空间点、平面、直线的关系课件

2.3空间点、平面、直线的关系

(Relationshipsofpoints、planesandstraightlinesinspace)2.3.1

点与平面的位置关系2.3.2

点与直线的位置关系2.3.3

两平面的位置关系2.3.4

空间两直线的相关位置2.3.5

直线与平面的相关位置2.3空间点、平面、直线的关系

(Relationship12.3.1点与平面的位置关系

(Mutualpositionofpointsandplanes)1)点与平面的位置关系

点与平面的位置关系,有2种情形,就是点在平面上和点不在平面上.前者的条件是点的坐标满足平面方程.点不在平面上时,一般要求点到平面的距离,并用离差反映点在曲面的哪一侧.2)点到平面的距离

定义1自点P0向平面

引垂线,垂足为P1.向量在平面的单位法向量n0上的射影称为P0与平面之间的离差,记作

(2.3-1)

2.3.1点与平面的位置关系

(Mutualpositi2

当与n0同向时,离差δ>0；当与n0反向时,离差δ<0.当P0在平面上时,离差δ=0.

显然,离差的绝对值就是点P0到平面

的距离,由此可以推导点到平面的距离公式.当与n0同向时,离差δ>0；当3设P0(x0,y0,z0)是平面Ax+By+Cz+D=0外一点,求P0到平面的距离.任取平面上一点P1(x1,y1,z1),则而，所以因为点P1在平面Ax+By+Cz+D=0上,故Ax1+By1+Cz1+D=0,即(Ax1+By1+Cz1)=-D,所以设P0(x0,y0,z0)是平面Ax+By4从而得点到平面的距离为：

(2.3-2)

公式(2.3-2)称为点到平面的距离公式.显然,当点P0(x0,y0,z0)在平面上时,公式亦成立.

例1求点(1,2,-3)到平面2x-y+2z+3=0的距离.

解由点到平面的距离公式(2.3-2),得3)平面划分空间问题设平面的一般方程为

Ax＋By＋Cz＋D=0,则空间中任一点P(x,y,z)与平面的离差为

从而得点到平面的距离为：5式中λ为平面的法化因子，因此有

(2.3-3)

对于平面同侧的点,δ的符号相同；对于在平面的异侧的点,δ有不同的符号,而λ一经取定,符号就是固定的.因此,平面：Ax＋By＋Cz＋D=0把空间划分为两部分,对于平面某一侧的点P(x,y,z),有Ax＋By＋Cz＋D>0；而对于平面另一侧的点,则有Ax＋By＋Cz＋D<0,在平面上的点有Ax＋By＋Cz＋D=0.

例2判别点M(2,-1,1)和N(1,2,-3)在由平面与所构成的同一个二面角内，还是分别在相邻二面角内，或是在对顶的二面角内？

解：记将点M(2,-1,1)代入上式，得＞0，同理，对于点N(1,2,-3)得

＜0.故点M和N在由平面1与2所构成的相邻二面角内.式中λ为平面的法化因子，因此有62.3.2点与直线的位置关系

(Mutualpositionofpointsandstraightlines)1)点与直线的位置关系任给一条直线L的方程和一点P0,则L和P0的位置关系只有2种：点在直线上和点不在直线上.从代数上,这两种情况对应点的坐标满足直线方程和点的坐标不满足直线方程.2)点到直线的距离设空间中有一点P0(x0,y0,z0)和一条直线

此处P1(x1,y1,z1)是L上的一点,v=(X,Y,Z)是L的方向向量.以v和

2.3.2点与直线的位置关系

(Mutualposit7为邻边作一平行四边形,则其面积为,点P0到直线L的距离d就是此平行四边形的对应于底|v|的高,所以有

(2.3-4)

在实际计算中,记忆上式的第二个等号后面的部分是没有实际意义的.只需根据公式的前半部分计算即可.

也可以先求出过点P0且与直线L垂直的平面

,再求出L与

的交点P0,由两点间距离公式求出点到直线的距离.为邻边作一平行四边形,则其面积为,点P0到直线L8

例3求点(5,4,2)到直线的距离d.

解

P0(5,4,2),取P1(-1,3,1),v=(2,3,-1)则则，所以例3求点(5,4,2)到直线92.3.3两平面的位置关系

(Mutualpositionoftwoplanes)1)两平面的位置关系

空间两平面的相关位置有3种情形,即相交、平行和重合.设两平面

1与

2的方程分别是

1:A1x+B1y+C1z+D1=0,

2:A2x+B2y+C2z+D2=0.则两平面

1与

2相交、平行或是重合,就决定于由两方程构成的方程组是有解还是无解,或无数个解,它们与两平面的法向量n1,n2,即方程的系数有密切关系,从而可得下面的定理.

2.3.3两平面的位置关系

(Mutualpositi10

定理1空间两平面相关位置,有下面的充要条件(1)相交:

(2.3-5)(2)平行:

(2.3-6)(3)重合:

(2.3-7)由于两平面

1与

2的法向量分别为n1=(A1,B1,C1),

n2=(A2,B2,C2),当且仅当n1不平行于n2时

1与

2相交,当且仅当n1∥n2时

1与

2平行或重合,由此我们同样能得到上面3个条件.定理1空间两平面相关位置,有下面的充要条件112)两平面间的夹角

设两平面的夹角为θ,规定θ为锐角,那么显然有(如图)：θ和两平面法向量n1与n2的夹角相等即,或者与两平面法向量n1与n2的夹角互补,即.

2)两平面间的夹角12根据两向量的夹角公式可得

(2.3-8)公式(2.3-8)称为两平面的夹角公式.由(2.3-8)可得：两平面垂直的充要条件是

A1A2+B1B2+C1C2=0(2.3-9)

例4求两平面

1:2x-3y+6z-12=0和

2:x+2y+2z-7=0的夹角.

解：,代入公式(2.3-8)得故所求两平面之间的夹角为根据两向量的夹角公式可得13

例5一平面过两点P1(1,1,1)和P2(0,1,-1)且垂直于平面x＋y＋z=0,求它的方程.

解:设所求平面的法向量为,由于在所求平面上,有，即.又n垂直于平面x＋y＋z=0的法向量n1=(1,1,1),故有.从而得

代入平面的点法式,得平面方程为：

2(x-1)-(y-1)-(z-1)=0,即 2x－y－z=0.例5一平面过两点P1(1,1,1)和P2(0,114例6求过点A(1,1,-1)且与x-y+z-7=0,3x+2y-12z+5=0都垂直的平面.

解设所求平面的法向量为n=(A,B,C),n1=(1,-1,1),n2=(3,2,-12),由于,故

，所以可取因为则取n=(2,3,1)，代入平面的点法式方程得所求平面方程为

2(x-1)+3(y-1)+(z+1)=0,即2x+3y+z-4=0.

例6求过点A(1,1,-1)且与x-y+z153)平面束

作为两平面关系的更广泛情形，下面讨论平面束.

定义2通过一条定直线的所有平面的全体，称为一个有轴平面束，定直线称为平面束的轴。平行于一个定平面的所有平面的全体，称为一个平行平面束。

定理2以二相交平面

1:A1x+B1y+C1z+D1=0,

2:A2x+B2y+C2z+D2=0.的交线L为轴的有轴平面束的方程是

(2.3-10)这里λ,μ是不同时为零的任意实数,称为参数.

证

先证明对于任意一组不同时为零的参数值λ,μ,方程(2.3-10)表示一个平面.

3)平面束16将方程(2.3-10)改写为而上式中x,y,z的系数不同时为零,否则

设,则有

而这与题设

1,

2相交矛盾,所以(2.3-10)确是三元一次方程,表示平面.

再证对于任意一组不同时为零的参数值λ,μ,方程(2.3-10)表示的平面过

1与

2

的交线L.

因为

1,

2交线L上任一点的坐标必满足

1及

2的方程,因而也必满足(2.3-10),从而L必在方程(2.3-10)所表示的平面上.

将方程(2.3-10)改写为17

最后证明通过交线L的任一平面,都可以通过选取适当的

λ,μ值,用方程(2.3-10)表示.

设在平面上,但不在交线L上任取一点P(α,β,γ),因为P不在L上,所以与不能同时为零.如果,可取把满足这个关系的一组λ,μ值代入方程(2.3-10)得：显然这个方程既通过了L,又通过了P点,即为平面的方程.

最后证明通过交线L的任一平面,都可以通过选18

特别地，当

=

1时，可以选取；当

=

2时,可以选取.

注：为了计算方便,有时也把上述平面束的方程写成(2.3-11)

它只含有一个参数,所以计算方便.但要注意,不管λ取何值,方程(2.3-11)都不能表示平面即(2.3-11)决定的平面的全体比(2.3-10)决定的平面束少了一个平面

2.

下面讨论平行平面束,已给定平面的方程为

由于平行于的平面可看成与具有相同的法向,因而平行平面束的方程可写成(2.3-12)其中λ为参数.特别地，当=1时，可以选取19

例7求过直线且与xy面垂直的平面.

解过二平面2x-y+2z=0,x+2y-2z-6=0的交线的平面方程可看成有轴平面束,设为即该平面的法向量.由题设该平面与xy面垂直,得

,即.解得

取则由此可得所求平面方程

3x-y-6=0.

例7求过直线20

例8求与平面3x+y-z+4=0平行且在z轴上截距等于-2的平面方程.

解可设所求平面方程为因该平面在z轴上的截距为-2,所以该平面通过点(0,0,-2),由此得所以因此所求平面方程为：

例8求与平面3x+y-z+4=0平行且在z轴上21

2.3.4空间两直线的相关位置

(Mutualpositionoftwolinesinspace)

1)空间两直线的位置关系空间两直线的相关位置有异面与共面,共面时又有相交、平行和重合3种情形.设二直线的方程为

i=1,2.

直线L1上定点P1(x1,y1,z1)和方向向量v1=(X1,Y1,Z1),而直线L2上定点P2(x2,y2,z2)和方向向量v2=(X2,Y2,Z2).由图容易看出,两直线的相关位置决定于三向量,v1,

2.3.4空间两直线的相关位置

(Mutualposi22v2的相互关系.当且仅当这三个向量异面时,两直线异面；当且仅当这三个向量共面时,两直线共面.共面时,若v1,v2不平行,则L1和L2相交;若v1∥v2但不与平行,则L1和L2平行;v1∥v2∥,则L1和L2重合.因此有

定理3空间两直线L1和L2的相关位置,有下面的充要条件

(1)异面：

(2.3-13)

(2)相交：(2.3-14)(3)平行：(2.3-15)(4)重合：(2.3-16)

v2的相互关系.当且仅当这三个向量异面时,两直线异面；当且23

例9判定直线和的位置关系.

解因为直线L1过点P1(0,0,-1),方向向量为v1=(1,-1,0),而直线L2过点P2(1,1,1),方向向量为v2=(1,1,0),从而有

所以L1与L2是两异面直线.

例9判定直线242)空间两直线的夹角

平行于空间两直线L1,L2的两向量间的夹角，称为空间两直线的夹角,规定θ为锐角.显然，若两直线间的夹角是θ，则也可认为它们之间的夹角是

-θ.它们与两直线方向向量v1,v2之间关系是或.根据两向量之间的夹角公式可得

(2.3-17)由此得出两直线L1与L2垂直的充要条件是

v1.v2=X1X2＋Y1Y2＋Z1Z2=0.(2.3-18)

2)空间两直线的夹角25

例10求以下两条直线的夹角

解直线L1的方向向量为v1=(1,-4,1)，直线L2的方向向量为故

则两直线的夹角为

例10求以下两条直线的夹角263)异面直线间的距离与公垂线的方程空间两直线的点之间的最短距离称为这两条直线之间的距离.两相交或两重合直线间的距离为零；两平行直线间的距离等于其中一直线上的任意一点到另一直线的距离.与两条异面直线都垂直相交的直线称为两异面直线的公垂线.两异面直线间的距离等于它们的公垂线夹在两异面直线间的线段的长.

设两异面直线L1和L2的方程如前，L1和L2与它们的公垂线的交点分别为N1和N2，则L1和L2之间的距离

3)异面直线间的距离与公垂线的方程27也就是

(2.3-19)它的几何意义为：因为为由三向量构成的平行六面体的体积，而为由两向量构成的平行四边形的面积，也就是上述平行六面体的一个面的面积，因此，由公式容易知道，两异面直线间的距离d恰为三向量构成的平行六面体在两向量构成的平行四边形底面上的高.

也就是28公垂线L0的方向向量可取作v1×v2=(X,Y,Z),而公垂线可看作两个平面的交线，这两个平面一个通过点M1,以v1和v1v2为方位向量，另一个平面通过点M2,

以v2和v1v2为方位向量.由平面的点位式方程可得公垂线L0的一般方程为

(2.3-20)其中(X,Y,Z)是向量v1v2的坐标，即L0的方向数.

现在求两异面直线L1和L2的公垂线的方程.公垂线L0的方向向量可取作v1×v2=(29

例11判定两直线和是异面直线,并求公垂线方程及其距离.解直线L1上点P1(3,0，-1),方位向量v1=(2,1,0);直线L2上点P2(-1,-2,0),方位向量v2=(1,0,1)，由故直线L1与L2为异面直线.又因为L1与L2的公垂线L0的方向向量可取为v1×v2=(1,-2,-1)

所以L1与L2之间的距离为例11判定两直线30根据(2.3-20)得公垂线L0的方程为即根据(2.3-20)得公垂线L0的方程为31

例12求过点P0(1,1,1)且与两直线都相交的直线的方程.

解设所求直线的方向向量v=(X,Y,Z)，那么所求直线L的方程可写成：因为L与L1，L2都相交,而且L1过点P1(0,0,0),方向向量为v1=(1,2,3),L2过点P2(1,2,3),方向向量为v2=(2,1,4).所以有即例12求过点P0(1,1,1)且与两直线32即由上两式得：

v=(1,-2,1)×(1,2,-1)=2(0,1,2).

v不平行于v1,v不平行于v2，符合相交条件，所以所求直线L的方程为空间点、平面、直线的关系课件332.3.5直线与平面的相关位置

(Mutualpositionoflinesandplanes)1)直线与平面的相关位置直线与平面的相关位置有3种情形：直线与平面相交，直线与平面平行和直线在平面上.设直线L与平面的方程分别为

：Ax＋By＋Cz＋D=0.将直线方程写成参数式

2.3.5直线与平面的相关位置

(Mutualposit34代入平面方程,整理可得

(AX＋BY＋CZ)t=－(Ax0＋By0＋Cz0＋D).

当且仅当AX＋BY＋CZ≠0时,上式有唯一解这时直线L与平面有唯一公共点；当且仅当AX＋BY＋CZ=0,Ax0＋By0＋Cz0＋D≠0时,上式无解,直线L与平面没有公共点；当且仅当AX＋BY＋CZ=0,Ax0＋By0＋Cz0＋D=0时,上式有无数多解,直线L在平面上.于是有

定理4直线L与平面

的相关位置,有下面的充要条件：(1)相交：AX＋BY＋CZ≠0;(2.3-21)(2)平行：AX＋BY＋CZ=0,Ax0＋By0＋Cz0＋D≠0；(2.3-22)(3)直线在平面上：AX＋BY＋CZ=0,Ax0＋By0＋Cz0＋D=0.(2.3-23)代入平面方程,整理可得35以上条件的几何解释：就是直线L的方向向量v与平面的法向量n之间关系.(1)表示v与n不垂直；(2)表示v与n垂直,且直线L上的点(x0,y0,z0)不在平面上；(3)表示v与n垂直,且直线L上的点(x0,y0,z0)在平面上.2)直线与平面的夹角当直线L与平面相交时,可求它们的夹角.当直线不与平面垂直时,直线与平面的交角是指直线和它在平面上的射影所构成的锐角；垂直时规定是直角.设v=(X,Y,Z)是直线L的方向向量,n=(A,B,C)是平面的法向量,则令∠(L,)=,∠(v,n)=,就有以上条件的几何解释：就是直线L的方向向量v与平36

,

或

(为钝角),

因而

sin=∣cos∣=(2.3-24)从这个公式也可直接得到定理4中的条件.显然,直线L垂直于平面

的充要条件是v∥n,即

(2.3-25)

附注1直线与平面的位置关系，是点、直线和平面关系的纽带,是求直线、平面方程的基础.

附注2当直线和平面平行时，直线和平面间的距离d等于P0到平面的距离.

,或37

附注3当直线和平面垂直时，可取直线方向向量v作为平面法向量n,反之亦然.

附注4直线与平面的夹角公式,与平面间、直线间的夹角公式不同,尤应引为注意.

例13设直线平面求直线与平面的夹角.

解所以为所求夹角.

附注3当直线和平面垂直时，可取直线方向向量v38

例14求空间一点P(5,2,-1)关于平面的对称点的坐标.

解法1过P(5,2,-1)作平面π的垂线L的方程为化为参数式将上式代入的方程得t=-2,以t=-2代入上式得L与的交点坐标Q(1,4,-7).求R(x,y,z)使线段PR的中点为Q，则解之得P点关于的对称点R坐标为(-3,6,-13).

例14求空间一点P(5,2,-1)关于平面39

解法2设对称点为R(x,y,z),则有PR∥n,且PR的中点在上,即联立求解,得R(-3,6,-13).

例15平面垂直于平面并通过从点P0(5,1,-1)到直线的垂直相交线，求平面的方程.

解设平面的法向量n=(A,B,C),方程为

A(x-5)+B(y-1)+C(z+1)=0.因为，n.n1=0,所以有A+B+C=0.

过P0(5,1,-1)作L的垂面2，则2的方程为

2(x-5)+3(y-1)+2(z+1)=0,

解法2设对称点为R(x,y,z),则有P40求出2与L的交点Q(2,1,2),所求平面过Q,即,得A(2-5)+B(1-1)+C(2+1)=-3A+3C=0,

从而代入平面的方程为x-2y+z-2=0.

例16求通过点P(1,0,-2)而与平面3x-y+2z-1=0平行且与直线相交的直线方程.

解设所求直线L的方向向量v=(X,Y,Z),方程为

因为L与L1相交，L1过P0(1,3,0)，方向向量v1=(4,-2,1)，L过P(1,0,-2),方向向量v=(X,Y,Z),所以

求出2与L的交点Q(2,1,2),所求平面过Q,即41即7X+8Y-12Z=0.又所求直线与平面3x-y+2z-1=0平行，所以,即3X-Y+2Z=0.从而得所求直线方程为End即7X+8Y-12Z=0.End422.3空间点、平面、直线的关系

(Relationshipsofpoints、planesandstraightlinesinspace)2.3.1

点与平面的位置关系2.3.2

点与直线的位置关系2.3.3

两平面的位置关系2.3.4

空间两直线的相关位置2.3.5

直线与平面的相关位置2.3空间点、平面、直线的关系

(Relationship432.3.1点与平面的位置关系

(Mutualpositionofpointsandplanes)1)点与平面的位置关系

点与平面的位置关系,有2种情形,就是点在平面上和点不在平面上.前者的条件是点的坐标满足平面方程.点不在平面上时,一般要求点到平面的距离,并用离差反映点在曲面的哪一侧.2)点到平面的距离

定义1自点P0向平面

引垂线,垂足为P1.向量在平面的单位法向量n0上的射影称为P0与平面之间的离差,记作

(2.3-1)

2.3.1点与平面的位置关系

(Mutualpositi44

当与n0同向时,离差δ>0；当与n0反向时,离差δ<0.当P0在平面上时,离差δ=0.

显然,离差的绝对值就是点P0到平面

的距离,由此可以推导点到平面的距离公式.当与n0同向时,离差δ>0；当45设P0(x0,y0,z0)是平面Ax+By+Cz+D=0外一点,求P0到平面的距离.任取平面上一点P1(x1,y1,z1),则而，所以因为点P1在平面Ax+By+Cz+D=0上,故Ax1+By1+Cz1+D=0,即(Ax1+By1+Cz1)=-D,所以设P0(x0,y0,z0)是平面Ax+By46从而得点到平面的距离为：

(2.3-2)

公式(2.3-2)称为点到平面的距离公式.显然,当点P0(x0,y0,z0)在平面上时,公式亦成立.

例1求点(1,2,-3)到平面2x-y+2z+3=0的距离.

解由点到平面的距离公式(2.3-2),得3)平面划分空间问题设平面的一般方程为

Ax＋By＋Cz＋D=0,则空间中任一点P(x,y,z)与平面的离差为

从而得点到平面的距离为：47式中λ为平面的法化因子，因此有

(2.3-3)

对于平面同侧的点,δ的符号相同；对于在平面的异侧的点,δ有不同的符号,而λ一经取定,符号就是固定的.因此,平面：Ax＋By＋Cz＋D=0把空间划分为两部分,对于平面某一侧的点P(x,y,z),有Ax＋By＋Cz＋D>0；而对于平面另一侧的点,则有Ax＋By＋Cz＋D<0,在平面上的点有Ax＋By＋Cz＋D=0.

例2判别点M(2,-1,1)和N(1,2,-3)在由平面与所构成的同一个二面角内，还是分别在相邻二面角内，或是在对顶的二面角内？

解：记将点M(2,-1,1)代入上式，得＞0，同理，对于点N(1,2,-3)得

＜0.故点M和N在由平面1与2所构成的相邻二面角内.式中λ为平面的法化因子，因此有482.3.2点与直线的位置关系

(Mutualpositionofpointsandstraightlines)1)点与直线的位置关系任给一条直线L的方程和一点P0,则L和P0的位置关系只有2种：点在直线上和点不在直线上.从代数上,这两种情况对应点的坐标满足直线方程和点的坐标不满足直线方程.2)点到直线的距离设空间中有一点P0(x0,y0,z0)和一条直线

此处P1(x1,y1,z1)是L上的一点,v=(X,Y,Z)是L的方向向量.以v和

2.3.2点与直线的位置关系

(Mutualposit49为邻边作一平行四边形,则其面积为,点P0到直线L的距离d就是此平行四边形的对应于底|v|的高,所以有

(2.3-4)

在实际计算中,记忆上式的第二个等号后面的部分是没有实际意义的.只需根据公式的前半部分计算即可.

也可以先求出过点P0且与直线L垂直的平面

,再求出L与

的交点P0,由两点间距离公式求出点到直线的距离.为邻边作一平行四边形,则其面积为,点P0到直线L50

例3求点(5,4,2)到直线的距离d.

解

P0(5,4,2),取P1(-1,3,1),v=(2,3,-1)则则，所以例3求点(5,4,2)到直线512.3.3两平面的位置关系

(Mutualpositionoftwoplanes)1)两平面的位置关系

空间两平面的相关位置有3种情形,即相交、平行和重合.设两平面

1与

2的方程分别是

1:A1x+B1y+C1z+D1=0,

2:A2x+B2y+C2z+D2=0.则两平面

1与

2相交、平行或是重合,就决定于由两方程构成的方程组是有解还是无解,或无数个解,它们与两平面的法向量n1,n2,即方程的系数有密切关系,从而可得下面的定理.

2.3.3两平面的位置关系

(Mutualpositi52

定理1空间两平面相关位置,有下面的充要条件(1)相交:

(2.3-5)(2)平行:

(2.3-6)(3)重合:

(2.3-7)由于两平面

1与

2的法向量分别为n1=(A1,B1,C1),

n2=(A2,B2,C2),当且仅当n1不平行于n2时

1与

2相交,当且仅当n1∥n2时

1与

2平行或重合,由此我们同样能得到上面3个条件.定理1空间两平面相关位置,有下面的充要条件532)两平面间的夹角

设两平面的夹角为θ,规定θ为锐角,那么显然有(如图)：θ和两平面法向量n1与n2的夹角相等即,或者与两平面法向量n1与n2的夹角互补,即.

2)两平面间的夹角54根据两向量的夹角公式可得

(2.3-8)公式(2.3-8)称为两平面的夹角公式.由(2.3-8)可得：两平面垂直的充要条件是

A1A2+B1B2+C1C2=0(2.3-9)

例4求两平面

1:2x-3y+6z-12=0和

2:x+2y+2z-7=0的夹角.

解：,代入公式(2.3-8)得故所求两平面之间的夹角为根据两向量的夹角公式可得55

例5一平面过两点P1(1,1,1)和P2(0,1,-1)且垂直于平面x＋y＋z=0,求它的方程.

解:设所求平面的法向量为,由于在所求平面上,有，即.又n垂直于平面x＋y＋z=0的法向量n1=(1,1,1),故有.从而得

代入平面的点法式,得平面方程为：

2(x-1)-(y-1)-(z-1)=0,即 2x－y－z=0.例5一平面过两点P1(1,1,1)和P2(0,156例6求过点A(1,1,-1)且与x-y+z-7=0,3x+2y-12z+5=0都垂直的平面.

解设所求平面的法向量为n=(A,B,C),n1=(1,-1,1),n2=(3,2,-12),由于,故

，所以可取因为则取n=(2,3,1)，代入平面的点法式方程得所求平面方程为

2(x-1)+3(y-1)+(z+1)=0,即2x+3y+z-4=0.

例6求过点A(1,1,-1)且与x-y+z573)平面束

作为两平面关系的更广泛情形，下面讨论平面束.

定义2通过一条定直线的所有平面的全体，称为一个有轴平面束，定直线称为平面束的轴。平行于一个定平面的所有平面的全体，称为一个平行平面束。

定理2以二相交平面

1:A1x+B1y+C1z+D1=0,

2:A2x+B2y+C2z+D2=0.的交线L为轴的有轴平面束的方程是

(2.3-10)这里λ,μ是不同时为零的任意实数,称为参数.

证

先证明对于任意一组不同时为零的参数值λ,μ,方程(2.3-10)表示一个平面.

3)平面束58将方程(2.3-10)改写为而上式中x,y,z的系数不同时为零,否则

设,则有

而这与题设

1,

2相交矛盾,所以(2.3-10)确是三元一次方程,表示平面.

再证对于任意一组不同时为零的参数值λ,μ,方程(2.3-10)表示的平面过

1与

2

的交线L.

因为

1,

2交线L上任一点的坐标必满足

1及

2的方程,因而也必满足(2.3-10),从而L必在方程(2.3-10)所表示的平面上.

将方程(2.3-10)改写为59

最后证明通过交线L的任一平面,都可以通过选取适当的

λ,μ值,用方程(2.3-10)表示.

设在平面上,但不在交线L上任取一点P(α,β,γ),因为P不在L上,所以与不能同时为零.如果,可取把满足这个关系的一组λ,μ值代入方程(2.3-10)得：显然这个方程既通过了L,又通过了P点,即为平面的方程.

最后证明通过交线L的任一平面,都可以通过选60

特别地，当

=

1时，可以选取；当

=

2时,可以选取.

注：为了计算方便,有时也把上述平面束的方程写成(2.3-11)

它只含有一个参数,所以计算方便.但要注意,不管λ取何值,方程(2.3-11)都不能表示平面即(2.3-11)决定的平面的全体比(2.3-10)决定的平面束少了一个平面

2.

下面讨论平行平面束,已给定平面的方程为

由于平行于的平面可看成与具有相同的法向,因而平行平面束的方程可写成(2.3-12)其中λ为参数.特别地，当=1时，可以选取61

例7求过直线且与xy面垂直的平面.

解过二平面2x-y+2z=0,x+2y-2z-6=0的交线的平面方程可看成有轴平面束,设为即该平面的法向量.由题设该平面与xy面垂直,得

,即.解得

取则由此可得所求平面方程

3x-y-6=0.

例7求过直线62

例8求与平面3x+y-z+4=0平行且在z轴上截距等于-2的平面方程.

解可设所求平面方程为因该平面在z轴上的截距为-2,所以该平面通过点(0,0,-2),由此得所以因此所求平面方程为：

例8求与平面3x+y-z+4=0平行且在z轴上63

2.3.4空间两直线的相关位置

(Mutualpositionoftwolinesinspace)

1)空间两直线的位置关系空间两直线的相关位置有异面与共面,共面时又有相交、平行和重合3种情形.设二直线的方程为

i=1,2.

直线L1上定点P1(x1,y1,z1)和方向向量v1=(X1,Y1,Z1),而直线L2上定点P2(x2,y2,z2)和方向向量v2=(X2,Y2,Z2).由图容易看出,两直线的相关位置决定于三向量,v1,

2.3.4空间两直线的相关位置

(Mutualposi64v2的相互关系.当且仅当这三个向量异面时,两直线异面；当且仅当这三个向量共面时,两直线共面.共面时,若v1,v2不平行,则L1和L2相交;若v1∥v2但不与平行,则L1和L2平行;v1∥v2∥,则L1和L2重合.因此有

定理3空间两直线L1和L2的相关位置,有下面的充要条件

(1)异面：

(2.3-13)

(2)相交：(2.3-14)(3)平行：(2.3-15)(4)重合：(2.3-16)

v2的相互关系.当且仅当这三个向量异面时,两直线异面；当且65

例9判定直线和的位置关系.

解因为直线L1过点P1(0,0,-1),方向向量为v1=(1,-1,0),而直线L2过点P2(1,1,1),方向向量为v2=(1,1,0),从而有

所以L1与L2是两异面直线.

例9判定直线662)空间两直线的夹角

平行于空间两直线L1,L2的两向量间的夹角，称为空间两直线的夹角,规定θ为锐角.显然，若两直线间的夹角是θ，则也可认为它们之间的夹角是

-θ.它们与两直线方向向量v1,v2之间关系是或.根据两向量之间的夹角公式可得

(2.3-17)由此得出两直线L1与L2垂直的充要条件是

v1.v2=X1X2＋Y1Y2＋Z1Z2=0.(2.3-18)

2)空间两直线的夹角67

例10求以下两条直线的夹角

解直线L1的方向向量为v1=(1,-4,1)，直线L2的方向向量为故

则两直线的夹角为

例10求以下两条直线的夹角683)异面直线间的距离与公垂线的方程空间两直线的点之间的最短距离称为这两条直线之间的距离.两相交或两重合直线间的距离为零；两平行直线间的距离等于其中一直线上的任意一点到另一直线的距离.与两条异面直线都垂直相交的直线称为两异面直线的公垂线.两异面直线间的距离等于它们的公垂线夹在两异面直线间的线段的长.

设两异面直线L1和L2的方程如前，L1和L2与它们的公垂线的交点分别为N1和N2，则L1和L2之间的距离

3)异面直线间的距离与公垂线的方程69也就是

(2.3-19)它的几何意义为：因为为由三向量构成的平行六面体的体积，而为由两向量构成的平行四边形的面积，也就是上述平行六面体的一个面的面积，因此，由公式容易知道，两异面直线间的距离d恰为三向量构成的平行六面体在两向量构成的平行四边形底面上的高.

也就是70公垂线L0的方向向量可取作v1×v2=(X,Y,Z),而公垂线可看作两个平面的交线，这两个平面一个通过点M1,以v1和v1v2为方位向量，另一个平面通过点M2,

以v2和v1v2为方位向量.由平面的点位式方程可得公垂线L0的一般方程为

(2.3-20)其中(X,Y,Z)是向量v1v2的坐标，即L0的方向数.

现在求两异面直线L1和L2的公垂线的方程.公垂线L0的方向向量可取作v1×v2=(71

例11判定两直线和是异面直线,并求公垂线方程及其距离.解直线L1上点P1(3,0，-1),方位向量v1=(2,1,0);直线L2上点P2(-1,-2,0),方位向量v2=(1,0,1)，由故直线L1与L2为异面直线.又因为L1与L2的公垂线L0的方向向量可取为v1×v2=(1,-2,-1)

所以L1与L2之间的距离为例11判定两直线72根据(2.3-20)得公垂线L0的方程为即根据(2.3-20)得公垂线L0的方程为73

例12求过点P0(1,1,1)且与两直线都相交的直线的方程.

解设所求直线的方向向量v=(X,Y,Z)，那么所求直线L的方程可写成：因为L与L1，L2都相交,而且L1过点P1(0,0,0),方向向量为v1=(1,2,3),L2过点P2(1,2,3),方向向量为v2=(2,1,4).所以有即例12求过点P0(1,1,1)且与两直线74即由上两式得：

v=(1,-2,1)×(1,2,-1)=2(0,1,2).

v不平行于v1,v不平行于v2，符合相交条件，所以所求直线L的方程为空间点、平面、直线的关系课件752.3.5直线与平面的相关位置

(Mutualpositionoflinesandplanes)1)直线与平面的相关位置直线与平面的相关位置有3种情形：直线与平面相交，直线与平面平行和直线在平面上.设直线L与平面的方程分别为

：Ax＋By＋Cz＋D=0.将直线方程写成参数式

2.3.5直线与平面的相关位置

(Mutualposit76代入平面方程,整理可得

(AX＋BY＋CZ)t=－(Ax0＋By0＋Cz0＋D).

当且仅当AX＋BY＋CZ≠0时,上式有唯一解这时直线L与平面有唯一公共点；当且仅当AX＋BY＋CZ=0,Ax0＋By0＋Cz0＋D≠0时,上式无解,直线L与平面没有公共点；当且仅当AX＋BY＋CZ=0,Ax0＋By0＋Cz0＋D=0时,上式有无数多解,直线L在平面上.于是有

定理4直线L与平面

的相关位置,有下面的充要条件：(1)相交：AX＋BY＋CZ≠0;(2.3-21)(2)平行：AX＋BY＋CZ=0,Ax0＋By0＋Cz0