四川大学期末考试试题(闭卷)20172018春微积分

四川大学期末考试一试题（闭卷）2017——2018学年第2学期）A卷课程号：201138040合用专业年级：

课序号：学生人数：

课程名称：微积分（印题份数：

I）-2学号：

任课教师：姓名：

成绩：考生许诺我已仔细阅读并认识《四川大学考场规则》和《四川大学本科学生考试违纪舞弊处罚规定（校订）》，郑重许诺：1、已按要求将考试严禁携带的文具用品或与考试相关的物件搁置在指定地址；2、不带手机进入考场；3、考试时期恪守以上两项规定，如有违规行为，同意依据相关条款接受办理。考生署名：注：考试时间120分钟。请将答案写在答题纸规定的方框内，不然记0分。一、计算题(每题5分，共30分)1.求曲线xcost,ysint,ztcost上点(1,0,0)处的切线方程.求曲面zxy在点2,3,6）处的切平面方程.3.设D{(x,y)2|xy1,x0,y0}，求xdxdy.D4.设是曲面zx2y2与平面z1围成的地区,求(zx2y3sinz4)dxdydz.5.设是起点为1,0,1）、终点为0,1,1）的有向线段,求(y2zx)dy.6.xyyx2求微分方程初值问题的解.（y1）2018二、解答题(每题8分，共40分)1.互换二次积分I1dx12yI.0x33yedy的积分序次并计算x2y2z211)2ds.2.设曲线的方程为xyz,求(x0x2xdyydx3.设平面曲线L为y219,起点为3,0）,终点为3,0）,求22.Lxy4.设曲面是球面z2x2y2与锥面zx2y2围建立体的表面，的方向指向外侧,求x2dydzy2dzdxz2dxdy.第1页，共2页试卷编号：3x2y4(x,y)(0,0)ff,5.f(x,y)x2y2,(1)求x(0,0)和(0,0);0,(x,y)(0,0)y(2)判断（fx,y）在点0,0）处能否可微;(3)设向量l(2,2),求f(0,0).22l三、应用题(每题9分，共18分)1.求圆x2y21使得该点到A0,0、B3,0、C0,4的距离的平方之和最小.上一点,2.设函数yf(x)各处二阶可导,其函数图像上随意一点x,y）处的切线与y轴的交点为0,u(x),若uuy2x2,而且f(1)f(1)4e,求函数yf(x).四、证明题(每题6分，共12分)1.设可微函数f(x,y,z)知足:f(tax,tby,tcz)tabcf(x,y,z),t0,此中a,b,c都是正整数.求证:axf(x,y,z)byf(x,y,z)czf(x,y,z)(abc)f(x,y,z).xyzx2y2z21c2,1c2.2.设为曲面2221(a,b,c0),IdS,22abcab1x2y22|x2(1)求证:I2a2b2dxdy,此中Dxy{(x,y)y221}.Dxy1x2y2a2ba2b21的预计公式,并给出该公式在(2)上述积分很难直接计算,试用你的想法给出Ia1,b2,c3时的结果.(保存两位小数,合理的估值均可得分)第2页，共2页试卷编号：2018微积分（1）-2参照解答一、计算题：（每题褵分，共褳褰分）褱、求曲线x=cost,y=sint,z=tcost上点(1,0,0)处的切线方程褮解褺对曲线方程对于t求导可得切向量为(-sint,cost,cost-tsint)············3分代入点(1,0,0)对应的参数t=0可得点(1,0,0)处的切向量为(0,1,1).于是褬切线方程为x-1yz·==2分011褲、求曲面z=xy在点(-2,-3,6)处的切平面方程褮解褺曲面z=xy的法向量是(-zx,-zy,1)=(-y,-x,1),·3分于是在点(-2,-3,6)处的法向量为(3,2,1).所以，所求切平面方程为3(x+2)+2(y+3)+z-6=0，即3x+2y+z+6=0·············2分褳、设D={(x,y)∈R2|x+y:(1,x;;?0,y;;?0}，求FFxdxdy.D解褺fff1-xf1dxxdxdy=xdy·3分D

f010=01(x1-x21)dx=-=2分36·························褱第3页，共2页试卷编号：褴、设?是曲面z=?2与平面z=1围成的地区褬求FFF234褮2+yx(z+xysinz)dxdydz?解褺由?的对称性褬x2y3sinz4dxdydz=0··················1分?由截面法褬注意到Dz={(x,y)∈R2|x2+y2:(z2}············1分f1fzdxdy∴原式=dzf0Dzf1=3πzdz0π=3分·························Fx)dy.褵、设Γ是起点为(1,0,1)、终点为(0,1,1)的有向线段褬求(y2+z-Γ解褺Γ的参数方程x=1-t,y=t,z=1，t:0→1，·········2分f原式=(t2+t)dt105=3分··························xyIy=x2褶、求微分方程初值问题-的解褮y(1)=2018解褺由yIxyI-yy·2分xx2x代入初始条件褬可得C=2017.于是方程的解为y=x2+2017x·3分褲第4页，共2页试卷编号：二、解答题：（每题褸分，共褴褰分）褱、互换二次积分I=F1F1?0dxx33y2eydy的积分序次并计算I.解：画出积分地区：褲分yF1F√2y3I=dy3yy=xyedx?03(1,1)003分=F1yeydy=yey110-F0x01eydy3分=e-(e-1)=1.褲、设曲线Γ的方程为x2+y2+z2=1F2x+y+z=0褬求(x+1)ds褮Γ解褺由Γ的轮换对称性褬可得fffz2dsx2ds=y2ds=ΓΓΓf(x2+y2+z2)ds3Γ1f2π4分=ds=.33Γ再由Γ对于原点的对称性褬可得Fxds=0.2分Γffff8π2分(x+1)2ds=(x2+2x+1)ds=x2ds+ds=.ΓΓΓΓ3Ix2Fxdy-ydx1-(3,0)褮褳、设平面曲线L为y=2褬起点为褬终点为(-3,0)褬求x2+y29L解褺第一褬?-y-(x2+y2)+2y2y2-x2y(+y2)=(x2+y2)2=(x2+y2)2,P=?yx2Qx=?(x(x2+y2)-2x2y2-x2?xx2+y2)=(x2+y2)2=(x2+y2)2.既然Py=Qx褬于是曲线积分与路径没关褻褳分褳第5页，共2页试卷编号：√取新的路径LI:y=9-x2褬起点为(3,0)褬终点为(-3,0)褮LI的参数方程x=3cosθ,y=3sinθ褬此中θ从褰变化到π褮褲分代入曲线积分可得fπ1原式=(9sin2θ+9cos2θ)dθ=π.3分0褴、设曲面Σ是球面z=?2x2y2与锥面z=?x2+y2围建立体的表面褬FF--Σ的方向指向外侧褬求x2dydz+y2dzdx+z2dxdy褮Σ解褺由高斯公式褬原式=(2x+2y+2z)dxdydz.2分fff?FFFFFF由?的对称性褬可得xdxdydz=ydxdydz=0.fff??∴原式=2zdxdydzf?ff=20√2π/4fdθ0d?0rcos?·r2sin?dr4分π/4=4πcos?sin?d?=π.2分0?3x2y4(0,0)褵、设f(x,y)=?,?fx2+y2(x,y)褬褨褱求褩?f(0,0)褻0,(x,y)=(0,0)?x(0,0)和?y√√?f22褨褲判褩断f(x,y)在点(0,0)处能否可微褻褨褳设褩向量l=(,-)褬求(0,0)褮2?l?fd2解褺褨褱因褩为f(x,0)(0,0)==0.=0褬f(x,0)|x=0?xdx同理褬由于f(0,y)=0褬?f(0,0)=df(0,y)|y=0=0.2分?ydy褴第6页，共2页试卷编号：褨褲褩令?y=k?x褬经过计算以下极限褬发现其与k相关褬进而极限不存在褮f(0+?x,0+?y)-f(0,0)-fx(0,0)?x-fy(0,0)?ylim?(?x)2+(?y)2?x→0?y→0?32?k4/3(?x)(?y)32(k?x)4(?x)4=lim(?x)2+(?y)2=lim(?x)2+(k?x)2=1+k2.?x→0?x→0?y→0所以褬由定义可知函数f(x,y)在点(0,0)处不能够微褮褳分√√褨褳褩由于l=(22αcos,β)褬由方导游数的定义可得,-)=(cos22?ff(0+tcosα0,+tcosβ)-f(0,0)?l(0,0)=lim?tt→0+t6cos213α1分=limt→0+

cos4β=.3·?2α+t22tt2coscosβ2三、应用题：（每题褹分，共褱褸分）褱、求圆x22上一点褬使得该点到A(0,0)、B(3,0)、C(0,4)的距离的+y=1平方之和最小褮解褺令f(x,y,λ)=x2+y2+(x-3)2+y2+x2+(y-4)2+λ(x2+y2-1)褮褳分由方程组fx=4x+2(x-3)+2λx=0fy=4y+2(y-4)+2λy=03分fλ=x2+y2-1=03434)褮褳分可解得驻点为(x,y)=(±,±)褻由题意可知所求的点为(,5555褲、设函数y=f(x)各处二阶可导，而且随意一点(x,y)处的切线与y轴的交点为数y=f(x)褮

(1)=fI(1)+4=e，其函数图像上(0,u(x))，若u-uI=y+2x2，求函解褺u(x)-y=yI(0-x)褬u(x)=y-xyI褬uI(x)=yI-yI-xyII=-xyII褮褵第7页，共2页试卷编号：由于u-uI=y-xyI+xyII=y+2x2，则当x0时褬yIII=2x.分-y4解方程yII-yI=2x，可得y=C1ex+C2-x2-2x.3分再由f(1)=fI，可得x-x2-2x+3.2分(1)+4=ey=e四、证明题：（每题褶分，共褱褲分）褱、设可微函数f(x,y,z)知足褺f(tabcz)=ta+b+cf(x,y,z),?t>褬其x,ty,t0中a,b,c都是正整数褮求证褺?f(x,y,z)+by?f(x,y,z)+cz?f(x,y,z)=(a+b+c)f(x,y,z).ax?y?z?x证明褺令u=tax褬v=tby褬w=tcz褬k=a+b+c褮对f(u,v,w)=tkf(x,y,z)对于t求导可得褺?fa-1x+?fb-1y+?fc-1z=ktk-1f(u,v,w).(u,v,w)·at(u,v,w)·bt(u,v,w)·ct?u?v?w褴分上述表达式中令t=1褬即有ax?f?f(x,y,z)+cz?f?x(x,y,z)+by(x,y,z)=(a+b+c)f(x,y,z).?y?zFF褲分x2y2z2褬褬c2褲、设Σ为曲面++=1(a,b,c>0)=αb2c2IΣdS褬c2a2=1-a2β=1-b2褮褨褱褩求证褺ffx2y2x2y2「1-α2-β2I=2IIabdxdy,Dxy:+:(1.DxyUx2-y2a2b21-22ab1褨褲褩上述积分很难直接计算褬试用你的想法给出I的预计公式褬并给出该公π式在a=1,b=2,c=3时的结果褮褨保存两位小数褬合理的估值均可得分褩褶第8页，共2页试卷编号：Ix22?z=-c2x?z2证褺褨褱褩-y褬=-cy褱分z=1-a2b22z褬,c?xa?yb2z！（22（c2y)2dS=1+-cx)a2z+-2dxdy「bzx22y2c24c4=IU1+x2ay2+by2dxdyx2「1--221-a2-b222221-(1-ac)xb-(1-c2)y2dxdyIa2a2bb=Ux2y2「Ix21--=a2b21α-βy2I-dxdy,a2分22U1-x2-y2a2b2由曲面Σ的对称性褬只要要计算上半椭球面积的褲倍褻所以褬ffx2y2「1-x2y2