数学建模知识综合课件

注意对学生综合素质的培养（冰冻三尺，非一日之寒，功夫在平时）

（观察与发现能力），如：（例1）数字的黑洞现象任取一个能被3整除的数，如213按如下运算：

猜测自然也有可能猜错，例如欧拉方，费马数（3，5，17，257,65537）等被猜错-猜测须证明（例2）

某人平时下班总是按预定时间到达某处，然然后他妻子开车接他回家。有一天，他比平时提早了三十分钟到达该处，于是此人就沿着妻子来接他的方向步行回去并在途中遇到了妻子，这一天，他比平时提前了十分钟到家，问此人共步行了多长时间？发散性思维能力的培养

似乎条件不够哦。。

换一种想法，问题就迎刃而解了。假如他的妻子遇到他后仍载着他开往会合地点，那么这一天他就不会提前回家了。提前的十分钟时间从何而来？

显然是由于节省了从相遇点到会合点，又从会合点返回相遇点这一段路的缘故，故由相遇点到会合点需开5分钟。而此人提前了三十分钟到达会合点，故相遇时他已步行了二十五分钟。

请思考一下，本题解答中隐含了哪些假设？例3

交通灯在绿灯转换成红灯时，有一个过渡状态——亮一段时间的黄灯。请分析黄灯应当亮多久。设想一下黄灯的作用是什么，不难看出，黄灯起的是警告的作用，意思是马上要转红灯了，假如你能停住，请立即停车。停车是需要时间的，在这段时间内，车辆仍将向前行驶一段距离L。这就是说，在离街口距离为L处存在着一条停车线（尽管它没被画在地上），见图1-4。对于那些黄灯亮时已过线的车辆，则应当保证它们仍能穿过马路。

马路的宽度D是容易测得的，问题的关键在于L的确定。为确定L，还应当将L划分为两段：L1和L2，其中L1是司机在发现黄灯亮及判断应当刹车的反应时间内驶过的路程，L2为刹车制动后车辆驶过的路程。L1较容易计算，交通部门对司机的平均反应时间t1早有测算，反应时间过长将考不出驾照），而此街道的行驶速度v也是交管部门早已定好的，目的是使交通流量最大，可另建模型研究，从而L1=v*t1。刹车距离L2既可用曲线拟合方法得出，也可利用牛顿第二定律计算出来（留作习题）。黄灯究竟应当亮多久现在已经变得清楚多了。第一步，先计算出L应多大才能使看见黄灯的司机停得住车。第二步，黄灯亮的时间应当让已过线的车顺利穿过马路，即T至少应当达到（L+D）/v。

DL学科知识的应用有时是意想不到的。（例5）循环图的连通性与gcd(a,n)=1之间的关系）。举例gcd(2,7)=1，gcd(2,6)=2———希尔密码设计古典密码不能改变字母出现的频率利用矩阵与向量相乘运算困难：逆矩阵不能用于解密想办法克服困难。

（实例）取A=则(具体求法见后),用A加密THANKYOU,再用对密文解密

用矩阵A左乘各向量加密（关于26取余）得

得到密文JXCPIWEK解:(希尔密码加密)用相应数字代替字符，划分为两个元素一组并表示为向量：（希尔密码解密）用A-1左乘求得的向量，即可还原为原来的向量。(自行验证)希尔密码是以矩阵法为基础的，明文与密文的对应由n阶矩阵A确定。矩阵A的阶数是事先约定的，与明文分组时每组字母的字母数量相同，如果明文所含字数与n不匹配，则最后几个分量可任意补足。

A-1的求法方法1

利用公式，例如，若取，则,,(mod26)，即方法2

利用高斯消去法。将矩阵(A,E)中的矩阵A消为E，则原先的E即被消成了A-1，

（例1）敏感问题的调查

因为需要，人们有时候会去调查一些敏感问题。例如，学校领导可能想通过调查了解在校学生中究竟有多少人在考试中作弊过，或者究竟有多少学生在谈恋爱，…。卫生部门为了控制和预防艾滋病，希望了解本地区大约有多少人是同性恋者、有多少人在吸毒，等等。直截了当去问别人非但了解不到真实情况，还很可能会引起别人的反感，你能想出办法来解决这一困难吗？（分析：不能只提一个问题）分析问题的能力例如调查者提出以下两个问题：问题1）你曾经在考试中作弊过吗？问题2）你从不在考试中作弊吗？

调查者又如何计算出作过弊的人所占的比例呢？这里需要用到概率论中的条件概率公式。用一个竹筒，里面装n根竹签，其中有p根标有1，q根标有2（p+q=n）。被调查者抽到1的概率为p/p+q，抽到2的概率为q/p+q。假设回答“是”的人占被调查者总数的百分比为a。例2

我方巡逻艇发现敌方潜水艇。与此同时敌方潜水艇也发现了我方巡逻艇，并迅速下潜逃逸。设两艇间距离为60哩，潜水艇最大航速为30节而巡逻艇最大航速为60节，问巡逻艇应如何追赶潜水艇。显然，这是一个对策问题，较为复杂。仅讨论以下简单情形：

敌潜艇发现自己目标已暴露后，立即下潜，并沿着直线方向全速逃逸，逃逸方向我方不知。（追赶方案的设计）设巡逻艇在A处发现位于B处的潜水艇，取极坐标，以B为极点，BA为极轴，设巡逻艇追赶路径在此极坐标下的方程为r=r(θ)，见图3-2。BAA1drdsdθθ图3-2由题意，，故ds=2dr图3-2可看出，观察——猜测——证明，科学研究的重要途径之一（例1）设有一个半径为r的圆形湖，圆心为O。A、B

位于湖的两侧，AB连线过O，见图。现拟从A点步行到B点，在不得进入湖中的限制下，问怎样的路径最近。

ABOrEFE′F′逻辑推理与证明能力猜测证明如下：（方法一）显然，由AE、EF、FB及AE′，E′F′，F′B围成的区域R是一凸集。利用分离定理易证最短径不可能经过R外的点，若不然，设Γ为最短路径，Γ过R外的一点M，则必存在直线l分离M与R，由于路径Γ是连续曲线，由A沿Γ到M，必交l于M1，由M沿Γ到B又必交l于M2。这样，直线段M1M2的长度必小于路径M1MM2的长度，与Γ是A到B的最短路径矛盾，至此，我们已证明最短路径必在凸集R内。不妨设路径经湖的上方到达B点，则弧EF必在路径F上，又直线段AE是由A至E的最短路径，直线FB是由F到B的最短路径，猜测得证。ABOrEFE′F′M1M2MΓl例2

在每一次人数不少于6人的聚会中必可找出这样的3人，他们或者彼此均认识或者彼此均不认识。

利用图的方法来描述该问题。将人看成顶点，两人彼此都认识用实线连，否则虚线。证明：

相识问题（拉姆齐问题）

问题转化为在一个6阶图中必存在实线三角形或虚线三角形。请大家一起画图证明υ2

υ1

υ3

υ4

υ6

υ5

υ1

υ2

υ3υ4

任取一顶点，不妨υ1考察υ2υ3、υ2υ4和υ3υ4υ2υ3、υ2υ4和υ3υ4只能是虚线，否则得证但这样三角形υ2υ3υ4的三边均为虚线不妨取υ1υ2、

υ1υ3、

υ1υ4

实线与υ1相连的边必然有：实线条数不小于3或虚线条数不小于3拉姆齐问题也可这样叙述：6阶2色完全图中必含有3阶单色完全图。其他类似可推出的结果：命题1

任一6阶2色完全图中至少含有两个3阶单色完全图。

证明：前面证明必存在3阶单色完全图，不妨设υ1υ2υ3

为红色完全图υ1υ5、υ2υ5、υ3υ5中至少有两条黑色、故υ1υ5与υ2υ5中至少有一条是黑色若υ4υ5υ6也是红色三角形，命题已得证

故至少一边与υ1υ2υ3的边异色，不妨设υ4υ5黑色υ1υ4、υ2υ4、υ3υ4至少应有两条黑色，不妨设υ1υ4、υ2υ4

黑色所以存在第二个3阶单色完全图。命题27阶双色完全图中至少含有4个3阶单色完全图υ2

υ1

υ3

υ4

υ6

υ5

经过许多人的努力，现已发现：

人们找到的拉姆塞数总共只有这10个，寻找已经是常人无法想象地困难。由于计算量太大的原因，要找到第十一个，例如已经非常困难，即使利用计算机来计算，也要花上几年甚至更长的时间。实例17位学者中每人都和其他人通信讨论3个方向的课题。任意两人间只讨论其中一个方向的课题，则其中必可找出3位学者，他们之间讨论的是同一方向的课题。即r(3,3,3)=17

（例4）

拟将一批尺寸为1×2×4的的商品装入尺寸为6×6×6的正方体包装箱中，问是否存在一种装法，使装入的该商品正好充满包装箱。解

将正方体剖分成27个2×2×2的小正方体，并按下图所示黑白相间地染色。再将每一2×2×2的小正方体剖分成1×1×1的小正方体。易见，27个2×2×2的正方体中，有14个是黑的，13个是白的（或13黑14白），故经两次剖分，共计有112个1×1×1的黑色小正方体和104个1×1×1的白色小正方体。虽然包装箱的体积恰好是商品体积的27倍，但容易看到，不论将商品放置在何处，它都将占据4个黑色和4个白色的1×1×1小正方体的位置，故商品不可能充满包装箱。圆周率是人类获得的最古老的数学概念之一，早在大约3700年前（即公元前1700年左右）的古埃及人就已经在用256/81（约3.1605）作为π的近似值了。几千年来，人们一直没有停止过求π的努力。（从阿基米德到祖冲之，最后到39位，1630）（计算能力）

π的计算在中学数学中证明过下面的等式左边三个正方形组成的矩形中，由和可得

和的展开式的收敛速度都比快得多ACBD麦琴(Machin)给出(Machin公式)记，，得此式求得了π的第100位小数且全部正确

还有许多其它公式，例如

π/4=4arctan1/5-arctan1/70+arctan1/99π/4=2arctan1/3+arctan1/7π/4=arctan1/2+arctan1/5+arctan1/8π/4=22arctan1/28+2arctan1/443-5arctan1/1393-10arctan1/11018（三种基本的双种群模型说明）从P-P模型到大鱼吃小鱼、小鱼吃虾米简化模型，设竞争系统的方程为：其中αβ不为0，否则为Logistic模型。一般可取α，β，但所用方法可适用于一般情况。

（竞争排斥原理）若K1>K2，则对任一初状态（x1(0),x2(0)），当t→+∞时，总有（x1(t),x2(t)）→（K1,0），即物种2将绝灭，而物种1则趋于环境允许承担的最大总量。定理4作直线l1:x1+x2=K1及l2:x1+x2=K2，K1>K2，见图3-26。dx1/dt<0dx2/dt<0图3-26IIIIIIk1k2dx1/dt>0dx2/dt>0dx1/dt>0dx2/dt<0有以下几个引理:引理1

若初始点位于区域I中，则解

（x1(t)、x2(t)）从某一时刻起必开此区域而进入区域II

引理2

若初始点（x1(0)、x2(0)）位于区域II中，则（x1(t)，x2(t)）始终位于II中，且：引理3

若初始点位于区域III中,且对于任意t

，（x1(t)，x2(t)）仍位于

III中，则当t→+∞时，（x1(t)，

x2(t)）必以（K1,0）为极限点。

由引理1和引理2，初始点位于像限I和II的解必趋于平衡点（K1,0）。由引理3，初始点位于III且（x1(t)，x2(t)）始终位于III中的解最终必趋于平衡点（K1,0），而在某时刻进入区域II的解由引理最终也必趋于（K1,0）。易见只有上述三种可能，而在三种可能情况下（x1(t)，x2(t)）均以（K1,0）为极限，定理得证。定理4的证明：（一个建模实例）（信息的度量及应用）现代社会离不开信息，一条消息究竟包含了多少信息，怎样计算信息量的大小呢？就像不解决温度的度量就不可能建立起热力学一样，不解决信息量的度量问题就不可能建立起信息论科学。获取有用的信息应当有助于我们对某一问题的了解，这就是说，获取信息是为了消除不确定性，对于我们已经了解的事情，没有必要再去获取什么信息。基于这一想法，美国贝尔实验室的香农采用了多少有点像欧几里得创建平面几何那样的方法，利用逻辑推理方法解决了信息的度量问题。首先，他在严密分析的基础上提出了几条不加证明而采用的公理，进而，他在这些公理的基础上运用数学知识推导出了计算信息量大小的公式。他的具体做法如下：（几条公理）（1）信息量是该事件发生概率的连续函数（2）如果事件A发生必有事件B发生，则得知事件A发生的信息量大于或等于得知事件B发生的信息量。（3）如果事件A和事件B的发生是相互独立的，则获知A、B事件将同时发生的信息量应为单独获知两事件发生的信息量之和。（4）任何信息的信息量均是有限的定理

满足公理1—公理4的信息量计算公式为I(M)=－Clogap，其中C是任意正常数，对数之底a可取任意为不为1的正实数。证明:由公理1I(M)=f(p)，函数f连续。由公理2若A发生必有B发生，则pA≤pB，有f(pA)≥f(PB)，故函数f是单调不增的。由公理3若A、B是两个独立事件，则A、B同时发生的概率为pApB，有f(PAPB)=f(pA)+f(pB)。先作变量替换令p=a-q，即q=－logaP记

，又有：，g亦为连续函数。

g(x+y)=g(x)+g(y)的连续函数有怎样的性质

首先，由g(0)=g(0+0)=2g(0)得出g(0)=0或g(0)=∞。但由公理4，后式不能成立，故必有g(0)=0。

记g(1)=C，容易求得g(2)=2C,g(3)=3C,…,一般地，有g(n)=nC。进而

，可得。于是对一切正有理数m/n，g(m/n)=(m/n)C。由连续性可知：对一切非负实数x，有g(x)=Cx

当x取负实数时，由g(x)+g(－x)=g(0)=0，可得出g(x)=―g(―x)=cx也成立，从而对一切实数x，g(x)=Cx,

故g(q)=Cq。现作逆变换q=－logap，

得I(M)=f(P)=－ClogaP

（11.3）

证毕。

平均信息量（数学期望-熵）问题

设某一实验可能有N种结果，它们出现的概率分别为p1,…,pN,则事先告诉你将出现第i种结果的信息，其信息量为－log2pi，而该实验的不确定性则可用这组信息的平均信息量（或熵）来表示例如投掷一枚骼子的结果有六种，即出现1—6点、出现每种情况的概率均为1/6，故熵H=log26≈2.585（比特）。

投掷一枚硬币的结果为正、反面两种，出现的概率均为1/2，故熵H=log22=1（比特）。向石块上猛摔一只鸡蛋，其结果必然是将鸡蛋摔破，出现的概率为1，故熵H=log21=0从例子可以看出，熵实质上反映的是问题的“模糊度”，熵为零时问题是完全清楚的，熵越大则问题的模糊程度也越大定理

若实验仅有有限结果S1,…,Sn，其发生的概率分别为P1,…,Pn，则当时，此实验具有最大熵。建立信息度量公式有什么用处呢？下面我们来举一个简单的例子加以说明。为了研究某一现象，我们有时候需要做一些实验，做实验是为了获取信息。实验可以有不同的设计方法，设计的方法不同，每次试验能提供的信息量也会不同，为了少做实验节省经费和时间，我们总希望