武汉理工大学量子力学试卷及答案

武汉理工大学考试试题纸(A卷)(A)JJW2dxdzdy((A)JJW2dxdzdy(B)2题号一二三四五八七八九十总分题注：学生不得在试题纸上答题（含填空题、选择题等客观题）一、选择题（只有一个正确答案，每题3分，共15分）1、设波函数W(x)=Ae-房x2，a为常数，则归一化常数A为()/2A1/4f2)1/4f2)1/2(A)—a1/2(B)f4}a1/2(C)—a1/4(D)—a1/4"兀J顷J顷J2、设粒子归一化波函数为W（x,y,z），则在（x,x+dx）范围内找到粒子的几率为（）(C)JJWI2dydzdx(D)IIIW2dydzdx3、角动量分量对易关系式正确的是（(A)L,L=ihL(B)L,L=itiLy(D)「L3、角动量分量对易关系式正确的是（(A)L,L=ihL(B)L,L=itiLy(D)「L,L]=0

—xy—4、如果原子本身处于激发态，在没有外界光照时，也可能跃迁到某些较低能级而放出光来，5、电子气的按能量分布的态密度与能级E关系正确的是（）（A）正比于E（B）正比于如E（C）反比于E（D）反比于（E二、填空题（每空2分，共20分）1、在量子力学中，描述系统的运动状态用波函细（r），一般要求波函数满足三个条件即（1）；（2）；（3）连续的。2、根据态叠加原理的要求，表示力学量的算符必须；又因为力学量是可观测量，应为实数，表示力学量的算符必须是。3、与体系的Hamilton量对易的不显含时间的力学量，称为守恒量，其和在体系的任何态下，都不随时间变化。4、在氢原子中，如果波函数用W〃/〃表示，那么n=2时，有个波函数与这个能级对应，它们分别是。

5、Hartree自洽场理论把原子中的电子受到的作用用—原子基态波函数可表示为各电子波函数之。三、证明题（共15分，要有详细证明步骤，否则不给分）'A来近似代替，在此近似下，…1已知a=一=•(2:l一+,=p5、Hartree自洽场理论把原子中的电子受到的作用用—原子基态波函数可表示为各电子波函数之。三、证明题（共15分，要有详细证明步骤，否则不给分）'A来近似代替，在此近似下，…1已知a=一=•(2:l一+,=p和a+=如枷7if=p，对于一维谐振子，证明:=T(2)=a+(3)H=(1\a+a+-\274•兀x顼xWlx)=^=sin——cos2——侦aaa描述，求（1）粒子能量的可能测量值及其相应的几率;（2）处于这种状态下粒子的能量平均值；（15分）（3）粒子随时间变化的波函数为W（x,t）（15分）2、（1）在。表象中，求甘•亓的本征态，已知n=sin0cos^e+sin0sin^e+cos0e（15分）（15分）⑵在E本征态x1/2下'求5的可能测值及相应的几率。3、设在H0表象中，H的矩阵为:E(0)10b*E(0)

2a*E3、设在H0表象中，H的矩阵为:E(0)10b*E(0)

2a*E|0)<E；0)<E30)(1)（10分）E（0）3试用微扰论求能量的二级修正。（提示：先找到H0和微扰H）E=（0,8,0），磁场沿z轴方向即月=（0,0,B），矢势A=（—By,0,0）（1）写出运动粒子的哈密顿算符MM一一.（2）证明：P和P为守恒量，与出它们的本征值和本征函数xz（3）与出守恒量完全集（10分）

试题标准答案及评分标准用纸课程名称一量子力学——（A卷）I—、选择题（每题3分，共15分）装1.B2.C3.A4.D5.BI二、填空题（每空2分，共20分）单值的，平方可积的线性算符，厄米算符平均值几率分布4W,W,W,W20021121021-1平均场积三、证明题（共15分）证明：（1）••I「人人]I「八人]—uc.pl-—Lp,x]=2力2方-1其中利益[x,p]=ih（6分）(2)a+a.a=平均场积三、证明题（共15分）证明：（1）••I「人人]I「八人]—uc.pl-—Lp,x]=2力2方-1其中利益[x,p]=ih（6分）(2)a+a.a=a+[.a,aa=-aa+a.a+=a+a,a++a+,a+a=a+（4分）]+[q+,o~j=Jpi’CO(a+_r)系统Hamilton为白m1人H=——+—LLCO2X22日21=—枷2G+-。)+—G++q)L22=上力€0)-—/zCO(2q+q+1)=a+a+—力co22L2)（3）可以求得:四计算题（第1、2题各15分，第3、4题各10分，要求有具体计算步骤）（5分）1、解：（1）一维无限深势阱的本征态波函数是叩（x）=n：2.河xsinaa（2分）利用三角函数积化和、差，将w（x）1、解：（1）一维无限深势阱的本征态波函数是叩（x）=n：2.河xsinaa（2分）利用三角函数积化和、差，将w（x）改写4.兀x兀x2.兀xW\x)sin—cos2———sin—寸aaa<aa1K•兀x.八.兀x2兀x—=I2sin——+2sin——cos板aLaaa,2兀x1+cosa1<a3兀xaa：2.兀x,sin——+aaW1G)+W3(x”(4分)W（x）是非本征态，它可以有二种本征态，部分处在牛1（x）=出现几率为4，能量为e:*212ma2部分处在七（X）=出现几率为1，能量为E•兀x..3兀xsin——+sinaa,2.兀x—sin——aa9兀2方232ma2（2分）E=1E+1E=5兀加21232ma2（3分）（3）粒子随时间变化的波函数为茅n=bn2.3兀x:—sin—\aaJe-—茅n=bn2.3兀x:—sin—\aaJe-—1e2ma2+―v2（4分），01、"0-n"10、b—b=b=x」0Jy<i0/z打-J2、解：（1）在。乙表象中，n+bn(s：no00即sin0e一冷、

—cos0，其本征方程为（3分）sin0e一淬、

—cos0有非零解的条件为\"a'J1bJsin0e一冷—cos0—Xcos0—人sin0e—涔sin0e涔一cos0—人（4分）当^=1时，对应的本征态为w1=coscos0—人sin0e—涔sin0e涔一cos0—人（4分）当^=1时，对应的本征态为w1=cos(0/2)'vsin(0/2)e-马¥=T时，对应的本征态为w2='sin(0/2)^一cos(0/2)e-却（2分）I"x)|2=(cos(0/2),sin(0/2扁1/2=COs2(0/2)(3分)故n的可能测值为-1的几率为(sin(0/2(sin(0/2),-cos(0/2)e-却=sin2(0/2)(3分)3、:微扰算符的的矩阵是"H'11H'12H'一13一00bH'H'H'00a212223H'H'H'b*a*0L313233(1)根据无简并微扰论，一级能量修正量是：Hkk根据无简并微扰论，从（1）中看出，对角位置的矩阵元全是零，因此一级修正量（2分）E(0)=E;。)=E(0)（2分）又二级能量公式是:H'nk.E（0）―E（0）

kn（2分）所需的矩阵元Hk已经直接由式（1）表示出，毋需再加计算，因而有:=EH'H'=zH'2H'2n21221E（0）一E（0）12n1E（0）一E（0）n1nH'312E（0）一E（0）13H'322E（0）一E（0）13E（0）-E（0）E（0）-E（0）+E（0）-E（0）E（0）-E（0）n2n312123（2分）（2分）H2H2H2|》|2（2分）u3—23|13—IIE（o）-E（o）32E（o）—E（o）E（o）-E（o）E（o）-E（o）E（o）-E（o）3n323131.1C〃一\24.解：（1）利用H=（2分）E（o）-E（o）3212pi（\P-^A-Q^yi2piP+，By12pi（\P-^A-Q^yi2piP+，Byxcy+P2+P2-Q^y（4分）（2）证明:H,P=X—12piH,p2口P+^By

\xc）+P2+P2H,P=X—12piH,p2口P+^By

\xc）+P2+P2yz一q"PXl|-/v/