《高等数学》教学课件-第3章

第三章导数的应用第三章导数的应用1本章内容04曲线的凹凸性和拐点、函数图像的描绘03最大值最小值问题02函数的单调性与极值01罗必达法则本章内容04曲线的凹凸性和拐点、03最大值最小值问题02函数2第一节罗必达法那么定理〔罗必达法那么〕设（1）函数和均在点x0的某去心邻域内有定义，且

（或）；（2）函数和均在点x0的该去心邻域内可导，且；（3）存在（或为无穷大）。第一节罗必达法那么定理〔罗必达法那么〕设（1）函数3那么这表明，当存在时，也存在且等于

；当为无穷大时，也是无穷大。这种在一定条件下，通过分子分母分别求导来确定未定式极限的方法称为罗必达法则。那么这表明，当4解例1求。原式解例2求。原式解例1求。原式解例25解例3求。原式解例4求。原式解例3求。原式6解例5求。原式解例5求。原式7解例7求。原式因为，所以例6求。解因为，当时，上式右端是型未定式，应用罗必达法则，得解例7求8解例8求。令，则当时，上式右端指数部分是型未定式，应用例6的结果，得，所以解例8求。令9解例9求。这个极限属于型，若使用罗必达法则，得因为不存在，但并不能说明所求极限不存在，因此上式不能使用罗必达法则，事实上，解例9求。这个10第二节

函数的单调性与极值一、函数单调性的判定法（1）如果在内，那么函数在上单调增加；定理1（函数单调性的判定法）设函数在上连续，在内可导（2）如果在内，那么函数在上单调减少。第二节函数的单调性与极值一、函数单调性的判定法（1）如果11例1讨论函数单调性。解的定义域为，在定义域内连续、可导，且显然时，；当时，；当时，。所以在上单调减少；在

上单调增加。例1讨论函数12例2讨论函数单调性。解的定义域为，显然时，不存在；当时，；当时，。所以在上单调减少；在

上单调增加（如图3-1所示）。图3-1例2讨论函数单13我们将导数为零的点，称为函数的驻点。将连续不可导点称为函数的尖点。现将求函数的单调区间的一般步骤归纳如下：（1）确定函数的定义域；（2）求函数的导数，确定驻点和尖点；（3）以驻点和尖点为分界点，按照从小到大的顺序将定义域划分为若干个子区间，列表讨论在各个子区间内的符号，根据判定法确定函数的单调区间。我们将导数为零的点，称为函数的驻点。将连续不14例3确定函数的单调区间。解（1）的定义域为。显然，驻点是；尖点是。（2）（3）以和为分界点将分为三个子区间，列表讨论：例3确定函数15由上表可知，函数的单调增加区间为和

，单调减少区间为。由上表可知，函数的单调增加16二、函数的极值及其求法由图3-2可以看出，在点x2及x5的函数值和比它邻近各点的函数值都大，而在x1，x4，x6

的函数值比它们邻近各点的函数值都小，对于这种性质和对应点的函数值，我们给出如下定义：1．函数极值的定义图3-2二、函数的极值及其求法由图3-2可以看出，17定义1设函数在x0

的某邻域内有定义，如果对于该邻域内异于x0

的任一x，均有(或

)那么就称是函数的一个极大值（或极小值），点x0叫做函数的极大点（或极小点），函数的极大值与极小值统称为函数的极值，使函数取得极值的点统称为极值点。定义1设函数在x0的某邻域18关于函数的极值，做以下几点说明：（1）极值是函数值，而极值点是函数取得极值时自变量的值，两者不能混淆．（2）函数的极值是一个局部概念，如果是函数的一个极大值，那只是就x0附近的一个局部范围来说比在其余各点处的函数值都大，而在的整个定义域来说，

不一定是函数的最大值，关于极小值也类似。（3）极大值不一定比极小值大，如图3-2中，极大值比极小值还小。关于函数的极值，做以下几点说明：（1）极值是函数值，而极值点19定理2（极值判定法则1）设函数在点x0处连续，且在x0的某去心邻域内可导，如果在左右x0

近旁：2．函数极值的判定和求法（1）当时，，而时，，那么函数

在x0处取得极大值。（2）当时，，而时，，那么函数

在x0处取得极小值。（3）当与时，的符号保持不变，那么函数在x0处没有极值。定理2（极值判定法则1）设函数在点x20于是，若函数在所讨论的区间内连续，除个别点外处处可导，则可以按下列步骤来求在该区间内的极值点和相应的极值：（1）写出函数的定义域；（2）求导数，并找出定义域内的全部驻点和尖点；（3）考察的符号在每个驻点或尖点的左、右邻域的情形，以确定该点是否为极值点。为方便起见，可列表进行讨论；（4）求出各极值点的函数值，得函数的全部极值。于是，若函数在所讨论的区间21（4）由上表可知，函数的极大值为；极小值为。解例4求函数的极值。（1）函数的定义域为（2）求导，得驻点，尖点。（3）以，为分界点将分为三个子区间，列表讨论：（4）由上表可知，函数的极大值为22（1）当时，函数在点x0处取得极大值。（2）当时，函数在点x0处取得极小值。定理3（极值判定法则2）若函数在点x0处二阶可导，且，则（1）当时，函数23解例5求函数在上的极值。（1）求导，令求得在

内的驻点为求二阶导数得因为，，故在处取得极大值，在处取得极小值。解例5求函数24第三节最大值最小值问题求连续函数在上的最大值和最小值方法如下：（1）求导，找出在内的驻点和尖点，按从小到大顺序，不妨设为

。（2）计算上述各点的函数值及端点的函数值。（3）比较（2）中各值的大小，其中最大的、最小的就是函数

在上的最大值和最小值。第三节最大值最小值问题求连续函数在25解例2求函数在上的最大值与最小值。，显然

内的驻点为；尖点为。由于，比较可得在和处，取得最大值，在

和

处，取得最小值0。解例2求函数26如果连续函数在一个开区间内有惟一的一个极值时，那么这个极大（或极小）值就是函数在该区间内最大（或最小）值（如图3-3，3-4所示）。图3-3图3-4如果连续函数在一个开区间27例2铁路线上AB段的距离为100km，工厂C距A处为20km，AC垂直于AB〔图3-5〕，为了运输需要，要在AB线上选定点D向工厂修筑一条公路，铁路每公里货运费与公路每公里货运的运费之比为3∶5，为了使货物从供给站B运到工厂C的运费最省，问D点应选在何处？图3-5例2铁路线上AB段的距离为100km，工厂C距A处为228解设AD=x〔km〕，那么DB=100-x，由于铁路上每公里货运的运费与公路上每公里货运的运费之比为3∶5，因此我们不妨设铁路每公里的货运费为3k，公路每公里的货运费为5k〔比例系数k>0〕。设从B点到C点需要的总运费为y，那么解设AD=x〔km〕，那么DB=100-x，29即解方程，得x=15（km），可见在区间（0，100）内有惟一驻点，且，根据极值判定法则2可知：x=15是目标函数在（0，100）内惟一的极值点，且为极小点，从而也是使目标函数在上取最小值的点，因此，当x=15（km）时，总运费为最省。即解方程，得x=15（km），可见在区间（0，100）30例3把一根直径为d的圆木锯成截面为矩形的梁〔图3-6〕。问矩形截面的高h和宽b应如何选择才能使梁的抗弯截面模量最大？图3-6例3把一根直径为d的圆木锯成截面为矩形的梁〔图3-6〕。31解由力学分析可知矩形梁的抗弯截面模量为由图3-6可知，则这样，W就是自变量b的函数，。问题化为：b达到多少时目标函数W取最大值？为此，求W对b的导数解由力学分析可知矩形梁的抗弯截面模量为由图3-6可知32令，解得。由于梁的最大抗弯截面模量一定存在，在内部取得且有唯一驻点。所以，当时，W的值最大，这时

，即。即当圆木直径与截面的高、宽之比为时，梁的抗弯截面模量最大。令，解得33解例4【旅行社的利润】旅行社为某旅游团包飞机去旅游，其中旅行社的包机费为15000元，旅游团中每人的飞机票按一下方式与旅行社结算：假设旅游团的人数在30人或30人以下，飞机票每张收费900元；假设旅游团的人数多于30人，那么给予优惠，每多1人，每张机票减少10元，但旅游团的人数最多有75人，那么旅游团的人数为多少时，旅行社可获得的利润最大？设旅游团有x人，每张飞机票为y元，依题意得当时；当时。解例4【旅行社的利润】旅行社为某旅游团包飞机去旅游，其中34每张机票的价格与旅游团的人数之间的关系为设利润为Q〔x〕元，那么每张机票的价格与旅游团的人数之间的关系为设利润为Q〔x〕元，35当时，；当；当时，利润Q关于x的导数:

令，解得。因为实际问题中的最大利润存在，且有唯一驻点，，所以当旅游团人数为60人时，旅行社可获得的最大利润为21000元。当时，；当36第四节曲线的凹凸性和拐点、函数图像的描绘一、曲线的凹凸性与拐点1．曲线凹凸性的定义及其判定首先观察图3-9所示的两条曲线。图3-9第四节曲线的凹凸性和拐点、函数图像的描绘一、曲线的凹凸性37如图3-9所示，有一类曲线向上弯曲，它在任何点处的切线总位于曲线的下方；另一类曲线向下弯曲，它在任何点处的切线总位于曲线的上方，由此我们给出关于曲线凹凸的定义：定义1设在闭区间上连续，在开区间内可导，若曲线上每一点处的切线都在它的下方，（图3-10（a）），那么称曲线在上是凹的，区间叫做曲线的凹区间；如果曲线上每一点处的切线都在它上方（图3-10（b）），那么称曲线在上是凸的，区间叫做曲线的凸区间。如图3-9所示，有一类曲线向上弯曲，它在任何38（a）（b）图3-10由图3-10可看出，对于凹的曲线弧，其上任意点的切线的斜率随着x的增大而增大，即是单调增加的，从而在内，；对于凸的曲线弧，其上各点的切线的斜率随着x的增加而减小，即在内饰单调减少的，因而在内，。由此可见，曲线的凹凸性与二阶导数的符号有关。（a）（b）图3-10由图3-10可看出，对39定理1（曲线凹凸性的判定定理）设在上连续，在

内具有二阶导数：（1）若在内，则曲线在上是凹的。（2）若在内，则曲线在上是凸的。如果将定理中的区间改为其他区间，结论仍然成立。定理1（曲线凹凸性的判定定理）设在40解例1判定曲线的凹凸性。函数的定义域为，（当时，，故曲线在内是凸的；当

时，，股曲线在内是凹的；当时，。点（0，0）是曲线由凸变凹的分界点（图3-11）图3-11解例1判定曲线的凹凸性。函数的定义412．曲线的拐点及其判定定义2

连续曲线上凹与凸两部分的分界点叫做该曲线的拐点。可以按下列步骤来判定某区间上的连续曲线的拐点：（1）求二阶导数。（2）令，解出这个方程在该区间内的实根，并求出在该区间内不存在的点。（3）对于（2）中求出的每一个实根或二阶导数不存在的点x0

，考察在x0

左、右两侧的符号，当x0两侧的符号相反时，点

是拐点，当x0

两侧的符号相同时，点不是拐点。2．曲线的拐点及其判定定义2连续曲线42解例2求曲线的凹凸点区间和拐点。函数的定义域为令，得和。列表讨论如下：解例2求曲线43由上表可知，曲线的凹区间是，；凸区间是；拐点为

和，（表中“”和“”分别表示曲线是凹的和凸的）。由上表可知，曲线的凹区间是44解例3确定曲线的凹凸性和拐点。函数的定义域为当时，都不存在。列表讨论如下：解例3确定曲线45由上表可知，曲线在是凹的，在是凸的，曲线的拐点为

。由上表可知，曲线在46二、函数图像的描绘1．曲线的水平渐近线和垂直渐近线定义3如果当自变量（有时仅当或），趋近于b，即则称直线为曲线的水平渐近线；如果当时，（有时仅当或），趋近于，即则称直线为曲线的垂直渐近线。二、函数图像的描绘1．曲线的水平渐近线和垂直渐近线定义3472．函数图像的描绘其一般步骤如下：（1）确定函数的定义域、间断点及函数所具有的某些特性（如奇偶性、周期性等）；（2）求出函数的一阶导数和二阶导数，解方程

在定义域内的全部实根及和不存在的点，应用这些根和点，将函数的定义域划分为若干个子区间；（3）列表讨论和在（2）中所得各子区间内的符号，由此确定函数的单调性、极值、曲线的凹凸性和拐点；（4）如有渐近线，求出渐近线，并确定其他变化趋势；（5）求辅助点，如曲线与坐标轴的交点等；（6）在直角坐标系中，根据上面讨论，描点作图。2．函数图像的描绘其一般步骤如下：（1）确定函数48例4作函数的图像：解（1）函数的定义域为，无间断点。由于，所以该函数为奇函数，其图像关于原点对称。（2）由得由得〔3〕列表讨论：例4作函数的图49（5）取辅助点。（4）当时当时（6）综合上述讨论，描点作出的图像（图3-12）。图3-12（5）取辅助点50例5描绘函数的图像。解

（1）函数的定义域为，无间断点，由于，所以为偶函数，其图像关于y轴对称，因此可以只讨论

上该函数的图像。（2）在上令得得例5描绘函数51〔3〕列表讨论：（4）由于，所以图像有一条水平渐近线

。（5）取辅助点。〔3〕列表讨论：（4）由于52（6）综合以上讨论，作出函数在上的图像，利用图像的对称性，得函数在上的图像（图3-13）。这条曲线称为标准正态分布曲线。图3-13（6）综合以上讨论，作出函数53ThankYou!ThankYou!54第三章导数的应用第三章导数的应用55本章内容04曲线的凹凸性和拐点、函数图像的描绘03最大值最小值问题02函数的单调性与极值01罗必达法则本章内容04曲线的凹凸性和拐点、03最大值最小值问题02函数56第一节罗必达法那么定理〔罗必达法那么〕设（1）函数和均在点x0的某去心邻域内有定义，且

（或）；（2）函数和均在点x0的该去心邻域内可导，且；（3）存在（或为无穷大）。第一节罗必达法那么定理〔罗必达法那么〕设（1）函数57那么这表明，当存在时，也存在且等于

；当为无穷大时，也是无穷大。这种在一定条件下，通过分子分母分别求导来确定未定式极限的方法称为罗必达法则。那么这表明，当58解例1求。原式解例2求。原式解例1求。原式解例259解例3求。原式解例4求。原式解例3求。原式60解例5求。原式解例5求。原式61解例7求。原式因为，所以例6求。解因为，当时，上式右端是型未定式，应用罗必达法则，得解例7求62解例8求。令，则当时，上式右端指数部分是型未定式，应用例6的结果，得，所以解例8求。令63解例9求。这个极限属于型，若使用罗必达法则，得因为不存在，但并不能说明所求极限不存在，因此上式不能使用罗必达法则，事实上，解例9求。这个64第二节

函数的单调性与极值一、函数单调性的判定法（1）如果在内，那么函数在上单调增加；定理1（函数单调性的判定法）设函数在上连续，在内可导（2）如果在内，那么函数在上单调减少。第二节函数的单调性与极值一、函数单调性的判定法（1）如果65例1讨论函数单调性。解的定义域为，在定义域内连续、可导，且显然时，；当时，；当时，。所以在上单调减少；在

上单调增加。例1讨论函数66例2讨论函数单调性。解的定义域为，显然时，不存在；当时，；当时，。所以在上单调减少；在

上单调增加（如图3-1所示）。图3-1例2讨论函数单67我们将导数为零的点，称为函数的驻点。将连续不可导点称为函数的尖点。现将求函数的单调区间的一般步骤归纳如下：（1）确定函数的定义域；（2）求函数的导数，确定驻点和尖点；（3）以驻点和尖点为分界点，按照从小到大的顺序将定义域划分为若干个子区间，列表讨论在各个子区间内的符号，根据判定法确定函数的单调区间。我们将导数为零的点，称为函数的驻点。将连续不68例3确定函数的单调区间。解（1）的定义域为。显然，驻点是；尖点是。（2）（3）以和为分界点将分为三个子区间，列表讨论：例3确定函数69由上表可知，函数的单调增加区间为和

，单调减少区间为。由上表可知，函数的单调增加70二、函数的极值及其求法由图3-2可以看出，在点x2及x5的函数值和比它邻近各点的函数值都大，而在x1，x4，x6

的函数值比它们邻近各点的函数值都小，对于这种性质和对应点的函数值，我们给出如下定义：1．函数极值的定义图3-2二、函数的极值及其求法由图3-2可以看出，71定义1设函数在x0

的某邻域内有定义，如果对于该邻域内异于x0

的任一x，均有(或

)那么就称是函数的一个极大值（或极小值），点x0叫做函数的极大点（或极小点），函数的极大值与极小值统称为函数的极值，使函数取得极值的点统称为极值点。定义1设函数在x0的某邻域72关于函数的极值，做以下几点说明：（1）极值是函数值，而极值点是函数取得极值时自变量的值，两者不能混淆．（2）函数的极值是一个局部概念，如果是函数的一个极大值，那只是就x0附近的一个局部范围来说比在其余各点处的函数值都大，而在的整个定义域来说，

不一定是函数的最大值，关于极小值也类似。（3）极大值不一定比极小值大，如图3-2中，极大值比极小值还小。关于函数的极值，做以下几点说明：（1）极值是函数值，而极值点73定理2（极值判定法则1）设函数在点x0处连续，且在x0的某去心邻域内可导，如果在左右x0

近旁：2．函数极值的判定和求法（1）当时，，而时，，那么函数

在x0处取得极大值。（2）当时，，而时，，那么函数

在x0处取得极小值。（3）当与时，的符号保持不变，那么函数在x0处没有极值。定理2（极值判定法则1）设函数在点x74于是，若函数在所讨论的区间内连续，除个别点外处处可导，则可以按下列步骤来求在该区间内的极值点和相应的极值：（1）写出函数的定义域；（2）求导数，并找出定义域内的全部驻点和尖点；（3）考察的符号在每个驻点或尖点的左、右邻域的情形，以确定该点是否为极值点。为方便起见，可列表进行讨论；（4）求出各极值点的函数值，得函数的全部极值。于是，若函数在所讨论的区间75（4）由上表可知，函数的极大值为；极小值为。解例4求函数的极值。（1）函数的定义域为（2）求导，得驻点，尖点。（3）以，为分界点将分为三个子区间，列表讨论：（4）由上表可知，函数的极大值为76（1）当时，函数在点x0处取得极大值。（2）当时，函数在点x0处取得极小值。定理3（极值判定法则2）若函数在点x0处二阶可导，且，则（1）当时，函数77解例5求函数在上的极值。（1）求导，令求得在

内的驻点为求二阶导数得因为，，故在处取得极大值，在处取得极小值。解例5求函数78第三节最大值最小值问题求连续函数在上的最大值和最小值方法如下：（1）求导，找出在内的驻点和尖点，按从小到大顺序，不妨设为

。（2）计算上述各点的函数值及端点的函数值。（3）比较（2）中各值的大小，其中最大的、最小的就是函数

在上的最大值和最小值。第三节最大值最小值问题求连续函数在79解例2求函数在上的最大值与最小值。，显然

内的驻点为；尖点为。由于，比较可得在和处，取得最大值，在

和

处，取得最小值0。解例2求函数80如果连续函数在一个开区间内有惟一的一个极值时，那么这个极大（或极小）值就是函数在该区间内最大（或最小）值（如图3-3，3-4所示）。图3-3图3-4如果连续函数在一个开区间81例2铁路线上AB段的距离为100km，工厂C距A处为20km，AC垂直于AB〔图3-5〕，为了运输需要，要在AB线上选定点D向工厂修筑一条公路，铁路每公里货运费与公路每公里货运的运费之比为3∶5，为了使货物从供给站B运到工厂C的运费最省，问D点应选在何处？图3-5例2铁路线上AB段的距离为100km，工厂C距A处为282解设AD=x〔km〕，那么DB=100-x，由于铁路上每公里货运的运费与公路上每公里货运的运费之比为3∶5，因此我们不妨设铁路每公里的货运费为3k，公路每公里的货运费为5k〔比例系数k>0〕。设从B点到C点需要的总运费为y，那么解设AD=x〔km〕，那么DB=100-x，83即解方程，得x=15（km），可见在区间（0，100）内有惟一驻点，且，根据极值判定法则2可知：x=15是目标函数在（0，100）内惟一的极值点，且为极小点，从而也是使目标函数在上取最小值的点，因此，当x=15（km）时，总运费为最省。即解方程，得x=15（km），可见在区间（0，100）84例3把一根直径为d的圆木锯成截面为矩形的梁〔图3-6〕。问矩形截面的高h和宽b应如何选择才能使梁的抗弯截面模量最大？图3-6例3把一根直径为d的圆木锯成截面为矩形的梁〔图3-6〕。85解由力学分析可知矩形梁的抗弯截面模量为由图3-6可知，则这样，W就是自变量b的函数，。问题化为：b达到多少时目标函数W取最大值？为此，求W对b的导数解由力学分析可知矩形梁的抗弯截面模量为由图3-6可知86令，解得。由于梁的最大抗弯截面模量一定存在，在内部取得且有唯一驻点。所以，当时，W的值最大，这时

，即。即当圆木直径与截面的高、宽之比为时，梁的抗弯截面模量最大。令，解得87解例4【旅行社的利润】旅行社为某旅游团包飞机去旅游，其中旅行社的包机费为15000元，旅游团中每人的飞机票按一下方式与旅行社结算：假设旅游团的人数在30人或30人以下，飞机票每张收费900元；假设旅游团的人数多于30人，那么给予优惠，每多1人，每张机票减少10元，但旅游团的人数最多有75人，那么旅游团的人数为多少时，旅行社可获得的利润最大？设旅游团有x人，每张飞机票为y元，依题意得当时；当时。解例4【旅行社的利润】旅行社为某旅游团包飞机去旅游，其中88每张机票的价格与旅游团的人数之间的关系为设利润为Q〔x〕元，那么每张机票的价格与旅游团的人数之间的关系为设利润为Q〔x〕元，89当时，；当；当时，利润Q关于x的导数:

令，解得。因为实际问题中的最大利润存在，且有唯一驻点，，所以当旅游团人数为60人时，旅行社可获得的最大利润为21000元。当时，；当90第四节曲线的凹凸性和拐点、函数图像的描绘一、曲线的凹凸性与拐点1．曲线凹凸性的定义及其判定首先观察图3-9所示的两条曲线。图3-9第四节曲线的凹凸性和拐点、函数图像的描绘一、曲线的凹凸性91如图3-9所示，有一类曲线向上弯曲，它在任何点处的切线总位于曲线的下方；另一类曲线向下弯曲，它在任何点处的切线总位于曲线的上方，由此我们给出关于曲线凹凸的定义：定义1设在闭区间上连续，在开区间内可导，若曲线上每一点处的切线都在它的下方，（图3-10（a）），那么称曲线在上是凹的，区间叫做曲线的凹区间；如果曲线上每一点处的切线都在它上方（图3-10（b）），那么称曲线在上是凸的，区间叫做曲线的凸区间。如图3-9所示，有一类曲线向上弯曲，它在任何92（a）（b）图3-10由图3-10可看出，对于凹的曲线弧，其上任意点的切线的斜率随着x的增大而增大，即是单调增加的，从而在内，；对于凸的曲线弧，其上各点的切线的斜率随着x的增加而减小，即在内饰单调减少的，因而在内，。由此可见，曲线的凹凸性与二阶导数的符号有关。（a）（b）图3-10由图3-10可看出，对93定理1（曲线凹凸性的判定定理）设在上连续，在

内具有二阶导数：（1）若在内，则曲线在上是凹的。（2）若在内，则曲线在上是凸的。如果将定理中的区间改为其他区间，结论仍然成立。定理1（曲线凹凸性的判定定理）设在94解例1判定曲线的凹凸性。函数的定义域为，（当时，，故曲线在内是凸的；当

时，，股曲线在内是凹的；当时，。点（0，0）是曲线由凸变凹的分界点（图3-11）图3-11解例1判定曲线的凹凸性。函数的定义952．曲线的拐点及其判定定义2

连续曲线上凹与凸两部分的分界点叫做该曲线的拐点。可以按下列步骤来判定某区间上的连续曲线的拐点：（1）求二阶导数。（2）令，解出这个方程在该区间内的实根，并求出在该区间内不存在的点。（3）对于（2）中求出的每一个实根或二阶导数不存在的点x0

，考察在x0

左、右两侧的符号，当x0两侧的符号相反时，点

是拐点，当x0

两侧的符号相同时，点