1981年~2019年全国高中数学联赛试题分类汇编（10）逻辑（Word版含答案）

PAGE1981年~2019年全国高中数学联赛试题分类汇编逻辑部分2014B3、对于实数的任意子集，我们在上定义函数，如果是实数的两个子集，则，的充分必要条件是◆答案：互为补集★解析：对于任意的，，这说明中至少有一个是，即，所以，另一方面，中仅有一个是，即，从而互为补集。2001*15、（本题满分20分）用电阻值分别为()的电阻组装成一个如图的组件，在组装中应如何选取电阻，才能使该组件总电阻值最小？证明你的结论．★解析：首先，对电路图进行截取分段考虑，如下三个图设6个电阻的组件（如图3）的总电阻为．当，，，是，的任意排列时，最小．证明如下：1°设当两个电阻，并联时，所得组件阻值为：则．故交换二电阻的位置，不改变值，且当或变小时，也减小，因此不妨取．2°设3个电阻的组件(如图1)的总电阻为RAB：．显然越大，越小，所以为使最小必须取为所取三个电阻中阻值最小的一个．3°设4个电阻的组件(如图2)的总电阻为：．若记，．则S1、S2为定值．于是．只有当最小，最大时，最小，故应取，，，即得总电阻的阻值最小．4°对于图3，把由组成的组件用等效电阻代替．要使最小，由3°必需使；且由1°，应使最小．由2°知要使最小，必需使，且应使最小．而由3°，要使最小，应使且．这就说明，要证结论成立1998*4、设命题关于的不等式与的解集相同；命题。则命题（）A.是命题的充分必要条件B.是命题的充分条件但不是必要条件C.是命题的必要条件但不是充分条件D.既不是命题的充分条件也不是命题P的必要条件◆答案：D★解析：若两个不等式的解集都是，否定A、C，若比值为，否定A、B，选D1995*3、如果甲的身高数或体重数至少有一项比乙大，则称甲不亚于乙，在个小伙子中，如果某人不亚于其他99人，就称他为棒小伙子，那么，个小伙子中的棒小伙子最多可能有()A.个B.个C.个D.个◆答案：D★解析：把身高按从高到矮排为号，而规定二人比较，身高较高者体重较小，则每个人都是棒小伙子．故选D．1994*2、给出下列两个命题：(1)设都是复数，如果，则；(2)设都是复数，如果，则．那么下述说法正确的是（）A.命题(1)正确，命题(2)也正确B.命题(1)正确，命题(2)错误C.命题(1)错误，命题(2)也错误D.命题(1)错误，命题(2)正确◆答案：B★解析：⑴正确，⑵错误；理由：⑴，成立时，与都是实数，故此时成立；⑵当成立时，是实数，但不能保证与都是实数，故不一定成立．故选B．1988*4．已知三个平面、、，每两个之间的夹角都是，且，，，．若有命题甲：；命题乙：、、相交于一点．则A．甲是乙的充分条件但不必要B．甲是乙的必要条件但不充分C．甲是乙的充分必要条件D．A、B、C都不对◆答案：C★解析：、、平行或交于一点．当时，．当它们交于一点时，,选C．1985*1、假定有两个命题：甲：是大于的实数；乙：且．那么()A．甲是乙的充分而不必要条件B．甲是乙的必要而不充分条件C．甲是乙的充分必要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件◆答案：B★解析：由于且成立时，必有．故由乙可得甲，故选B1985*10、对任意实数，定义运算为，其中为常数，等式右端中的运算是通常的实数加法、乘法运算．现已知，，并且有一个非零实数，使得对于任意实数都有，则．◆答案：★解析：．取，代入得，，但，故，，．．取代入，得．经验算：，对于一切，有成立．故．1984*一、(本题满分15分)下列命题是否正确？若正确，请给予证明，否则给出反例。⑴若是直线同侧的两不同点，则必存在两个不同的圆，通过且与直线相切；⑵若，且，，则；⑶设是坐标平面上的两个点集，，若对任意，都有,则必有。★解析：⑴若，则只能作出一个圆过且与直线相切；⑵若，则；⑶，，于是恒成立，但不满足．1983*1、设是自然数，条件甲：是偶数；条件乙：是偶数．那么（）A．甲是乙的充分而非必要条件B．甲是乙的必要而非充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件◆答案：C★解析：．又，故与的奇偶性相同．∴为偶数，得为偶数，为偶数．为奇数，一奇一偶，为奇数．故选C．1982*8、当是两个不相等的正数时，下列三个代数式：甲：，乙：，丙：，中间，值最大的一个是（）A．必定是甲B．必定是乙C．必定是丙D．一般并不确定，而与的取值有关◆答案：D★解析：甲>乙，但甲、丙大小不确定．故选D．1981*1、条件甲：两个三角形的面积和两条边对应相等．条件乙：两个三角形全等．则下列正确的是（）A．甲是乙的充分必要条件B．甲是乙的必要条件C．甲是乙的充分条件D．甲不是乙的必要条件，也不是乙的充分条件◆答案：B★解析：乙甲，但甲乙，故选B.1981*2、条件甲：．条件乙：．则下列正确的是（）A．甲是乙的充分必要条件B．甲是乙的必要条件C．甲是乙的充分条件D．甲不是乙的必要条件，也不是乙的充分条件◆答案：D★解析：由得；而，得．故选D．1981*10、(本题15分)组装甲、乙、丙三种产品，需用三种零件．每件甲需用各个；每件乙需用各个；每件丙需用个与个．用库存的三种零件，如组装成件甲产品、件乙产品和件丙产品，则剩下个和个，但恰好用完．试证：无论怎样改变甲、乙、两产品的件数，也不能把库存的三种零件都恰好用完．★解析：已知即：每个甲用A2，B2，每个乙用B1，C1，每个丙用A2，C1．∴共有A产品件；B产品件；C产品件．设组装件甲，件乙，件丙，则用件A；用件B；用件C．如全部用完，则有∴：．这是不可能的．故证．1981*11、(本题20分)一张台球桌形状是正六边形，一个球从的