求解析式的十种方法

高中函数解析式的十种方法在高中数学学习中，会遇到求函数解析式的一类题，这里是指已知f[g(x)]或g[/(x)],求/U)或g(x),或已知/(X)或g(x),求f[g(x)]或g[f(x)]等复合函数的解析式，这些问题是学生在学习中感到棘手的问题。解决这些问题是否有一套有效的方法可循呢？回答是肯定的。这类题在现行的高中数学教科书中几乎没有，但在一些二类教材如《目标测试》等书中有很多类似题，它与课本上的函数这一内容关系密切，并且具有一定的规律性，故就有一些有效的解题方法，根据本人的教学心得整理如下：—、定义法：例1：设f(x+l)=x2-3x+2,求/(x)./(x+1)=x2-3%+2=[(x+1)-1]2-3[(x+1)-1]+2=(x+l)2一5(x+l)+6/./(X)=x2-5x+6X+1例⑴f/・「rzX+lX+lTOC\o"1-5"\h\z解：设・・・/[/(x)]===——x+2x+1+l]+1+x例3：设/(X+-)=X2+-^,g(X+-)=X5求f[g(X)].XX-XX解：Vf(x+-)=x2+X=(X+-)2-2/.f(x)=x2-2Xx又g(x+—)=X，+4=(x+—)3-3(x+—)g(x)=x3-3xXXXX故f[g(x)]=(尸-3x)2-2=x6-6x4+9x2-2例4：设/(cosx)=cosl7x,4$/(sillx).解：f(smx)=/[cos(^-x)]=cosl7(y-x)717T=cos(8-T+y-17x)=cos(^--17x)=snil7x.二、待定系数法：(主要用于二次函数)例5：已知f(x-2)=2x2-9x+13,求f(x).解：显然，/(x)是一个一元二次函数。设f(x)=ax2+bx+c(。#0)则/(%-2)=a(x一2)2+b(x-2)+c=ax2+(b-4a)x+(4。-2b+c)又f(x-2)=2x2-9x+13TOC\o"1-5"\h\za=2a=2比较系数得：lb-4a=-9解得：lb=-l:.f(x)=2x2-x+34。一2/?+c=13c=3三、换元(或代换)法：14-Vr*+11例6：已知/(—)=-^+—,求/(X).、、1+X,1—,、Q/1+X、X2+11,11解s设=t，贝ljX=贝lj/(')=/()=;1=17■*Xt-1XX"XX=1+———+匚一=1+(/-1)‘+(/-1)=尸-f+1/(x)=x2-X+1(曲)T^T例7：设/(COSX-l)=COS2%,求/(X).解:令t=COSX-1,/.COSX=r+1又-1<cosx<1,.•・一2<cosx-1<0HP-2</<0f(J)=(J+l)2,(-2<t<0)即/0)=0+l)2,xg[-2,0]r—1例8：若f(X)+/()=1+X(1)X—1rzX—1ry、-X—1在(1)式中以——代替X得/(——)+/(|)=1+——XX一1XXz.zx—1£12x—1即/(——)+/(——)=⑵XX-LX11—2又以代替(1)式中的X得：/()+/(X)=-——(3)X-lX-lX-1/曰£x—22x—1x—x"—1(1)+(3)-⑵得：2/W=l+x+——-=二/W二/W=x3-x2-12x(x-l)例9：设/(x)满足af(x)+bf(-)=ex(其中ci,b,c均不为。且。。土/?),求/(x)。x解：af(x)+bf(~)=cx(1)用上来代替x,得af\-)+bf(x)=c-~(2)XXXXj、acx2-be..•小=昔寻由ox(l)-/?x(2)得：(a2j、acx2-be..•小=昔寻例10：已知f(ax~l)=x2+2,求f(x).解：设t=ax~la0,则x-l=logat即x=log“f+l代入已知等式中，得：/(O=(logar+1)2+2=log；r+21ogar+3/(x)=log；x+21ogdx+3(四)配凑法己知复合函数f[g(x)]的表达式，要求/(力的解析式时，若f[g(x)]表达式右边易配成g(x)的运算形式，则可用配凑法，使用配凑法时，要注意定义域的变化。例3：己知f(y/x+l)=x+2-fx,求f(x)的解析式。分析：•.•X+2V7可配凑成可用配凑法解：由+1)=X+2y[x=(>/7+)2-1令t=yjx+l•/x>0:.t>l则加)=尸一1即f(x)=x2-l(x>l)当然，上例也可直接使用换元法令t=y/x+l则t=4x+i得*=。一顶••y(o=a-i)2+2(r-i)=/2-iB|Jy(x)=x2-l(x>l)由此可知，求函数解析式时，可以用配凑法来解决的，有些也可直接用换元法来求解。例4：己知f(x--)=x2，求/(x).Xx~分析：此题直接用换元法比较繁锁，而且不易求出来，但用配凑法比较方便。解析：/(x--)=x2+4-=U--)2+2XX-X4*/=X--=>x2-fr-1=0x由△?()即户+420得fcR.-./(O=r+2即：f(x)=x2+2(xgR)实质上，配凑法也编含换元的思想，只是不是首先换元，而是先把函数表达式配凑成用此复合函数的内函数来表示出来，在通过整体换元。和换元法一样，最后结果要注明定义域。(五)函数方程组法。函数方程组法适用的范围是：题高条件中，有若干复合函数与原函数/(X)混合运算，则要充分利用变量代换，然后联立方程组消去其余部分。例5:设/(x)满足,(x)-2/(-)=x,求f(x)的解析式。分析：要求/(X)可消去/(L),为此，可根据题中的条件再找一个关于f(x)与/(马的等式，通过解方程组达到消元的目的。解析：f(x)-2f(-)=x①显然，xro,将x换成二得XTOC\o"1-5"\h\z/(i)-2/(x)=l②XXf(x)-2f(-)=x由1%1消去/(I),得c、1233x小结：函数方程组法适用于自变量的对称规律。互为倒数，如f(x)、/(-):互为相反X数，如f(x)、f(-x),通过对称代换构造一个对称方程组，解方程组即得f(x)的解析式。例10：已知f(ax~l)=x2+2,求/(x).解：设，=a0,则x-l=logat即x=log“f+l代入已知等式中，得：/(f)=(log,r+1)2+2=log；t+21ogut+3/V)=logix+21og“x+3六、特殊值法：(赋值类求抽象函数)例11:设/(X)是定义在N上的函数，满足/(I)=1,对于任意正整数X,)，，均有fM+f(y)=f(x+y)-xy^,求f(x).解：由/(I)=1,/(x)+/(y)=f(x+y)-xy设y=l得：/(x)+1=/(x+1)-a-即：/(x+l)-/(x)=x+l在上式中，x分别用1,2,3,•…J-1代替，然后各式相加可得：/(0=|e+2)(r-l)+l=|r2+|r/(X)=yX2(XGN*)利用给定的特性求解析式.题6.设/(x)是偶函数，当x>0时，f(x)=ex2+ex,求当x<0时，/(x)的表达式.练习6.对xER,/(X)满足f(x)=-f(.V+1)，且当x£[-1,0]时，/(X)=X2+2x求当xG[9,10]时f(X)的表达式.八、累加法：(核心思想与求数列的通项公式相似)例12：若/(l)=lg-,且当xZ2时，满足/(x—l)=/(x)—lgbT,(。N*),a求/W•ft?:f(x)=f(x-1)+igax~l(oaO,xcN')递推得：f(x-i)=/(x-2)4-lgf/v~2/(x-2)=/(x-3)4-1gaf(3)=f(2)+lg//(2)=/(l)+lg^以上u-l)个等式两边分别相加，得：/W=/(I)+1g。+Ig亍+…+1gax~2+lg=f(l)+lg"+*«5Ll)10T).K(.L1,_]=lg—+IgQ2=lgQ2arX(X-l)=[2T]lg"九、归纳法：例13:已知f(x+l)=2+-f(x),(工£'*)且/(1)=〃，求/0)

解:v/(l)=a,/(2)=2+—/(1)=2+-a=4-2+—a22>2>/(3)=2+|/⑵=2+：(2+扑=4一2。+¥/(4)=2+?/⑶=2+；(3+S)=4—2T+*o/(5)=2+；/(4)=2+；(3；+>)=4一2-2+&22zoz,依此类推，得"U'+q乙再用数学归纳法证明之。例14：设/（*弓.记E）"仇"）］｝‘求九点）•十、微积分法：（当你学了导数和微积分之后.就会用到，不过平时的考题还是比较少出现的，多见识下各种题型对你有帮助的。）例14：设/'(sill2x)=cos2x9f(l)=2,求/(x)解：x)=cos2x=1-sin2x二fr(x)=1-x(|x|<1)/W=ff'(x)d=f(l-X)dx=x--x~+c3(1)=2.•.l—?+c=2f(x+T)=-f(x)i3,,^x)=x~2x2+2qwi)/("/)=或f(x+r)=if(x+T)=-f(x)/("/)=或f(x+r)