2022-2023学年人教版初中数学专题《反比例函数与实际问题》含答案解析

专题反比例函数优选提升题三：实际问题与反比例函数一、单选题1．（2022·甘肃·甘州中学九年级期末）如图，△ABC是边长为4cm的等边三角形，动点P从点A出发，以2cm/s的速度沿A→C→B运动，到达B点即停止运动，过点P作PD⊥AB于点D，设运动时间为x（s），△ADP的面积为y（cm2），则能够反映y与x之间函数关系的图象大致是（）A． B． C． D．【答案】B【详解】过点P作PD⊥AB于点D，△ABC是边长为4cm的等边三角形，则AP=2x，当点P从A→C的过程中，AD=x，PD=x，如图1所示，则y=AD•PD==，（0≤x≤2），当点P从C→B的过程中，BD=（8﹣2x）×=4﹣x，PD=（4﹣x），PC=2x﹣4，如图2所示，则△ABC边上的高是：AC•sin60°=4×=2，∴y=S△ABC﹣S△ACP﹣S△BDP=（2＜x≤4），故选B．点睛：此题空考查了动点问题函数图象.几何图形中的动点问题,是代数的方程知识与几何知识的综合运用.解题的关键是要求有运动的观点,搞清点的运动特性,对动态问题作静态分析,解答时要注意以下几点:(1)将与求解有关的线段用含未知数的代数式表示出来;(2)明确几何题与代数题不是截然分开的,解题时要有数形结合的思想;(3)考虑到方程的解应符合实际意义,所以在求出方程的解后,要结合条件进行合理的取舍.对于动点类的题目,解题的关键在于抓住运动图形的特殊位置,临界位置及其特殊性质,解决此类问题的基本方法是从运动与变化的角度来观察和研究图形,把握图形运动与变化的全过程,此类题目常需借助函数或方程解答.二、解答题2．（2022·河北·保定市清苑区北王力中学九年级期末）1896年，挪威生理学家古德贝发现，每个人有一条腿迈出的步子比另一条腿迈出的步子长的特点，这就导致每个人在蒙上眼睛行走时，虽然主观上沿某一方向直线前进，但实际上走出的是一个大圆圈！这就是有趣的“瞎转圈”现象．经研究，某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径y/米是其两腿迈出的步长之差x/厘米()的反比例函数，其图象如下图所示所示．请根据图象中的信息解决下列问题：(1)求y与x之间的函数表达式；(2)当某人两腿迈出的步长之差为0.5厘米时，他蒙上眼睛走出的大圆圈的半径为多少米？(3)若某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径不小于35米，则其两腿迈出的步长之差最多是多少厘米？【答案】(1)y=；(2)半径为28米；(3)最多是0.4厘米．【分析】（1）设y与x之间的函数表达式为，解方程即可得到结论；（2）把x=0.5代入反比例函数的解析式即可得到结论；（3）根据题意列不等式即可得到结论．（1）设y与x之间的函数表达式为，∴7=，∴k=14，∴y与x之间的函数表达式为y=；（2）当x=0.5时，y==28米，∴当某人两腿迈出的步长之差为0.5厘米时，他蒙上眼睛走出的大圆圈的半径为28米；（3）当y≥35时，即≥35，∴x≤0.4，∴某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径不小于35米，则其两腿迈出的步长之差最多是0.4厘米．【点睛】本题考查了反比例函数的应用，正确的理解题意是解题的关键．3．（2022·安徽六安·九年级期末）东东在网上销售一种成本为30元/件的T恤衫．销售过程中的其他各种费用（不再含T恤衫成本）总计50（百元）．若销售价格为x（元/件）．销售量为y（百件）．当时，y与x之间满足一次函数关系．且当时，，有关销售量y（百件）与销售价格x（元/件）的相关信息如下：销售量y（百件）_____________销售价格x（元/件）(1)求当时．y与x的函数关系式：(2)①求销售这种T恤衫的纯利润w（百元）与销售价格x（元/件）的函数关系式；②销售价格定为每件多少元时．获得的利润最大?最大利润是多少?【答案】(1)(2)①当时，；当时，；②销售价格定为80元/件时，获得的利润最大，最大利润是100百元【分析】（1）把把代入得，设y与x的函数关系式为：y=kx+b，把x=40，y=6；x=60，y=4，代入解方程组即可得到结论；（2）①根据x的范围分类讨论，由“总利润=单件利润×销售量”可得函数解析式；②结合①中两个函数解析式，分别依据二次函数的性质和反比例函数的性质求其最值即可．(1)解：把代入得．设y与x的函数关系式为：，∵当时，，当时，，∴，解得：，∴y与x的函数关系式为：．(2)①当时，；当时，；②当时，，∵随x的增大而增大．∴当（百元）．当时，∵，∴w随x的增大而增大，当时，（百元）．答：销售价格定为80元/件时，获得的利润最大，最大利润是100百元．【点睛】本题主要考查二次函数和反比例函数的应用，理解题意依据相等关系列出函数解析式，并熟练掌握二次函数和反比例函数的性质是解题的关键．4．（2022·广东阳江·九年级期末）某科技有限公司成功研制出一种市场急需的电子产品，已于当年投入生产并进行销售，已知生产这种电子产品的成本为4元/件，在销售过程中发现：每年的年销售量y（万件）与销售价格x（元/件）的关系如图，其中AB段为反比例函数图像的一部分，设公司销售这种电子产品的年利润为w（万元）．(1)请求出y（万件）与x（元/件）之间的函数关系式；①求出当4≤x≤8时的函数关系式；②求出当8＜x≤28时的函数关系式．(2)求出这种电子产品的年利润w（万元）与x（元/件）之间的函数关系式；(3)求出年利润的最大值．【答案】(1)①y＝；②y＝－x+28(2)w=(3)年利润最大为114元【分析】（1）①当4≤x≤8时，设（k≠0）.将点A（4，40）的坐标代入计算即可；②当8＜x≤28时，设y=k′x+b（k′≠0）.分别将点B（8，20），C（28，0）的坐标代入y＝k′x+b，计算即可；（2）分4≤x≤8、8＜x≤28两种情况，利润w（万元）与x（元/件）之间的函数关系式；（3）分4≤x≤8、8＜x≤28两种情况，分别求出w的最大值，进而求解；(1)①当4≤x≤8时，设（k≠0）.将点A（4，40）的坐标代入，得k＝4×40＝160，∴y＝②当8＜x≤28时，设y=k′x+b（k′≠0）.分别将点B（8，20），C（28，0）的坐标代入y＝k′x+b，得解得∴y＝－x+28(2)当4≤x≤8时，w＝当8＜x≤28时，w=(x－4)y＝(x－4)(－x+28)＝－x2+32x－112＝－(x－16)2+114综上可知，w（万元）与x（元/件）之间的函数关系式为(3)当4≤x≤8时，∵－640＜0，∴w随x增大而增大，∴当x＝8时，w有最大值，为当8＜x≤28时，∵－1＜0∴当x＝16时，w有最大值，为114∵80＜114∴当每件的销售价格定为16元时，年利润最大为114元【点睛】本题主要考查了反比例函数与二次函数的综合应用，在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题，解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义；解题时注意，依据函数图象可得函数关系式为分段函数，解决问题时需要运用分类思想以及数形结合思想进行求解．5．（2022·山东淄博·九年级期末）为了预防新冠肺炎，某学校对教室采用药薰消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y（mg）与时间x（min）成正比例，药物燃烧后，y（mg）与x（min）成反比例，如图所示，现测得药物8min燃毕，此时室内空气每立方米的含药量为6mg，请你根据题中提供的信息，解答下列问题：（1）分别求出药物燃烧时和药物燃烧后y关于x的函数关系式；（2）研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3mg且持续时间不低于10min时，才能杀灭空气中的毒，那么这次消毒是否有效？为什么？【答案】（1）燃烧时，y=（0≤x≤8）；燃烧后，y=（x＞8）；（2）消毒有效，见解析．【分析】（1）当0≤x≤8时，设正比例函数的解析式，代入点（8，6）计算；当x＞8时，设反比例函数的解析式，代入点（8，6）计算；（2）当两个函数解析式的函数值为3时，求得对应时间，计算两个时间的时间差，比较即可．【详解】（1）当0≤x≤8时，设正比例函数的解析式为y=kx，把点（8，6）代入解析式，得8k=6，解得k=，∴y关于x的函数关系式为y=（0≤x≤8）；当x＞8时，设反比例函数的解析式为y=，把点（8，6）代入解析式，得m=6×8=48，∴y关于x的函数关系式为y=（x＞8）；（2）当y=3时，=3，解得=4；当y=3时，=3，解得=16；∴持续时间为-=16-4=12＞10，∴本次消毒有效．【点睛】本题考查了一次函数，反比例函数的解析式的确定和生活中的实际意义，熟练掌握待定系数法确定解析式，灵活求自变量值是解题的关键．6．（2020·安徽合肥·九年级期末）小明同学利用寒假30天时间贩卖草莓，了解到某品种草莓成本为10元/千克，在第天的销售量与销售单价如下（每天内单价和销售量保持一致）：销售量

（千克）

销售单价

（元/千克）

当

时，当

时，设第天的利润元．（1）请计算第几天该品种草莓的销售单价为25元/千克？（2）这30天中，该同学第几天获得的利润最大？最大利润是多少？注：利润＝（售价－成本）×销售量【答案】（1）第10、20天该品种草莓的销售单价为25元/千克；（2）第10天或16天时获得的利润最大，最大利润为450元【分析】（1）分两种情形分别代入解方程即可；（2）分两种情形写出所获利润y（元）关于x（天）的函数关系式，然后根据函数的性质解答即可.【详解】（1）当时，把n=25代入得，，解得；当时，把代入得，，解得x=20；答：第10、20天该品种草莓的销售单价为25元/千克（2）当时，=；∵，当x=10时，w有最大值为450，当时，w=，∵，当时，w随x的增大而减小，∴当时，w有最大值为450．∴第10天或16天时获得的利润最大，最大利润为450元。【点睛】本题考查二次函数的应用、反比例函数的性质等知识，解题的关键是利用二次函数的性质解决问题.7．（2020·河北邢台·九年级期末）超越公司将某品牌农副产品运往新时代市场进行销售，记汽车行驶时为t小时，平均速度为v千米/小时（汽车行驶速度不超过100千米/小时）．根据经验，v，t的一组对应值如下表：v（千米/小时）7580859095t（小时）4.003.753.533.333.16（1）根据表中的数据，求出平均速度v（千米/小时）关于行驶时间t（小时）的函数表达式；（2）汽车上午7：30从超越公司出发，能否在上午10：00之前到达新时代市场？请说明理由．【答案】（1），（2）不能在上午10：00之前到达新时代市场，见