1981年~2019年全国高中数学联赛试题分类汇编（11）复数（Word版含答案）

PAGE1981年~2019年全国高中数学联赛试题分类汇编复数部分2019A11、称一个复数数列为“有趣的”，若，且对任意正整数，均有，求最大的常数，使得对一切有趣的数列及任意正整数，均有。★解析：考虑有趣的复数数列．归纳地可知．由条件得（），解得（），因此，故（）①进而有②记（）则当为偶数时，记，由②得。当为奇数时，记，由①②得，故当时，，综上知满足要求。另一方面，当，，（），时，易验证得为“有趣的”数列，此时，这表明，综上知。2019B11.（本题满分20分）设复数数列满足：，且对任意正整数，均有，证明：对任意正整数，均有。★证明：归纳地可知．由条件得（），解得（），因此，故（）①进而有②记（）则当为偶数时，记，由②得。当为奇数时，记，由①②得，故综上知结论获证。2018A6、设复数满足，使得关于的方程有实根，则这样的复数的和为◆答案：★解析：设（，且）则原方程变为，所以，①若，则，解得，检验得，，，即；②若，则由知或，检验得：，代入得，，所以；综上满足条件的所有复数之和为2018B8、已知复数满足，，其中是给定的实数，则的实部是（用含有的式子表示）◆答案：★解析:记，由复数的模的性质可知：，，，因此。于是解得。 2017A11、（本题满分20分）设复数满足，，且，（其中表示复数的实部）⑴求的最小值；⑵求的最小值。★解析：⑴对，设，（），由条件知，，因此：又当时，，这表明的最小值为。⑵对于，设，（），将对应到平面直角坐标系中的点，记是关于轴的对称点，则，均位于双曲线的右支上。设分别是双曲线的左右焦点，易知。根据双曲线的定义，有,，进而得到:,等号成立当且仅当位于线段上（例如，当时，恰是的中点）。综上可知，的最小值为。2017B2、设复数满足，则的值为◆答案：★解析：设，由条件得，比较两边实虚部可得，解得：，故，进而.2016A2、设复数，满足，，其中是虚数单位，，分别表示复数，的共轭复数，则的模为◆答案：★解析：由运算性质，，因为与为实数，，故，，又，所以，从而因此，的模为．2016B3、已知复数满足（表示的共轭复数），则的所有可能值的积为◆答案：★解析：设由知，比较虚、实部得又由知，从而有即，进而于是，满足条件的复数的积为2015A3、已知复数数列满足，，其中为虚数单位，表示的共轭复数，则的值为◆答案：2015+1007i．★解析：由己知得，对一切正整数n，有,于是．2006*8、对一切，复数的模不超过，则实数的取值范围为◆答案：★解析：依题意，得（）（对任意实数成立）.故的取值范围为。2002*7、已知复数满足,若它们所对应向量的夹角为,则◆答案：★解析：由余弦定理得,,可得=2001*8、若复数满足，，则◆答案：★解析：由3z1-2z2==可得．本题也可设三角形式进行运算．2000*6、设，则以为根的方程是()

A.B.C.D.◆答案：B★解析：由于，故都是方程的根．又．选B．1999*8、已知，那么，复数的辐角主值是______◆答案：★解析：的辐角主值。1999*二、（本题满分50分）给定实数，已知复数满足：，求的值。★解析：记，则设，，则，根据题设得，则其虚部（利用和差化积公式）即，得或或，，所以或或，①若，代入原式得，得或，此时。②若，同理可得，③若，同理可得，，综上所述，值有或或。1998*8、设复数()，复数,,在复平面上对应的三个点分别是，当不共线时，以线段，为两边的平行四边形的第四个顶点为，则点到原点距离的最大值是_______.◆答案：★解析：因为,即∴．即当，即时，取得最大值．1998*13、（本题满分20分）已知复数()，求的共轭复数的辐角主值。★解析：即当时，即1997*9、已知复数满足，则的幅角主值范围是．◆答案：，（）★解析：记，则等价于，这个等式成立等价于关于的二次方程有正根．所以，解得。即．所以，（）∴辐角主值为．1997*15、（本题满分20分）设非零复数满足：，其中为实数，。求证：复数在复平面上对应的点位于同一圆周上。★证明：设，则由下式得．得或，故，或．⑴若，则得．即．∴由已知，有，且．令，()．则，所以，又，即，所以，故()∴．再令，()．同理可得或．若，则为实数．此时．此时，或．此时，由，知．此时，．若，仍有，故此五点在同一圆周上．⑵若．即，∴．此时，即此五点在同一圆上．综上可知，表示复数在复平面上所对应的点位于同一圆周上．1996*8、复平面上非零复数在以为圆心为半径的圆上，的实部为零，的辐角主值为，则____________．◆答案：★解析：满足；，得，．设的辐角为()，则．所以，若其实部为0，则，于是，。1995*2、设复平面上单位圆内接正边形的个顶点所对应的复数依次为，则复数所对应的不同的点的个数是()A.B.C.D.◆答案：A★解析：设，则，其中．显然．∴．∴共有4个值．选A．1995*7、设为一对共轭复数，若，且为实数，则_____．◆答案：★解析：设，()，则．∴．设，则可取，(因为只要求，故不必写出所有可能的角)．则，于是．．1994*一、（本题满分25分）关于的二次方程，其中均是复数，且，设这个方程的两个根为，满足，求的最大值和最小值。★解析：设()．则．设的平方根为．()，即．，即，所以，即，即表示复数的点在圆上，该点与原点距离的最大值为，最小值为．1993*6、设为非零复数，为虚数单位，，则方程与在同一复平面内的图形(为焦点)是()◆答案：B★解析：方程①为椭圆，②为双曲线的一支．二者的焦点均为，由①，故否定A，由于为椭圆的长轴，而C中两个焦点与原点距离(分别表示)均小于椭圆长轴，故否定C．由B与D知，椭圆的两个个焦点都在轴负半轴上，由为长轴，知，于是，．曲线上一点到距离大，否定D，故选B．1993*7、二次方程(为虚数单位，)有两个虚根的充分必要条件是的取值范围为________．◆答案：★解析：即此方程没有实根的条件．当时，此方程有两个复数根，若其有实根，则，且．相减得．当时，此二方程相同，且有两个虚根．故在取值范围内．当时，，代入得．即时，原方程有实根．故所求范围是．1993*9、若，，，则的值是________．◆答案：★解析：如图，可知表示复数．∴．1992*5、设复数在复平面上对应的点分别为，且，，为坐标原点，则的面积为()A.B.C.D.◆答案：A★解析：注意到．∴，的夹角为．所以．选A．1992*10、设都是复数，且，则的值是______．◆答案：★解析：,即，∴或．∴．1991*11．设复数满足，，则．◆答案：★解析：由，得．由于，故．∴．故．1990*5．设非零复数满足，则代数式的值是()A.B.C.1D.以上答案都不对◆答案：B★解析：记或，其中．．且．若，则得．若，则得．选B．1989*1．若是锐角△ABC的两个内角，则复数在复平面内所对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限◆答案：B★解析：由于．故，所以，．故,．即点位于第二象限．选B1988*11、（本题满分15分）复平面上动点的轨迹方程为，为定点，，另一个动点满足，求点的轨迹，指出它在复平面上的形状和位置。★解析：，故得，即．．即以为圆心为半径的圆．1986*2、设为复数，，那么()A．B．C．eq\o(\s\up3(Ì),\s\do3(¹))eq\o(\s\up3(Ì),\s\do3(¹))D．◆答案：B★解析：即，即，得或，即为实数．选B1985*5、设为