概率论多维随机变量课件

概率论与数理统计§3.2条件分布及随机变量的独立性一、条件分布的概念§3.2条件分布与随机变量的独立性本节要从随机事件的条件概念引入随机变量的条件概率分布的概念.例如，考察某大学的全体学生,分别以X和Y表示其体重和身高，则X和Y都是随机变量，具有一定的概率分布。现在若限制(米)，在这个条件下去求X的条件分布，这就意味着要从该校的学生中把身高在1.7米和1.8米之间的那些人都挑出来,然后在挑出的学生中求其体重的分布.可见，这个分布与不加条件时的分布是不相同的。概率论与数理统计§3.2条件分布及随机变量的独立性一、条件1概率论与数理统计§3.2条件分布及随机变量的独立性一般地，设是一个随机变量，其分布函数为若另外有一事件已经发生，并且的发生可能会对事件发生的概率产生影响，则对任一给定的实数记并称为在发生的条件下，的条件分布函数.概率论与数理统计§3.2条件分布及随机变量的独立性一般地，2概率论与数理统计§3.2条件分布及随机变量的独立性例1设服从[0,1]上的均匀分布,求在已知的条件下的条件分布函数.概率论与数理统计§3.2条件分布及随机变量的独立性例1设服31、离散型随机变量的条件分布概率论与数理统计§3.2条件分布及随机变量的独立性设（X,Y）是二维离散型随机变量，其分布律为：（X,Y）关于X和Y的边缘分布律分别为：1、离散型随机变量的条件分布概率论与数理统计§3.2条件分4概率论与数理统计§3.2条件分布及随机变量的独立性不难验证以上两式均满足分布律的基本性质．设，由条件概率公式可得上式称为在条件下随机变量X的条件分布律同样地，若上式称为在条件下随机变量Y的条件分布律概率论与数理统计§3.2条件分布及随机变量的独立性不难验证5把两封信随机地投入已经编好号的3个邮筒内,设概率论与数理统计§3.2条件分布及随机变量的独立性把两封信随机地投入已经编好号的3个邮筒内,设概率论与数理统计62、连续型随机变量的条件密度设(X,Y)的密度函数为和分别是关于X和Y的边缘密度函数，若则称为在条件下X的分布函数，记为故在条件下X的条件密度函数，记为类似的，可定义概率论与数理统计§3.2条件分布及随机变量的独立性2、连续型随机变量的条件密度设(X,Y)的密度函数为7概率论与数理统计§3.2条件分布及随机变量的独立性概率论与数理统计§3.2条件分布及随机变量的独立性8二、随机变量的独立性概率论与数理统计§3.2条件分布及随机变量的独立性定义1设(X,Y)为二维随机向量，对于任意的实数x,y，有则称随机变量X,Y相互独立[注]：X,Y相互独立等价于二、随机变量的独立性概率论与数理统计§3.2条件分布及随机9

例

设二维随机变量(X,Y)的分布函数为判断X与Y是否独立？例设二维随机变量(X,Y)的分布函数为判断X与Y是10概率论与数理统计§3.2条件分布及随机变量的独立性定理1随机变量与相互独立的充要条件是的生成的任何事件与生成的任何事件独立,对任意实数集有即,定理2如果随机变量与相互独立，则对任意函数均有相互独立.概率论与数理统计§3.2条件分布及随机变量的独立性定理1随111、离散型随机变量的独立性概率论与数理统计§3.2条件分布及随机变量的独立性定义2若离散型随机变量的可能取值为并且对任意的和,事件与相互独立,即则与相互独立.1、离散型随机变量的独立性概率论与数理统计§3.2条件分布12例1设二维随机变量的联合分布律为:12312且与相互独立,试求和概率论与数理统计§3.2条件分布及随机变量的独立性例1设二维随机变量的联合分布律为:13

1例2设随机变量与相互独立,下表列出了二维填入表中的空白处.的边缘分布律中的部分数值,试将其余数值随机变量联合分布律及关于和关于概率论与数理统计§3.2条件分布及随机变量的独立性

例2设随机变量142、连续型随机变量的独立性概率论与数理统计§3.2条件分布及随机变量的独立性

定义3设二维连续型随机变量的联合概则和相互独立.关于和的边缘概率密度分率密度为如果对任意实数和和别为有注：这里“几乎处处成立”的含义是：在平面上除去面积为0的集合外，处处成立.2、连续型随机变量的独立性概率论与数理统计§3.2条件分布15

例3若(X,Y)的联合概率密度为问X与Y是否相互独立?113-1例题\3-1例3.ppt概率论与数理统计§3.2条件分布及随机变量的独立性例3若(X,Y)的联合概率密度为问X与Y是16例4设服从单位圆上的均匀分布,概率密度为求概率论与数理统计§3.2条件分布及随机变量的独立性例5设(1)求和(2)证明与相互独立的充要条件是例4设服从单位圆上的均匀分布,概率密度为求概率论与数理统计§17概率论与数理统计§3.2条件分布及随机变量的独立性一、条件分布的概念§3.2条件分布与随机变量的独立性本节要从随机事件的条件概念引入随机变量的条件概率分布的概念.例如，考察某大学的全体学生,分别以X和Y表示其体重和身高，则X和Y都是随机变量，具有一定的概率分布。现在若限制(米)，在这个条件下去求X的条件分布，这就意味着要从该校的学生中把身高在1.7米和1.8米之间的那些人都挑出来,然后在挑出的学生中求其体重的分布.可见，这个分布与不加条件时的分布是不相同的。概率论与数理统计§3.2条件分布及随机变量的独立性一、条件18概率论与数理统计§3.2条件分布及随机变量的独立性一般地，设是一个随机变量，其分布函数为若另外有一事件已经发生，并且的发生可能会对事件发生的概率产生影响，则对任一给定的实数记并称为在发生的条件下，的条件分布函数.概率论与数理统计§3.2条件分布及随机变量的独立性一般地，19概率论与数理统计§3.2条件分布及随机变量的独立性例1设服从[0,1]上的均匀分布,求在已知的条件下的条件分布函数.概率论与数理统计§3.2条件分布及随机变量的独立性例1设服201、离散型随机变量的条件分布概率论与数理统计§3.2条件分布及随机变量的独立性设（X,Y）是二维离散型随机变量，其分布律为：（X,Y）关于X和Y的边缘分布律分别为：1、离散型随机变量的条件分布概率论与数理统计§3.2条件分21概率论与数理统计§3.2条件分布及随机变量的独立性不难验证以上两式均满足分布律的基本性质．设，由条件概率公式可得上式称为在条件下随机变量X的条件分布律同样地，若上式称为在条件下随机变量Y的条件分布律概率论与数理统计§3.2条件分布及随机变量的独立性不难验证22把两封信随机地投入已经编好号的3个邮筒内,设概率论与数理统计§3.2条件分布及随机变量的独立性把两封信随机地投入已经编好号的3个邮筒内,设概率论与数理统计232、连续型随机变量的条件密度设(X,Y)的密度函数为和分别是关于X和Y的边缘密度函数，若则称为在条件下X的分布函数，记为故在条件下X的条件密度函数，记为类似的，可定义概率论与数理统计§3.2条件分布及随机变量的独立性2、连续型随机变量的条件密度设(X,Y)的密度函数为24概率论与数理统计§3.2条件分布及随机变量的独立性概率论与数理统计§3.2条件分布及随机变量的独立性25二、随机变量的独立性概率论与数理统计§3.2条件分布及随机变量的独立性定义1设(X,Y)为二维随机向量，对于任意的实数x,y，有则称随机变量X,Y相互独立[注]：X,Y相互独立等价于二、随机变量的独立性概率论与数理统计§3.2条件分布及随机26

例

设二维随机变量(X,Y)的分布函数为判断X与Y是否独立？例设二维随机变量(X,Y)的分布函数为判断X与Y是27概率论与数理统计§3.2条件分布及随机变量的独立性定理1随机变量与相互独立的充要条件是的生成的任何事件与生成的任何事件独立,对任意实数集有即,定理2如果随机变量与相互独立，则对任意函数均有相互独立.概率论与数理统计§3.2条件分布及随机变量的独立性定理1随281、离散型随机变量的独立性概率论与数理统计§3.2条件分布及随机变量的独立性定义2若离散型随机变量的可能取值为并且对任意的和,事件与相互独立,即则与相互独立.1、离散型随机变量的独立性概率论与数理统计§3.2条件分布29例1设二维随机变量的联合分布律为:12312且与相互独立,试求和概率论与数理统计§3.2条件分布及随机变量的独立性例1设二维随机变量的联合分布律为:30

1例2设随机变量与相互独立,下表列出了二维填入表中的空白处.的边缘分布律中的部分数值,试将其余数值随机变量联合分布律及关于和关于概率论与数理统计§3.2条件分布及随机变量的独立性

例2设随机变量312、连续型随机变量的独立性概率论与数理统计§3.2条件分布及随机变量的独立性

定义3设二维连续型随机变量的联合概则和相互独立.关于和的边缘概率密度分率密度为如果对任意实数和和别为有注：这里“几乎处处成立”的含义是：在平面上除去面积为0的集合外，处处成立.2、连续型随机变量的独立性概率论与数理统计§3.2