高考数学专项练习讲义-常用逻辑用语

§1.2常用逻辑用语【考试要求】।.理解充分条件、必要条件、充要条件的意义；理解判定定理与充分条件、性质定理与必要条件、数学定义与充要条件的关系2理解全称量词和存在量词的意义，能正确对两种命题进行否定.■落实■落实主干知识【知识梳理】.充分条件、必要条件与充要条件的概念若p〉q,则。是〃的充分条件,a是D的必要条件p是q的充分不必要条件p=>q且c件pp是q的必要不充分条件p#q且q0Pp是q的充要条件p0qp是q的既不充分也不必要条件p#q且q#p.全称量词与存在量词(1)全称量词：短语“所有的"''任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“必”表示.(2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“旦表示..全称量词命题和存在量词命题名称全称量词命题存在量词命题结构对M中任意一个x,p(x)成立存在M中的元素x,p(x)成立简记否定p(x)Vx€A/>p(x)【常用结论】.充分、必要条件与对应集合之间的关系设4={刖力},B={x@x)}.①若p是q的充分条件，则AG8；②若P是q的充分不必要条件，则AB：③若p是g的必要不充分条件，则84④若p是q的充要条件，则4=8.

.含有一个量词命题的否定规律是“改变量词，否定结论”..命题p与。的否定的真假性相反.【思考辨析】判断下列结论是否正确（请在括号中打“J”或“X”）（1）。是q的充分不必要条件等价于q是p的必要不充分条件.（V）“三角形的内角和为180。”是全称量词命题.（V）（3）已知集合A,B, 的充要条件是A=B.（V）（4）命题“mxGR,si吟+cos]=g”是真命题.（X）【教材改编题】.ua>bn是“ad>bd”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案B解析当时，若/=0,则4/=%好,所以coh^a^bc1,当时，c2W0,则”>6,所以ac2>Z?c2=>a>/>,即ua>bn是“ad>bd”的必要不充分条件..使一2<x<2成立的—*个充分条件是（）A.x<2 B.0<x<2C.-2Wx<2 D.x>0答案B3.“等边三角形都是等腰三角形”的否定是.答案存在一个等边三角形，它不是等腰三角形-探究-探究核心题型题型一充分、必要条件的判定例1（1）已知p：0'<1,q：log2%<0,则p是q的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案B解析由知x>0,所以p对应的x的范围为(0,+°°),由log2X<0知0<v<l,所以q对应的x的范围为(0,1),显然(0,1)(0,+8),所以p是q的必要不充分条件.(2)(2021•全国甲卷)等比数列｛%｝的公比为心前〃项和为S”.设甲：4>0,乙：｛S”)是递增数列,则()A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件答案B解析当0<0,q>\时，a“=aq"r<0,此时数列｛S“｝单调递减，所以甲不是乙的充分条件.当数列｛SJ单调递增时，有*+|—5"=m+|=0/>0,若可>0,则/X)(〃GN*),即q>0；若ai<0,则/<0(〃GN*),不存在.所以甲是乙的必要条件.【教师备选】.在△ABC中，“482+80=4(?”是“△ABC为直角三角形”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案A解析在△ABC中，若A¥+BGmAC2,则NB=90。，即AABC为直角三角形，若△ABC为直角三角形，推不出NB=90。，所以不一定成立，综上，“AN+BGmAC2”是“Z\ABC为直角三角形”的充分不必要条件..(2022•宁波模拟)设a,bGR,p-log2(a-l)+log2(i-1)>0,q： 则p是q的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案A解析由题意得，/?：lOg2（fi-l）+log2（fe—1）=Iog2（«—1）S—1）>0=10g21,所以（〃一1）（6—1）>1,即a+b<ab,\a-1>0,因为<.八所以A1,加>1，则[/?-1>0,所以1+4<1,ab所以〃是q的充分条件；因为那<1,若ab>0,则a+b<ab,若ab<0,则a+b>ab,所以〃是q的非必要条件，所以p是4的充分不必要条件.思维升华充分条件、必要条件的两种判定方法（1）定义法：根据p=>q,g=>p进行判断，适用于定义、定理判断性问题.（2）集合法：根据p,q对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于条件中涉及参数范围的推断问题.跟踪训练1（1）“a>2,b>2"是,,a+b>4,ab>4”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案A解析若a>2,b>2,则a+b>4,ab>4.当a=l,6=5时，满足a+b>4,ab>4,但不满足a>2,b>2,所以a+6>4,ah>4^>a>2,h>2,故aa>2,b>2"是ua+b>4,ab>4"的充分不必要条件.（2）（2022・太原模拟）若a,b为非零向量，则"a_Lb”是u（a+b）2=a2+b2n的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案C解析因为a_Lb,所以。0=0,则3+m2=/+2°/+展=/+公，所以“_Lb”是“3+6)2=/+/，，的充分条件；反之，由3+b)2=°2+/得〃.力=0,所以非零向量0,占垂直，%A是(i(a+by=a2+b2"的必要条件.故是a(a+b)2=a2+b29f的充要条件.题型二充分、必要条件的应用例2已知集合A={Mr2-8x-20<0},非空集合3={x|l-机WxWl+徵}.若x£A是的必要条件，求m的取值范围.解由x2一8x—2(X0,得一2<x<10,，A={X-2WxW10}.由是的必要条件，知BNA.(1-机<1+机,1一62-2,1+mW10,，当0W/nW3时，x£A是x^B的必要条件，即所求机的取值范围是[0,3].延伸探究本例中，若把是不£8的必要条件”改为“x£A是的充分不必要条件”，求机的取值范围.解VxeA是的充分不必要条件，・"B,1—mW—2, f1—m<—2,则( 或1[1+加>10 [1+机210,解得m29,故初的取值范围是[9,+°°).【教师备选】(2022•泰安模拟)已知p： q：|x+2〃|<3,且p是夕的必要不充分条件，则实数。的取值范围是()A.(—8,—1] B.(—8,—1)C.[1,+8)D.(1,+8)答案C.[1,+8)解析因为q：|x+2a|<3,所以4：—2a—3<x<—2a+3,记A={x|—2a—3<x<—2a+3},p：记为8={小?”).因为P是g的必要不充分条件，所以4B,所以aW—2a—3,解得aW—1.思维升华求参数问题的解题策略(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解.⑵要注意区间端点值的检验.跟踪训练2(1)(2022•衡水中学模拟)若不等式(x—a)2<l成立的充分不必要条件是l<x<2,则实数a的取值范围是.答案H.2]解析由(x—a)2<l得a—l<x<a+1,因为l<x<2是不等式(x—a)2<l成立的充分不必要条件，\a—1W1,所以满足一、、且等号不能同时取得，a<2,即解得lWa<2.2 2(2)已知p：实数机满足3a<机<4〃(〃>0),qz方程〃=1+25〃=1表示焦点在y轴上的椭圆,若〃是q的充分条件，则。的取值范围是.〜「13]u案L3,8__ 3解析由2一机>机一1>0,得Ivmvg,3即q：3心1,因为〃是4的充分条件，所以[4吟，1 3解得抖$题型三全称量词与存在量词命题点1含量词命题的否定例3（1）已知命题p：3nGN,〃222n+5,则㈱〃为（ ）VnGN,“222〃+53«GN,〃2W2〃+5V"GN,n2<2n+5BnGN,n2=2n+5答案C解析由存在量词命题的否定可知，为V〃dN,"<2〃+5.所以C正确，A,B,D错误.（2）命题：“奇数的立方是奇数”的否定是.答案存在一个奇数，它的立方不是奇数命题点2含量词命题的真假判定例4（多选）下列命题是真命题的是（）maGR,使函数y=2*+02r在R上为偶函数VxGR,函数y=sinx+cosx+g的值恒为正数3x6R,2yt2VxG（—10,+0°）,Q}>log]X答案AC解析当a=l时，y=2*+2r为偶函数，故A为真命题；y=sinx+cosx+啦=A/2sinCr+^+-\/2,当sin（x+；）=-l时，y=0,故B为假命题；当xC（2,4）时，2yx2,故C为真命题；当x=（时，G（o,l）,log,1=1.^3<log|I，故D为假命题.命题点3含量词命题的应用例5已知命题“mxGR,使ar2—x+2W0”是假命题，则实数a的取值范围是.答案悬O解析因为命题使ax2—x+2<0”是假命题，所以命题“Vx£R,使得a?-x+2>0”是真命题，当。=0时，得x<2,故命题“，使得ax2一工+2>0”是假命题，不符合题意;

当时，得，〃>0,当时，得，4=1—8。<0,解得息.O【教师备选】1.(2022•西安模拟)下列命题中假命题是()VxGR,2c>0VxGN*,(x-l)2>0lgx<ltanx=2答案B解析•.•指数函数y=2,的值域为(0,+8),.,.VxGR,均可得到2c乂)成立，故A项为真命题；•当XGN*时，X-1GN,可得。-1)220,当且仅当X=1时取等号，3x€N*,使(x—1)2>0不成立，故B项为假命题；,/当x=l时，lg1=(X1,使得lgx<l成立，故C项为真命题；•.,正切函数y=tanx的值域为R,...存在锐角x,使得tanx=2成立，故D项为真命题.综上所述，只有B项是假命题.2.若命题“VxC[l,4],/—4x-m#0”是假命题，则机的取值范围是( )A.—3 B.zn<—4C.zn2一4 D.—4W〃W0答案D解析若命题"Vxe[l,4], 4x—是假命题，则命题x1—4x-m=0"是真命题，则m=xi—4x,设y=x2—4x=(x—2)2—4,因为函数y^-4x在(1,2)上单调递减，在(2,4)上单调递增，所以当x=2时，yinin=-4；当x=4时，ymax=0,故当1WxW4时，-4Wy<0,则一4W%W0.思维升华含量词命题的解题策略(1)判定全称量词命题是真命题，需证明都成立；要判定存在量词命题是真命题，只要找到一个成立即可.当一个命题的真假不易判定时，可以先判断其否定的真假.(2)由命题真假求参数的范围，一是直接由命题的真假求参数的范围；二是可利用等价命题.跟踪训练3⑴命题“Vx>0,xsinx<2」l”的否定是( )Vx>0,xsinx22*—13x>0,xsinx22'—1Vx^O.xsinx<2v—13x^0,xsinx22“一1答案B解析因为全称量词命题的否定是存在量词命题，所以命题“Vx>0,xsinx<2x-ln的否定是：3x>0,xsinx》2*—1.(2)(2022・重庆模拟)下列命题为真命题的是()VxGR,/一仪|+1<0VxGR,-1W COSXmxCR,(Inx^WO3xGR>sinx=3答案C解析对于A,因为『一用+1=(㈤-§2+1>0恒成立，所以/一年|+1<0是假命题；对于B,当时，」一=2,所以-1犬疑1是假命题；对于C,当x=l时，lnx=O,所以(lnx)2《0是真命题；对于D,因为一KsinxWl,所以sinx=3是假命题.(3)若命题x2—〃?x—m<0”为真命题，则实数机的取值范围是.答案(一8,-4)U(0,4-oo)解析依题意，J=/n2+4z/z>0,m>0或m<—4.课时精练口基础保分练.命题p:“有些三角形是等腰三角形”的否定是（）A.有些三角形不是等腰三角形B.有些三角形可能是等腰三角形C.所有三角形不是等腰三角形D.所有三角形是等腰三角形答案C解析命题p：u 使P（x）成立”，为“对VxCA,有P（x）不成立”.故命题P：”有些三角形是等腰三角形”，则㈱P是“所有三角形不是等腰三角形”..（2021•浙江）已知非零向量a,b,c,则“。c=bc"是ua=bn的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案B解析由oc=b-c,得到（a—>>c=0,所以（a—〃）>Lc或a=8,所以"a-c=6-c"是"a=8"的必要不充分条件..以下四个命题既是存在量词命题又是真命题的是（）A.锐角三角形有一个内角是钝角B.至少有一个实数x,使炉<0C.两个无理数的和必是无理数D.存在一个负数x,使1>2答案B解析A中锐角三角形的内角都是锐角，所以A是假命题;B中当x=0时,r=0,满足/W0,所以B既是存在量词命题又是真命题；C中因为正+（一,）=0不是无理数，所以C是假命题；D中对于任意一个负数x,都有90,不满足52,所以D是假命题.4.（2022・沈阳模拟）在空间中，设机，〃是两条直线，a,6表示两个平面，如果"?Ua,a〃夕,那么是“〃邛”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案B解析当时，V/nCa,a//p,则〃与"可能平行，.••充分性不成立；当时，"：a//p,：.n±a,m^a, .•.必要性成立，AamLnn是的必要不充分条件.5.若命题"三》《(0,+°°).使得ax>『+4成立"是假命题，则实数"的取值范围是()A.(4,+°°) B.(—8,4)C.[4,+«>) D.(-8,4]答案D解析若命题“mxG(o,+°°),使得内>/+4成立"是假命题，则有"Vxe(O,+8),使得以・9+4成立”是真命题.即a《x+(,贝！1aW(x+£)min,又x+1>2，5=4,当且仅当x=2时取等号，故a<4.26.(2022•南京模拟)已知集合M=[—1,1],那么"。》一1'是"三'6时,4*一2，+|一。&0”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.既不充分也不必要条件D.充要条件答案A解析V3xGA/,4x-2j+l-a^0,.•.a2(4*-2x+i)min,xe[-l,l],设t=2x,则为)=尸-2/=(/—1)2—1,twjj,2j,•\Ar)min=_/U)=—1,，4》一1,*/-|.+°°)[-I,+8),2二"a，一§”是“mxGM,4J-2/i—aWO”的充分不必要条件..（多选）（2022•烟台调研）下列四个命题中是真命题的有（）VxGR.3*>0Vx6R,ji^+x+IWOVxGR.sinx<2x3xGR,cosx>x2+x+1答案AD解析VxGR,3，>0恒成立，A是真命题;；/+x+1=(x+。+]>。，•'•B是假命题；由sin（一|兀）=1>22"，知C是假命题;但则D是真命题.TOC\o"1-5"\h\z.（多选）（2022・临沂模拟）下列四个条件中，能成为x>y的充分不必要条件的是（ ）A.x2>yd B<-<0, xyC.|x|>|y| D.Inx>lny答案ABD解析对于A选项，若x/Ayc2,则/WO,则x>y,反之x>y,当c=0时得不出x^yc2,所以“xd〉”2"是“x>y”的充分不必要条件，故A正确；对于B选项，由,2<0可得y<r<0,xy即能推出x>y；但x>y不能推出44<0（因为x,y的正负不确定），XV所以是“x>y”的充分不必要条件，故B正确；对于c选项，由k|>仅|可得/>好，则（x+y）（x—y）>0,不能推出x>y；由x>y也不能推出|x|>b，|（如x=l,y=2）,所以“国>伊|”是“x>y”的既不充分也不必要条件，故C错误；对于D选项，若lnx>lny,则x>y,反之x>y得不出lnx>lny,所以“lnx>lny”是“x>y”的充分不必要条件，故D正确..若命题p：Vx£(O,+8),5>x+l,则命题p的否定为.答案3x^(0,+°°),,Wx+1.(2022-衡阳模拟)使得“2*>牛”成立的一个充分条件是.答案x<-1(答案不唯一)解析由于4'—2Zt,故2^>2^等价于x>2x,解得xvO,使得"2'X、”成立的一个充分条件只需为集合｛x|x<0｝的子集即可..直线y=fct+l与圆炉十步二层侬乂))有公共点的充要条件是.答案aG[l,+8)解析直线y=H+l过定点(0,1)，依题意知点(0,1)在圆/+产=/内部(包含边界)，又a>0,.已知命题p：KVxe[1,+°°),必一a2O”,命题g：u3x£R.炉+2"+2—a=0”,若命题p,g均为真命题，则实数a的取值范围为.答案｛a|aW—2或4=1｝解析由题意可知p和g均为真命题，由命题p为真命题，得Vxe[i,+oo),。恒成立,(r)[«皿=1,得aWl；由命题q为真命题，知/=4/—4(2—a)20成立，得aW—2或a2l,所以实数a的取值范围为｛a|aW—2或a=l).型技能提升练.(2022.苏州中学月考)在△ABC中，“A>B”是“cosA<cosB”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案C解析因为A,8是△ABC的内角，且A>8,所以0<B<A<n,因为y=cosx在(0，兀)上单调递减，所以cosA<cos8,故充分性成立;

反之，y=cosx在(0,兀)上单调递减，0<A<tt,0<8<7t,若cosA<cosB,则A>B,故必要性成立，所以在△ABC中，"A>B"是"cosA<cosB”的充要条件..已知函数式幻的定义域为(a,b),若“mxC(a,小，人力+大-x)W0”是假命题,则大。+b)=.答案0解析“mxG(a,b),y(x)+y(—x)¥0"的否定是VxG(a,b),fix)+j(—x)=0