中考数学复习课件-几何变换综合问题

第八章专题拓展§8.3几何变换综合问题第八章专题拓展11.(2020福建,24,12分)如图,△ADE由△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到,且点B的对应点D恰好落在BC

的延长线上,AD,EC相交于点P.(1)求∠BDE的度数;(2)F是EC延长线上的点,且∠CDF=∠DAC.①判断DF和PF的数量关系,并证明;②求证:

=

.1.(2020福建,24,12分)如图,△ADE由△ABC绕2解析本小题考查旋转的性质、三角形内角与外角的关系、等腰三角形的判定、全等三角形的判定与性

质、平行线的性质、平行线分线段成比例等基础知识,考查推理能力,考查化归与转化思想.(1)由旋转的性质可知,AB=AD,∠BAD=90°,△ABC≌△ADE,在Rt△ABD中,∠B=∠ADB=45°,∴∠ADE=∠B=45°,∴∠BDE=∠ADB+∠ADE=90°.(2)①DF=PF.证明:由旋转的性质可知,AC=AE,∠CAE=90°,在Rt△ACE中,∠ACE=∠AEC=45°,∵∠CDF=∠CAD,∠ACE=∠ADB=45°,解析本小题考查旋转的性质、三角形内角与外角的关系、等腰三角3∴∠ADB+∠CDF=∠ACE+∠CAD,即∠FPD=∠FDP,∴DF=PF.②证明:过点P作PH∥ED交DF于点H,∴∠HPF=∠DEP,

=

,∵∠DPF=∠ADE+∠DEP=45°+∠DEP,∠DPF=∠ACE+∠DAC=45°+∠DAC,∴∠DEP=∠DAC,又∵∠CDF=∠DAC,∴∠DEP=∠CDF,∴∠HPF=∠CDF,又∵FD=FP,∠F=∠F,∴△HPF≌△CDF,∴HF=CF,∴DH=PC,∴∠ADB+∠CDF=∠ACE+∠CAD,4又∵

=

,∴

=

.

说明:本参考答案仅给出一种解法供参考.又∵ = ,∴ = .5一题多解(2)①设∠5=∠6=α,由(1)知A、C、D、E四点共圆,∴∠1=∠2.又AC=AE,∠CAE=90°,∴∠3=∠2=45°,∴∠1=∠2=45°,∴∠PDF=∠1+∠5=45°+α,∠DPF=∠3+∠6=45°+α,∴∠PDF=∠DPF,∴PF=DF.一题多解(2)①设∠5=∠6=α,6

②证法一:∵∠EPD=∠APC,∠EDP=45°=∠ACP,∴∠DEP=∠CAP,又∵∠FDC=∠CAD,∴∠DEP=∠FDC,

7在△FDC和△FED中,∠FDC=∠DEP,∠CFD=∠DFE,∴△FDC∽△FED,∴

=

,∴

=

,又∵DF=PF,∴

=

,∴

=

.证法二:∵A、C、D、E四点共圆,∴∠4=∠6.又∠5=∠6,∴∠4=∠5,又∠F是公共角,∴△DEF∽△CDF,∴

=

,∴

=

,∴

=

,∴

=

.在△FDC和△FED中,∠FDC=∠DEP,∠CFD=∠DF82.(2020浙江杭州,23,12分)如图,已知AC,BD为☉O的两条直径,连接AB,BC,OE⊥AB于点E,点F是半径OC的

中点,连接EF.(1)设☉O的半径为1,若∠BAC=30°,求线段EF的长;(2)连接BF,DF,设OB与EF交于点P.①求证:PE=PF;②若DF=EF,求∠BAC的度数.

2.(2020浙江杭州,23,12分)如图,已知AC,BD为9解析(1)因为OE⊥AB,∠BAC=30°,OA=1,所以∠AOE=60°,OE=

OA=

,AE=

.又因为点F是半径OC的中点,所以OF=

OC=

,所以OE=OF,所以∠OFE=

∠AOE=30°,所以∠BAC=∠OFE.所以EF=AE,所以EF=

.(2)作FG⊥AB于点G,与BO交于点H,连接EH.①证明:因为AC为☉O的直径,所以∠ABC=90°,所以FG∥BC,所以△OFH∽△OCB,解析(1)因为OE⊥AB,∠BAC=30°,OA=1,10所以

=

=

,同理

=

,所以FH=OE.又因为FH∥OE,所以四边形OEHF是平行四边形,所以PE=PF.

②因为OE∥FG∥BC,所以 = = ,同理 = ,11所以

=

=1,所以EG=GB,所以EF=BF.因为DF=EF,所以DF=BF.因为DO=BO,所以FO⊥BD.所以△AOB是等腰直角三角形,所以∠BAC=45°.所以 = =1,12思路分析(1)利用解直角三角形、等腰三角形的性质及判定,求出EF的值.(2)过点F作FG⊥AB于点G,交

BD于点H,连接EH.①由FG∥BC,OE∥BC推得FH=OE,判断出四边形OEHF是平行四边形,又由平行四边形

的对角线互相平分,得PE=PF.②根据平行线分线段成比例,可知G是EB的中点,即EG=GB.由FG⊥AB,EG=

GB可知EF=BF,故DF=BF.因为O是BD的中点,根据等腰三角形的性质可得FO与BD互相垂直,即可求出∠

BAC.思路分析(1)利用解直角三角形、等腰三角形的性质及判定,求133.(2019辽宁铁岭,25,12分)如图,在△ABC中,AB=AC,DE垂直平分AB,交线段BC于点E(点E与点C不重合),点

F为AC上一点,点G为AB上一点(点G与点A不重合),且∠GEF+∠BAC=180°.(1)如图1,当∠B=45°时,线段AG和CF的数量关系是

;(2)如图2,当∠B=30°时,猜想线段AG和CF的数量关系,并加以证明;(3)若AB=6,DG=1,cosB=

,请直接写出CF的长.

3.(2019辽宁铁岭,25,12分)如图,在△ABC中,A14解析(1)如图1,连接AE,

∵DE垂直平分AB,∴AE=BE,∴∠BAE=∠B=45°,∴AE⊥BC,∵AB=AC,∴BE=EC=AE,∠BAE=∠EAC=∠C=45°,解析(1)如图1,连接AE,15∵∠GEF+∠BAC=180°,∴∠AGE+∠AFE=360°-180°=180°,∵∠AFE+∠CFE=180°,∴∠AGE=∠CFE,∵∠GAE=∠C=45°,∴△AEG≌△CEF(AAS),∴AG=CF.故答案为AG=CF.(2)AG=

CF.理由:如图2,连接AE,∵∠GEF+∠BAC=180°,16

∵AB=AC,∴∠B=∠C=30°,∴∠BAC=120°,∵DE垂直平分AB,∴AE=BE,∴∠BAE=∠B=30°,∴∠CAE=90°,∠BAE=∠C,∵∠GEF+∠BAC=180°,∴∠AGE+∠AFE=180°,

17∵∠CFE+∠AFE=180°,∴∠AGE=∠CFE,∴△AGE∽△CFE,∴

=

,在Rt△ACE中,∵∠C=30°,∴

=sinC=

,∴

=

,∴AG=

CF.(3)①当G在DA上时,如图3,连接AE,∵DE垂直平分AB,∵∠CFE+∠AFE=180°,18∴AD=BD=3,AE=BE,∵cosB=

,∴BE=

=

=4,∴AE=BE=4,∴∠BAE=∠B,∵AB=AC,∴∠B=∠C,∴∠C=∠BAE,∵∠GEF+∠BAC=180°,∴∠AGE+∠AFE=360°-180°=180°,∵∠AFE+∠CFE=180°,∴AD=BD=3,AE=BE,19∴∠CFE=∠AGE,∴△CFE∽△AGE,∴

=

,过A作AH⊥BC于点H,∵cosB=

=

,∴BH=

AB=

×6=

,∵AB=AC,∴BC=2BH=9,∵BE=4,∴CE=9-4=5,∵AG=AD-DG=3-1=2,∴∠CFE=∠AGE,20∴

=

,∴CF=2.5.②当点G在BD上时,如图4,同(1)可得,△CFE∽△AGE,∴

=

,∵AG=AD+DG=3+1=4,∴

=

,∴CF=5.综上所述,CF的长为2.5或5.∴ = ,∴CF=2.5.214.(2019济宁,22,11分)如图1,在矩形ABCD中,AB=8,AD=10,E是CD边上一点,连接AE,将矩形ABCD沿AE折

叠,顶点D恰好落在BC边上点F处,延长AE交BC的延长线于点G.(1)求线段CE的长;(2)如图2,M,N分别是线段AG,DG上的动点(与端点不重合),且∠DMN=∠DAM,设AM=x,DN=y.①写出y关于x的函数解析式,并求出y的最小值;②是否存在这样的点M,使△DMN是等腰三角形?若存在,请求出x的值;若不存在,请说明理由.4.(2019济宁,22,11分)如图1,在矩形ABCD中,22解析(1)∵四边形ABCD是矩形,∴AD=BC=10,AB=CD=8,∴∠B=∠BCD=90°,由翻折可知:AD=AF=10,DE=EF.设EC=a,则DE=EF=8-a.在Rt△ABF中,BF=

=6,∴CF=BC-BF=10-6=4.在Rt△EFC中,(8-a)2=a2+42,∴a=3,∴EC=3.(2)①∵AD∥CG,∴△ADE∽△GCE,解析(1)∵四边形ABCD是矩形,23∴

=

,∴

=

,∴CG=6,∴BG=BC+CG=16.在Rt△ABG中,AG=

=8

,在Rt△DCG中,DG=

=10,∵AD=DG=10,∴∠DAG=∠AGD,∵∠DMG=∠DMN+∠NMG=∠DAM+∠ADM,∠DMN=∠DAM,∴∠ADM=∠NMG,∴△ADM∽△GMN,∴

=

,∴ = ,∴ = ,∴CG=6,24∴

=

,∴y=

x2-

x+10.当x=4

时,y取最小值,最小值为2.②存在.有两种情形:如图,当MN=MD时,

∵∠MDN=∠GDM,∠DMN=∠DGM,∴△DMN∽△DGM,∴ = ,∴y= x2- x+10.25∴

=

,∵MN=DM,∴DG=GM=10,∴x=AM=8

-10.如图,当MN=DN时,作MH⊥DG于H.

∴ = ,26∵MN=DN,∴∠MDN=∠DMN,∵∠DMN=∠DGM,∴∠MDG=∠MGD,∴MD=MG,∵MH⊥DG,∴DH=GH=5.易证△GHM∽△GBA,可得

=

,∴

=

,∴MG=

,∴x=AM=8

-

=

.综上所述,满足条件的x的值为8

-10或

.∵MN=DN,∴∠MDN=∠DMN,275.(2019菏泽,23,10分)如图,△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形,∠BAC=∠DAE=90°.

(1)如图1,连接BE,CD,BE的延长线交AC于点F,交CD于点P,求证:BP⊥CD;(2)如图2,把△ADE绕点A顺时针旋转,当点D落在AB上时,连接BE,CD,CD的延长线交BE于点P,若BC=6

,AD=3,求△PDE的面积.5.(2019菏泽,23,10分)如图,△ABC和△ADE是28解析(1)证明:∵△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形,∠BAC=∠DAE=90°,∴AD=AE,AB=AC,∠BAC-∠EAF=∠EAD-∠EAF,∴∠BAE=∠DAC.在△ABE与△ACD中,

∴△ABE≌△ACD(SAS),∴∠ABE=∠ACD.∵∠ABE+∠AFB=∠ABE+∠CFP=90°,∴∠ACD+∠CFP=90°,∴∠CPF=90°.∴BP⊥CD.解析(1)证明:∵△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角29(2)在△ABE与△ACD中,

∴△ABE≌△ACD(SAS),∴∠ABE=∠ACD,BE=CD.∵∠PDB=∠ADC,∴∠BPD=∠CAB=90°,∴∠EPD=90°,则△PDE为直角三角形.∵BC=6

,AD=3,∴DE=3

,AB=6,∴BD=6-3=3,CD=

=3

.易知△BDP∽△CDA,∴

=

=

,(2)在△ABE与△ACD中, 30∴

=

=

,∴PD=

,PB=

,∴PE=3

-

=

,∴△PDE的面积=

×

×

=

.∴ = = ,∴PD= ,PB= ,31思路分析(1)根据等腰直角三角形的性质得到AD=AE,AB=AC,∠BAC=∠DAE=90°,则∠BAC-∠EAF=∠

EAD-∠EAF,求得∠BAE=∠DAC,根据全等三角形的性质得到∠ABE=∠ACD,根据余角的性质即可得到结

论;(2)根据全等三角形的性质得到∠ABE=∠ACD,BE=CD,求得∠EPD=90°,得到DE=3

,AB=6,解得BD=6-3=3,CD=

=3

,根据相似三角形的性质得到PD=

,PB=

,根据直角三角形的面积公式即可得到结论.思路分析(1)根据等腰直角三角形的性质得到AD=AE,AB32第八章专题拓展§8.3几何变换综合问题第八章专题拓展331.(2020福建,24,12分)如图,△ADE由△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到,且点B的对应点D恰好落在BC

的延长线上,AD,EC相交于点P.(1)求∠BDE的度数;(2)F是EC延长线上的点,且∠CDF=∠DAC.①判断DF和PF的数量关系,并证明;②求证:

=

.1.(2020福建,24,12分)如图,△ADE由△ABC绕34解析本小题考查旋转的性质、三角形内角与外角的关系、等腰三角形的判定、全等三角形的判定与性

质、平行线的性质、平行线分线段成比例等基础知识,考查推理能力,考查化归与转化思想.(1)由旋转的性质可知,AB=AD,∠BAD=90°,△ABC≌△ADE,在Rt△ABD中,∠B=∠ADB=45°,∴∠ADE=∠B=45°,∴∠BDE=∠ADB+∠ADE=90°.(2)①DF=PF.证明:由旋转的性质可知,AC=AE,∠CAE=90°,在Rt△ACE中,∠ACE=∠AEC=45°,∵∠CDF=∠CAD,∠ACE=∠ADB=45°,解析本小题考查旋转的性质、三角形内角与外角的关系、等腰三角35∴∠ADB+∠CDF=∠ACE+∠CAD,即∠FPD=∠FDP,∴DF=PF.②证明:过点P作PH∥ED交DF于点H,∴∠HPF=∠DEP,

=

,∵∠DPF=∠ADE+∠DEP=45°+∠DEP,∠DPF=∠ACE+∠DAC=45°+∠DAC,∴∠DEP=∠DAC,又∵∠CDF=∠DAC,∴∠DEP=∠CDF,∴∠HPF=∠CDF,又∵FD=FP,∠F=∠F,∴△HPF≌△CDF,∴HF=CF,∴DH=PC,∴∠ADB+∠CDF=∠ACE+∠CAD,36又∵

=

,∴

=

.

说明:本参考答案仅给出一种解法供参考.又∵ = ,∴ = .37一题多解(2)①设∠5=∠6=α,由(1)知A、C、D、E四点共圆,∴∠1=∠2.又AC=AE,∠CAE=90°,∴∠3=∠2=45°,∴∠1=∠2=45°,∴∠PDF=∠1+∠5=45°+α,∠DPF=∠3+∠6=45°+α,∴∠PDF=∠DPF,∴PF=DF.一题多解(2)①设∠5=∠6=α,38

②证法一:∵∠EPD=∠APC,∠EDP=45°=∠ACP,∴∠DEP=∠CAP,又∵∠FDC=∠CAD,∴∠DEP=∠FDC,

39在△FDC和△FED中,∠FDC=∠DEP,∠CFD=∠DFE,∴△FDC∽△FED,∴

=

,∴

=

,又∵DF=PF,∴

=

,∴

=

.证法二:∵A、C、D、E四点共圆,∴∠4=∠6.又∠5=∠6,∴∠4=∠5,又∠F是公共角,∴△DEF∽△CDF,∴

=

,∴

=

,∴

=

,∴

=

.在△FDC和△FED中,∠FDC=∠DEP,∠CFD=∠DF402.(2020浙江杭州,23,12分)如图,已知AC,BD为☉O的两条直径,连接AB,BC,OE⊥AB于点E,点F是半径OC的

中点,连接EF.(1)设☉O的半径为1,若∠BAC=30°,求线段EF的长;(2)连接BF,DF,设OB与EF交于点P.①求证:PE=PF;②若DF=EF,求∠BAC的度数.

2.(2020浙江杭州,23,12分)如图,已知AC,BD为41解析(1)因为OE⊥AB,∠BAC=30°,OA=1,所以∠AOE=60°,OE=

OA=

,AE=

.又因为点F是半径OC的中点,所以OF=

OC=

,所以OE=OF,所以∠OFE=

∠AOE=30°,所以∠BAC=∠OFE.所以EF=AE,所以EF=

.(2)作FG⊥AB于点G,与BO交于点H,连接EH.①证明:因为AC为☉O的直径,所以∠ABC=90°,所以FG∥BC,所以△OFH∽△OCB,解析(1)因为OE⊥AB,∠BAC=30°,OA=1,42所以

=

=

,同理

=

,所以FH=OE.又因为FH∥OE,所以四边形OEHF是平行四边形,所以PE=PF.

②因为OE∥FG∥BC,所以 = = ,同理 = ,43所以

=

=1,所以EG=GB,所以EF=BF.因为DF=EF,所以DF=BF.因为DO=BO,所以FO⊥BD.所以△AOB是等腰直角三角形,所以∠BAC=45°.所以 = =1,44思路分析(1)利用解直角三角形、等腰三角形的性质及判定,求出EF的值.(2)过点F作FG⊥AB于点G,交

BD于点H,连接EH.①由FG∥BC,OE∥BC推得FH=OE,判断出四边形OEHF是平行四边形,又由平行四边形

的对角线互相平分,得PE=PF.②根据平行线分线段成比例,可知G是EB的中点,即EG=GB.由FG⊥AB,EG=

GB可知EF=BF,故DF=BF.因为O是BD的中点,根据等腰三角形的性质可得FO与BD互相垂直,即可求出∠

BAC.思路分析(1)利用解直角三角形、等腰三角形的性质及判定,求453.(2019辽宁铁岭,25,12分)如图,在△ABC中,AB=AC,DE垂直平分AB,交线段BC于点E(点E与点C不重合),点

F为AC上一点,点G为AB上一点(点G与点A不重合),且∠GEF+∠BAC=180°.(1)如图1,当∠B=45°时,线段AG和CF的数量关系是

;(2)如图2,当∠B=30°时,猜想线段AG和CF的数量关系,并加以证明;(3)若AB=6,DG=1,cosB=

,请直接写出CF的长.

3.(2019辽宁铁岭,25,12分)如图,在△ABC中,A46解析(1)如图1,连接AE,

∵DE垂直平分AB,∴AE=BE,∴∠BAE=∠B=45°,∴AE⊥BC,∵AB=AC,∴BE=EC=AE,∠BAE=∠EAC=∠C=45°,解析(1)如图1,连接AE,47∵∠GEF+∠BAC=180°,∴∠AGE+∠AFE=360°-180°=180°,∵∠AFE+∠CFE=180°,∴∠AGE=∠CFE,∵∠GAE=∠C=45°,∴△AEG≌△CEF(AAS),∴AG=CF.故答案为AG=CF.(2)AG=

CF.理由:如图2,连接AE,∵∠GEF+∠BAC=180°,48

∵AB=AC,∴∠B=∠C=30°,∴∠BAC=120°,∵DE垂直平分AB,∴AE=BE,∴∠BAE=∠B=30°,∴∠CAE=90°,∠BAE=∠C,∵∠GEF+∠BAC=180°,∴∠AGE+∠AFE=180°,

49∵∠CFE+∠AFE=180°,∴∠AGE=∠CFE,∴△AGE∽△CFE,∴

=

,在Rt△ACE中,∵∠C=30°,∴

=sinC=

,∴

=

,∴AG=

CF.(3)①当G在DA上时,如图3,连接AE,∵DE垂直平分AB,∵∠CFE+∠AFE=180°,50∴AD=BD=3,AE=BE,∵cosB=

,∴BE=

=

=4,∴AE=BE=4,∴∠BAE=∠B,∵AB=AC,∴∠B=∠C,∴∠C=∠BAE,∵∠GEF+∠BAC=180°,∴∠AGE+∠AFE=360°-180°=180°,∵∠AFE+∠CFE=180°,∴AD=BD=3,AE=BE,51∴∠CFE=∠AGE,∴△CFE∽△AGE,∴

=

,过A作AH⊥BC于点H,∵cosB=

=

,∴BH=

AB=

×6=

,∵AB=AC,∴BC=2BH=9,∵BE=4,∴CE=9-4=5,∵AG=AD-DG=3-1=2,∴∠CFE=∠AGE,52∴

=

,∴CF=2.5.②当点G在BD上时,如图4,同(1)可得,△CFE∽△AGE,∴

=

,∵AG=AD+DG=3+1=4,∴

=

,∴CF=5.综上所述,CF的长为2.5或5.∴ = ,∴CF=2.5.534.(2019济宁,22,11分)如图1,在矩形ABCD中,AB=8,AD=10,E是CD边上一点,连接AE,将矩形ABCD沿AE折

叠,顶点D恰好落在BC边上点F处,延长AE交BC的延长线于点G.(1)求线段CE的长;(2)如图2,M,N分别是线段AG,DG上的动点(与端点不重合),且∠DMN=∠DAM,设AM=x,DN=y.①写出y关于x的函数解析式,并求出y的最小值;②是否存在这样的点M,使△DMN是等腰三角形?若存在,请求出x的值;若不存在,请说明理由.4.(2019济宁,22,11分)如图1,在矩形ABCD中,54解析(1)∵四边形ABCD是矩形,∴AD=BC=10,AB=CD=8,∴∠B=∠BCD=90°,由翻折可知:AD=AF=10,DE=EF.设EC=a,则DE=EF=8-a.在Rt△ABF中,BF=

=6,∴CF=BC-BF=10-6=4.在Rt△EFC中,(8-a)2=a2+42,∴a=3,∴EC=3.(2)①∵AD∥CG,∴△ADE∽△GCE,解析(1)∵四边形ABCD是矩形,55∴

=

,∴

=

,∴CG=6,∴BG=BC+CG=16.在Rt△ABG中,AG=

=8

,在Rt△DCG中,DG=

=10,∵AD=DG=10,∴∠DAG=∠AGD,∵∠DMG=∠DMN+∠NMG=∠DAM+∠ADM,∠DMN=∠DAM,∴∠ADM=∠NMG,∴△ADM∽△GMN,∴

=

,∴ = ,∴ = ,∴CG=6,56∴

=

,∴y=

x2-

x+10.当x=4

时,y取最小值,最小值为2.②存在.有两种情形:如图,当MN=MD时,

∵∠MDN=∠GDM,∠DMN=∠DGM,∴△DMN∽△DGM,∴ = ,∴y= x2- x+10.57∴

=

,∵MN=DM,∴DG=GM=10,∴x=AM=8

-10.如图,当MN=DN时,作MH⊥DG于H.

∴ = ,58∵MN=DN,∴∠MDN=∠DMN,∵∠DMN=∠DGM,∴∠MDG=∠MGD,∴MD=MG,∵MH⊥DG,∴DH=GH