北师大版数学选修44第二章教师用书

北师大版数学选修44第二章教师用书北师大版数学选修44第二章教师用书北师大版数学选修44第二章教师用书【综合评价】参数方程是以参变量为中介来表示曲线上的点的坐标的方程，是曲线在同一坐标系下的又一种表示形式．某些曲线上点的坐标，用普通方程描述它们之间的关系比较困难，甚至不可能，列出的方程既复杂又不易理解，而用参数方程来描述曲线上点的坐标的间接关系比较方便，学习参数方程有助于学生进一步体会数学方法的灵活多变,提高应用意识和实践能力．【学习目标】1.通过分析抛物运动中时间与运动物体位置的关系,写出抛物运动轨迹的参数方程，体会参数的意义.并掌握参数方程的概念。2.分析直线、圆和圆锥曲线的几何性质，选择适当的参数写出它们的参数方程.3。举例说明某些曲线用参数方程表示比用普通方程表示更方便，更能感受参数方程的优越性。4。借助教具或计算机软件，观察圆在直线上滚动时圆上定点的轨迹(平摆线)、直线在圆上滚动时直线上定点的轨迹(渐开线)，了解平摆线和渐开线的生成过程，并能推导出它们的参数方程.5.通过阅读材料，了解其他摆线(变幅平摆线、变幅渐开线、外摆线、内摆线、环摆线)的生成过程；了解摆线在实际中应用的实例(例如，最速降线是平摆线，椭圆是特殊的内摆线-—卡丹转盘，圆摆线齿轮与渐开线齿轮，收割机、翻土机等机械装置的摆线原理与设计,星形线与公共汽车门）;了解摆线在刻画行星运动轨道中的作用。【学习计划】内容学习重点建议学习时间参数方程的概念参数方程的概念1课时直线和圆锥曲线的参数方程直线的参数，圆的参数方程，椭圆的参数方程，双曲线的参数方程5课时参数方程化成普通方程参数方程和普通方程的互化2课时平摆线和渐开线平摆线、渐开线2课时§1参数方程的概念1。参数方程的概念(1）一般地，在取定的坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标（x，y)都是某个变数t的函数eq\b\lc\｛(\a\vs4\al\co1（x＝f(t),，y＝g（t)，)）①并且对于t取的每一个允许值，由方程组①所确定的点P(x，y)都在这条曲线上，那么方程组①就叫作这条曲线的参数方程，联系x，y之间关系的变数t叫作参变数，简称参数。相对于参数方程，我们把直接用坐标（x，y）表示的曲线方程f（x,y)＝0叫作曲线的普通方程.（2）在参数方程中，应明确参数t的取值范围.对于参数方程x＝f(t),y＝g（t)来说，如果t的取值范围不同，它们表示的曲线可能是不相同的。如果不明确写出其取值范围，那么参数的取值范围就理解为x＝f(t）和y＝g（t）这两个函数的自然定义域的交集。2。参数方程和普通方程的互化（1）曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式。(2）在参数方程与普通方程的互化中,必须使x，y的取值范围保持一致。【思维导图】【知能要点】1。参数方程的概念.2。求曲线的参数方程.3。参数方程和普通方程的互化。题型一参数方程及其求法1.曲线的普通方程直接地反映了一条曲线上的点的横、纵坐标之间的联系,而参数方程是通过参数反映坐标变量x、y间的间接联系。在具体问题中的参数可能有相应的几何意义,也可能没有什么明显的几何意义。曲线的参数方程常常是方程组的形式，任意给定一个参数的允许取值就可得到曲线上的一个对应点，反过来对于曲线上任一点也必然对应着其中的参数的相应的允许取值。2。求曲线参数方程的主要步骤：第一步，画出轨迹草图，设M（x,y)是轨迹上任意一点的坐标。画图时要注意根据几何条件选择点的位置，以利于发现变量之间的关系。第二步，选择适当的参数.参数的选择要考虑以下两点:一是曲线上每一点的坐标x,y与参数的关系比较明显,容易列出方程；二是x，y的值可以由参数惟一确定.第三步，根据已知条件、图形的几何性质、问题的物理意义等，建立点的坐标与参数的函数关系式，证明可以省略。【例1】设质点沿以原点为圆心，半径为2的圆作匀角速度运动，角速度为eq\f(π,60)rad/s.试以时间t为参数,建立质点运动轨迹的参数方程.解如图所示，运动开始时质点位于点A处，此时t＝0，设动点M（x，y）对应时刻t，由图可知eq\b\lc\｛（\a\vs4\al\co1(x＝2cosθ，，y＝2sinθ，））又θ＝eq\f(π,60)t（t的单位：S），故参数方程为eq\b\lc\｛(\a\vs4\al\co1（x＝2cos\f(π，60）t，，y＝2sin\f（π，60)t。）)【反思感悟】以时间t为参数，在图形中分别寻求动点M的坐标和t的关系。1。已知定直线l和线外一定点O，Q为直线l上一动点，△OQP为正三角形(按逆时针方向转，如图所示），求点P的轨迹方程.解以O点为原点，过点O且与l垂直的直线为x轴，过点O与l平行的直线为y轴建立直角坐标系.设点O到直线l的距离为d（为定值，且d〉0)，取∠xOQ＝θ为参数，θ∈eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（－\f（π,2)，\f(π,2）)），设动点P（x，y）。在Rt△OQN中，∵｜OQ｜＝eq\f（d，cosθ)，｜OP|＝|OQ|,∠xOP＝θ＋eq\f（π,3）,∴x＝｜OP｜coseq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（π,3）＋θ))＝eq\f(d，cosθ）·coseq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(π,3)＋θ））＝eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(1,2）－\f(\r(3)，2）tanθ）)·d，y＝|OP|·sineq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(π,3）＋θ)）＝eq\f(d,cosθ）·sineq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（π,3）＋θ))＝eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（\r（3)，2)＋\f(1，2)tanθ)）·d.∴点P的参数方程为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(1，2）－\f（\r（3)，2）tanθ））d,,y＝\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（\r（3），2)＋\f（1，2）tanθ）)d)）eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（－\f(π，2）<θ<\f(π,2））).题型二参数方程和普通方程的互化参数方程化为普通方程,消去参数方程中的参数即可，通过曲线的普通方程来判断曲线的类型。由普通方程化为参数方程要选定恰当的参数，寻求曲线上任一点M的坐标x，y和参数的关系，根据实际问题的要求，我们可以选择时间、角度、线段长度、直线的斜率、截距等作为参数.【例2】已知某条曲线C的参数方程为eq\b\lc\｛(\a\vs4\al\co1（x＝1＋2t,y＝at2)）(其中t是参数，a∈R），点M（5，4)在该曲线上.（1）求常数a;（2）求曲线C的普通方程.分析本题主要应根据曲线与方程之间的关系，可知点M(5,4)在该曲线上，则点M的坐标应适合曲线C的方程，从而可求得其中的待定系数，进而消去参数得到其普通方程.解（1)由题意可知有eq\b\lc\｛（\a\vs4\al\co1(1＋2t＝5，，at2＝4，））故eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1（t＝2，，a＝1.)）∴a＝1。（2）由已知及(1）可得，曲线C的方程为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1＋2t，,y＝t2.））由第一个方程得t＝eq\f(x－1,2)代入第二个方程，得y＝eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（x－1,2)））eq\s\up12(2)，即(x－1)2＝4y为所求.【反思感悟】参数方程化为普通方程时，求参数的表达式应从简单的有唯一结论的式子入手,易于代入消参.2。把下列参数方程化为普通方程。eq\b\lc\{（\a\vs4\al\co1(x＝3＋cosθ,，y＝2－sinθ,）)解由已知得eq\b\lc\｛(\a\vs4\al\co1(cosθ＝x－3,,sinθ＝2－y。））由三角恒等式sin2θ＋cos2θ＝1，可知（x－3）2＋(y－2)2＝1这就是所求的普通方程。【例3】选取适当的参数，把普通方程eq\f（x2，16)＋eq\f(y2，9)＝1化为参数方程.解设x＝4cosφ,代入椭圆方程，得eq\f(16cos2φ，16）＋eq\f（y2，9）＝1.∴y2＝9（1－cos2φ）＝9sin2φ，即y＝±3sinφ.由参数φ的任意性可知y＝3sinφ.故所求参数方程为eq\b\lc\{（\a\vs4\al\co1（x＝4cosφ,，y＝3sinφ）)（φ为参数）。【反思感悟】选取的参数不同，所得曲线的参数方程不同，注意普通方程和参数方程的等价性。3。选取适当参数，把直线方程y＝2x＋3化为参数方程.解选t＝x，则y＝2t＋3，由此得直线的参数方程eq\b\lc\｛(\a\vs4\al\co1(x＝t，，y＝2t＋3))（t∈R）.也可选t＝x＋1,则y＝2t＋1，参数方程为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1（x＝t－1,,y＝2t＋1.)）1.已知曲线C的参数方程是：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1（x＝3t，,y＝2t2＋1))（t为参数）。（1）判断点M1(0，1)，M2（5，4）与曲线C的位置关系；(2)已知点M3(6，a）在曲线C上，求a的值.解（1)把点M1的坐标（0，1）代入方程组，得：eq\b\lc\｛（\a\vs4\al\co1（0＝3t，,1＝2t2＋1)）解得:t＝0.∴点M1在曲线C上.同理，可知点M2不在曲线C上.（2)∵点M3（6，a）在曲线C上，∴eq\b\lc\{（\a\vs4\al\co1（6＝3t,，a＝2t2＋1，））解得：t＝2，a＝9.∴a＝9.2。将下列曲线的参数方程化为普通方程，并指明曲线的类型。（1)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1（x＝acosθ，，y＝bsinθ))(θ为参数，a、b为常数，且a>b〉0)；（2）eq\b\lc\{（\a\vs4\al\co1（x＝\f(a，cosφ)，,y＝btanφ））（φ为参数，a、b为正常数）；(3）eq\b\lc\｛(\a\vs4\al\co1(x＝2pt2，,y＝2pt）)（t为参数，p为正常数）。解（1)由cos2θ＋sin2θ＝1，得eq\f（x2，a2）＋eq\f(y2，b2）＝1（a>b>0），它表示的曲线是椭圆.（2）由已知eq\f（1,cosφ）＝eq\f（x，a)，tanφ＝eq\f(y，b），由eq\f(1，cos2φ)＝1＋tan2φ，有eq\f(x2，a2）－eq\f(y2，b2)＝1，它表示的曲线是双曲线。(3)由已知t＝eq\f（y，2p），代入x＝2pt2得eq\f(y2，4p2）·2p＝x,即y2＝2px它表示的曲线是抛物线。3.两曲线的参数方程为eq\b\lc\｛（\a\vs4\al\co1（x＝3cosθ，，y＝4sinθ))(θ为参数）和eq\b\lc\{（\a\vs4\al\co1(x＝－3t2，,y＝－4t2)）(t为参数）,求它们的交点坐标。解将两曲线的参数方程化为普通方程,得eq\f（x2,9)＋eq\f（y2，16）＝1，y＝eq\f(4,3)x（x≤0).联立解得它们的交点坐标为eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（－\f（3\r(2)，2），－2\r（2)））.4。△ABC是圆x2＋y2＝r2的内接三角形,已知A(r,0）为定点，∠BAC＝60°，求△ABC的重心G的轨迹方程。解因为∠BAC＝60°，所以∠BOC＝120°，于是可设B（rcosθ，rsinθ），C(rcos（θ＋120°)，rsin(θ＋120°)），重心坐标为（x，y)，则eq\b\lc\｛(\a\vs4\al\co1(x＝\f（r＋rcosθ＋rcos(θ＋120°），3），,y＝\f(rsinθ＋rsin（θ＋120°）,3),))消去θ得（3x－r）2＋（3y）2＝r2,所以△ABC重心G的轨迹方程为eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(x－\f（r，3))）eq\s\up12(2)＋y2＝eq\f(r2，9）（0≤x≤eq\f(r，2)）。［P28思考交流]把引例中求出的铅球运动轨迹的参数方程消去参数t后,再将所得方程与原方程进行比较，体会参数方程的作用。答eq\b\lc\｛（\a\vs4\al\co1(x＝v0tcosα，，y＝h＋v0tsinα－\f（1，2)gt2）)其中v0、α,h和g都是常数.这里的g是重力加速度.h是运动员出手时铅球的高度。消去参数t整理得：y＝－eq\f（g,2veq\o\al(2，0）cos2α）x2＋x·tanx＋h。参数方程的作用：当参数t每取一个允许值，就可以相应地确定一个x值和一个y值.这样铅球的位置就相应的确定了。这样建立的t与x，y之间的关系不仅方便，而且清晰地反映了变数的实际意义。如x＝v0tcosα反映了铅球飞行的水平距离.y＝h＋v0tsinα－eq\f（1,2）gt2反映了铅球的高度与飞行时间的关系。总之它是物理学中弹道曲线的方程.【规律方法总结】1。求轨迹的参数方程，可以通过对具体问题的分析，选择恰当的参数,建立参数方程。2。曲线的参数方程和普通方程可以互化，两种方程具有等价性.3.曲线上点的坐标如果需要单独表示，使用参数方程比较方便。一、选择题1。下列各点在方程eq\b\lc\｛（\a\vs4\al\co1(x＝sinθ，,y＝cos2θ)）（θ是参数）所表示曲线上的点是（）A。(2，－7） B。eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(2,3))） C.eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(1,2)，\f(1,2))） D。（1，0）解析由已知可得eq\b\lc\｛(\a\vs4\al\co1（x＝sinθ，，y＝1－2sin2θ，）)将选项代入上式即可.∴x＝eq\f（1，2)时,y＝eq\f（1，2)。故应选C.答案C2.将参数方程eq\b\lc\{（\a\vs4\al\co1(x＝2＋sin2θ,，y＝sin2θ)）（θ为参数）化为普通方程为(）A。y＝x－2 B。y＝x＋2C.y＝x－2(2≤x≤3） D.y＝x＋2（0≤y≤1）解析将参数方程中的θ消去，得y＝x－2。又x∈[2,3］，故选C。答案C3。曲线（x－1）2＋y2＝4上的点可以表示为（）A。（－1＋cosθ，sinθ） B.(1＋sinθ，cosθ）C。（－1＋2cosθ,2sinθ) D.(1＋2cosθ，2sinθ）解析可设eq\b\lc\｛（\a\vs4\al\co1（x－1＝2cosθ，,y＝2sinθ，)）∴eq\b\lc\{（\a\vs4\al\co1（x＝1＋2cosθ，，y＝2sinθ，）)∴曲线x的点可表示为（1＋2cosθ,2sinθ）.答案D4.直线l的参数方程为eq\b\lc\｛(\a\vs4\al\co1(x＝a＋t，,y＝b＋t)）(t为参数)，l上的点P1对应的参数是t1,则点P1与P(a，b）之间的距离为（）A。｜t1｜ B.2|t1|C.eq\r(2)｜t1｜ D。eq\f（\r（2）,2）｜t1｜解析点P1对应的点的坐标为（a＋t1，b＋t1），∴｜PP1｜＝eq\r（(a＋t1－a)2＋（b＋t1－b）2）＝eq\r(2teq\o\al(2，1））＝eq\r(2)|t1｜。答案C5.参数方程eq\b\lc\｛（\a\vs4\al\co1(x＝\r(t2＋2t＋3），y＝\r（t2＋2t＋2)))表示的曲线是（)A.双曲线x2－y2＝1B.双曲线x2－y2＝1的右支C。双曲线x2－y2＝1，但x≥0，y≥0D。以上结论都不对解析平方相减得x2－y2＝1，但x≥eq\r（2),y≥1。答案D二、填空题6。已知曲线eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2sinθ＋1，，y＝sinθ＋3))（θ为参数，0≤θ＜2π）。下列各点A(1，3)，B(2,2)，C（－3,5)，其中在曲线上的点是________。解析曲线方程可化为x－2y＋5＝0，将A，B,C三点坐标代入曲线的参数方程可知只有A符合。答案A7。物体从高处以初速度v0(m/s)沿水平方向抛出,以抛出点为原点，水平直线为x轴，物体所经路线的参数方程为________。解析设物体抛出的时刻为0s，在时刻ts时其坐标为M（x，y），由于物体作平抛运动，依题意,得eq\b\lc\｛（\a\vs4\al\co1(x＝v0t，,y＝－\f（1,2）gt2，)）这就是物体所经路线的参数方程.答案eq\b\lc\｛（\a\vs4\al\co1（x＝v0t,,y＝－\f(1，2)gt2））（t为参数）8。以过点A(0,4）的直线的斜率k为参数，将方程4x2＋y2＝16化成参数方程是__________。解析设直线为y＝kx＋4，代入4x2＋y2＝16化简即可.答案eq\b\lc\｛（\a\vs4\al\co1（x＝－\f（8k，4＋k2），，y＝\f（16－4k2，4＋k2)))9.将参数方程eq\b\lc\{（\a\vs4\al\co1（x＝sinθ＋cosθ，y＝sinθcosθ））化成普通方程为__________.解析应用三角变形消去θ，同时注意到|x｜≤eq\r（2）.答案x2＝1＋2y（|x｜≤eq\r（2)）三、解答题10.已知曲线C:eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝cosθ，,y＝－1＋sinθ,）)如果曲线C与直线x＋y＋a＝0有公共点，求实数a的取值范围.解∵eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1（x＝cosθ，,y＝－1＋sinθ,))∴x2＋（y＋1）2＝1.圆与直线有公共点，d＝eq\f(｜0－1＋a|,\r(2)）≤1,解得1－eq\r（2）≤a≤1＋eq\r(2）.11.已知圆的极坐标方程为ρ2－4eq\r(2）ρcoseq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（θ－\f(π，4))）＋6＝0。（1）将极坐标方程化为普通方程，并选择恰当的参数写出它的参数方程;（2）若点P（x，y）在该圆上，求x＋y的最大值和最小值。解（1）由ρ2－4eq\r（2)ρcoseq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(θ－\f（π,4）)）＋6＝0得ρ2－4ρcosθ－4ρsinθ＋6＝0,即x2＋y2－4x－4y＋6＝0为所求，由圆的标准方程（x－2）2＋（y－2）2＝2，令x－2＝eq\r（2)cosα，y－2＝eq\r(2)sinα，得圆的参数方程为eq\b\lc\｛(\a\vs4\al\co1（x＝2＋\r（2)cosα，，y＝2＋\r(2）sinα）)（α为参数)。(2）由上述可知x＋y＝4＋eq\r（2)(cosα＋sinα)＝4＋2sin(α＋eq\f(π,4)），故x＋y的最大值为6，最小值为2。12。如图所示，OA是圆C的直径,且OA＝2a，射线OB与圆交于Q点，和经过A点的切线交于B点，已知动点P满足PQ⊥OA于D,PB∥OA，试求点P的轨迹方程.解设点P坐标为（x，y）,则B(2a,y），D(x，0）。在Rt△OAB中，tanθ＝eq\f(AB,OA），∴AB＝OA·tanθ,即y＝2a·tanθ。在Rt△OAQ中,cosθ＝eq\f（OQ，OA），∴OQ＝OA·cosθ,在Rt△OQD中，cosθ＝eq\f（OD,OQ)，∴OD＝OQ·cosθ,∴OD＝OA·cos2θ，即x＝2a·cos2θ.即有eq\b\lc\｛（\a\vs4\al\co1(x＝2acos2θ，，y＝2atanθ))θ∈eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(－\f(π,2），\f（π,2））），化为普通方程为：xy2＋4a2x＝8a3。13.在长为a的线段AB上有一个动点E,在AB的同侧以AE和EB为斜边，分别作等腰直角三角形AEC和EBD，点P是CD的定比分点,且CP∶PD＝2∶1,求点P的轨迹.解建立如图所示坐标系(设C，D在x轴上方）.设E（t，0）（t为参数,t∈[0，a］)，B（a，0），则点C的坐标为eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（t，2）,\f（t,2））)，点D的坐标为eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（a＋t，2)，\f(a－t,2))）.∵CP∶PD＝2∶1，即λ＝2。由定比分点公式，有eq\b\lc\{（\a\vs4\al\co1（x＝\f（\f（t，2)＋2·\f（1,2）（a＋t）,1＋2)＝\f（1,6)(2a＋3t），，y＝\f（\f（t,2)＋2·\f（1，2)(a－t)，1＋2）＝\f(1，6）(2a－t））)t∈[0，a］，这就是点P运动轨迹的参数方程.习题2－1(第28页）1.解以摩托车起飞点为原点,水平向前方向为x轴正方向建立平面直角坐标系,则摩托车飞行轨迹的参数方程为eq\b\lc\｛（\a\vs4\al\co1(x＝19tcos12°，，y＝19tsin12°－\f（1，2)gt2))(g为重力加速度，时间t为参数）2.物体受三个力的作用;地球对物体的引力(重力)mg；向上的支撑力F1＝mgcosθ;摩擦力F2＝mgsinθ.3。解以炮弹的出发点为原点，水平向前方向为x轴正方向建立平面直角坐标系，则炮弹的弹道轨迹的参数方程为eq\b\lc\｛（\a\vs4\al\co1(x＝v0tcosα，,y＝v0tsinα－\f（1,2)gt2）)（g为重力加速度，时间t为参数)。§2直线和圆锥曲线的参数方程2.1直线的参数方程2。2圆的参数方程1.直线的参数方程(1）经过点P（x0，y0)、倾斜角是α的直线的参数方程为eq\b\lc\｛(\a\vs4\al\co1（x＝x0＋tcosα，,y＝y0＋tsinα））(t为参数）①其中M(x,y)为直线上的任意一点，参数t的几何意义是从点P到M的位移,可以用有向线段eq\o(PM,\s\up6（→））的数量来表示。（2）经过两个定点Q（x1，y1），P(x2，y2）(其中x1≠x2)的直线的参数方程为eq\b\lc\｛（\a\vs4\al\co1(x＝\f（x1＋λx2,1＋λ)，，y＝\f(y1＋λy2，1＋λ）))（λ为参数,λ≠－1).其中M（x，y）为直线上的任意一点，参数λ的几何意义是动点M分有向线段eq\o(QP,\s\up6（→））的数量比eq\f（QM,MP)。当λ＞0时,M为内分点；当λ＜0且λ≠－1时，M为外分点；当λ＝0时，点M与Q重合。2。圆的参数方程(1）圆心在原点、半径为r的圆的参数方程eq\b\lc\｛(\a\vs4\al\co1（x＝rcosα，，y＝rsinα)）(α为参数）。参数α的几何意义是OP与x轴正方向的夹角.（2)去掉圆与x轴负半轴交点,圆心在原点、半径为r的圆的参数方程。eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(（1－k2）r,1＋k2)，,y＝\f（2kr,1＋k2）)）（k为参数)参数k的几何意义是直线AP的斜率。【思维导图】【知能要点】1.直线的参数方程。2.直线的参数方程的应用。3。圆的参数方程及应用。题型一直线的参数方程直线的参数方程eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝x0＋tcosα，,y＝y0＋tsinα))(α为参数）中,α，x0，y0都是常数，对于同一直线,选取的参数不同，会得到不同的参数方程.对于直线普通方程y＝2x＋1，如果令x＝t,可得到参数方程eq\b\lc\｛（\a\vs4\al\co1（x＝t，，y＝2t＋1）)(t为参数);如果令x＝eq\f(t，2），可得到参数方程eq\b\lc\｛（\a\vs4\al\co1（x＝\f(t,2），，y＝t＋1)）（t为参数）。这样的参数方程中的t不具有一定的几何意义，但是在实际应用中有时能够简化某些运算。例如,动点M做匀速直线运动,它在x轴和y轴方向的分速度分别为9和12，点M从A点（1，1)开始运动,求点M的轨迹的参数方程.点M的轨迹的参数方程可以直接写为eq\b\lc\｛(\a\vs4\al\co1(x＝1＋9t，,y＝1＋12t)）(t为参数).【例1】设直线的参数方程为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－4＋\f（\r（2）,2)t，,y＝\f（\r(2），2)t)）(t为参数),点P在直线上,且与点M0（－4,0)的距离为eq\r(2），若该直线的参数方程改写成eq\b\lc\｛（\a\vs4\al\co1（x＝－4＋t，，y＝t）)（t为参数),则在这个方程中点P对应的t值为________。解析由|PM0|＝eq\r(2）知t＝±eq\r(2）,代入第一个参数方程，得点P的坐标分别为(－3,1)或(－5，－1)，再把点P的坐标代入第二个参数方程可得t＝1或t＝－1。答案±1【反思感悟】直线参数方程的标准形式中的参数具有相应的几何意义，本题正是使用了其几何意义,简化了运算，这也正是直线参数方程标准式的优越性所在。1.已知直线l的方程为3x－4y＋1＝0,点P（1,1）在直线l上，写出直线l的参数方程，并求点P到点M(5,4）和点N(－2，6)的距离。解由直线方程3x－4y＋1＝0可知,直线的斜率为eq\f(3，4）,设直线的倾斜角为α，则tanα＝eq\f（3,4)，sinα＝eq\f（3,5）,cosα＝eq\f(4，5）。又点P（1，1）在直线l上,所以直线l的参数方程为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1＋\f(4,5)t，，y＝1＋\f(3,5）t))（t为参数).因为3×5－4×4＋1＝0，所以点M在直线l上。由1＋eq\f(4，5)t＝5，得t＝5，即点P到点M的距离为5.因为点N不在直线l上，故根据两点之间的距离公式，可得|PN｜＝eq\r((1＋2）2＋(1－6）2)＝eq\r(34).【例2】已知直线l经过点P(1,1）,倾斜角α＝eq\f（π，6）,(1）写出直线l的参数方程；（2)设l与圆x2＋y2＝4相交于两点A、B，求点P到A、B两点的距离之积。解（1）直线的参数方程是eq\b\lc\{（\a\vs4\al\co1(x＝1＋\f（\r（3），2）t,，y＝1＋\f(1，2）t)）(t是参数)。(2）因为点A，B都在直线l上,所以可设它们对应的参数为t1和t2，则点A，B的坐标分别为Aeq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（1＋\f（\r（3)，2)t1，1＋\f（1,2）t1）),Beq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（1＋\f（\r（3），2)t2,1＋\f(1，2)t2)）。以直线l的参数方程代入圆的方程x2＋y2＝4，整理得到t2＋（eq\r(3）＋1）t－2＝0.①因为t1和t2是方程①的解,从而t1t2＝－2。所以|PA|·｜PB｜＝|t1t2|＝|－2|＝2。【反思感悟】本题P到A、B两点的距离就是参数方程中t的两个值，可以充分利用参数的几何意义.2。已知直线l:eq\b\lc\｛(\a\vs4\al\co1(x＝－\r(3)＋\f（\r（3)，2）t,，y＝2＋\f(1，2)t)）（t为参数）。（1）分别求t＝0，2，－2时对应的点M（x，y)；（2）求直线l的倾斜角；(3)求直线l上的点M（－3eq\r（3)，0)对应的参数t,并说明t的几何意义.解(1)由直线l：eq\b\lc\｛（\a\vs4\al\co1（x＝－\r(3)＋\f(\r(3），2）t,，y＝2＋\f（1,2）t))（t为参数)知当t＝0，2，－2时，分别对应直线l上的点（－eq\r(3)，2)，（0，3），(－2eq\r(3)，1)。（2）法一化直线l：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1（x＝－\r(3）＋\f（\r（3)，2)t,，y＝2＋\f(1,2）t）)（t为参数）为普通方程为y－2＝eq\f（\r（3），3)(x＋eq\r（3）)，其中k＝tanα＝eq\f(\r(3）,3）,0≤α<π.∴直线l的倾斜角α＝eq\f（π，6).法二由于直线l:eq\b\lc\｛(\a\vs4\al\co1(x＝－\r（3)＋tcos\f（π,6)，，y＝2＋tsin\f(π,6))）(t为参数），这是过点M0(－eq\r(3)，2),且倾斜角α＝eq\f(π，6)的直线,故eq\f（π，6）为所求.(3）由上述可知直线l的单位方向向量e＝eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(cos\f（π,6）,sin\f（π，6)))＝eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（\r(3),2),\f（1，2））).∵M0（－eq\r（3），2)，M（－3eq\r（3),0），∴eq\o(M0M,\s\up6(→）)＝(－2eq\r（3），－2)＝－4eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(\r(3)，2)，\f（1，2）)）＝－4e，∴点M对应的参数t＝－4,几何意义为|eq\o（M0M,\s\up6（→)）｜＝4，且eq\o（M0M，\s\up6(→）)与e方向相反(即点M在直线l上点M0的左下方）.题型二直线参数方程的应用利用直线的参数方程，可以求一些距离问题，特别是求直线上某一定点与曲线交点距离时使用参数的几何意义更为方便。【例3】过点Peq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(\r（10），2）,0））作倾斜角为α的直线与曲线x2＋12y2＝1交于点M，N,求|PM｜·|PN|的最小值及相应的α的值.解设直线为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1（x＝\f(\r(10),2)＋tcosα，，y＝tsinα））(t为参数),代入曲线并整理得(1＋11sin2α)t2＋(eq\r（10)cosα）t＋eq\f（3，2)＝0.则｜PM|·｜PN｜＝|t1t2|＝eq\f(\f（3，2），1＋11sin2α)。所以当sin2α＝1时，即α＝eq\f（π，2)，｜PM｜·|PN|的最小值为eq\f（1,8),此时α＝eq\f（π，2）.【反思感悟】利用直线的参数方程中参数的几何意义，将最值问题转化为三角函数的值域，利用三角函数的有界性解决。3。已知曲线的参数方程eq\b\lc\{（\a\vs4\al\co1(x＝3cosθ，，y＝2sinθ)）（θ为参数），求曲线上一点P到直线eq\b\lc\{（\a\vs4\al\co1(x＝2－3t，,y＝2＋2t）)（t为参数)的最短距离.解P(3cosθ，2sinθ)直线：2x＋3y－10＝0d＝eq\f（｜6cosθ＋6sinθ－10|,\r（13)）＝eq\f(|6\r（2)sin\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（θ＋\f（π，4)）)－10|,\r(13)）6eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4))）－10∈[－6eq\r(2)－10,6eq\r（2）－10］∴eq\f（|6\r（2)sin\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（θ＋\f（π，4)）)－10|,\r（13））∈eq\b\lc\[\rc\］（\a\vs4\al\co1（\f(10－6\r(2)，\r(13）），\f(10＋6\r(2),\r(13）)）)∴dmin＝eq\f（10－6\r(2),\r(13）).【例4】如图所示，过不在椭圆eq\f（x2,a2)＋eq\f(y2,b2）＝1上的任一点P作两条直线l1，l2分别交椭圆于A,B和C，D四点,若l1，l2的倾斜角为α，β且满足α＋β＝π。求证：A，B，C,D四点共圆。证明设P（x0，y0)，直线l1：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1（x＝x0＋tcosα，,y＝y0＋tsinα））（t为参数）,直线l2：eq\b\lc\｛（\a\vs4\al\co1（x＝x0＋pcosβ，，y＝y0＋psinβ）)（p为参数），分别代入椭圆方程得(b2cos2α＋a2sin2α）t2＋2（b2x0cosα＋a2y0sinα）t＋b2xeq\o\al（2，0）＋a2yeq\o\al（2,0）－a2b2＝0;（b2cos2β＋a2sin2β）p2＋2(b2x0cosβ＋a2y0sinβ）p＋b2xeq\o\al(2,0）＋a2yeq\o\al(2,0）－a2b2＝0。∵α＋β＝π，∴cos2α＝cos2β，sin2α＝sin2β,∴t1t2＝p1p2,即｜PA｜·|PB|＝|PC|·|PD|。由平面几何知识知，A，B,C，D四点共圆.【反思感悟】本题利用平面几何知识，要证四点A，B,C，D共圆，只需证|PA｜·|PB｜＝｜PC|·|PD｜，又转化为距离问题，利用参数的几何意义计算即可。4。直线l通过P0（－4，0），倾斜角α＝eq\f（π，6)，l与圆x2＋y2＝7相交于A，B两点.(1)求弦长|AB|；(2）过P0作圆的切线，求切线长；（3)求|P0A|和｜P0B｜的长；（4）求交点A，B的坐标.解∵直线l通过P0(－4，0），倾斜角α＝eq\f（π，6），所以可设直线l的参数方程为eq\b\lc\｛（\a\vs4\al\co1(x＝－4＋\f（\r(3），2)t，,y＝\f(t，2）,））代入圆方程，得eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(－4＋\f（\r(3)，2）t)）eq\s\up12(2）＋eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（1，2)t)）eq\s\up12(2）＝7，整理得t2－4eq\r(3）t＋9＝0.（1)设A，B对应的参数分别为t1和t2，由根与系数的关系得t1＋t2＝4eq\r(3），t1t2＝9,∴｜AB｜＝|t2－t1|＝eq\r（(t1＋t2）2－4t1t2）＝2eq\r（3）.(2)设过P0的切线为P0T,切点为T，则｜P0T|2＝|P0A｜·|P0B|＝｜t1t2｜＝9，∴切线长|P0T|＝3。(3)解方程t2－4eq\r(3)t＋9＝0，得t1＝3eq\r(3),t2＝eq\r（3），∴｜P0A|＝3eq\r（3），|P0B|＝eq\r（3).(4）将t1＝3eq\r(3)，t2＝eq\r（3)代入直线参数方程eq\b\lc\｛（\a\vs4\al\co1(x＝－4＋\f（\r（3)，2）t，,y＝\f(t，2），）)得A点坐标为eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f（3\r(3),2））),B点坐标为eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（－\f(5,2），\f（\r（3),2)）)。题型三圆的参数方程及其应用如果取半径绕原点O逆时针旋转的转过的角度θ为参数，圆x2＋y2＝r2对应的参数方程为eq\b\lc\｛(\a\vs4\al\co1(x＝rcosθ，,y＝rsinθ.))同理，圆（x－x0）2＋（y－y0）2＝r2对应的参数方程为eq\b\lc\{（\a\vs4\al\co1(x＝x0＋rcosθ，，y＝y0＋rsinθ))(θ为参数）。圆的参数方程对于需要将圆上点的两个坐标分别表示,代入计算的问题比较方便。【例5】圆的直径AB上有两点C、D，且｜AB|＝10，|AC｜＝|BD｜＝4，P为圆上一点，求｜PC|＋|PD|的最大值.分析本题应考虑数形结合的方法,因此需要先建立平面直角坐标系.将P点坐标用圆的参数方程的形式表示出来,θ为参数，那么|PC|＋|PD｜就可以用只含有θ的式子来表示，再利用三角函数等相关知识计算出最大值。解以AB所在直线为x轴,以线段AB的中点为原点建立平面直角坐标系.因为|AB｜＝10，所以圆的参数方程为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝5cosθ，,y＝5sinθ）)(θ为参数）。因为｜AC｜＝｜BD｜＝4,所以C，D两点的坐标为C(－1，0），D（1，0).因为点P在圆上，所以可设点P的坐标为(5cosθ,5sinθ).所以｜PC|＋｜PD｜＝eq\r(（5cosθ＋1）2＋(5sinθ）2）＋eq\r（（5cosθ－1)2＋（5sinθ)2）＝eq\r（26＋10cosθ)＋eq\r（26－10cosθ)＝eq\r((\r(26＋10cosθ)＋\r(26－10cosθ）)2）＝eq\r（52＋2\r（262－100cos2θ））.当cosθ＝0时，（｜PC｜＋|PD|）max＝eq\r（52＋52）＝2eq\r（26).∴|PC｜＋｜PD｜的最大值为2eq\r（26）.【反思感悟】解题时将所求式子和图形联系起来，利用圆的参数方程表示P点坐标，结合三角函数的值域进行计算。5。已知实数x，y满足（x－1)2＋（y－1）2＝9，求x2＋y2的最大值和最小值。解由已知，可把点（x，y)视为圆(x－1)2＋（y－1)2＝9上的点，设eq\b\lc\{（\a\vs4\al\co1(x＝1＋3cosθ,，y＝1＋3sinθ))（θ为参数)。则x2＋y2＝(1＋3cosθ）2＋（1＋3sinθ）2＝11＋6（sinθ＋cosθ)＝11＋6eq\r（2）sineq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（θ＋\f（π,4）））∵－1≤sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f（π，4)））≤1，∴11－6eq\r(2）≤x2＋y2≤11＋6eq\r(2).∴x2＋y2的最大值为11＋6eq\r(2)，最小值为11－6eq\r（2)。1.求直线l1:eq\b\lc\{（\a\vs4\al\co1(x＝1＋t，，y＝－5＋\r(3)t））(t为参数)和直线l2：x－y－2eq\r（3）＝0的交点P的坐标，及点P与Q（1，－5）的距离.解将eq\b\lc\｛(\a\vs4\al\co1(x＝1＋t，，y＝－5＋\r(3)t））代入x－y－2eq\r(3)＝0,得t＝2eq\r（3），∴P（1＋2eq\r（3），1），而Q（1,－5)，得｜PQ|＝eq\r((2\r（3)）2＋62)＝4eq\r(3）.2。已知直线l的参数方程为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1（x＝a－2t，，y＝－4t））(t为参数），圆C的参数方程为eq\b\lc\｛(\a\vs4\al\co1（x＝4cosθ，，y＝4sinθ))（θ为参数)。(1）求直线l和圆C的普通方程；(2）若直线l与圆C有公共点，求实数a的取值范围.解（1）直线l的普通方程为2x－y－2a＝0,圆C的普通方程为x2＋y2＝16.（2)因为直线l与圆C有公共点，故圆C的圆心到直线l的距离d＝eq\f（|－2a｜,\r(5）)≤4，解得－2eq\r(5）≤a≤2eq\r(5).3.已知椭圆的中心在原点,焦点在y轴上且长轴长为4，短轴长为2,直线l的参数方程为eq\b\lc\｛(\a\vs4\al\co1(x＝t,,y＝m＋2t)）（t为参数）.当m为何值时，直线l被椭圆截得的弦长为eq\r(6）？解椭圆方程为eq\f（y2,4）＋x2＝1,化直线参数方程eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1（x＝t，,y＝m＋2t））为eq\b\lc\｛(\a\vs4\al\co1(x＝\f（\r(5)，5)t′，，y＝m＋\f（2\r(5),5）t′））（t′为参数)。代入椭圆方程得eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(m＋\f（2\r(5)，5）t′）)eq\s\up12(2）＋4eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(\r（5），5)t′)）eq\s\up12(2)＝4⇔8t′2＋4eq\r（5)mt′＋5m2－20＝0.当Δ＝80m2－160m2＋640＝640－80m2〉0，即－2eq\r（2）〈m〈2eq\r（2），方程有两不等实根t′1、t′2，则弦长为|t′1－t′2｜＝eq\r（（t′1＋t′2）2－4t′1t′2)＝eq\f（\r（640－80m2),8），依题意知eq\f(\r（640－80m2）,8）＝eq\r（6）,解得m＝±eq\f（4\r(5)，5）.[P30思考交流]1。经过两点Q（1，1）,P(4，3)的直线的参数方程。如果应用共线向量的充要条件来求，方程及参数的含义分别是什么?答在直线PQ上任取一点M(x，y）,eq\o(PM，\s\up6(→))＝(x－1，y－1），eq\o（QM,\s\up6(→))＝(x－4,y－3),∵P、Q、M三点共线，∴eq\o(PM，\s\up6（→）)∥eq\o（QM,\s\up6(→）)，∴eq\o（PM,\s\up6（→)）＝teq\o(QM，\s\up6(→)）,eq\b\lc\｛（\a\vs4\al\co1(x－1＝t（x－4)，,y－1＝t（y－3），））化简为eq\b\lc\｛（\a\vs4\al\co1（x＝\f（1－4t，1－t)，，y＝\f(1－3t，1－t），）)此即为过P、Q两点的直线的参数方程。参数t的含义是有向线段eq\o（PM，\s\up6(→））、eq\o（QM，\s\up6(→））的比值.2.比较直线的参数方程与普通方程体会各自的优势。答直线的普通方程直观地反映了变量x、y之间的关系,方程是唯一的.直线的参数方程中反映了变量x、y分别随参数的变化而变化的规律。方程是不唯一的，随参数的选取而有所不同。[P33思考交流]给定参数方程eq\b\lc\{（\a\vs4\al\co1(x＝a＋rcosα，，y＝b＋rsinα))其中a、b是常数.讨论下列问题：(1）如果r是常数，α是参数，那么参数方程表示的曲线是什么？(2)如果α是常数,r是参数，那么参数方程表示的曲线是什么？答(1)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1（x＝a＋rcosα，,y＝b＋rsinα)）⇒eq\b\lc\｛(\a\vs4\al\co1（x－a＝rcosα,，y－b＝rsinα))eq\a\vs4\al（\o(=，\s\up7(消掉参数α)）>)(x－a）2＋(y－b）2＝r2。其中r为常数，表示以（a，b）为圆心，r为半径的圆。（2）eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝a＋rcosα，，y＝b＋rsinα）)⇒eq\b\lc\｛（\a\vs4\al\co1(x－a＝rcosα，，y－b＝rsinα））eq\a\vs4\al(\o(=，\s\up7（消掉参数t）)>)eq\f（x－a，y－b）＝tanα。整理得x－tanα·y＋b·tanα－a＝0，其中a、b、tanα为常数。方程为过点（a,b）,斜率为eq\f(1,tanα）的直线。【规律方法总结】1.利用直线的参数方程eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝x0＋tcosα，，y＝y0＋tsinα))(α为参数）中参数的几何意义，在解决直线与曲线交点问题时，可以方便地求出相应的距离。2.直线的参数方程有不同的形式，可以允许参数t没有明显的几何意义，在直线与圆锥曲线的问题中，利用参数方程有时可以简化计算。一、选择题1.若直线的参数方程为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1＋2t,，y＝2－3t)）（t为参数），则直线的斜率为(）A.eq\f(2,3) B.－eq\f（2，3）C.eq\f（3，2） D。－eq\f(3，2）解析k＝eq\f（y－2,x－1）＝－eq\f（3t，2t)＝－eq\f（3,2）。答案D2.曲线eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－1＋cosθ，,y＝2＋sinθ))（θ为参数)的对称中心（）A.在直线y＝2x上 B。在直线y＝－2x上C.在直线y＝x－1上 D。在直线y＝x＋1上解析消去参数θ，将参数方程化为普通方程.曲线可化为(x＋1）2＋（y－2）2＝1，其对称中心为圆心（－1，2），该点在直线y＝－2x上，故选B.答案B3.直线eq\b\lc\{（\a\vs4\al\co1（x＝1＋\f(1,2)t，，y＝－3\r(3）＋\f(\r（3),2)t))（t为参数）和圆x2＋y2＝16交于A,B两点,则AB的中点坐标为(）A.（3，－3） B。（－eq\r(3)，3）C.（eq\r(3)，－3） D.（3，－eq\r（3))解析eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（1＋\f(1，2)t))eq\s\up12（2)＋eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(－3\r（3)＋\f(\r(3）,2)t)）eq\s\up12（2)＝16，得t2－8t＋12＝0，t1＋t2＝8，eq\f(t1＋t2，2）＝4，中点为eq\b\lc\｛(\a\vs4\al\co1(x＝1＋\f(1,2)×4，，y＝－3\r（3）＋\f（\r（3),2）×4，））⇒eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝－\r(3）。))答案D4。以平面直角坐标系的原点为极点,x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位.已知直线l的参数方程是eq\b\lc\{（\a\vs4\al\co1(x＝t＋1，，y＝t－3）)（t为参数），圆C的极坐标方程是ρ＝4cosθ，则直线l被圆C截得的弦长为（）A.eq\r(14) B。2eq\r(14）C。eq\r(2） D。2eq\r(2）解析直线l的参数方程eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1（x＝t＋1，，y＝t－3))（t为参数）化为直角坐标方程是y＝x－4，圆C的极坐标方程ρ＝4cosθ化为直角坐标方程是x2＋y2－4x＝0.圆C的圆心(2，0）到直线x－y－4＝0的距离为d＝eq\f（2，\r（2)）＝eq\r（2）。又圆C的半径r＝2，因此直线l被圆C截得的弦长为2eq\r(r2－d2)＝2eq\r(2）.故选D。答案D5.直线eq\b\lc\｛（\a\vs4\al\co1（x＝tcosα，，y＝tsinα)）(t为参数）与圆eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1（x＝4＋2cosθ，,y＝2sinθ)）（θ为参数)相切，则直线的倾斜角为(）A。eq\f(π,6）或eq\f（5π,6） B。eq\f（π,4）或eq\f（5π,6)C.eq\f(π，3）或eq\f（2π,3） D.－eq\f（π，6)或－eq\f（5π,6）解析直线方程为y＝tanα·x,圆为：（x－4)2＋y2＝4，利用图形可知直线的倾斜角为eq\f(π，6）或eq\f（5，6)π.答案A二、填空题6.在平面直角坐标系中，曲线C：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1（x＝2＋\f(\r（2),2）t，，y＝1＋\f（\r（2),2)t))（t为参数）的普通方程为________.解析∵x＝2＋eq\f（\r（2)，2)t，∴eq\f（\r(2），2）t＝x－2,代入y＝1＋eq\f(\r（2),2）t，得y＝x－1，即x－y－1＝0.答案x－y－1＝07。直线eq\b\lc\｛(\a\vs4\al\co1(x＝2－\f(1，2)t，,y＝－1＋\f(1，2)t））（t为参数)被圆x2＋y2＝4截得的弦长为________。解析直线为x＋y－1＝0，圆心到直线的距离d＝eq\f(1，\r(2))＝eq\f（\r(2)，2),弦长d＝2eq\r（22－\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（\r（2)，2））)\s\up12（2)）＝eq\r(14）.答案eq\r(14）8。经过点P(1，0），斜率为eq\f(3，4)的直线和抛物线y2＝x交于A、B两点，若线段AB中点为M，则M的坐标为________。解析直线的参数方程为eq\b\lc\｛(\a\vs4\al\co1（x＝1＋\f(4，5）t,,y＝\f（3，5)t)）(t是参数)，代入抛物线方程得9t2－20t－25＝0.∴中点M的相应参数为t＝eq\f（1,2）×eq\f（20，9）＝eq\f（10,9)。∴点M的坐标是eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(17,9），\f(2，3)））.答案eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(17，9)，\f（2，3）)）9.在直角坐标系xOy中，以O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线l的极坐标方程为ρ(sinθ－3cosθ）＝0,曲线C的参数方程为eq\b\lc\｛(\a\vs4\al\co1(x＝t－\f（1，t)，，y＝t＋\f（1,t))）（t为参数），l与C相交于A，B两点，则|AB|＝________。解析化极坐标方程为直角坐标方程,化参数方程为普通方程，联立直线l和曲线C的方程，求出交点A,B的坐标,利用两点间的距离公式求解。由ρ（sinθ－3cosθ）＝0，得ρsinθ＝3ρcosθ,则y＝3x.由eq\b\lc\｛（\a\vs4\al\co1(x＝t－\f(1,t)，，y＝t＋\f（1,t），))得y2－x2＝4。由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1（y＝3x，，y2－x2＝4，))可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f（\r（2),2），，y＝\f(3\r（2）,2))）或eq\b\lc\{（\a\vs4\al\co1（x＝－\f（\r（2）,2），,y＝－\f（3\r（2)，2)，))不妨设Aeq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（\r（2），2），\f(3\r(2）,2））)，则Beq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（－\f(\r(2),2），－\f(3\r（2），2））)，故|AB｜＝eq\r（\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(－\f（\r(2)，2)－\f(\r(2），2)））\s\up12（2)＋\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3\r(2),2）－\f(3\r(2）,2)))\s\up12(2））＝2eq\r（5）.答案2eq\r（5）三、解答题10.直线过点A（1,3），且与向量（2，－4）共线.（1)写出该直线的参数方程；(2)求点P(－2,－1）到此直线的距离.解(1)设直线上任意一点坐标为（x，y），则(x，y）＝（1，3）＋t(2，－4)。∴直线的参数方程为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1＋2t，,y＝3－4t.）)(2)将参数方程化为普通方程为2x＋y－5＝0，则eq\f（|－4－1－5｜,\r（5)）＝2eq\r(5），∴点P(－2，－1）到此直线的距离是2eq\r(5).11。经过点Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（－3，－\f(3,2))）,倾斜角为α的直线l与圆x2＋y2＝25相交于B，C两点。（1)求弦BC的长；(2)当A恰为BC的中点时，求直线BC的方程；(3)当|BC|＝8时，求直线BC的方程；（4)当α变化时,求动弦BC的中点M的轨迹方程。解取AP＝t为参数（P为l上的动点),则l的参数方程为eq\b\lc\｛(\a\vs4\al\co1(x＝－3＋tcosα，，y＝－\f(3,2)＋tsinα，))代入x2＋y2＝25，整理，得t2－3（2cosα＋sinα）t－eq\f(55，4）＝0。∵Δ＝9(2cosα＋sinα)2＋55>0恒成立。∴方程必有相异两实根t1，t2,且t1＋t2＝3（2cosα＋sinα),t1·t2＝－eq\f（55,4)。（1）｜BC｜＝|t1－t2|＝eq\r（（t1＋t2)2－4t1t2）＝eq\r(9（2cosα＋sinα）2＋55)。（2)∵A为BC中点，∴t1＋t2＝0,即2cosα＋sinα＝0，∴tanα＝－2。故直线BC的方程为y＋eq\f（3,2)＝－2(x＋3)，即4x＋2y＋15＝0。（3)∵|BC｜＝eq\r（9（2cosα＋sinα）2＋55）＝8，∴（2cosα＋sinα)2＝1，∴cosα＝0或tanα＝－eq\f（3，4）.∴直线BC的方程是x＝－3或3x＋4y＋15＝0。（4）∵BC的中点M对应的参数是t＝eq\f(t1＋t2,2)＝eq\f(3，2)（2cosα＋sinα)，∴点M的轨迹方程为eq\b\lc\{（\a\vs4\al\co1(x＝－3＋\f（3,2）cosα（2cosα＋sinα），,y＝－\f（3,2)＋\f（3，2)sinα（2cosα＋sinα）））（0≤α〈π），∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1（x＋\f(3，2）＝\f(3,2）\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos2α＋\f(1,2)sin2α))，，y＋\f（3，4)＝\f(3，2）\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（sin2α－\f（1，2）cos2α）).))∴eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（x＋\f（3，2）)）eq\s\up12(2）＋eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(y＋\f（3,4)））eq\s\up12（2）＝eq\f(45，16）。即点M的轨迹是以eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(－\f（3，2)，－\f（3，4）））为圆心，以eq\f(3\r(5),4)为半径的圆。2.3椭圆的参数方程2。4双曲线的参数方程1。椭圆的参数方程(1）椭圆eq\f(x2，a2)＋eq\f(y2，b2）＝1的参数方程为eq\b\lc\{（\a\vs4\al\co1（x＝acosφ，,y＝bsinφ）)(φ为参数)，参数的几何意义是以a为半径所作圆上一点和椭圆中心的连线与x轴正半轴的夹角.(2)中心在C（x0，y0）的椭圆的参数方程是eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝x0＋acosφ，，y＝y0＋bsinφ)）(φ为参数).2。双曲线的参数方程中心在原点,焦点在x轴上的双曲线eq\f(x2，a2）－eq\f(y2,b2)＝1的参数方程为eq\b\lc\｛(\a\vs4\al\co1（x＝\f（a，cosφ),,y＝btanφ）)(φ为参数),规定φ的取值范围为φ∈［0，2π)且φ≠eq\f(π,2)，φ≠eq\f（3，2）π.【思维导图】【知能要点】1.椭圆的参数方程.2.双曲线的参数方程。题型一椭圆的参数方程1。和圆的参数方程eq\b\lc\{（\a\vs4\al\co1(x＝rcosθ，,y＝rsinθ））中的参数θ是半径OM的旋转角不同，椭圆参数方程eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝acosφ，,y＝bsinφ))中的参数φ是椭圆上点M的离心角.2。椭圆eq\f（（x－m）2，a2)＋eq\f（（y－n）2,b2)＝1（a〉b>0)的参数方程为eq\b\lc\{（\a\vs4\al\co1（x＝m＋acosφ，，y＝n＋bsinφ）)（φ为参数）.【例1】已知A、B分别是椭圆eq\f（x2，36)＋eq\f（y2,9）＝1的右顶点和上顶点，动点C在该椭圆上运动,求△ABC的重心G的轨迹的普通方程。解由动点C在该椭圆上运动，故据此可设点C的坐标为（6cosθ,3sinθ)，点G的坐标为(x,y)，则由题意可知点A(6，0)，B（0，3).由重心坐标公式可知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1（x＝\f（6＋0＋6cosθ,3)＝2＋2cosθ，,y＝\f(0＋3＋3sinθ，3）＝1＋sinθ。））由此消去θ得到eq\f（（x－2）2,4）＋（y－1)2＝1即为所求。【反思感悟】本题的解法体现了椭圆的参数方程对于解决相关问题的优越性。运用参数方程显得很简单，运算更简便.1.设F1、F2分别为椭圆C：eq\f（x2，a2）＋eq\f(y2,b2)＝1(a〉b〉0)的左、右焦点.(1）若椭圆C上的点Aeq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(1，\f（3，2)))到F1、F2距离之和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐标；（2）设P是(1）中椭圆上的动点，求线段F1P的中点的轨迹方程.解(1）由椭圆上点A到F1、F2的距离之和是4，得2a＝4，即a＝2。又点Aeq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（1，\f(3,2））)在椭圆上,因此eq\f（1,4）＋eq\f（\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(3，2)））\s\up12（2)，b2)＝1,得b2＝3，于是c2＝a2－b2＝1,所以椭圆C的方程为eq\f（x2,4)＋eq\f(y2,3）＝1，焦点坐标为F1（－1，0），F2(1,0)。（2）设椭圆C上的动点P的坐标为(2cosθ，eq\r(3)sinθ),线段F1P的中点坐标为(x，y），则x＝eq\f（2cosθ－1,2），y＝eq\f（\r(3）sinθ＋0,2)，所以x＋eq\f(1，2)＝cosθ,eq\f(2y,\r(3)）＝sinθ。消去θ，得eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（x＋\f(1,2)））eq\s\up12(2）＋eq\f(4y2,3)＝1，这就是线段F1P的中点的轨迹方程.题型二双曲线的参数方程与椭圆类似,双曲线的参数方程eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1（x＝\f（a,cosφ），，y＝btanφ))(φ为参数）中φ的几何意义也是双曲线上一点M的离心角。【例2】直线AB过双曲线eq\f（x2,a2)－eq\f（y2,b2）＝1的中心O，与双曲线交于A，B两点，P是双曲线上的任意一点。求证：直线PA，PB的斜率的乘积为定值.证明如图所示，设Peq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,cosα)，btanα))，Aeq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(a,cosθ），btanθ））.∵AB过原点O，∴A,B的坐标关于原点对称,于是有Beq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（－\f（a，cosθ），－btanθ)）,从而:kPA·kPB＝eq\f(b（tanα－tanθ),a\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（1，cosα）－\f（1，cosθ)）)）·eq\f(b（tanα＋tanθ）,a\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（1，cosα)＋\f(1,cosθ))）)＝eq\f(b2（tan2α－tan2θ），a2\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（1，cos2α)－\f(1，cos2θ)）))＝eq\f（b2,a2）为定值.【反思感悟】本例的求解充分利用了双曲线的参数方程。一般地，当与二次曲线上的动点有关时，可将动点用参数形式表示,从而将x,y都表示为某角θ的函数，运用三角知识求解，可大大减少运算量，收到事半功倍的效果。2.如图所示,设M为双曲线eq\f（x2,a2)－eq\f(y2,b2）＝1（a，b＞0）上任意一点，O为原点，过点M作双曲线两渐近线的平行线，分别与两渐近线交于A，B两点.探求平行四边形MAOB的面积，由此可以发现什么结论？解双曲线的渐近线方程为y＝±eq\f（b，a)x.不妨设M为双曲线右支上一点，其坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,cosφ)，btanφ）)，则直线MA的方程为y－btanφ＝－eq\f（b,a）eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（x－\f（a，cosφ)）)。①将y＝eq\f(b，a)x代入①，解得点A的横坐标为xA＝eq\f（a，2)eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（1,cosφ）－tanφ)）。同理可得，点B的横坐标为xB＝eq\f（a，2）eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(1，cosφ）－tanφ）)。设∠AOx＝a，则tanα＝eq\f(b，a)。所以,▱MAOB的面积为S▱MAOB＝|OA|·|OB|sin2α＝eq\f(xA，cosα)·eq\f（xB,cosα）·sin2α＝eq\f(a2\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（1，cos2φ）－tan2φ)），4cos2α）·sin2α＝eq\f（a2,2)·tanα＝eq\f(a2,2)·eq\f（b，a)＝eq\f（ab,2)。由此可见，平行四边形MAOB的面积恒为定值，与点M在双曲线上的位置无关.题型三参数方程的应用若曲线的参数方程eq\b\lc\｛（\a\vs4\al\co1（x＝2pt2，,y＝2pt))（t为参数），由于eq\f（y,x)＝eq\f(1，t），因此t的几何意义是曲线上的点(除顶点外)与曲线的顶点连线的斜率的倒数.【例3】设飞机以匀速v＝150m/s做水平飞行,若在飞行高度h＝588m处投弹（假设炸弹的初速度等于飞机的速度）。（1）求炸弹离开飞机后的轨迹方程;（2）试问飞机在离目标多远（水平距离)处投弹才能命中目标。分析这是物理学中的平抛运动，选择合理的参变量将炸弹（看作质点)的水平方向和竖直方向的运动表示出来.解(1）如图所示，A为投弹点，坐标为（0，588)，B为目标，坐标为（x0，0).记炸弹飞行的时间为t，在A点t＝0。设M（x，y）为飞行曲线上的任一点,它对应时刻t，炸弹初速度v0＝150m/s，用物理学知识，分别计算水平、竖直方向的路程,得eq\b\lc\｛(\a\vs4\al\co1(x＝v0t，,y＝588－\f（1,2)gt2))（g＝9.8m/s2）,即eq\b\lc\{（\a\vs4\al\co1（x＝150t，,y＝588－4。9t2，）)这是炸弹飞行曲线的参数方程。(2)炸弹飞行到地面目标B处的时间t0满足方程y＝0，即588－4。9t2＝0,解得t0＝2eq\r（30)。由此得x0＝150×2eq\r(30)＝300eq\r(30)≈1643（m).即飞机在离目标约1643m(水平距离)处投弹才能击中目标。【反思感悟】准确把握题意，分析物理学中运动过程，选择适当的坐标系及变量,将物理问题转化为数学问题。利用抛物线的参数方程解决。3。青海省玉树县发生7.1级地震,灾区人民的安危牵动着全国人民的心,一批批救援物资源源不断地运往