九年级上《第三章对圆的进一步认识》单元试题(教师用)

【易错题解析】九年级数学上册第三章对圆的进一步认识单元检测试题、单选题（共10题；共30分）.已知等腰△ABC的三个顶点都在半径为5的。。上，如果底边BC的长为8,那么BC边上的高为（）A.2B.8C.2或8D.3【答案】C【考点】勾股定理，垂径定理【解析】【解答】当顶点A在优弧上时，根据垂径定理和勾股定理可以求出高为8.当顶点A在劣弧上时可以得出高为2.【分析】此题考查了垂径定理和勾股定理知识点，注意存在两种情况^.已知。。的半径为5,点P到圆心。的距离为7,那么点P与。。的位置关系是（）A.点P在OO上吧.点P在。。内心点P在。。外mD.无法确定【答案】C【考点】点与圆的位置关系【解析】【分析】根据点在圆上，则d=r；点在圆外，d>r；点在圆内，dvr（d即点到圆心的距离，r即圆的半径）即可求解.•••OP=7>5,.••点P与。。的位置关系是点在圆外.故选C.3.（2017?广安）如图，AB是。。的直径，且经过弦CD的中点H,已知cos/CDB=-，BD=5,则OH的长度为（A.-B.-C.1D.-D圆周角定理，解直角三角形【解答】解：连接OD,如图所示： :AB是。。的直径，且经过弦长度为（A.-B.-C.1D.-D圆周角定理，解直角三角形【解答】解：连接OD,如图所示： :AB是。。的直径，且经过弦CD的中点H,.-.ABXCD,・・./OHD=/BHD=90°,.cos/CDB=・•.DH=4,・•.BH=二3,设OH=x,贝UOD=OB=x+3,在RtAODH中，由勾股定理得:解得：x=一，x2+42=（x+3）2,•・OH二-•BH=【分析】连接OD,由垂径定理得出ABLCD,由三角函数求出DH=4,由勾股定理得出BH==3,设OH=x,则OD=OB=x+3,在RtAODH中，由勾股定理得出方程，解方程即可.4.如图，。为锐角三角形ABC的外心，四边形OCDE为正方形，其中E点在△ABC的外部，判断下列叙述何者正确（）必A.O是4AEB的外心，。是4AED的外心B.。是4AEB的外心，O不是△AED的外心C.O不是△AEB的外心，。是△AED的外心D.O不是△AEB的外心，O不是△AED的外心【答案】B【考点】三角形的外接圆与外心【解析】【解答】如图，连接OA、OB、OD..O是4ABC的外心，OA=OB=OC,••四边形OCDE是正方形，OA=OB=OE,•.O是4ABE的外心，OA=OEwOD,O不是△AED的外心.综上分析可知：选项A、C、D中的距离都是错的，只有选项B的结论是正确的.故答案为：B.【分析】连接OA、OB、OD.根据三角形的外接圆的圆心的意义可得OA=OB=OC,由正方形的性质可得OA=OB=OE,所以。是4ABE的外心，而OA=OEwOD,所以根据三角形的外接圆的圆心的意义可得O不是△AED的外心.。5.如图，在^ABC中，/A=90°,AB=AC=2，点O是边BC的中点，半圆。与△ABC相切于点D、巳则阴影部分的面积等于（）A.- B.一C.D.-A.- B.一C.D.-【考点】切线的性质【解析】【解答】解：连接OD,OE,・•半圆。与△ABC相切于点D、E,OD±AB,【考点】切线的性质【解析】【解答】解：连接OD,OE,・•半圆。与△ABC相切于点D、E,OD±AB,OEXAC,.在△ABC中，/A=90°,AB=AC=2,•・四边形ADOE是正方形，△OBD和4OCE是等腰直角三角形,OD=OE=AD=BD=AE=EC=1,/ABC=/EOC=45°,.AB//OE,./DBF=ZOEF,在△BDF和^EOF中，「/DBF:NOEF，ZBFD=ZEFd,:BD=OEBDF^AEOF(AAS),2••S阴影=S扇形DOE= X兀X1=一.故选B.【分析】首先连接OD,OE,易得△BDF^AEOF,继而可得S阴影=S扇形doe6.如图，AB是。。的直径，CD为弦，连结AD、AC、BC,若/CAB=65°即可求得答案.D的度数为（）【答案】C【考点】圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理【解析】【解答】因为直径所对圆周角是直角，/CAB=65。，所以/B=90°—65°=25°,根据同弧所对圆周角相等，可得/D=/B=25。，故答案为：C.【分析】由直径所对圆周角是直角可得/ACB=90。，在^ABC中先求得/B,D.35再根据同弧所对圆周角相等求得/DD.35再根据同弧所对圆周角相7.如图，△ABC内接于圆O,ZA=50°,/ABC=60。，BD是圆。的直径，BD交AC于点E,连接DC,则/AEB等于（）A.50°吧.60°1.70°iD.110°【答案】D【考点】圆周角定理【解析】【分析】因为/A=50°,/ABC=60。，所以利用三角形的内角和可得/ACB=70°,利用同弧所对的圆周角相等可得/A=ZD=50°,又因为/BCD是直径所对的圆周角，所以等于90。，因此可得ZECD=20°,利用内角和与对顶角相等可得/AEB等于110。.【解答】:/A=50。，AABC=60°/ACB=70°••BD是圆O的直径/BCD=90°/ACD=20°・./ABD=/ACD=20°・./AEB=180°-（/BAE+/ABE）=180°-（50°+20°）=110°.故选D.【点评】本题重点考查了直径所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角相等，三角形的内角和等知识点.本题是一道难度中等的题目.8.圆内接四边形ABCD，/A,/B,/C的度数之比为3:4:6,则/D的度数为（）A.60B.80C.100D.120【答案】C【考点】圆内接四边形的性质【解析】【解答】二•内接四边形的对角互补，，/A:/B:/C:/D=3:4:6:5设/A的度数为3x,则/B,/C,/D的度数分别为4x,6x,5x•.3x+4x+6x+5x=360.•.x=20o・./D=100°故选：C【分析】根据圆内接四边形的对角互补和四边形的内角和为360度进行求解.9.如图，O。是四边形ABCD的内切圆，下列结论一定正确的有（）个：①AF=BG;②CG=CH;③AB+CD=AD+BC;④BGvCG.D【答案】B【考点】切线的性质【解析】【解答】解：。是四边形ABCD的内切圆，AF=AE,BF=BG,CG=CH,DH=DE,・•.AB+CD=AF+BF+CH+DH=AE+BG+CG+DE=AD+BC①AF=BG;④BGvCG无法判断.正确的有②③故选B.【分析】根据切线长定理得到AF=AE,BF=BG,CG=CH,DH=DE,则AB+CD=AF+BF+CH+DH=AE+BG+CG+DE=AD+BC.下列命题中，正确命题的序号是（）①一组对边平行且相等的四边形是平行四边形②一组邻边相等的平行四边形是正方形③对角线互相垂直且相等的四边形是菱形④任何三角形都有外接圆，但不是所有的四边形都有外接圆A.①②B.②③C.③④D.①④【答案】D【考点】平行四边形的判定，菱形的判定，正方形的判定，三角形的外接圆与外心【解析】【分析】根据平行四边形的判定定理，一组邻边相等的平行四边形是菱形，所以②错误；对角线互相垂直且相等的四边形可以是一般的四边形，所以③错误。①④正确。【点评】本题考查平行四边形的判定定理，熟悉其定理内容是解答本题的关键。二、填空题（共10题；共30分）.如图，已知/BPC=50°,则/BAC=【答案】50°【考点】圆周角定理【解析】【解答】在同圆中，同弧所对的圆周角度数相等，本题中圆周角/BPC和圆周角/BAC所对弧都是弧BC,则说明两个角的度数相等.【分析】根据圆周角定理在同圆中，同弧所对的圆周角相等可求解。.如果一个正多边形每一个内角都等于144。，那么这个正多边形的边数是.【答案】10【考点】正多边形和圆，正多边形的性质【解析】【解答】设这个多边形的边数为n,则有180（n-2）=144n,解得：n=10,故答案为：10.【分析】根据正多边形的性质可直接进行求解。13.圆心角是60。的扇形的半径为6,则这个扇形的面积是.【答案】6【考点】扇形面积的计算【解析】【解答】解：该扇形的面积S==6兀.故答案为：6兀.【分析】直接利用扇形的面积公式代入计算.扇形的面积=」【答案】144。【考点】圆心角、弧、弦的关系【解析】【解答】因为弧AB=MBC,设弧AB=弧BC=3,那么弧AMC=4,贝U3+3+4=10,360度分成10份，每份36度，那么4份为144度.【分析】此题考查了圆心角、弧、弦，要灵活运用所给的比例条件^15.如图，点A、B、C都在OO上，OCLOB,点A在劣弧上，且OA=AB,则/ABC=.CA【答案】15°【考点】圆周角定理【解析】【解答】解：:OA=OB,OA=AB,OA=OB=AB,即^OAB是等边三角形，・./AOB=60°,.OCXOB,・./COB=90°,・./COA=90°-60°=30°,・./ABC=15°,故答案为：15°【分析】首先判断出△OAB是等边三角形，根据等边三角形的性质及垂直的定义，角的和差得出/COA的度数，根据圆周角定理即可得出/ABC的度数。.如图，在RtAABC中，/C=90°,以点A为圆心、AC长为半径作圆弧，交边AB于点D.若/B=65。，3K.nAC=6,则的长为.CA【答案】-兀【考点】弧长的计算【解析】【解答】解：在RtAABC中，.一/C=90°,/B=65°,，/A=25°,AC=6,

7t的长为7t故答案为：一兀.【分析】根据直角三角形两锐角互余求得/A度数，由弧长公式可得答案..已知，如图，RtAABC中，/BAC=90。，以AB为直径的。O交BC于D,OD交AC的延长线于E,OA=1,AE=3,则下列结论正确的有.①/B=/CAD;②点C是AE的中点；③一二—;④tanB=.【考点】圆周角定理，相似三角形的判定与性质，解直角三角形【解析】【解答】解：:AB为直径，.•./ADB=90°,B+/DAB=90°,•••/CAD+/DAB=90°,.•./B=ZCAD,故①正确；・/CAD=/B=/ODB=/CDE,/E=/E,.△ECD^AEDA,-•一OA=1,AE=3,OE=—,ED=--1,=CE=丰一AE,即点C不是AE的中点，故②不正确；由^ECD^AEDA，得一二一，在RtAABC中，ADXBC,ACDc/dAbad,=—一=—,故③正确；tanB=一=—=一=,故④正确.故答案为：①③④.【分析】①依据同角的余角相等即可得出结论；②依据△ECDs^EDA,求得CE=w-AE,即可得出点C不是AE的中点；③由△ECD^AEDA,得一=一，根据△ACD^ABAD，可得一二一，进而得出一=一；④根据tanB=—=—=-,即可得出结论.

18.如图，18.如图，PA、PB切OO于A、B,/，点C是。O上异于A、B的任意一点，则/【答案】65。或115°【考点】圆周角定理，圆内接四边形的性质，切线的性质【解析】【解答】分两种情况：（1）当C在优弧AB上；（2）当C在劣弧AB上；连接OA、OB,在四边形PAOB中，/OAP=ZOBP=90°,由内角和求得/AOB的大小，然后根据圆周角定理即可求得答案（1）如图（1）,圄（1）连接OA、OB.在四边形PAOB中，由于PA、PB分别切。O于点A、B,则/OAP=/OBP=90°；由四边形的内角和定理，知/APB+/AOB=180°；又•./P=50°,./AOB=130°；又•••/ACB=-/AOB（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半），•./ACB=65°（2）如图（2）,图（2）连接OA、OB,作圆周角/ADB.在四边形PAOB中，由于PA、PB分别切。O于点A、B,则/OAP=/OBP=90°;由四边形的内角和定理，知/APB+/AOB=180°；又/P=50°,./AOB=130°;/ADB=-/AOB=65°,./ACB=180°-/ADB=115°../ACB=65或115°【分析】图上没有标出C的位置，需考虑C在优弧AB上或C在劣弧AB上，/ACB的大小不同，利用圆内接四边形性质可分别求出.19.在同圆中，若=2,则AB2CD(填>,V,二)【答案】V【考点】圆心角、弧、弦的关系【解析】【解答】解：找出的中点E,连接AE、BE,的中点E,■F""*■r-'*'■f-诙吃CD.AE=EB=CD,••AE+EB>AB,.ABV2CD,故答案为：<.【分析】首先找出的中点E,连接AE、BE,根据在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等可得AE=EB=CD,再根据三角形的三边关系可得AE+EB>AB,进而可得ABV2CD..“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何”此问题的实质就是解决下面的问题：“如图，CD为。。的直径，弦ABLCD于点E,CE=1,AB=10,求CD的长”.根据题意可得CD的长为.C【答案】26【考点】垂径定理的应用【解析】【解答】解：连接OA,ABXCD,由垂径定理知，点E是AB的中点，AE=-AB=5,OE=OC-CE=OA-CE,设半径为r,由勾股定理得，OA2=AE2+OE2=AE2+(OA-CE)2,即r2=52+(r-1)

解得：r=13,所以CD=2r=26,即圆的直径为26.【分析】根据垂径定理和勾股定理求解.三、解答题（共8题；共60分）.如图，在RtAABC中，/C=90°,CA=CB=4,分别以A、B、C为圆心，以-AC为半径画弧，求三条弧与边AB所围成的阴影部分的面积.【答案】解：/C=90°,CA=CB=4,••-AC=2,Saabc=-X4X4=8,•••三条弧所对的圆心角的和为180。，三个扇形的面积和==2兀,，三条弧与边AB所围成的阴影部分的面积=S4abc-三个扇形的面积和=8-2兀【考点】三角形的面积，扇形面积的计算【解析】【分析】阴影部分的面积=RtAABC的面积-三个扇形的面积，由题意可知三条弧所对的圆心角的和为180°,半径都为-AC..如图。。是△ABC的外接圆，圆心O在这个三角形的高AD上，AB=10,BC=12,求。。的半径.【答案】解：如图，连接OB.•••AD是△ABC的高.

BD=-BC=6=8.R2=36+(8-R)2在RtAABD=8.R2=36+(8-R)2设圆的半径是R.则OD=8-R.在RtAOBD中，根据勾股定理可以得到:解得：R=—.【考点】勾股定理，垂径定理【解析】【分析】连接OB,根据垂经定理求出BD的长，在RtAABD中由勾股定理求得AD=8,设圆的半径是R,则OD=8-R,在RtAOBD中由勾股定理可求得R的值.解答此题的关键是作出辅助线OB.注意：垂径定理和勾股定理常常在一起中应用..如图为桥洞的形状，其正视图是由和矩形ABCD构成.。点为所在。O的圆心，点O又恰好在AB为水面处.若桥洞跨度CD为8米，拱高(OE，弦CD于点F)EF为2米.求所在。O的半径DO.【答案】解：■「OE，弦CD于点F,CD为8米，EF为2米，•••EO垂直平分CD,DF=4m,FO=DO-2,在Rt^DFO中，DO2=FO2+DF2,则DO2=(DO-2)2+42,解得：DO=5.答：弧CD所在。O的半径DO为5m.【考点】垂径定理【解析】【分析】根据垂径定理得出EO垂直平分CD,DF=4m,然后利用勾股定理建立方程，求解即可得出OD的长。24.如图，四边形OABC是平行四边形，点A,B,C在OO±,P为上一点，连接AP,CP,求/P的度数.a【答案】解：连接OB,•四边形OABC是平行四边形，且OA=OC,•・平行四边形OABC是菱形，OA=AB,..△ABC是等边三角形，・./AOB=60°./AOC=120

/APC=-/AOC=60【考点】平行四边形的性质，圆周角定理【解析】【分析】连接OB,证明四边形OABC是菱形，进而得到^ABC是等边三角形，于是得到/AOC的度数，即可得到答案.25.(2013?鞍山)如图，点A、B在。。上，直线AC是。。的切线，OC，OB,连接AB交OC于点D.AC与CD相等吗？为什么？(2)若AC=2,AO=一,求OD的长度.【答案】解：(1)AC=CD,理由为：OA=OB,/OAB=/B,••直线AC为圆O的切线，・./OAC=/OAB+/DAC=90°,.OBXOC,/BOC=90°,••/ODB+/B=90°,••/ODB=/CDA,・•/CDA+/B=90°,/DAC=/CDA,则AC=CD；⑵在RtAOAC中，AC=CD=2,AO=一，OC=OD+DC=OD+2,根据勾股定理得：OC2=AC2+AO2,即(OD+2)2=22+(—)2,解得：OD=1.【考点】勾股定理，切线的性质【解析】【分析】(1)AC=CD,理由为：由AC为圆的切线，利用切线的性质得到/OAC为直角，再由OC与OB垂直，彳#到/BOC为直角，由OA=OB,利用等边对等角得到一对角相等，再利用对顶角相等及等角的余角相等得到一对角相等，利用等角对等边即可得证；(2)由ODC=OD+DC,DC=AC,表示出OC,在直角三角形OAC中，利用勾股定理即可求出OD的长.(2)若CF=6,/ACB=60°,(2)若CF=6,/ACB=60°,求阴影部分的面积.【答案】(1)解：直线EF与。O相切，理由为：连接OD,如图所示：.AC为。。的直径，/CBA=90°D0=6cm,求0E的长.由勾股定理求得AD,再CB的垂线，分别交CB、26.如图，在梯形ABCD中，AB//CD,。0为内切圆，E为切点.若AO=8cm,A5【答案】解：•「AB//CD,。。为内切圆，・・/OAD+/ODA=90°,/AOD=90°,;AO=8cm,DO=6cm,AD=10cm,••OEXAD,AD?OE=OD?OA,/.OE=4.8cm.【考点】切线的性质【解析】【分析】由。O为内切圆，则AO、DO为角平分线，则/AOD=90°,由切线的性质得OELAD,由三角形的面积公式求出OE的长.27.已知△ABC内接于。O,AC是。。的直径，D是弧AB的中点.过点D作又•./F=90°/CBA=/FAB||EF/AMO=/EDO又「D为弧AB的中点•・弧BD=MAD•.OD±AB/AMO=/EDO=90•.EF为。O的切线⑵shan解：在RtAAEF中，/ACB=60E=30°又•••CF=6CE=2CF=12EF==6一在RtAODE中，/E=30°，OD=-OE又「OA=-OEOA=AE=OC=-CE=4,OE=8又・./