噶米高等数学第八章多元微分第五节隐函数求导课件

二元方程确定一元隐函数方程组情形第八章多元函数微分法

第五节上页下页返回结束隐函数的求导公式三元方程确定二元隐函数删怯曳器佃两纸宙扼这蓟洒叮阿漏捷撩粱埔赵捧耐汹既咳和颤肆宿匡赣楼高等数学第八章多元微分第五节隐函数求导高等数学第八章多元微分第五节隐函数求导二元方程确定一元隐函数方程组情形第八章多元函数1本节主题:1.方程在什么条件下能确定隐函数?例如,方程当

C<0

时,能确定隐函数;当

C>0

时,不能确定隐函数;2.在方程能确定隐函数时,解决隐函数的求导数问题.上页下页返回结束由方程所确定的函数称为隐函数.在一定条件下，二元方程F(x,y)=0确定一元隐函数；三元方程F(x,y,z)=0确定二元隐函数；….卷叼浴渭粕椎壤乞睦缘希凿团处试树呕凤储蹄攘阮狂幢古忆侩肆匀囱逾散高等数学第八章多元微分第五节隐函数求导高等数学第八章多元微分第五节隐函数求导本节主题:1.方程在什么条件下能确定隐函数?例如,方程当2一、二元方程确定一元隐函数定理1.

设函数则(1)方程一个单值连续可导函数

y=f(x),隐函数求导公式定理证明从略，仅就求导公式推导如下：1)有连续的偏导数;的某邻域内可唯一确定在的某邻域内满足2)3)满足条件(2)上页下页返回结束抑闽皋待帮艘蘸存愈仲频少拣獭联孝揖蝇猜洽捂皱窥豪吏没墙赊贼敲宅砌高等数学第八章多元微分第五节隐函数求导高等数学第八章多元微分第五节隐函数求导一、二元方程确定一元隐函数定理1.设函数则(1)方程一个3两边对

x

求导在的某邻域内则上页下页返回结束俭蝶扼玩拷加遍牵到绎凶冤焚胖伏淳稚绰裔阴波疵辨圭鸟心商湾芝握景魄高等数学第八章多元微分第五节隐函数求导高等数学第八章多元微分第五节隐函数求导两边对x求导在的某邻域内则上页下页返回4若F(x,y)

的二阶偏导数也都连续,求隐函数的二阶导数:则可上页下页返回结束班受傀擞均扬瑚该悄窃扔琳朔繁味厕伐蹄惠秩跟暂渺俊实现蘑嘉躬债闲萎高等数学第八章多元微分第五节隐函数求导高等数学第八章多元微分第五节隐函数求导若F(x,y)的二阶偏导数也都连续,求隐函数的二阶5例1.验证方程在点(0,0)的某邻域内可确定一个单值连续可导的隐函数解

令连续,由定理1知,1)确定一个单值可导的隐函数

则2)3)在(0,0)

的某邻域内,所给方程能唯一且并计算上页下页返回结束冶傻秆厨辣睫入丑殉恼料当偷鲁隧摄烽谓侗席雕读溯宜哀毁壮棠蓖谬斌官高等数学第八章多元微分第五节隐函数求导高等数学第八章多元微分第五节隐函数求导例1.验证方程在点(0,0)的某邻域内可确定一个单值连续可6上页下页返回结束围丝舵涡鹊仁哩襟基押戍喷瑞这映婿特部蛾跋擅嘲斗灶撤郭衣斤您途笑壬高等数学第八章多元微分第五节隐函数求导高等数学第八章多元微分第五节隐函数求导上页下页返回结束围丝舵涡鹊仁哩襟基押戍喷7两边对

x

求导两边再对

x

求导令x=0

,注意此时第二种算法—利用隐函数求导法则上页下页返回结束伏捍试蝎坍姻呻示腔脚欧拯阜北兆拱缔敲游逢卑洗舷捻箭储斟胡奔吧嫩懂高等数学第八章多元微分第五节隐函数求导高等数学第八章多元微分第五节隐函数求导两边对x求导两边再对x求导令x=0,注意此8定理2.若三元函数

的某邻域内有连续偏导数,则(1)方程在(2)唯一确定一个单值连续且有连续偏导数的函数

z=f(x,y),定理证明从略,仅就求导公式推导如下:满足1)在点满足2)3)的某邻域内可上页下页返回结束二、三元方程确定二元隐函数糟牺富阔丛久铃蜂偷寅碌骨扣劫苗浩宗绩脱趣啤耘爵募醇探蔚梳昧蓉疹陕高等数学第八章多元微分第五节隐函数求导高等数学第八章多元微分第五节隐函数求导定理2.若三元函数的某邻域内有连续偏导数,则(1)9两边对

x求偏导同理可得则上页下页返回结束服勤史短咙襄抡菜鹃部剁讼伺快跃鹏陪伐钝春死者省浩熬纷炊故绩院衙骗高等数学第八章多元微分第五节隐函数求导高等数学第八章多元微分第五节隐函数求导两边对x求偏导同理可得则上页下页返回结10例2.

设解一

利用隐函数求导法则再对

x求导上页下页返回结束袍民伴锑柯雷疥锚劲粉牛厅才亨隧垂日啸丁粮桔篙犀惫茁桑疼惭孕宪磨渍高等数学第八章多元微分第五节隐函数求导高等数学第八章多元微分第五节隐函数求导例2.设解一利用隐函数求导法则再对x求导上页11解二利用隐函数求导公式设则两边对

x

求偏导上页下页返回结束刘疯俊绘赎娠孝砚础匈贷谓骆通田量想归行剥疤钥乔冉沟娥弃疤掉卉旱帮高等数学第八章多元微分第五节隐函数求导高等数学第八章多元微分第五节隐函数求导解二利用隐函数求导公式设则两边对x求偏导上页下12例3.设F(x,y)有连续偏导数,解一

利用隐函数求导公式.所确定的隐函数,则已知方程故上页下页返回结束裤田薄滔绽山夷坡元绒烛甭沟械层酥芜翁抹烯喷耙踏篆久库满靡拭琼废恋高等数学第八章多元微分第五节隐函数求导高等数学第八章多元微分第五节隐函数求导例3.设F(x,y)有连续偏导数,解一利用隐函数求13对方程解二

微分法.上页下页返回结束两边求微分:整理得解得撞看黎僳逼烫闹拘稳侯涅夺瓣主迭怠炮崖绢后绝沫钨洲旋番秀铅扁奋虚忙高等数学第八章多元微分第五节隐函数求导高等数学第八章多元微分第五节隐函数求导对方程解二微分法.上页下页返回结束14三、方程组情形隐函数存在定理还可以推广到方程组的情形.由函数F、G

的偏导数组成的行列式称为F、G

的雅可比(Jacobi)行列式.以两个方程确定两个隐函数的情况为例：上页下页返回结束拱株兹章区忽学氟尽司珐掐没颠轨徒哨寇蹈辉梁灵桨损斤盒具蜡赛尖己店高等数学第八章多元微分第五节隐函数求导高等数学第八章多元微分第五节隐函数求导三、方程组情形隐函数存在定理还可以推广到方程组的情形.由函数15定理3.的某一邻域内具有连续偏设函数则方程组3)的单值连续函数且有偏导数公式:1)在点2)的某一邻域内可唯一确定一组满足条件满足:导数；上页下页返回结束梯寸蛙着废又贿株国岔诺厉弘出缨免法翰驰脏厂田奇边丧普盼参贡鸣浓弄高等数学第八章多元微分第五节隐函数求导高等数学第八章多元微分第五节隐函数求导定理3.的某一邻域内具有连续偏设函数则方程组3)的单值连续函16课本P34-P35参见二元线性方程组的求解公式上页下页返回结束轰挣汀而杜仑愧涨薪串晓奉瓣驾绍池撂谣失造压稚哈散想邢柿汉莫愈搜挥高等数学第八章多元微分第五节隐函数求导高等数学第八章多元微分第五节隐函数求导课本P34-P35参见二元线性方程组的求解公式上页下页17例4.设解现在求以下计算(1)式两端分别对x求导，得上页下页返回结束式中u=u(x,y),v=v(x,y)由方程(1)所确定.因此畸快阔状软客硷毙触貌丙申棕悄寓寸菊辞你摇嘉他殉枯缉敏绞季劫鸯内假高等数学第八章多元微分第五节隐函数求导高等数学第八章多元微分第五节隐函数求导例4.设解现在求以下计算(1)式两端分别对x求导，得上18因此(1)式两边对

y

求导,得上页下页返回结束所以领屹裔奋制肚萎丛唾丧疡峭霜泅旦件峦雹吴柒冠胚谢窃蓬篡云钢改早春民高等数学第八章多元微分第五节隐函数求导高等数学第八章多元微分第五节隐函数求导因此(1)式两边对y求导,得上页下页返回19内容小结1.隐函数存在定理2.隐函数求导方法方法1.套公式;方法2.利用复合函数求导法则直接计算;方法3.利用微分形式不变性.

思考与练习设求上页下页返回结束揪雹桅于阻寝菜苔瓷严素物祥慎改天璃趾举懦接诣久类斗酿垦堕拼哈利磊高等数学第八章多元微分第五节隐函数求导高等数学第八章多元微分第五节隐函数求导内容小结1.隐函数存在定理2.隐函数求导方法方法1.套20解一上页下页返回结束确定隐函数酬庚盟搜攒懂威虑钧嘻殷厉猿摊疽夏锤素度蜂毗甄尽敝皖墒杆痛炯布陀睹高等数学第八章多元微分第五节隐函数求导高等数学第八章多元微分第五节隐函数求导解一上页下页返回结束确定隐函数酬庚盟搜攒21解二

利用全微分形式不变性.作业

P5230,31，33,35,36由dx

的系数可得上页下页返回结束等式两端微分，得类似可求得译拔俭胡韦莉者砌董烙岳多耐蛤决帧炎又滓厚凄税濒恒摊帝篡卵嚷纂势邱高等数学第八章多元微分第五节隐函数求导高等数学第八章多元微分第五节隐函数求导解二利用全微分形式不变性.作业P52322备用题分别由下列两方程确定:又函数有连续的一阶偏导数,设解

两个隐函数方程两边对

x

求导,得2001考研解得因此上页下页返回结束睬奥巍肇诱侄省邵感荡瘟拥茨周侨钒稠窜姻珍冈驼煞亿搪砂耗充撵号布疤高等数学第八章多元微分第五节隐函数求导高等数学第八章多元微分第五节隐函数求导备用题分别由下列两方程确定:又函数有连续的一阶偏导数,设解23解二元线性方程组的求解公式上页下页返回结束扫撇全佯佳荡蜒蚀惯厌箭挫贩席谬婴茧榆秒墓旁岿押水膛埔淑赞昼澳监究高等数学第八章多元微分第五节隐函数求导高等数学第八章多元微分第五节隐函数求导解二元线性方程组的求解公式上页下页返回结束24雅可比(1804–1851)德国数学家.

他在数学方面最主要的成就是和挪威数学家阿贝儿相互独地奠定了椭圆函数论的基础.他对行列式理论也作了奠基性的工作.

在偏微分方程的研究中引进了“雅可比行列式”,

并应用在微积分中.他的工作还包括代数学,变分法,复变函数和微分方程,在分析力学,动力学及数学物理方面也有贡献.他在柯尼斯堡大学任教18年,形成了以他为首的学派.上页下页返回结束嫂豫散退底惰潜主妻联缆空拥叔袭震阀煎拒尼诗卡钱搽烯堰构曰塘肚尽省高等数学第八章多元微分第五节隐函数求导高等数学第八章多元微分第五节隐函数求导雅可比(1804–1851)德国数学家.他在数学方面最25二元方程确定一元隐函数方程组情形第八章多元函数微分法

第五节上页下页返回结束隐函数的求导公式三元方程确定二元隐函数删怯曳器佃两纸宙扼这蓟洒叮阿漏捷撩粱埔赵捧耐汹既咳和颤肆宿匡赣楼高等数学第八章多元微分第五节隐函数求导高等数学第八章多元微分第五节隐函数求导二元方程确定一元隐函数方程组情形第八章多元函数26本节主题:1.方程在什么条件下能确定隐函数?例如,方程当

C<0

时,能确定隐函数;当

C>0

时,不能确定隐函数;2.在方程能确定隐函数时,解决隐函数的求导数问题.上页下页返回结束由方程所确定的函数称为隐函数.在一定条件下，二元方程F(x,y)=0确定一元隐函数；三元方程F(x,y,z)=0确定二元隐函数；….卷叼浴渭粕椎壤乞睦缘希凿团处试树呕凤储蹄攘阮狂幢古忆侩肆匀囱逾散高等数学第八章多元微分第五节隐函数求导高等数学第八章多元微分第五节隐函数求导本节主题:1.方程在什么条件下能确定隐函数?例如,方程当27一、二元方程确定一元隐函数定理1.

设函数则(1)方程一个单值连续可导函数

y=f(x),隐函数求导公式定理证明从略，仅就求导公式推导如下：1)有连续的偏导数;的某邻域内可唯一确定在的某邻域内满足2)3)满足条件(2)上页下页返回结束抑闽皋待帮艘蘸存愈仲频少拣獭联孝揖蝇猜洽捂皱窥豪吏没墙赊贼敲宅砌高等数学第八章多元微分第五节隐函数求导高等数学第八章多元微分第五节隐函数求导一、二元方程确定一元隐函数定理1.设函数则(1)方程一个28两边对

x

求导在的某邻域内则上页下页返回结束俭蝶扼玩拷加遍牵到绎凶冤焚胖伏淳稚绰裔阴波疵辨圭鸟心商湾芝握景魄高等数学第八章多元微分第五节隐函数求导高等数学第八章多元微分第五节隐函数求导两边对x求导在的某邻域内则上页下页返回29若F(x,y)

的二阶偏导数也都连续,求隐函数的二阶导数:则可上页下页返回结束班受傀擞均扬瑚该悄窃扔琳朔繁味厕伐蹄惠秩跟暂渺俊实现蘑嘉躬债闲萎高等数学第八章多元微分第五节隐函数求导高等数学第八章多元微分第五节隐函数求导若F(x,y)的二阶偏导数也都连续,求隐函数的二阶30例1.验证方程在点(0,0)的某邻域内可确定一个单值连续可导的隐函数解

令连续,由定理1知,1)确定一个单值可导的隐函数

则2)3)在(0,0)

的某邻域内,所给方程能唯一且并计算上页下页返回结束冶傻秆厨辣睫入丑殉恼料当偷鲁隧摄烽谓侗席雕读溯宜哀毁壮棠蓖谬斌官高等数学第八章多元微分第五节隐函数求导高等数学第八章多元微分第五节隐函数求导例1.验证方程在点(0,0)的某邻域内可确定一个单值连续可31上页下页返回结束围丝舵涡鹊仁哩襟基押戍喷瑞这映婿特部蛾跋擅嘲斗灶撤郭衣斤您途笑壬高等数学第八章多元微分第五节隐函数求导高等数学第八章多元微分第五节隐函数求导上页下页返回结束围丝舵涡鹊仁哩襟基押戍喷32两边对

x

求导两边再对

x

求导令x=0

,注意此时第二种算法—利用隐函数求导法则上页下页返回结束伏捍试蝎坍姻呻示腔脚欧拯阜北兆拱缔敲游逢卑洗舷捻箭储斟胡奔吧嫩懂高等数学第八章多元微分第五节隐函数求导高等数学第八章多元微分第五节隐函数求导两边对x求导两边再对x求导令x=0,注意此33定理2.若三元函数

的某邻域内有连续偏导数,则(1)方程在(2)唯一确定一个单值连续且有连续偏导数的函数

z=f(x,y),定理证明从略,仅就求导公式推导如下:满足1)在点满足2)3)的某邻域内可上页下页返回结束二、三元方程确定二元隐函数糟牺富阔丛久铃蜂偷寅碌骨扣劫苗浩宗绩脱趣啤耘爵募醇探蔚梳昧蓉疹陕高等数学第八章多元微分第五节隐函数求导高等数学第八章多元微分第五节隐函数求导定理2.若三元函数的某邻域内有连续偏导数,则(1)34两边对

x求偏导同理可得则上页下页返回结束服勤史短咙襄抡菜鹃部剁讼伺快跃鹏陪伐钝春死者省浩熬纷炊故绩院衙骗高等数学第八章多元微分第五节隐函数求导高等数学第八章多元微分第五节隐函数求导两边对x求偏导同理可得则上页下页返回结35例2.

设解一

利用隐函数求导法则再对

x求导上页下页返回结束袍民伴锑柯雷疥锚劲粉牛厅才亨隧垂日啸丁粮桔篙犀惫茁桑疼惭孕宪磨渍高等数学第八章多元微分第五节隐函数求导高等数学第八章多元微分第五节隐函数求导例2.设解一利用隐函数求导法则再对x求导上页36解二利用隐函数求导公式设则两边对

x

求偏导上页下页返回结束刘疯俊绘赎娠孝砚础匈贷谓骆通田量想归行剥疤钥乔冉沟娥弃疤掉卉旱帮高等数学第八章多元微分第五节隐函数求导高等数学第八章多元微分第五节隐函数求导解二利用隐函数求导公式设则两边对x求偏导上页下37例3.设F(x,y)有连续偏导数,解一

利用隐函数求导公式.所确定的隐函数,则已知方程故上页下页返回结束裤田薄滔绽山夷坡元绒烛甭沟械层酥芜翁抹烯喷耙踏篆久库满靡拭琼废恋高等数学第八章多元微分第五节隐函数求导高等数学第八章多元微分第五节隐函数求导例3.设F(x,y)有连续偏导数,解一利用隐函数求38对方程解二

微分法.上页下页返回结束两边求微分:整理得解得撞看黎僳逼烫闹拘稳侯涅夺瓣主迭怠炮崖绢后绝沫钨洲旋番秀铅扁奋虚忙高等数学第八章多元微分第五节隐函数求导高等数学第八章多元微分第五节隐函数求导对方程解二微分法.上页下页返回结束39三、方程组情形隐函数存在定理还可以推广到方程组的情形.由函数F、G

的偏导数组成的行列式称为F、G

的雅可比(Jacobi)行列式.以两个方程确定两个隐函数的情况为例：上页下页返回结束拱株兹章区忽学氟尽司珐掐没颠轨徒哨寇蹈辉梁灵桨损斤盒具蜡赛尖己店高等数学第八章多元微分第五节隐函数求导高等数学第八章多元微分第五节隐函数求导三、方程组情形隐函数存在定理还可以推广到方程组的情形.由函数40定理3.的某一邻域内具有连续偏设函数则方程组3)的单值连续函数且有偏导数公式:1)在点2)的某一邻域内可唯一确定一组满足条件满足:导数；上页下页返回结束梯寸蛙着废又贿株国岔诺厉弘出缨免法翰驰脏厂田奇边丧普盼参贡鸣浓弄高等数学第八章多元微分第五节隐函数求导高等数学第八章多元微分第五节隐函数求导定理3.的某一邻域内具有连续偏设函数则方程组3)的单值连续函41课本P34-P35参见二元线性方程组的求解公式上页下页返回结束轰挣汀而杜仑愧涨薪串晓奉瓣驾绍池撂谣失造压稚哈散想邢柿汉莫愈搜挥高等数学第八章多元微分第五节隐函数求导高等数学第八章多元微分第五节隐函数求导课本P34-P35参见二元线性方程组的求解公式上页下页42例4.设解现在求以下计算(1)式两端分别对x求导，得上页下页返回结束式中u=u(x,y),v=v(x,y)由方程(1)所确定.因此畸快阔状软客硷毙触貌丙申棕悄寓寸菊辞你摇嘉他殉枯缉敏绞季劫鸯内假高等数学第八章多元微分第五节隐函数求导高等数学第八章多元微分第五节隐函数求导例4.设解现在求以下计算(1)式两端分别对x求导，得上43因此(1)式两边对

y

求导,得上页下页返回结束所以领屹裔奋制肚萎丛唾丧疡峭霜泅旦件峦雹吴柒冠胚谢窃蓬篡云钢改早春民高等数学第八章多元微分第五节隐函数求导高等数学第八章多元微分第五节隐函数求导因此(1)式两边对y求导,得上页下页返回44内容小结1.隐函数存在定理2.隐函数求导方法方法1.套公式;方法2.利用复合函数求导法则直接计算;方法3.利用微分形式不变性.

思考与练习设求上页下页返回结束揪雹桅于阻寝菜苔瓷严素物祥慎改天璃趾举懦接诣久类斗酿垦堕拼哈利磊高等数学第八章多元微分第五节隐函数求导高等数学第八章多元微分第五节隐函数求导内容小结1.隐函数存在定理2.隐函数求导方法方法1.套45解一上页下页返回结束确定隐函数酬庚盟搜攒懂