2021高考数学一轮复习《一元二次不等式及其解法》课件

§1.5一元二次不等式及其解法大一轮复习讲义§1.5一元二次不等式及其解法大一轮复习讲义基础落实回扣基础知识训练基础题目题型突破典题深度剖析重点多维探究课时精练内容索引INDEX基础落实回扣基础知识训练基础题目题型突破典题深度剖析重点回扣基础知识训练基础题目基础落实回扣基础知识训练基础题目基础落实判别式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象

方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有两相异实根x1，x2(x1<x2)有两相等实根x1＝x2＝－没有实数根一元二次不等式的解集知识梳理判别式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集______________{x|x∈R}ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集__________________{x|x<x1或x>x2}{x|x1<x<x2}∅∅ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集___________1.一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集与其对应的函数y＝ax2＋bx＋c的图象有什么关系？概念方法微思考提示

ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集就是其对应函数y＝ax2＋bx＋c的图象在x轴上方的部分所对应的x的取值范围.2.一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(<0)恒成立的条件是什么？1.一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集与其对1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若不等式ax2＋bx＋c<0的解集为(x1，x2)，则必有a>0.(

)(2)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R.(

)(3)不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a<0且Δ＝b2－4ac≤0.(

)(4)若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，则不等式ax2＋bx＋c<0的解集一定不是空集.(

)基础自测题组一思考辨析√××√1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)基础自2.已知集合A＝{x|x2－x－6>0}，则∁RA等于A.{x|－2<x<3} B.{x|－2≤x≤3}C.{x|x<－2或x>3} D.{x|x≤－2或x≥3}题组二教材改编√解析∵x2－x－6>0，∴(x＋2)(x－3)>0，∴x>3或x<－2，即A＝{x|x>3或x<－2}.在数轴上表示出集合A，如图所示.由图可得∁RA＝{x|－2≤x≤3}.故选B.2.已知集合A＝{x|x2－x－6>0}，则∁RA等于题组二3.y＝log2(3x2－2x－2)的定义域是______________________________.解析由题意，得3x2－2x－2>0，3.y＝log2(3x2－2x－2)的定义域是_______解析由题意知a<0，则排除B，D；题组三易错自纠4.(多选)关于x的不等式(ax－1)(x＋2a－1)>0的解集中恰有3个整数，则a的值可以为A.－

B.1 C.－1

D.2√√即(x＋2)(x－2)<0，解得－2<x<2，恰有3个整数，符合题意；对于C项，当a＝－1时，(－x－1)(x－3)>0，即(x＋1)(x－3)<0，解得－1<x<3，恰有3个整数，符合题意，故选AC.解析由题意知a<0，则排除B，D；题组三易错自纠4.(多(－4,1)解析由－x2－3x＋4>0可知，(x＋4)(x－1)<0，得－4<x<1.5.不等式－x2－3x＋4>0的解集为________.(用区间表示)(－4,1)解析由－x2－3x＋4>0可知，(x＋4)(x－14－147.不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0，对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是________.(－2,2]当a＝2时，原式化为－4<0，不等式恒成立，∴－2<a≤2.即实数a的取值范围是(－2,2].7.不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0，对一切x∈典题深度剖析重点多维探究题型突破典题深度剖析重点多维探究题型突破例1

(2019·济宁模拟)已知全集U＝R，集合A＝{x|x2－3x＋2≥0}，则∁RA等于A.(1,2) B.[1,2]C.(－∞，1]∪[2，＋∞) D.(－∞，1)∪(2，＋∞)一元二次不等式的求解题型一多维探究解析由题意可得，∁RA＝{x|x2－3x＋2<0}＝{x|1<x<2}，表示为区间形式即(1,2).故选A.√命题点1不含参的不等式例1(2019·济宁模拟)已知全集U＝R，集合A＝{x|x解原不等式变为(ax－1)(x－1)<0，例2解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0(a>0).命题点2含参不等式当a＝1时，解集为∅；当a＝1时，不等式的解集为∅；解原不等式变为(ax－1)(x－1)<0，例2解关于x的对含参的不等式，应对参数进行分类讨论(1)根据二次项系数为正、负及零进行分类.(2)根据判别式Δ与0的关系判断根的个数.(3)有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论.思维升华SIWEISHENGHUA对含参的不等式，应对参数进行分类讨论思维升华SIWEIS跟踪训练1

(1)(2020·北京市海淀区期末)不等式x2＋2x－3<0的解集为A.{x|x<－3或x>1} B.{x|x<－1或x>3}C.{x|－1<x<3} D.{x|－3<x<1}√解析由x2＋2x－3<0得(x＋3)(x－1)<0，解得－3<x<1.故选D.跟踪训练1(1)(2020·北京市海淀区期末)不等式x2＋{x|x≥3或x≤2}故不等式x2－bx－a≥0为x2－5x＋6≥0，解得x≥3或x≤2.{x|x≥3或x≤2}故不等式x2－bx－a≥0为x2－5x解

原不等式可化为12x2－ax－a2>0，即(4x＋a)(3x－a)>0，令(4x＋a)(3x－a)＝0，(3)解不等式12x2－ax>a2(a∈R).当a＝0时，不等式的解集为(－∞，0)∪(0，＋∞)；解原不等式可化为12x2－ax－a2>0，(3)解不等式1例3已知函数f

(x)＝mx2－mx－1.若对于x∈R，f

(x)<0恒成立，求实数m的取值范围.一元二次不等式恒成立问题题型二多维探究解

当m＝0时，f

(x)＝－1<0恒成立.综上，－4<m≤0，故m的取值范围是(－4,0].命题点1在R上的恒成立问题例3已知函数f(x)＝mx2－mx－1.若对于x∈R，f例4已知函数f

(x)＝mx2－mx－1.若对于x∈[1,3]，f

(x)<5－m恒成立，求实数m的取值范围.命题点2在给定区间上的恒成立问题例4已知函数f(x)＝mx2－mx－1.若对于x∈[1,解

要使f

(x)<－m＋5在x∈[1,3]上恒成立，有以下两种方法：当m>0时，g(x)在[1,3]上是增函数，所以g(x)max＝g(3)，即7m－6<0，当m＝0时，－6<0恒成立；当m<0时，g(x)在[1,3]上是减函数，所以g(x)max＝g(1)，即m－6<0，所以m<6，所以m<0.解要使f(x)<－m＋5在x∈[1,3]上恒成立，有以下2021高考数学一轮复习《一元二次不等式及其解法》课件引申探究1若将“f

(x)<5－m恒成立”改为“f

(x)<5－m无解”，如何求m的取值范围？解

若f

(x)<5－m无解，即f

(x)≥5－m恒成立，即m的取值范围为[6，＋∞).引申探究1若将“f(x)<5－m恒成立”改为“f(x)<引申探究2若将“f

(x)<5－m恒成立”改为“存在x，使f

(x)<5－m成立”，如何求m的取值范围？解

由题意知f

(x)<5－m有解，又x∈[1,3]，得m<6，即m的取值范围为(－∞，6).引申探究2若将“f(x)<5－m恒成立”改为“存在x，使f解

设g(m)＝mx2－mx－1＝(x2－x)m－1，其图象是直线，当m∈[1,2]时，图象为一条线段，例5若mx2－mx－1<0对于m∈[1,2]恒成立，求实数x的取值范围.命题点3给定参数范围的恒成立问题解设g(m)＝mx2－mx－1＝(x2－x)m－1，其图象解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数.思维升华SIWEISHENGHUA解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的解

∵当x∈R时，x2＋ax＋3－a≥0恒成立，需Δ＝a2－4(3－a)≤0，即a2＋4a－12≤0，解得－6≤a≤2，∴实数a的取值范围是[－6,2].跟踪训练2函数f

(x)＝x2＋ax＋3.(1)若当x∈R时，f

(x)≥a恒成立，求实数a的取值范围；解∵当x∈R时，x2＋ax＋3－a≥0恒成立，跟踪训练2解

由题意可转化为x2＋ax＋3－a≥0在x∈[－2,2]上恒成立，则(x2＋ax＋3－a)min≥0(x∈[－2,2]).令g(x)＝x2＋ax＋3－a，x∈[－2,2]，(2)若当x∈[－2,2]时，f

(x)≥a恒成立，求实数a的取值范围；解得－6≤a≤2，∴－4≤a≤2；解得a≥－7，∴－7≤a<－4.综上可得，满足条件的实数a的取值范围是[－7,2].解由题意可转化为x2＋ax＋3－a≥0在x∈[－2,2]上解

令h(a)＝xa＋x2＋3.当a∈[4,6]时，h(a)≥0恒成立.(3)若当a∈[4,6]时，f

(x)≥0恒成立，求实数x的取值范围.解令h(a)＝xa＋x2＋3.(3)若当a∈[4,6]时，分布情况两个负根即两根都小于0(x1<0，x2<0)两个正根即两根都大于0(x1>0，x2>0)一正根一负根即一个根小于0，一个根大于0(x1<0<x2)大致图象(a>0)

设方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，Δ>0)有不相等的两根为x1，x2，且x1<x2，相应的二次函数为f

(x)＝ax2＋bx＋c，方程的根即为二次函数的图象与x轴交点的横坐标，它们的分布情况见下面各表(每种情况对应的均是充要条件).表一：(两根与0的大小比较即根的正负情况)一元二次方程根的分布情况拓展视野分布情况两个负根即两根都小于0(x1<0，x2<0)两个正根得出的结论f

(0)<0大致图象(a<0)

得出的结论f

(0)>0得出的结论f(0)<0大致图象(a<0)

得出的结论f综合结论(不讨论a)a·f

(0)<0综合结论(不讨论a)a·f(0)<0分布情况两根都小于k即x1<k，x2<k两根都大于k即x1>k，x2>k一个根小于k，一个根大于k即x1<k<x2大致图象(a>0)

得出的结论f

(k)<0表二：(两根与k的大小比较)分布情况两根都小于k即x1<k，x2<k两根都大于k即x1>大致图象(a<0)

得出的结论f

(k)>0综合结论(不讨论a)a·f

(k)<0大致图象(a<0)

得出的结论f(k)>0综合结论(不分布情况两根都在(m，n)内两根有且仅有一根在(m，n)内(图象有两种情况，只画了一种)一根在(m，n)内，另一根在(p，q)内，m<n<p<q大致图象(a>0)

得出的结论f

(m)·f

(n)<0

或表三：(根在区间上的分布)分布两根都在(m，n)内两根有且仅有一根在(m，n)内(图象大致图象(a<0)

得出的结论f

(m)·f

(n)<0

或大致图象(a<0)

得出的结论f(m)·f(n)<0综合结论(不讨论a)f

(m)·f

(n)<0综合结论(不讨论a)f(m)·f(n)<0根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间(m，n)外，即在区间两侧x1<m，x2>n，(图形分别如下)需满足的条件是根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间(m，n)外，即对以上的根的分布表中，两根有且仅有一根在(m，n)内有以下特殊情况：(ⅰ)若f

(m)＝0或f

(n)＝0，则此时f

(m)·f

(n)<0不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为m或n，可以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间(m，n)内，从而可以求出参数的值.如方程mx2－(m＋2)x＋2＝0在区间(1,3)上有一根，因为f

(1)＝0，所以mx2－(m＋2)x＋2＝(x－1)(mx－2)，另一根为对以上的根的分布表中，两根有且仅有一根在(m，n)内有以下特(ⅱ)方程有两个相等的根，且这个根在区间(m，n)内，即Δ＝0，此时由Δ＝0可以求出参数的值，然后再将参数的值带入方程，求出相应的根，检验根是否在给定的区间内，如若不在，舍去相应的参数.如方程x2－4mx＋2m＋6＝0有且只有一根在区间(－3,0)内，求m的取值范围.分析：①由f

(－3)·f

(0)<0即(14m＋15)(m＋3)<0得出(ⅱ)方程有两个相等的根，且这个根在区间(m，n)内，即Δ＝例1已知二次方程(2m＋1)x2－2mx＋(m－1)＝0有一正根和一负根，求实数m的取值范围.解

设f

(x)＝(2m＋1)x2－2mx＋(m－1)，由(2m＋1)·f

(0)<0，即(2m＋1)(m－1)<0，例1已知二次方程(2m＋1)x2－2mx＋(m－1)＝0有例2已知方程2x2－(m＋1)x＋m＝0有两个不等正实根，求实数m的取值范围.解

设f

(x)＝2x2－(m＋1)x＋m，例2已知方程2x2－(m＋1)x＋m＝0有两个不等正实根，例3已知二次函数f

(x)＝(m＋2)x2－(2m＋4)x＋3m＋3与x轴有两个交点，一个大于1，一个小于1，求实数m的取值范围.解

由(m＋2)·f

(1)<0，例3已知二次函数f(x)＝(m＋2)x2－(2m＋4)x课时精练课时精练基础保分练1.(2019·武汉调研)已知集合A＝{x|x2－x－2<0}，B＝{x|x2＋3x<0}，则A∩B等于A.(0,2) B.(－1,0)C.(－3,2) D.(－1,3)√12345678910111213141516解析A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|－3<x<0}，∴A∩B＝(－1,0).故选B.基础保分练1.(2019·武汉调研)已知集合A＝{x|x2－2.(2020·黄冈调研)关于x的不等式ax＋b>0的解集是(1，＋∞)，则关于x的不等式(ax＋b)(x－2)<0的解集是A.(－∞，1)∪(2，＋∞) B.(－1,2)C.(1,2) D.(－∞，－1)∪(2，＋∞)√12345678910111213141516解析关于x的不等式ax＋b>0的解集是(1，＋∞)，即(x－1)(x－2)<0，∴不等式的解集为{x|1<x<2}.故选C.2.(2020·黄冈调研)关于x的不等式ax＋b>0的解集是3.“不等式x2－x＋m>0在R上恒成立”的充要条件是√12345678910111213141516解析∵不等式x2－x＋m>0在R上恒成立，3.“不等式x2－x＋m>0在R上恒成立”的充要条件是√124.若不等式x2－(a＋1)x＋a≤0的解集是[－4,3]的子集，则a的取值范围是A.[－4,1]

B.[－4,3]C.[1,3]

D.[－1,3]√解析原不等式为(x－a)(x－1)≤0，当a<1时，不等式的解集为[a,1]，此时只要a≥－4即可，即－4≤a<1；当a＝1时，不等式的解为x＝1，此时符合要求；当a>1时，不等式的解集为[1，a]，此时只要a≤3即可，即1<a≤3，综上可得－4≤a≤3.123456789101112131415164.若不等式x2－(a＋1)x＋a≤0的解集是[－4,3]的5.若存在实数x∈[2,4]，使x2－2x＋5－m<0成立，则m的取值范围为A.(13，＋∞) B.(5，＋∞)C.(4，＋∞) D.(－∞，13)√解析m>x2－2x＋5，设f

(x)＝x2－2x＋5＝(x－1)2＋4，x∈[2,4]，当x＝2时f

(x)min＝5，∃x∈[2,4]使x2－2x＋5－m<0成立，即m>f

(x)min，∴m>5.故选B.123456789101112131415165.若存在实数x∈[2,4]，使x2－2x＋5－m<0成立，6.在关于x的不等式x2－(a＋1)x＋a<0的解集中至多包含1个整数，则a的取值范围是A.(－3,5) B.(－2,4)C.[－1,3]

D.[－2,4]12345678910111213141516解析

因为关于x的不等式x2－(a＋1)x＋a<0可化为(x－1)(x－a)<0，当a>1时，不等式的解集为{x|1<x<a}，当a<1时，不等式的解集为{x|a<x<1}，当a＝1时，不等式的解集为∅，要使得解集中至多包含1个整数，则a＝1或1<a≤3或－1≤a<1，所以实数a的取值范围是a∈[－1,3]，故选C.√6.在关于x的不等式x2－(a＋1)x＋a<0的解集中至多包123456789101112131415167.(多选)下列四个解不等式，正确的有A.不等式2x2－x－1>0的解集是{x|x>2或x<1}B.不等式－6x2－x＋2≤0的解集是C.若不等式ax2＋8ax＋21<0的解集是{x|－7<x<－1}，那么a的值是3D.关于x的不等式x2＋px－2<0的解集是(q,1)，则p＋q的值为－1√√√123456789101112131415167.(多选)下12345678910111213141516解析对于A，∵2x2－x－1＝(2x＋1)(x－1)，∴由2x2－x－1>0得(2x＋1)(x－1)>0，对于B，∵－6x2－x＋2≤0，∴6x2＋x－2≥0，对于C，由题意可知－7和－1为方程ax2＋8ax＋21＝0的两个根．∴a－8a＋21＝0，∴a＝3.故C正确；对于D，依题意q,1是方程x2＋px－2＝0的两根，q＋1＝－p，即p＋q＝－1，故D正确.12345678910111213141516解析对于A，8.(多选)已知关于x的不等式kx2－2x＋6k<0(k≠0)，则下列说法正确的是12345678910111213141516√√√8.(多选)已知关于x的不等式kx2－2x＋6k<0(k≠0解析对于A，∵不等式的解集为{x|x<－3或x>－2}，∴k<0，且－3与－2是方程kx2－2x＋6k＝0的两根，12345678910111213141516解析对于A，∵不等式的解集为{x|x<－3或x>－2}，112345678910111213141516(－2，－1)(答案不唯一)则满足条件的一组有序实数对(a，b)的值可以是(－2，－1).12345678910111213141516(－2，－1)1234567891011121314151610.在R上定义运算⊗：x⊗y＝x(1－y)，若不等式(x－a)⊗(x＋a)<1对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为________.解析由题意，可知不等式(x－a)⊗(x＋a)<1对任意实数x都成立，又由(x－a)⊗(x＋a)＝(x－a)(1－x－a)，即x2－x－a2＋a＋1>0对任意实数x都成立，所以Δ＝1－4(－a2＋a＋1)<0，即4a2－4a－3<0，1234567891011121314151610.在R上定12345678910111213141516解得a＝－2，b＝8.11.已知关于x的不等式－x2＋ax＋b>0.(1)若该不等式的解集为(－4,2)，求a，b的值；12345678910111213141516解得a＝－2，12345678910111213141516解

当b＝a＋1时，－x2＋ax＋b>0⇔x2－ax－(a＋1)<0，即[x－(a＋1)](x＋1)<0.当a＋1＝－1，即a＝－2时，原不等式的解集为∅；当a＋1<－1，即a<－2时，原不等式的解集为(a＋1，－1)；当a＋1>－1，即a>－2时，原不等式的解集为(－1，a＋1).综上，当a<－2时，不等式的解集为(a＋1，－1)；当a＝－2时，不等式的解集为∅；当a>－2时，

不等式的解集为(－1，a＋1).(2)若b＝a＋1，求此不等式的解集.12345678910111213141516解当b＝a＋12345678910111213141516(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，求x的取值范围；又1≤x≤10，可解得3≤x≤10.故要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，x的取值范围是[3,10].12345678910111213141516(1)要使生产12345678910111213141516(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，则甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润.故当x＝6时，ymax＝457500.故甲厂以6千克/小时的生产速度生产900千克该产品时获得的利润最大，最大利润为457500元.12345678910111213141516(2)要使生产技能提升练1234567891011121314151613.设a<0，(4x2＋a)(2x＋b)≥0在(a，b)上恒成立，则b－a的最大值为√技能提升练123456789101112131415161312345678910111213141516解析由题意知a<0，a<b，则①当b<0时，∀x∈(a，b)，2x＋b<0，所以(4x2＋a)(2x＋b)≥0在(a，b)上恒成立可转化为∀x∈(a，b)，a≤－4x2，②当b>0时，(4x2＋a)(2x＋b)≥0在(a，b)上恒成立，当x＝0时，(4x2＋a)(2x＋b)＝ab<0，不符合题意；③当b＝0时，由题意知x∈(a,0)，(4x2＋a)2x≥0恒成立，12345678910111213141516解析由题意知14.已知对于任意的x∈(－∞，1)∪(5，＋∞)，都有x2－2(a－2)x＋a>0，则实数a的取值范围是________.12345678910111213141516(1,5]14.已知对于任意的x∈(－∞，1)∪(5，＋∞)，都有x2解析设f

(x)＝x2－2(a－2)x＋a，当Δ＝4(a－2)2－4a<0，即1<a<4时，f

(x)>0对x∈R恒成立，符合题意；当a＝1时，f

(－1)＝0，不符合题意；当a＝4时，f

(x)＝x2－4x＋4＝(x－2)2>0对x∈(－∞，1)∪(5，＋∞)恒成立，符合题意；12345678910111213141516即4<a≤5.综上所述，实数a的取值范围是(1,5].解析设f(x)＝x2－2(a－2)x＋a，123456715.若集合A＝{x∈Z|x2－(a＋2)x＋2－a<0}中有且只有一个元素，则正实数a的取值范围是________.拓展冲刺练1234567891011121314151615.若集合A＝{x∈Z|x2－(a＋2)x＋2－a<0}中解析f

(x)＝x2－(a＋2)x＋2－a<0，即x2－2x＋1<a(x＋1)－1，分别令y1＝x2－2x＋1，y2＝a(x＋1)－1，易知y2过定点(－1，－1)，在同一坐标系中画出两个函数的图象，如图所示，若集合A＝{x∈Z|f

(x)<0}中有且只有一个元素，结合图象可得，即点(0,1)和点(2,1)在直线上或者在直线上方，点(1,0)在直线下方，12345678910111213141516解析f(x)＝x2－(a＋2)x＋2－a<0，123451234567891011121314151616.(2020·南京六校联考)已知函数f

(x)＝x2－2ax＋2a－1.若对任意的a∈(0,3)，存在x0∈[0,4]，使得t≤|f

(x0)|成立，求实数t的取值范围.1234567891011121314151616.(20212345678910111213141516解

∵f

(x)＝x2－2ax＋2a－1的对称轴为x＝a，且a∈(0,3)，∴函数f

(x)＝x2－2ax＋2a－1在[0，a]上是减函数，在[a,4]上是增函数；∴函数f

(x)＝x2－2ax＋2a－1在[0,4]上的最小值为f

(a)＝－(a－1)2∈(－4,0]，|f

(a)|＝(a－1)2，①当2≤a<3时，函数f

(x)＝x2－2ax＋2a－1(x∈[0,4])在x＝0时取得最大值，且最大值为2a－1，由于此时2≤a<3，则3≤2a－1<5，易知当2≤a<3时，(a－1)2<2a－1，所以|f

(x)|max＝max{|f

(a)|，|f

(0)|}＝|f

(0)|＝2a－1∈[3,5).∴t≤3.12345678910111213141516解∵f(x12345678910111213141516②当0<a<2时，函数f

(x)＝x2－2ax＋2a－1(x∈[0,4])在x＝4时取得最大值，且最大值为42－8a＋2a－1＝15－6a，由于此时0<a<2，所以3<15－6a<15，且15－6a>(a－1)2，|f

(x)|max＝max{|f

(a)|，|f

(4)|}＝|f

(4)|＝15－6a∈(3,15)，∴t≤3.综上，

t的取值范围是(－∞，3].12345678910111213141516②当0<a<2§1.5一元二次不等式及其解法大一轮复习讲义§1.5一元二次不等式及其解法大一轮复习讲义基础落实回扣基础知识训练基础题目题型突破典题深度剖析重点多维探究课时精练内容索引INDEX基础落实回扣基础知识训练基础题目题型突破典题深度剖析重点回扣基础知识训练基础题目基础落实回扣基础知识训练基础题目基础落实判别式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象

方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有两相异实根x1，x2(x1<x2)有两相等实根x1＝x2＝－没有实数根一元二次不等式的解集知识梳理判别式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集______________{x|x∈R}ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集__________________{x|x<x1或x>x2}{x|x1<x<x2}∅∅ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集___________1.一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集与其对应的函数y＝ax2＋bx＋c的图象有什么关系？概念方法微思考提示

ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集就是其对应函数y＝ax2＋bx＋c的图象在x轴上方的部分所对应的x的取值范围.2.一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(<0)恒成立的条件是什么？1.一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集与其对1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若不等式ax2＋bx＋c<0的解集为(x1，x2)，则必有a>0.(

)(2)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R.(

)(3)不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a<0且Δ＝b2－4ac≤0.(

)(4)若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，则不等式ax2＋bx＋c<0的解集一定不是空集.(

)基础自测题组一思考辨析√××√1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)基础自2.已知集合A＝{x|x2－x－6>0}，则∁RA等于A.{x|－2<x<3} B.{x|－2≤x≤3}C.{x|x<－2或x>3} D.{x|x≤－2或x≥3}题组二教材改编√解析∵x2－x－6>0，∴(x＋2)(x－3)>0，∴x>3或x<－2，即A＝{x|x>3或x<－2}.在数轴上表示出集合A，如图所示.由图可得∁RA＝{x|－2≤x≤3}.故选B.2.已知集合A＝{x|x2－x－6>0}，则∁RA等于题组二3.y＝log2(3x2－2x－2)的定义域是______________________________.解析由题意，得3x2－2x－2>0，3.y＝log2(3x2－2x－2)的定义域是_______解析由题意知a<0，则排除B，D；题组三易错自纠4.(多选)关于x的不等式(ax－1)(x＋2a－1)>0的解集中恰有3个整数，则a的值可以为A.－

B.1 C.－1

D.2√√即(x＋2)(x－2)<0，解得－2<x<2，恰有3个整数，符合题意；对于C项，当a＝－1时，(－x－1)(x－3)>0，即(x＋1)(x－3)<0，解得－1<x<3，恰有3个整数，符合题意，故选AC.解析由题意知a<0，则排除B，D；题组三易错自纠4.(多(－4,1)解析由－x2－3x＋4>0可知，(x＋4)(x－1)<0，得－4<x<1.5.不等式－x2－3x＋4>0的解集为________.(用区间表示)(－4,1)解析由－x2－3x＋4>0可知，(x＋4)(x－14－147.不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0，对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是________.(－2,2]当a＝2时，原式化为－4<0，不等式恒成立，∴－2<a≤2.即实数a的取值范围是(－2,2].7.不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0，对一切x∈典题深度剖析重点多维探究题型突破典题深度剖析重点多维探究题型突破例1

(2019·济宁模拟)已知全集U＝R，集合A＝{x|x2－3x＋2≥0}，则∁RA等于A.(1,2) B.[1,2]C.(－∞，1]∪[2，＋∞) D.(－∞，1)∪(2，＋∞)一元二次不等式的求解题型一多维探究解析由题意可得，∁RA＝{x|x2－3x＋2<0}＝{x|1<x<2}，表示为区间形式即(1,2).故选A.√命题点1不含参的不等式例1(2019·济宁模拟)已知全集U＝R，集合A＝{x|x解原不等式变为(ax－1)(x－1)<0，例2解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0(a>0).命题点2含参不等式当a＝1时，解集为∅；当a＝1时，不等式的解集为∅；解原不等式变为(ax－1)(x－1)<0，例2解关于x的对含参的不等式，应对参数进行分类讨论(1)根据二次项系数为正、负及零进行分类.(2)根据判别式Δ与0的关系判断根的个数.(3)有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论.思维升华SIWEISHENGHUA对含参的不等式，应对参数进行分类讨论思维升华SIWEIS跟踪训练1

(1)(2020·北京市海淀区期末)不等式x2＋2x－3<0的解集为A.{x|x<－3或x>1} B.{x|x<－1或x>3}C.{x|－1<x<3} D.{x|－3<x<1}√解析由x2＋2x－3<0得(x＋3)(x－1)<0，解得－3<x<1.故选D.跟踪训练1(1)(2020·北京市海淀区期末)不等式x2＋{x|x≥3或x≤2}故不等式x2－bx－a≥0为x2－5x＋6≥0，解得x≥3或x≤2.{x|x≥3或x≤2}故不等式x2－bx－a≥0为x2－5x解

原不等式可化为12x2－ax－a2>0，即(4x＋a)(3x－a)>0，令(4x＋a)(3x－a)＝0，(3)解不等式12x2－ax>a2(a∈R).当a＝0时，不等式的解集为(－∞，0)∪(0，＋∞)；解原不等式可化为12x2－ax－a2>0，(3)解不等式1例3已知函数f

(x)＝mx2－mx－1.若对于x∈R，f

(x)<0恒成立，求实数m的取值范围.一元二次不等式恒成立问题题型二多维探究解

当m＝0时，f

(x)＝－1<0恒成立.综上，－4<m≤0，故m的取值范围是(－4,0].命题点1在R上的恒成立问题例3已知函数f(x)＝mx2－mx－1.若对于x∈R，f例4已知函数f

(x)＝mx2－mx－1.若对于x∈[1,3]，f

(x)<5－m恒成立，求实数m的取值范围.命题点2在给定区间上的恒成立问题例4已知函数f(x)＝mx2－mx－1.若对于x∈[1,解

要使f

(x)<－m＋5在x∈[1,3]上恒成立，有以下两种方法：当m>0时，g(x)在[1,3]上是增函数，所以g(x)max＝g(3)，即7m－6<0，当m＝0时，－6<0恒成立；当m<0时，g(x)在[1,3]上是减函数，所以g(x)max＝g(1)，即m－6<0，所以m<6，所以m<0.解要使f(x)<－m＋5在x∈[1,3]上恒成立，有以下2021高考数学一轮复习《一元二次不等式及其解法》课件引申探究1若将“f

(x)<5－m恒成立”改为“f

(x)<5－m无解”，如何求m的取值范围？解

若f

(x)<5－m无解，即f

(x)≥5－m恒成立，即m的取值范围为[6，＋∞).引申探究1若将“f(x)<5－m恒成立”改为“f(x)<引申探究2若将“f

(x)<5－m恒成立”改为“存在x，使f

(x)<5－m成立”，如何求m的取值范围？解

由题意知f

(x)<5－m有解，又x∈[1,3]，得m<6，即m的取值范围为(－∞，6).引申探究2若将“f(x)<5－m恒成立”改为“存在x，使f解

设g(m)＝mx2－mx－1＝(x2－x)m－1，其图象是直线，当m∈[1,2]时，图象为一条线段，例5若mx2－mx－1<0对于m∈[1,2]恒成立，求实数x的取值范围.命题点3给定参数范围的恒成立问题解设g(m)＝mx2－mx－1＝(x2－x)m－1，其图象解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数.思维升华SIWEISHENGHUA解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的解

∵当x∈R时，x2＋ax＋3－a≥0恒成立，需Δ＝a2－4(3－a)≤0，即a2＋4a－12≤0，解得－6≤a≤2，∴实数a的取值范围是[－6,2].跟踪训练2函数f

(x)＝x2＋ax＋3.(1)若当x∈R时，f

(x)≥a恒成立，求实数a的取值范围；解∵当x∈R时，x2＋ax＋3－a≥0恒成立，跟踪训练2解

由题意可转化为x2＋ax＋3－a≥0在x∈[－2,2]上恒成立，则(x2＋ax＋3－a)min≥0(x∈[－2,2]).令g(x)＝x2＋ax＋3－a，x∈[－2,2]，(2)若当x∈[－2,2]时，f

(x)≥a恒成立，求实数a的取值范围；解得－6≤a≤2，∴－4≤a≤2；解得a≥－7，∴－7≤a<－4.综上可得，满足条件的实数a的取值范围是[－7,2].解由题意可转化为x2＋ax＋3－a≥0在x∈[－2,2]上解

令h(a)＝xa＋x2＋3.当a∈[4,6]时，h(a)≥0恒成立.(3)若当a∈[4,6]时，f

(x)≥0恒成立，求实数x的取值范围.解令h(a)＝xa＋x2＋3.(3)若当a∈[4,6]时，分布情况两个负根即两根都小于0(x1<0，x2<0)两个正根即两根都大于0(x1>0，x2>0)一正根一负根即一个根小于0，一个根大于0(x1<0<x2)大致图象(a>0)

设方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，Δ>0)有不相等的两根为x1，x2，且x1<x2，相应的二次函数为f

(x)＝ax2＋bx＋c，方程的根即为二次函数的图象与x轴交点的横坐标，它们的分布情况见下面各表(每种情况对应的均是充要条件).表一：(两根与0的大小比较即根的正负情况)一元二次方程根的分布情况拓展视野分布情况两个负根即两根都小于0(x1<0，x2<0)两个正根得出的结论f

(0)<0大致图象(a<0)

得出的结论f

(0)>0得出的结论f(0)<0大致图象(a<0)

得出的结论f综合结论(不讨论a)a·f

(0)<0综合结论(不讨论a)a·f(0)<0分布情况两根都小于k即x1<k，x2<k两根都大于k即x1>k，x2>k一个根小于k，一个根大于k即x1<k<x2大致图象(a>0)

得出的结论f

(k)<0表二：(两根与k的大小比较)分布情况两根都小于k即x1<k，x2<k两根都大于k即x1>大致图象(a<0)

得出的结论f

(k)>0综合结论(不讨论a)a·f

(k)<0大致图象(a<0)

得出的结论f(k)>0综合结论(不分布情况两根都在(m，n)内两根有且仅有一根在(m，n)内(图象有两种情况，只画了一种)一根在(m，n)内，另一根在(p，q)内，m<n<p<q大致图象(a>0)

得出的结论f

(m)·f

(n)<0

或表三：(根在区间上的分布)分布两根都在(m，n)内两根有且仅有一根在(m，n)内(图象大致图象(a<0)

得出的结论f

(m)·f

(n)<0

或大致图象(a<0)

得出的结论f(m)·f(n)<0综合结论(不讨论a)f

(m)·f

(n)<0综合结论(不讨论a)f(m)·f(n)<0根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间(m，n)外，即在区间两侧x1<m，x2>n，(图形分别如下)需满足的条件是根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间(m，n)外，即对以上的根的分布表中，两根有且仅有一根在(m，n)内有以下特殊情况：(ⅰ)若f

(m)＝0或f

(n)＝0，则此时f

(m)·f

(n)<0不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为m或n，可以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间(m，n)内，从而可以求出参数的值.如方程mx2－(m＋2)x＋2＝0在区间(1,3)上有一根，因为f

(1)＝0，所以mx2－(m＋2)x＋2＝(x－1)(mx－2)，另一根为对以上的根的分布表中，两根有且仅有一根在(m，n)内有以下特(ⅱ)方程有两个相等的根，且这个根在区间(m，n)内，即Δ＝0，此时由Δ＝0可以求出参数的值，然后再将参数的值带入方程，求出相应的根，检验根是否在给定的区间内，如若不在，舍去相应的参数.如方程x2－4mx＋2m＋6＝0有且只有一根在区间(－3,0)内，求m的取值范围.分析：①由f

(－3)·f

(0)<0即(14m＋15)(m＋3)<0得出(ⅱ)方程有两个相等的根，且这个根在区间(m，n)内，即Δ＝例1已知二次方程(2m＋1)x2－2mx＋(m－1)＝0有一正根和一负根，求实数m的取值范围.解

设f

(x)＝(2m＋1)x2－2mx＋(m－1)，由(2m＋1)·f

(0)<0，即(2m＋1)(m－1)<0，例1已知二次方程(2m＋1)x2－2mx＋(m－1)＝0有例2已知方程2x2－(m＋1)x＋m＝0有两个不等正实根，求实数m的取值范围.解

设f

(x)＝2x2－(m＋1)x＋m，例2已知方程2x2－(m＋1)x＋m＝0有两个不等正实根，例3已知二次函数f

(x)＝(m＋2)x2－(2m＋4)x＋3m＋3与x轴有两个交点，一个大于1，一个小于1，求实数m的取值范围.解

由(m＋2)·f

(1)<0，例3已知二次函数f(x)＝(m＋2)x2－(2m＋4)x课时精练课时精练基础保分练1.(2019·武汉调研)已知集合A＝{x|x2－x－2<0}，B＝{x|x2＋3x<0}，则A∩B等于A.(0,2) B.(－1,0)C.(－3,2) D.(－1,3)√12345678910111213141516解析A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|－3<x<0}，∴A∩B＝(－1,0).故选B.基础保分练1.(2019·武汉调研)已知集合A＝{x|x2－2.(2020·黄冈调研)关于x的不等式ax＋b>0的解集是(1，＋∞)，则关于x的不等式(ax＋b)(x－2)<0的解集是A.(－∞，1)∪(2，＋∞) B.(－1,2)C.(1,2) D.(－∞，－1)∪(2，＋∞)√12345678910111213141516解析关于x的不等式ax＋b>0的解集是(1，＋∞)，即(x－1)(x－2)<0，∴不等式的解集为{x|1<x<2}.故选C.2.(2020·黄冈调研)关于x的不等式ax＋b>0的解集是3.“不等式x2－x＋m>0在R上恒成立”的充要条件是√12345678910111213141516解析∵不等式x2－x＋m>0在R上恒成立，3.“不等式x2－x＋m>0在R上恒成立”的充要条件是√124.若不等式x2－(a＋1)x＋a≤0的解集是[－4,3]的子集，则a的取值范围是A.[－4,1]

B.[－4,3]C.[1,3]

D.[－1,3]√解析原不等式为(x－a)(x－1)≤0，当a<1时，不等式的解集为[a,1]，此时只要a≥－4即可，即－4≤a<1；当a＝1时，不等式的解为x＝1，此时符合要求；当a>1时，不等式的解集为[1，a]，此时只要a≤3即可，即1<a≤3，综上可得－4≤a≤3.123456789101112131415164.若不等式x2－(a＋1)x＋a≤0的解集是[－4,3]的5.若存在实数x∈[2,4]，使x2－2x＋5－m<0成立，则m的取值范围为A.(13，＋∞) B.(5，＋∞)C.(4，＋∞) D.(－∞，13)√解析m>x2－2x＋5，设f

(x)＝x2－2x＋5＝(x－1)2＋4，x∈[2,4]，当x＝2时f

(x)min＝5，∃x∈[2,4]使x2－2x＋5－m<0成立，即m>f

(x)min，∴m>5.故选B.123456789101112131415165.若存在实数x∈[2,4]，使x2－2x＋5－m<0成立，6.在关于x的不等式x2－(a＋1)x＋a<0的解集中至多包含1个整数，则a的取值范围是A.(－3,5) B.(－2,4)C.[－1,3]

D.[－2,4]12345678910111213141516解析

因为关于x的不等式x2－(a＋1)x＋a<0可化为(x－1)(x－a)<0，当a>1时，不等式的解集为{x|1<x<a}，当a<1时，不等式的解集为{x|a<x<1}，当a＝1时，不等式的解集为∅，要使得解集中至多包含1个整数，则a＝1或1<a≤3或－1≤a<1，所以实数a的取值范围是a∈[－1,3]，故选C.√6.在关于x的不等式x2－(a＋1)x＋a<0的解集中至多包123456789101112131415167.(多选)下列四个解不等式，正确的有A.不等式2x2－x－1>0的解集是{x|x>2或x<1}B.不等式－6x2－x＋2≤0的解集是C.若不等式ax2＋8ax＋21<0的解集是{x|－7<x<－1}，那么a的值是3D.关于x的不等式x2＋px－2<0的解集是(q,1)，则p＋q的值为－1√√√123456789101112131415167.(多选)下12345678910111213141516解析对于A，∵2x2－x－1＝(2x＋1)(x－1)，∴由2x2－x－1>0得(2x＋1)(x－1)>0，对于B，∵－6x2－x＋2≤0，∴6x2＋x－2≥0，对于C，由题意可知－7和－1为方程ax2＋8ax＋21＝0的两个根．∴a－8a＋21＝0，∴a＝3.故C正确；对于D，依题意q,1是方程x2＋px－2＝0的两根，q＋1＝－p，即p＋q＝－1，故D正确.12345678910111213141516解析对于A，8.(多选)已知关于x的不等式kx2－2x＋6k<0(k≠0)，则下列说法正确的是12345678910111213141516√√√8.(多选)已知关于x的不等式kx2－2x＋6k<0(k≠0解析对于A，∵不等式的解集为{x|x<－3或x>－2}，∴k<0，且－3与－2是方程kx2－2x＋6k＝0的两根，12345678910111213141516解析对于A，∵不等式的解集为{x|x<－3或x>－2}，112345678910111213141516(－2，－1)(答案不唯一)则满足条件的一组有序实数对(a，b)的值可以是(－2，－1).12345678910111213141516(－2，－1)1234567891011121314151610.在R上定义运算⊗：x⊗y＝x(1－y)，若不等式(x－a)⊗(x＋a)<1对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为________.解析由题意，可知不等式(x－a)⊗(x＋a)<1对任意实数x都成立，又由(x－a)⊗(x＋a)＝(x－a)(1－x－a)，即x2－x－a2＋a＋1>0对任意实数x都成立，所以Δ＝1－4(－a2＋a＋1)<0，即4a2－4a－3<0，1234567891011121314151610.在R上定12345678910111213141516解得a＝－2，b＝8.11.已知关于x的不等式－x2＋ax＋b>0.(1)若该不等式的解集为(－4,2)，求a，b的值；12345678910111213141516解得a＝－2，12345678910111213141516解

当b＝a＋1时，－x2＋ax＋b>0⇔x2－ax－(a＋1)<0，即[x－(a＋1)](x＋1)<0.当a＋1＝－1，即a＝－2时，原不等式的解集为∅；当a＋1<－1，即a<－2时，原不等式的解集为(a＋1，－1)；当a＋1>－1，即a>－2时，原不等式的解集为(－1，a＋1).综上，当a<－2时