2016新课标创新人教物理选修3-4 第十三章 专题强化练3 光学元件与折射光路的综合问题、测定水的折射率

在几何光学中的光学器材是由透明介质制成的长方体、球体或圆柱体，当光线从空气中射到这些透明体的表面时，光线经过折射进入透明体，然后再发生其他的光学现象。解这类问题常用到的光学知识主要是反射定律、折射定律、全反射等，同时还要借助于光学器材的特殊界面，利用数学中的几何知识共同解决问题。常见的有以下几种：1．棱镜对光有偏折作用一般所说的棱镜都是用光密介质制作的。入射光线经三棱镜两次折射后，射出方向与入射方向相比，向底边偏折(若棱镜的折射率比棱镜外介质的折射率小，则结论相反)。由于各种色光的折射率不同，因此一束白光经三棱镜折射后发生色散现象(红光偏折最小，紫光偏折最大)。2．全反射棱镜横截面是等腰直角三角形的棱镜叫全反射棱镜。选择适当的入射点可以使入射光线经过全反射棱镜的作用后偏转90°或180°，如图甲、乙所示。要特别注意两种用法中光线在哪个表面发生全反射。3．玻璃砖所谓玻璃砖一般指横截面为矩形的棱镜。当光线从上表面入射，从下表面射出时，其特点是(1)射出光线和入射光线平行。(2)各种色光在第一次入射后就发生色散。(3)射出光线的侧移与折射率、入射角及玻璃砖的厚度有关。(4)可利用玻璃砖测定玻璃的折射率。[典型例题]例1.半径为R的玻璃半圆柱体，横截面如图所示，圆心为O，底边水平。一束单色光竖直向下射向圆柱面，入射点为P，入射角为60°，经折射后射向底边的Q点(图中未画出)。已知玻璃的折射率n＝eq\r(3)。(1)求P、Q间的距离；(2)光线PQ能否在Q点发生全反射？[解析](1)画出光路图，如图所示。由折射定律n＝eq\f(sinα,sinβ)其中α＝60°，n＝eq\r(3)得折射角β＝30°由几何关系得cos30°＝eq\f(PM,PQ)cos60°＝eq\f(PM,PO)得PQ＝eq\f(\r(3),3)R(2)在底面上Q点处入射角为30°，sin30°＝eq\f(1,2)<eq\f(1,\r(3))，故不能发生全反射。[答案](1)eq\f(\r(3),3)R(2)不能[点评]本题考查折射定律、折射率、全反射及光路图的作法。充分理解这些知识点并能利用光路图中的几何关系是解题的关键。对于不同光学元件所发生的光学现象，练习中要注意积累、总结。[即时巩固]1.(2016·湖北高二检测)如图所示，一个三棱镜的截面为等腰直角△ABC，∠A为直角。此截面所在平面内的光线沿平行于BC边的方向射到AB边，进入棱镜后直接射到AC边上，并刚好能发生全反射。该棱镜材料的折射率为()A.eq\f(\r(6),2)B.eq\r(2)C.eq\f(3,2)D.eq\r(3)解析：选A如图所示，由θ2＋θ3＝eq\f(π,2)，n＝eq\f(sinθ1,sinθ2)与n＝eq\f(1,sinθ3)，解得n＝eq\f(\r(6),2)，A正确。1.成像法原理：利用水面的反射成像和水面的折射成像。方法：如图所示，在一盛满水的烧杯中，紧挨杯口竖直插一直尺AB，在直尺的对面观察水面，能同时看到直尺在水中的部分和露出水面部分的像，若从点P看到直尺在水下最低点的刻度B的像B′(折射成像)恰好跟直尺在水面上刻度A的像A′(反射成像)重合，读出AC、BC的长，量出烧杯内径d，即可求出水的折射率：n＝eq\r(BC2＋d2/AC2＋d2)。2．插针法原理：利用光的折射定律。方法：如图所示，取一方木板，在板上画出互相垂直的两条线AB、MN，从它们的交点O处画直线OP(使∠PON<45°)，在直线OP上P、Q两点处竖直插两枚大头针。把木板竖直插入水中，使AB与水面相平，MN与水面垂直。在水面上观察，调整视线使P的像被Q的像挡住，再在木板S、T处各插一枚大头针，使S挡住Q、P的像，T挡住S及Q、P的像。从水中取出木板，画出直线ST，量出图中的角i、r，则水的折射率n＝sini/sinr。3．视深法原理：利用视深公式h′＝h/n。方法：在一盛水的烧杯底部放一粒绿豆，在水面上方吊一根针，如图所示。调节针的位置，直到针尖在水中的像与看到的绿豆重合，测出针尖距水面距离即为杯中水的视深h′，再测出水的实际深度h，则水的折射率n＝h/h′。4．全反射法原理：利用全反射现象。方法：在一盛满水的大玻璃缸下面放一发光电珠，如图所示。在水面上观察，看到一圆的发光面，量出发光面直径D及水深h，则水的折射率n＝eq\f(\r(D2＋4h2),D)。[典型例题]例2.一圆柱形容器，底面半径与高之比为2∶3，高为3H，眼睛沿DA方向看去恰能看到底部边缘P点，将容器注满某种液体，眼睛仍保持沿DA方向看去，恰能看到底部圆心Q点，如图所示。(1)求此液体的折射率；(2)从液面上方垂直向下观察，容器底看起来的深度是多少？[解析](1)依题意作折射光路图，容器高为3H，n＝eq\f(sinθ1,sinθ2)由几何关系知sinθ1＝eq\f(2R,AP)，R＝2H，AP＝5Hsinθ2＝eq\f(R,AQ)，AQ＝eq\r(13)H解得n＝eq\f(2\r(13),5)(2)从液面正视容器底部Q点，由折射而成的虚像深度H′＝eq\f(3H,n)＝eq\f(3H,\f(2\r(13),5))＝eq\f(15,26)eq\r(13)H[答案](1)eq\f(2\r(13),5)(2)eq\f(15,26)eq\r(13)H[点评]解决此类问题应根据光在两种介质的界面上发生折射的规律，作出光路图，利用折射定律、全反射条件及平面几何知识来处理问题。[即时巩固]2．一个水池内盛有某种透明液体，液体的深度为H。在水池的底部中央放一点光源，其中一条光线以30°入射角射到液体与空气的界面上，它的反射光线与折射光线的夹角为105°，如图所示。求：(1)光在该液体中的传播速度大小；(2)液体表面被光源照亮区域的面积。解析：(1)由题意知：入射角θ1＝30°，折射角θ2＝45°n＝eq\f(sinθ2,sinθ1)＝eq\r(2)v＝eq\f(c,n)＝eq\f(3×108,\r(2))m/s≈2.12×108m/s(2)若发生全反射，入射角C应满足sinC＝eq\f(1,n)，即C＝45°由题意知，液体表面被照亮区域为一个圆形区域。区域半径R＝HtanC＝H区域面积S＝πR2＝πH2答案：(1)2.12×108m/s(2)πH21．[多选](2016·杭州高二检测)如图所示，一束复色光从长方体玻璃砖上表面射入玻璃，穿过玻璃后从侧面射出，变为a、b两束单色光，则以下说法正确的是()A．玻璃对a光的折射率较大B．在玻璃中b光的波长比a光短C．在玻璃中b光传播速度比a光大D．减小入射角i，a、b光线有可能消失解析：选BD如图所示，b光的偏折程度大于a光的偏折程度，知b光的折射率大于a光的折射率，A错误；根据λ＝eq\f(c,f)知，b光的频率大，则b光的波长小于a光的波长，B正确；b光的折射率大于a光的折射率，由v＝eq\f(c,n)知，在玻璃中b光的传播速度小于a光，C错误；减小入射角i，则折射角减小，到达左边竖直面时的入射角就增大，如增大到临界角，则发生全反射，a、b光线消失，D正确。2．如图所示，红色细光束a射到折射率为eq\r(2)的透明球表面，入射角为45°，在球的内壁经过一次反射后，从球面射出的光线为b，则入射光线a与出射光线b之间的夹角α为()A．30°B．45°C．60°D．75°解析：选A由折射定律有eq\r(2)＝eq\f(sin45°,sinθ)，得折射角θ＝30°，画出光路图，由几何关系知，夹角α＝30°，选项A正确。3．折射率n＝eq\r(2)的直角玻璃三棱镜截面如图所示，一束单色光从AB面入射，入射角为i(图中未标出)，ab为其折射光线，ab与AB面的夹角θ＝60°，则()A．i＝45°，光在AC面上不发生全反射B．i＝45°，光在AC面上发生全反射C．i＝30°，光在AC面上不发生全反射D．i＝30°，光在AC面上发生全反射解析：选B由题图中几何关系可知折射角r＝30°，由折射定律n＝eq\f(sini,sinr)可得，入射角i＝45°。由全反射关系可知，临界角sinC＝eq\f(1,n)，C＝45°，由几何关系可得，光在AC面上入射角为60°，因此光在AC面上会发生全反射，所以B正确。4．[多选](2016·盐城高二检测)如图所示，空气中有一横截面为半圆环的均匀透明柱体，其内圆半径为r，外圆半径为R，R＝eq\r(2)r。现有一束单色光垂直于水平端面A射入透明柱体，只经过两次全反射就垂直于水平端面B射出。设透明柱体的折射率为n，光在透明柱体内传播的时间为t，若真空中的光速为c，则()A．n可能为eq\r(3)B．n可能为2C．t可能为eq\f(2\r(2)r,c)D．t可能为eq\f(4.8r,c)解析：选AB设光线从A端面右端点C射入，光路如图。因为sinθ＝eq\f(r,R)，R＝eq\r(2)r，可得θ＝45°，CE＝r，则光线EF与半径为r的圆相切，由几何关系和题意，经两次反射，可知满足条件的只有此条光线，所以临界角C≤θ＝45°，则n＝eq\f(1,sinC)≥eq\r(2)，故A、B正确；根据光在介质中传播距离s＝4r，介质中光速v＝eq\f(c,n)，光传播时间t＝eq\f(s,v)，解得t≥eq\f(4\r(2)r,c)，故C、D错误。5．一个圆柱形筒，直径为12cm，高16cm，人眼在筒侧上方某处观察，所见筒侧的深度为9cm。当筒中盛满液体时，则人眼又恰能看到筒侧的最低点，求：(1)此液体的折射率；(2)光在此液体中的传播速度。解析：由题意作光路图，如图所示(1)液体折射率n＝eq\f(sini,sinr)＝eq\f(\r(122＋162),\r(122＋92))＝eq\f(4,3)(2)v＝eq\f(c,n)＝eq\f(3,4)c答案：(1)eq\f(4,3)(2)eq\f(3,4)c[基础练]一、选择题1．[多选]△OMN为玻璃等腰三棱镜的横截面。a、b两束可见单色光从空气垂直射入棱镜底面MN，在棱镜侧面OM、ON上反射和折射情况如图所示，由此可知()A．棱镜内a光的传播速度比b光的小B．棱镜内a光的传播速度比b光的大C．a光的频率比b光的高D．a光的波长比b光的长解析：选BD由于光线b从棱镜射向空气时发生全反射，而a光线未发生全反射，故b光的频率比a光的高，波长比a光短，棱镜对b光的折射率比对a光的大，棱镜内b光的传播速度比a光的小。选项B、D正确。2．如图所示，一束可见光射向半圆形玻璃砖的圆心O，经折射后分为两束单色光a和b。下列判断正确的是()A．玻璃对a光的折射率小于对b光的折射率B．a光的频率大于b光的频率C．在真空中a光的波长大于b光的波长D．如果增大入射角，b光先发生全反射解析：选B根据光路可逆和折射定律可知，玻璃对a光的折射率大于对b光的折射率，a光的频率大于b光的频率，则A项错误，B项正确；根据波长λ＝eq\f(c,f)，知a光的波长小于b光的波长；如果增大入射角，a光先发生全反射，则C、D项错误。3．[多选]如图所示是一玻璃球体，其半径为R，O为球心，AB为水平直径。M点是玻璃球体的最高点，来自B点的光线BD从D点射出，出射光线平行于AB，已知∠ABD＝30°，光在真空中的传播速度为c，则()A．此玻璃球的折射率为eq\r(3)B．光线从B到D需用时eq\f(3R,c)C．若增大∠ABD，光线不可能在DM段发生全反射现象D．若减小∠ABD，从AD段射出的光线均平行于AB解析：选AB由题图可知光线在D点的入射角为i＝30°，折射角为r＝60°，由折射率的定义得n＝eq\f(sinr,sini)知n＝eq\r(3)，A正确；光线在玻璃中的传播速度为v＝eq\f(c,n)＝eq\f(\r(3),3)c，由题图知BD＝eq\r(3)R，所以光线从B到D需用时t＝eq\f(BD,v)＝eq\f(3R,c)，B正确；若增大∠ABD，则光线射向DM段时入射角增大，射向M点时为45°，而临界角sinC＝eq\f(1,n)＝eq\f(\r(3),3)<eq\f(\r(2),2)＝sin45°，即光线可以在DM段发生全反射现象，C错误；要使出射光线平行于AB，则入射角必须为30°，D错误。二、非选择题4．如图所示，三角形ABC为某透明介质的横截面，O为BC边的中点，位于截面所在平面内的一束光线自O以角i入射，第一次到达AB边恰好发生全反射。已知θ＝15°，BC边长为2L，该介质的折射率为eq\r(2)。求：(1)入射角i;(2)从入射到发生第一次全反射所用的时间(设光在真空中的速度为c，可能用到sin75°＝eq\f(\r(6)＋\r(2),4)或tan15°＝2－eq\r(3))。解析：(1)根据全反射定律可知，光线在AB面上P点的入射角等于临界角C，由折射定律得sinC＝eq\f(1,n)①代入数据得C＝45°②设光线在BC面上的折射角为r，由几何关系得r＝30°③由折射定律得n＝eq\f(sini,sinr)④联立③④式，代入数据得i＝45°⑤(2)在△OPB中，根据正弦定理得eq\f(\x\to(OP),sin75°)＝eq\f(L,sin45°)⑥设所用时间为t，光线在介质中的速度为v，得eq\x\to(OP)＝vt⑦v＝eq\f(c,n)⑧联立⑥⑦⑧式，代入数据得t＝eq\f(\r(6)＋\r(2),2c)L⑨答案：(1)45°(2)eq\f(\r(6)＋\r(2),2c)L5．如图所示，在水面上放置一个足够大的遮光板，板上有一个半径为r的圆孔，圆心的正上方h处放一个点光源S，在水面下深H处的底部形成半径为R的圆形光亮区域(图中未画出)。测得r＝8cm，h＝6cm，H＝24cm，R＝26cm，求水的折射率。解析：根据光路图，可知sinθ1＝eq\f(r,\r(r2＋h2))＝0.8，sinθ2＝eq\f(R－r,\r(R－r2＋H2))＝0.6由折射定律得：n＝eq\f(sinθ1,sinθ2)得n＝eq\f(4,3)答案：eq\f(4,3)[提能练]一、选择题1．如图所示，P、Q是两种透明材料制成的两块直角梯形的棱镜，叠合在一起组成一个长方体。某单色光沿与P的上表面成θ角的方向斜射向P，其折射光线正好垂直通过两棱镜的界面。已知材料的折射率nP<nQ，则下列说法正确的是()A．一定没有光线从Q的下表面射出B．从Q的下表面射出的光线一定与入射到P的上表面的光线平行C．如果光线从Q的下表面射出，出射光线与下表面所夹的锐角一定大于θD．如果光线从Q的下表面射出，出射光线与下表面所夹的锐角一定小于θ解析：选D作出光路图，如图所示。由题意可知，光线垂直射入Q，根据折射定律，则有：nP＝eq\f(sinα,sinβ)，nQ＝eq\f(sini,sinr)；因为nP<nQ，β＝r，所以α<i，故D正确。2．如图所示，一个透明玻璃球的折射率为eq\r(2)，一束足够强的细光束在过球心的平面内，以45°入射角由真空射入玻璃球后，在玻璃球与真空的交界面处发生多次反射和折射，从各个方向观察玻璃球，能看到从玻璃球内射出的光线的条数是()A．2B．3C．4D．5解析：选BsinC＝eq\f(1,n)＝eq\f(\r(2),2)，C＝45°；n＝eq\f(sin45°,sinθ)，θ＝30°。光路图如图所示。所以共有3条光线射出玻璃球，故B正确。3.如图所示，AOB为透明扇形玻璃砖，圆心角∠AOB＝60°，OM为∠AOB的角平分线，平行于OM的单色光在空气中由OA边射入玻璃砖，经OA面折射后的光线恰平行于OB。则下列说法中正确的是()A．该玻璃砖的折射率为2B．经OA面折射后的光线射到AMB面都将发生全反射C．该入射光在空气中的波长与玻璃砖中的波长相等D．该入射光在空气中的频率与玻璃砖中的频率相等解析：选D依题意作出光路图(图略)，由几何知识得：入射角i＝60°，折射角r＝30°，由折射定律n＝eq\f(sini,sinr)得n＝eq\r(3)，A错误；由sinC＝eq\f(1,n)可知，光在此介质中发生全反射的临界角C大于30°，经OA面折射后照射到eq\x\to(AM)面这一范围的光线可能发生全反射，经OA面折射后照射到eq\x\to(MB)范围的光线不能发生全反射，B错误；光在不同介质中传播的过程中频率不变，D正确；若光在真空中的传播速度为c，则光在玻璃砖中的传播速度为v＝eq\f(c,n)＝eq\f(\r(3),3)c，由v＝λf可知，该入射光在空气和玻璃砖中的波长不同，C错误。4．在桌面上有一倒立的玻璃圆锥，其顶点恰好与桌面接触，圆锥的轴(图中虚线)与桌面垂直，过轴线的截面为等边三角形，如图所示。有一半径为r的圆柱形平行光束垂直入射到圆锥的底面上，光束的中心轴与圆锥的轴重合。已知玻璃的折射率为1.5，则光束在桌面上形成的光斑半径为()A．rB．1.5rC．