}，则A∪B=（）．记集合{|+＞}，{|，A．（﹣2，+∞）B．[﹣1，1]C．[﹣1，1]∪[2，+∞）D．（﹣2，1]【考点】并集及其运算．【分析】先化简集合A，B，再根据并集的定义即可求出．【解答】解：集合A={xx20=（﹣2∞B=yy=sinxx∈R=[11]，|+＞}，+），{|，}﹣，则A∪B=（﹣2，+∞），故选：A．3．某空间几何体的三视图中，有一个是正方形，则该空间几何体不可能是（ ）A．圆柱B．圆锥C．棱锥D．棱柱【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由于圆锥的三视图中一定不会出现正方形，即可得出结论．【解答】解：圆锥的三视图中一定不会出现正方形，∴该空间几何体不可能是圆锥．故选：B．4．已知向量 =（cosα，sinβ）， =（sinα，cosβ），若 ∥ ，则α，β的值可以是（ ）A．α= ，β=﹣ B．α= ，β= C．α= ，β=﹣ D．α= ，β=﹣【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】根据向量的平行的条件以及两角和的余弦公式即可判断．【解答】解：向量 =（cosα，sinβ）， =（sinα，cosβ），若 ∥ ，cosαcosβ﹣sinαsinβ=0，即cos（α+β）=0，∴α+β=kπ+ ，k∈Z，对于A：α+β=0，不符合，对于B，α+β=π，不符合，对于C：α+β=﹣ ，符合，第5页（共17页）对于D，α+β=，不符合，故选：C．5．已知数列的前4项为2，0，2，0，则依次归纳该数列的通项不可能是（）A．an=（﹣1）n﹣1+1B．an=C．an=2sinD．an=cos（n﹣1）π+1【考点】数列的概念及简单表示法．【分析】令n=1，2，3，4分别代入验证：即可得出答案．【解答】解：令n=1，2，3，4分别代入验证：可知C：a3=﹣2，因此不成立．故选：C．6R上的函数fx）满足fx1）=fx），且fx=，．已知定义在（（+﹣（（）则下列函数值为1的是（）A．f（2.5）B．f（f（2.5））C．f（f（1.5））D．f（2）【考点】函数的值．【分析】由f（x1）=f（x），得到函数的周期是2+﹣，根据分段函数的表达式结合函数的周期性进行求解即可．【解答】解：由f（x1=f（x），得f（x2=fx1）=fx），+）﹣+）﹣（+（则函数的周期是2，则f（2.5）=f（2+0.5）=f（0.5）=﹣1，ff（2.5））=f1=f12=f1=﹣1（（﹣）（﹣+）（）f（f（1.5））=f（f（2﹣0.5））=f（f（﹣0.5））=f（1）=﹣1，f（2）=f（0）=1，即列函数值为 1的f（2），故选：D．7．某研究性学习小组调查研究学生使用智能手机对学习的影响，部分统计数据如表使用智能手机 不使用智能手机 合计学习成绩优秀4812学习成绩不优秀16218合计201030附表：p（K2≥k0）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828经计算K2=10，则下列选项正确的是：（）A．有99.5%的把握认为使用智能手机对学习有影响B．有99.5%的把握认为使用智能手机对学习无影响C．有99.9%的把握认为使用智能手机对学习有影响第6页（共17页）D．有99.9%的把握认为使用智能手机对学习无影响【考点】独立性检验的应用．【分析】根据观测值 K2，对照数表，即可得出正确的结论．2对照数表知，有 99.5%的把握认为使用智能手机对学习有影响．故选：A．8．函数的单调递增区间是（）A．B．C．D．【考点】复合三角函数的单调性．【分析】由2kπ﹣≤+≤2kπ+k∈Z）与x22即可求得答案．（∈[﹣π，π]【解答】解：y=sin（+）的单调递增区间由2kπ≤+≤2kπk∈Z）得：﹣+（4kπ﹣ ≤x≤4kπ+ （k∈Z），∵x∈[﹣2π，2π]，∴﹣ ≤x≤ ．即y=sin（ + ）的单调递增区间为 [﹣ ， ]．故选A．9．平面直径坐标系xOy2y2x=中，动点P到圆（x﹣2）+=1上的点的最小距离与其到直线﹣1的距离相等，则P点的轨迹方程是（）A．y2=8xB．x2=8yC．y2=4xD．x2=4y【考点】直线与圆的位置关系．Pxy），由已知得|x1|=1P的【分析】设动点（，+﹣，由此能求出点轨迹方程．【解答】解：设动点P（x，y），∵动点P到直线x=﹣1的距离等于它到圆：（x﹣2）2+y2=1的点的最小距离，∴|x1=1+|﹣，化简得：6x﹣2+2|x+1|=y2，当x≥﹣1时，y2=8x，当x＜﹣1时，y2=4x﹣4＜﹣8，不合题意．∴点P的轨迹方程为：y2=8x．故选：A．10x、y满足lnxy10xy的最大值和最小值分别为（）．非负实数（+﹣）≤，则关于﹣A．2和1B．2和﹣1C．1和﹣1D．2和﹣2【考点】简单线性规划；对数函数的图象与性质．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义进行求解即可．第7页（共17页）【解答】解：由题意得 ，作出不等式组对应的平面区域如图：设z=x﹣y，由z=x﹣y，得y=x﹣z表示，斜率为 1纵截距为﹣z的一组平行直线，平移直线 y=x﹣z，当直线 y=x﹣z经过点C（2，0）时，直线 y=x﹣z的截距最小，此时 z最大，最大为zmax=2﹣0=2当直线经过点 A（0，2）时，此时直线 y=x﹣z截距最大，z最小．此时zmin=0﹣2=﹣2．故选：D．11．如果执行如图所示的程序框图，则输出的数 S不可能是（ ）A．0.7 B．0.75C．0.8 D．0.9【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序，可得此程序框图的功能是计算并输出 S=+ 的值，结合选项，只有当 S的值为0.7时，n不是正整数，由此得解．【解答】解：模拟执行程序，可得此程序框图执行的是输入一个正整数 n，第8页（共17页）求+的值S，并输出S，由于S=+=1+⋯+﹣=1﹣=，令S=0.7，解得n=，不是正整数，而n分别输入2，3，8时，可分别输出0.75，0.8，0.9．故选：A．xgx）=x1fx），gx）的语句为假命题的是（）12．已知函数f（x）=e，（+，则关于（（A．?x∈R，f（x）＞g（x）B．?x1，x2∈R，f（x1）＜g（x2）C．?x0∈R，f（x0）=g（x0）D．?x0∈R，使得?x∈R，f（x0）﹣g（x0）≤f（x）﹣g（x）【考点】命题的真假判断与应用．【分析】根据全称命题和特称命题的定义进行判断即可．【解答】解：设h（x）=f（x）﹣g（x），则h（x）=ex﹣x﹣1，则h′（x）=ex﹣1，当x＜0时，h′（x）＜0，h（x）单调递减，当x＞0时，h′（x）＞0，则h（x）单调递增，即当x=0时，函数h（x）取得极小值同时也是最小值h（0）=0，即h（x）≥0，即?x∈R，f（x）＞g（x）不一定成立，故A是假命题，故选：A二、填空题13．在空间直角坐标系中，已知点A（1，0，1），B（﹣1，1，2），则线段AB的长度为．【考点】空间两点间的距离公式．【分析】根据两点间的距离公式，进行计算即可．【解答】解：空间直角坐标系中，点A（1，0，1），B（﹣1，1，2），所以线段AB的长度为|AB|==．故答案为：．14{an}的前n项和为Sn，若S3=2a3，S5=15，则a2020=2020．．记等差数列【考点】等差数列的前n项和．【分析】利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．ad【解答】解：设等差数列{n}的公差为．∵S3=2a3，S5=15，∴d=2（a1+2d），d=15，解得a1=d=1．则a2020=1+×1=2020．故答案为：2020．15ABC的周长等于2（sinA+sinBsinC），则其外接圆半径等于1．．△+第9页（共17页）【考点】正弦定理．【分析】利用正弦定理得出 a，b，c和外接圆半径 R的关系，根据周长列出方程解出 R．【解答】解：设△ABC的三边分别为 a，b，c，外接圆半径为 R，由正弦定理得 ，a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，∵a+b+c=2（sinA+sinB+sinC），2RsinA+2RsinB+2RsinC=2（sinA+sinB+sinnC），R=1．故答案为：1．16．M，N分别为双曲线 ﹣ =1左、右支上的点，设 是平行于 x轴的单位向量，则|? |的最小值为 4 ．【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据向量数量积的定义结合双曲线的性质进行求解即可．【解答】解：由向量数量积的定义知 ? 即向量 在向量 上的投影| |模长的乘积，故求| ? |的最小值，即求 在x轴上的投影的绝对值的最小值，由双曲线的图象可知 | ? |的最小值为 4，故答案为：4三、解答题17．如图，OPQ是半径为 2，圆心角为 的扇形，C是扇形弧上的一动点，记∠ COP=θ，四边形OPCQ的面积为 S．1）找出S与θ的函数关系；2）试探求当θ取何值时，S最大，并求出这个最大值．第10页（共17页）【考点】三角函数中的恒等变换应用；弧度制的应用；三角函数的最值．【分析】（1）由面积公式即可得到S与θ的函数关系．（2）对三角函数化简，由θ的范围，得到S的最大值．【解答】解：（1）∵S=S△OPC+S△OQC=OP?0Csin∠POC+OQ?OCsin∠QOC=2sinθ+2sin（﹣θ）（θ∈（0，））2）由（1S=2sin2sin（﹣θ）（）知，θ+=sinθcosθ=2sinθ）+（+∵θ∈（0，），∴θ+∈（，）∴当θ+=，即θ=时，S最大，为2．18．空气质量指数（ AirQualityIndex，简称AQI）是定量描述空气质量状况的指数，空气质量按照AQI大小分为六级：0～50为优；51～100为良；101～150为轻度污染；151～200为中度污染；201～300为重度污染；＞300为严重污染．一环保人士记录了去年某地某月10天的AQI的茎叶图如图所示．（1）利用该样本估计该地本月空气质量优良（AQI≤100）的天数；（按这个月总共30天计算）2）若从样本的空气质量不佳（AQI＞100）的这些天中，随机地抽取两天深入分析各种污染指标，求该两天的空气质量等级恰好不同的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】（1）由茎叶图可得样本中空气质量优良的天数， 可得概率，用总天数乘以概率可得；（2）该样本中轻度污染共 4天，分别记为 a，b，c，d，中度污染为 1天，记为 A，重度污染为1天，记为 α，列举可得总的基本事件共 15个，其中空气质量等级恰好不同有 9个，由概率公式可得的．【解答】解：（1）由茎叶图可发现样本中空气质量优的天数为 1，空气质量为良的天数为 3，故空气质量优良的概率为 = ，故利用该样本估计该地本月空气质量优良的天数为 30× =12；（2）该样本中轻度污染共4天，分别记为a，b，c，d，中度污染为1天，记为A，重度污染为1天，记为α，则从中随机抽取2天的所有可能结果为：（a，b）（a，c）a，d）（a，A）（A，α）（b，c）（b，d）（b，A）b，α）（c，d）（c，A）（c，α）（d，A）（d，α）第11页（共17页）（A，α）共15个，其中空气质量等级恰好不同有（ a，A）（A，α）（b，A）b，α）（c，A）（c，α）（d，A）（d，α）（A，α）共9个，该两天的空气质量等级恰好不同的概率P==19．如图，矩形 BDEF垂直于正方形 ABCD，GC垂直于平面 ABCD，且AB=DE=2CG=2．1）求三棱锥A﹣FGC的体积．2）求证：面GEF⊥面AEF．【考点】平面与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】（1）由平面BDEF⊥平面ABCD得FB⊥平面ABCD，故FB⊥AB，又AB⊥BC，于是AB⊥平面FBCG，即AB为棱锥A﹣FCG的高；2）建立空间坐标系，分别求出平面AEF和平面EFG的法向量，证明他们的法向量垂直即可．【解答】解：（1）∵平面BDEF⊥平面ABCD，平面BDEF∩平面ABCD=BD，FB⊥BD，FB?平面BDEF，FB⊥平面ABCD，∵AB?平面ABCD，AB⊥FB，又AB⊥BC，AB⊥平面BCGF，∴VA﹣FGC= = = ．2）以B为原点，AB，BC，BF为坐标轴建立空间直角坐标系，如图：则A（﹣2，0，0），E（﹣2，2，2），F（0，0，2），G（0，2，1），∴ =（0，2，2）， =（2，﹣2，0）， =（0，2，﹣1）．设平面AEF的法向量为 =（x，y，z），平面EFG的法向量为 =（a，b，c），则 ， ，即 ， ，令z=1得 =（﹣1，﹣1，1），令c=1得 =（ ， ，1）．∴ =﹣ =0．∴ ，∴平面AEF⊥平面EFG．第12页（共17页）20．已知椭圆C1：+=1ab0）的顶点到直线l1：y=x的距离分别为，．（＞＞1）求C1的标准方程；2）设平行于l1的直线l交C1与A、B两点，若以AB为直径的圆恰好过坐标原点，求直线l的方程．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由a＞b，可设顶点（a，0）到直线y=x的距离为，又顶点（0，b）到直线y=x的距离为，运用点到直线的距离公式，计算可得a=2，b=1，进而得到椭圆方程；2）设直线l的方程为y=xtt0x24y2=4，设yBxy（+（≠），代入椭圆方程+A（x1，1），（2，2），运用韦达定理和判别式大于0，以及直径所对的圆周角为直角，由向量垂直的条件：数量积为0，化简整理，可得t，进而得到所求直线l的方程．【解答】解：（1）由a＞b，可设顶点（a，0）到直线y=x的距离为，可得=，即a=2，又顶点（0，b）到直线y=x的距离为，可得=，即b=1，则椭圆方程为+y2=1；（2）设直线l的方程为y=x+t（t≠0），代入椭圆方程x2+4y2=4，可得5x2+8tx+4t2﹣4=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），即有△=64t2﹣20（4t2﹣4）＞0，解得﹣＜t＜，且t≠0，x1+x2=﹣，x1x2=，txt=x1x2+t2txx2）=t2=，y1y2=（x1+）（2+）+（1++﹣以AB为直径的圆恰好过坐标原点，可得OA⊥OB，即有?=0，即x1x2+y1y2=0，即为 + =0，解得t=± ，满足﹣ ＜t＜ ，且t≠0，第13页（共17页）则直线l的方程为 y=x± ．21．已知函数f（x）=x2+（a为实常数）．（1）若f（x）在（0，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围；（2）判断是否存在直线l与f（x）的图象有两个不同的切点，并证明你的结论．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．1）求出导数，由题意可得2x3a00a2x3【分析】（﹣≥在（，+∞）上恒成立，即≤，求出右边函数的值域，即可得到a的范围；（2）不存在直线l与f（x）的图象有两个不同的切点．假设存在这样的直线l，设两切点为（x1，f（x1）），（x2，f（x2）），由假设可得f′（x1）=f′（x2）=，运用导数和函数的解析式，化简整理，即可得到矛盾．1fx）=x2的导数为f′x）=2x﹣=，【解答】解：（）函数（+（由f（x）在（0，+∞）上单调递增，可得2x3﹣a≥0在（0，+∞）上恒成立，a2x32x30∞2x3的值域为（0∞即≤，由在（，+）上递增，可得，+），a0，即有a的取值范围为（﹣∞0则≤，]；（2）不存在直线l与f（x）的图象有两个不同的切点．证明：假设存在这样的直线l，设两切点为（x1，f（x1）），（x2，f（x2）），由假设可得f′x1）=f′x2）=，（（由f′（x1）=f′（x2），可得2x1﹣ =2x2﹣ ，即有2（x1﹣x2）=a? ，显然x1+x2≠0，x1﹣x2≠0，即有a=﹣ ，而 ﹣f′（x1）= ﹣2x1+=x1+x2﹣ ﹣2x1+ =x2﹣x1+ ﹣ =﹣ ≠0，即f′（x1）=f′（x2）≠ ，第14页（共17页）故不存在直线 l与f（x）的图象有两个不同的切点．[选修4-1：几何证明选讲 ]22．如图，C，D是以AB为直径的半圆上两点，且 = ．1）若CD∥AB，证明：直线AC平分∠DAB；2）作DE⊥AB交AC于E，证明：CD2=AE?AC．【考点】与圆有关的比例线段；弦切角．【分析】（1）证明：直线AC平分∠DAB，只要证明∠DAC=∠BAC，利用平行线的性质及等弧对等角即可；2）作DE⊥AB交AC于E，证明：△ADE∽△ACD，即可证明CD2=AE?AC．【解答】证明：（1）∵CD∥AB，∴∠DCA=∠BAC，∵=，∴∠DAC=∠DCA，∴∠DAC=∠BAC，∴直线AC平分∠DAB；2）∵DE⊥AB，∴∠ADE+∠DAB=90°，∵AB为直径，∴∠DBA+∠DAB=90°，∴∠ADE=∠ABD，∵∠ABD=∠DCA，∴∠ADE=∠ACD，∴△ADE∽△ACD，2∵AD=D