北师大版八年级上《第1章勾股定理》单元测试含答案解析

《第1章勾股定理》一、选择题1．若素来角三角形两边长分别为12和5，则第三边长为（）A．13B．13或C．13或15D．152．以下各组线段中，能构成直角三角形的是（）A．2，3，4B．3，4，6C．5，12，13D．4，6，73．若是一个直角三角形的两条直角边分别为n2﹣1，2n（n＞1），那么它的斜边长是（）A．2nB．n+1C．n2﹣1D．n2+14．以以下各组数为边的三角形中，是直角三角形的有（）（1）3，4，5；（2），，；（3）32，42，52；（4）0.03，0.04，0.05．A．1个B．2个C．3个D．4个5．等腰三角形的腰长为10，底长为12，则其底边上的高为（）A．13B．8C．25D．646．五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，如图，其中正确的是（）A．B．C．D．7．如图，小方格都是边长为1的正方形，则四边形ABCD的面积是（）A．25B．12.5C．9D．8.58．三角形的三边长为a，b，c，且满足（a+b）2=c2+2ab，则这个三角形是（）A．等边三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．锐角三角形第1页（共19页）9．△ABC是某市在拆掉违章建筑后的一块三角形空地．已知∠C=90°，AC=30米，AB=50米，若是要在这块空地上种植草皮，按每平方米草皮a元计算，那么共需要资本（）A．50a元B．600a元C．1200a元D．1500a元10．如图，AB⊥CD于B，△ABD和△BCE都是等腰直角三角形，若是CD=17，BE=5，那么AC的长为（）A．12B．7C．5D．13二、填空题11．如图为某楼梯，测得楼梯的长为5米，高3米，计划在楼梯表面铺地毯，地毯的长度最少需要米．222．12．在直角三角形ABC中，斜边AB=2，则AB+AC+BC=13．直角三角形的三边长为连续偶数，则其周长为cm．14．如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4．以斜边AB为直径作半圆，则这个半圆的面积是．15．如图，在校园内有两棵树，相距12m，一棵树高13m，另一棵树高8m，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟最少要飞m．第2页（共19页）16．如图，△ABC中，∠C=90°，AB垂直均分线交BC于D．若BC=8，AD=5，则AC等于．17．如图，四边形ABCD是正方形，AE垂直于BE，且AE=3，BE=4，阴影部分的面积是．18．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，则正方形A，B，C，D的面积之和为cm2．三、解答题19．如图，所示，四边形ABCD中，AB=4，BC=3，AD=13，CD=12，∠B=90°，求该四边形的面积．20．如图，已知一等腰三角形的周长是16，底边上的高是4．求这个三角形各边的长．第3页（共19页）21．以以下列图的一块地，∠ADC=90°，AD=12m，CD=9m，AB=39m，BC=36m，求这块地的面积．22．如图，一架2.5米长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AC上，这时梯足B到墙底端C的距离为0.7米，若是梯子的顶端沿墙下滑0.4米，那么梯足将向外移多少米？23．如图，某沿海开放城市A接到台风警报，在该市正南方向100km的B处有一台风中心，沿BC方向以20km/h的速度向D搬动，已知城市A到BC的距离AD=60km，那么台风中心经过多长时间从B点移到D点？若是在距台风中心30km的圆形地域内都将有碰到台风的破坏的危险，正在D点休闲的游人在接到台风警报后的几小时内撤离才可走开危险？第4页（共19页）《第1章勾股定理》参照答案与试题剖析一、选择题1．若素来角三角形两边长分别为12和5，则第三边长为（）A．13B．13或C．13或15D．15【考点】勾股定理．【剖析】此题已知直角三角形的两边长，但未明确这两条边是直角边还是斜边，因此两条边中的较长边12既可以是直角边，也可以是斜边，因此求第三边的长必定分类议论，即12是斜边或直角边的两种情况，今后利用勾股定理求解．【解答】解：当12是斜边时，第三边是=；当12是直角边时，第三边是=13．应选B．【议论】若是给的数据没有明确，此类题必定要分情况求解．2．以下各组线段中，能构成直角三角形的是（）A．2，3，4B．3，4，6C．5，12，13D．4，6，7【考点】勾股定理的逆定理．【专题】计算题．【剖析】判断可否为直角三角形，只要考据两小边的平方和等于最长边的平方即可．【解答】解：A、22+32=13≠42，故A选项构成不是直角三角形；B、32+42=25≠62，故B选项构成不是直角三角形；C、52+122=169=132，故C选项构成是直角三角形；D、42+62=52≠72，故D选项构成不是直角三角形．应选：C．【议论】此题观察勾股定理的逆定理的应用．判断三角形可否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．第5页（共19页）3．若是一个直角三角形的两条直角边分别为n2﹣1，2n（n＞1），那么它的斜边长是（）A．2nB．n+1C．n2﹣1D．n2+1【考点】勾股定理．【剖析】依照勾股定理直接解答即可．【解答】解：两条直角边与斜边满足勾股定理，则斜边长是：===n2+1．应选D．【议论】此题主要观察了勾股定理，解决此题的要点是正确对（n2﹣1）2+（2n）2进行分解因式．4．以以下各组数为边的三角形中，是直角三角形的有（）（1）3，4，5；（2），，；（3）32，42，52；（4）0.03，0.04，0.05．A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】勾股定理的逆定理．【剖析】切合勾股定理的逆定理是直角三角形．【解答】解：（1）∵32+42=52，∴是直角三角形，故（1）正确；（2）∵，∴不是直角三角形，故（2）错误；（3）∵，∴不是直角三角形，故（3）错误；（4）∵0.032+0.042=0.052，∴是直角三角形，故（4）正确．依照勾股定理的逆定理，只有（1）和（4）正确．应选：B．【议论】此题观察了直角三角形的判断：当三角形的三边之间有a2+b2=c2时，则它是直角三角形．5．等腰三角形的腰长为10，底长为12，则其底边上的高为（）A．13B．8C．25D．64【考点】勾股定理；等腰三角形的性质．【专题】计算题．【剖析】先作底边上的高，由等腰三角形的性质和勾股定理即可求出此高的长度．【解答】解：作底边上的高并设此高的长度为x，依照勾股定理得：62+x2=102，第6页（共19页）解得：x=8．应选B．【议论】此题考点：等腰三角形底边上高的性质和勾股定理，等腰三角形底边上的高所在直线为底边的中垂线．今后依照勾股定理即可求出底边上高的长度．6．五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，如图，其中正确的是（）A．B．C．D．【考点】勾股定理的逆定理．【剖析】欲求证可否为直角三角形，这里给出三边的长，只要考据两小边的平方和等于最长边的平方即可．【解答】解：A、72+242=252，152+202≠242，222+202≠252，故A不正确；B、72+242=252，152+202≠242，故B不正确；C、72+242=252，152+202=252，故C正确；D、72+202≠252，242+152≠252，故D不正确．应选：C．【议论】此题观察勾股定理的逆定理的应用．判断三角形可否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．勾股定理的逆定理：若三角形三边满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形．7．如图，小方格都是边长为1的正方形，则四边形ABCD的面积是（）第7页（共19页）A．25B．12.5C．9D．8.5【考点】三角形的面积．【专题】网格型．【剖析】依照求差法，让大正方形面积减去周围四个直角三角形的面积即可解答．【解答】解：如图：小方格都是边长为1的正方形，∴四边形EFGH是正方形，S□EFGH=EF?FG=5×5=25△?×1×2=1，SAED=DEAE=S=?CH?DH=×2×4=4，△DCHS=BG?GC=×2×3=3，△BCGS△AFB=FB?AF=×3×3=4.5．S四边形=S□﹣S△﹣S△﹣S△﹣S△=25﹣1﹣4﹣3﹣4.5=12.5．ABCDEFGHAEDDCHBCGAFB应选：B．【议论】此题观察的是勾股定理的运用，依照图形可以求出此大正方形的面积和三角形的面积，再用大正方形的面积减去小正方形的面积即可，此题的解法很多，需同学们仔细解答．8．三角形的三边长为a，b，c，且满足（a+b）2=c2+2ab，则这个三角形是（）A．等边三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．锐角三角形【考点】勾股定理的逆定理．【剖析】同样式进行整理，再判断其形状．第8页（共19页）【解答】解：化简（a+b）2=c2+2ab，得，a2+b2=c2因此三角形是直角三角形，应选：C．【议论】此题观察了直角三角形的判断：可用勾股定理的逆定理判断．9．△ABC是某市在拆掉违章建筑后的一块三角形空地．已知∠C=90°，AC=30米，AB=50米，若是要在这块空地上种植草皮，按每平方米草皮a元计算，那么共需要资本（）A．50a元B．600a元C．1200a元D．1500a元【考点】勾股定理的应用．【剖析】此题第一由已知△ABC中，∠C=90°，AC=30米，AB=50米，依照勾股定理求出另一条直角边BC，再求出头积，进而得出答案．【解答】解：在△ABC中，∠C=90°，AC=30米，AB=50米，∴BC==40米，共需要资本为：×40×30?a=600a元．应选：B．【议论】此题观察的知识点是勾股定理的应用，解题的要点是先由已知结合勾股定理求出另一条直角边，再求出头积即得答案．10．如图，AB⊥CD于B，△ABD和△BCE都是等腰直角三角形，若是CD=17，BE=5，那么AC的长为（）A．12B．7C．5D．13【考点】等腰直角三角形；全等三角形的判断与性质；勾股定理．【专题】研究型．【剖析】先依照△BCE等腰直角三角形得出BC的长，进而可得出BD的长，依照△ABD是等腰直角三角形可知AB=BD，在Rt△ABC中利用勾股定理即可求出AC的长．【解答】解：∵△BCE等腰直角三角形，BE=5，BC=5，第9页（共19页）CD=17，DB=CD﹣BE=17﹣5=12，∵△ABD是等腰直角三角形，AB=BD=12，在Rt△ABC中，∵AB=12，BC=5，∴AC===13．应选D．【议论】此题观察的是等腰直角三角形的性质及勾股定理，熟知等腰三角形两腰相等的性质是解答此题的要点．二、填空题11．如图为某楼梯，测得楼梯的长为5米，高3米，计划在楼梯表面铺地毯，地毯的长度最少需要米．【考点】勾股定理的应用．【专题】应用题．【剖析】当地毯铺满楼梯时其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，依照勾股定理求得水平宽度，今后求得地毯的长度即可．【解答】解：由勾股定理得：楼梯的水平宽度==4，∵地毯铺满楼梯是其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，地毯的长度最少是3+4=7米．故答案为7．【议论】此题观察了勾股定理的知识，与实质生活相联系，加深了学生学习数学的积极性．22212．在直角三角形ABC中，斜边AB=2，则AB+AC+BC=8．第10页（共19页）【考点】勾股定理．【专题】计算题．【剖析】由三角形ABC为直角三角形，利用勾股定理依照斜边AB的长，可得出AB的平方及两直角边的平方和，今后将所求式子的后两项结合，将各自的值代入即可求出值．【解答】解：∵△ABC为直角三角形，AB为斜边，222∴AC+BC=AB，又AB=2，222∴AC+BC=AB=4，222222则AB+BC+CA=AB+（BC+CA）=4+4=8．故答案为：8【议论】此题观察了勾股定理的运用，勾股定理为：直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和，熟练掌握勾股定理是解此题的要点．13．直角三角形的三边长为连续偶数，则其周长为24cm．【考点】勾股定理．【剖析】设直角三角形的三边边长分别为2n﹣2，2n，2n+2，由勾股定理得：两直角边的平方和等于斜边的平方，据此列出关于n的方程，求出切合题意n的值，即求出了直角三角形的三边长，之后求出周长即可．【解答】解：设直角三角形的三边边长分别为2n﹣2，2n，2n+2．由勾股定理得：2n﹣2）2+（2n）2=（2n+2）2，解得：n1=4，n2=0（不合题意舍去），即：该直角三角形的三边边长分别为6cm，8cm，10cm．因此，其周长为6+8+10=24cm．【议论】此题主要观察了运用直角三角形的性质的能力，要点在于运用勾股定理得出三边之间的关系，依照题意求出三边的边长．周长=三边之和，求出周长．14．如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4．以斜边AB为直径作半圆，则这个半圆的面积是．第11页（共19页）【考点】勾股定理．【剖析】依照勾股定理求出斜边，即可求出半圆的半径，求出头积即可．【解答】解：∵在△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，∴由勾股定理得：AB=5，即半圆的半径为，因此半圆的面积为×π×（）2=π，故答案为：π．【议论】此题观察了勾股定理的应用，解此题的要点是求出半圆的半径，注意：直角三角形的外接圆的半径等于斜边的一半，在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．15．如图，在校园内有两棵树，相距12m，一棵树高13m，另一棵树高8m，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟最少要飞13m．【考点】勾股定理的应用．【剖析】依照“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的顶端进行直线游览，所行的行程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出．【解答】解：两棵树高度相差为AE=13﹣8=5m，之间的距离为BD=CE=12m，即直角三角形的两直角边，故斜边长AC==13m，即小鸟最少要飞13m．第12页（共19页）【议论】此题主若是将小鸟的游览路线转变成求直角三角形的斜边，利用勾股定理解答即可．16．如图，△ABC中，∠C=90°，AB垂直均分线交BC于D．若BC=8，AD=5，则AC等于4．【考点】线段垂直均分线的性质；勾股定理．【剖析】依照线段垂直均分线的性质可求得BD的长，进而求得CD的长，再依照勾股定理即可求得AC的长．【解答】解：∵AB垂直均分线交BC于D，AD=5，BD=AD=5，∵BC=8，CD=BC﹣BD=3，∴AC==4，故答案是：4．【议论】此题观察了线段垂直均分线定理以及勾股定理．求得AD=BD是解题的要点．17．如图，四边形ABCD是正方形，AE垂直于BE，且AE=3，BE=4，阴影部分的面积是19．【考点】勾股定理；正方形的性质．【专题】计算题．第13页（共19页）【剖析】在直角三角形ABE中，由AE与BE的长，利用勾股定理求出AB的长，由正方形面积减去直角三角形面积求出阴影部分面积即可．【解答】解：∵AE⊥BE，∴∠AEB=90°，在Rt△ABE中，AE=3，BE=4，依照勾股定理得：AB==5，则S阴影=S正方形﹣S△=52﹣×3×4=25﹣6=19，ABE故答案为：19．【议论】此题观察了勾股定理，以及正方形的性质，熟练掌握勾股定理是解此题的要点．18．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为27cm，则正方形A，B，C，D的面积之和为49cm．【考点】勾股定理．【剖析】依照正方形的面积公式，连续运用勾股定理，发现：四个小正方形的面积和等于最大正方形的面积．【解答】解：由图形可知四个小正方形的面积和等于最大正方形的面积，故正方形A，B，C，D的面积之和=49cm2．故答案为：49cm2．【议论】熟练运用勾股定理进行面积的变换．三、解答题19．如图，所示，四边形ABCD中，AB=4，BC=3，AD=13，CD=12，∠B=90°，求该四边形的面积．【考点】勾股定理；勾股定理的逆定理．第14页（共19页）【剖析】由AB=4，BC=3，∠B=90°可得AC=5．可求得S△ABC；再由AC=5，AD=13，CD=12，可得△ACD为直角三角形，进而求得S，可求S=S+S．△ACD四边形ABCD△ABC△ACD【解答】解：在Rt△ABC中，AB=4，BC=3，则有AC==5．S△ABC=AB?BC=×4×3=6．在△ACD中，AC=5，AD=13，CD=12．222222．∵AC+CD=5+12=169，AD=13=169222∴AC+CD=AD，∴△ACD为直角三角形，∴S△=AC?CD=×5×12=30．ACD∴S四边形=S△+S△=6+30=36．ABCDABCACD【议论】此题主要观察勾股定理和逆定理的应用，还涉及了三角形的面积计算．20．如图，已知一等腰三角形的周长是16，底边上的高是4．求这个三角形各边的长．【考点】等腰三角形的性质；勾股定理．【剖析】由于等腰三角形中底边上的高均分底边，故周长的一半为AB与BD的和，可设出未知数，利用勾股定理建立方程求解．【解答】解：设BD=x，则AB=8﹣x由勾股定理，可以获取222222，AB=BD+AD，也就是（8﹣x）=x+4x=3，AB=AC=5，BC=6．【议论】此题利用了等腰三角形的性质：底边上的高均分底边，及勾股定理求解．21．以以下列图的一块地，∠ADC=90°，AD=12m，CD=9m，AB=39m，BC=36m，求这块地的面积．第15页（共19页）【考点】勾股定理的应用；三角形的面积．【专题】计算题．【剖析】连接AC，依照直角△ACD可以求得斜边AC的长度，依照AC，BC，AB可以判断△ABC为直角三角形，要求这块地的面积，求△ABC与△ACD的面积之差即可．【解答】解：连接AC，已知，在直角△ACD中，CD=9m，AD=12m，222依照AD+CD=AC，可以求得AC=15m，在△ABC中，AB=39m，BC=36m，AC=15m，222∴存在AC+CB=AB，∴△ABC为直角三角形，要求这块地的面积，求△ABC和△ACD的面积之差即可，S=S△﹣S△=AC?BC﹣CD?AD，ABCACD=×15×36﹣×9×12，=270﹣54，2=216m，2答：这块地的面积为216m．【议论】此题观察了勾股定理在实质生活中的运用，观察了直角三角形面积的计算，此题中正确的判断△ABC是直角三角形是解题的要点．22．如图，一架2.5米长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AC上，这时梯足B到墙底端C的距离为0.7米，若是梯子的顶端沿墙下滑0.4米，那么梯足将向外移多少米？第16页（共19页）