安徽大学-2008–2009-学年第-1-学期电动力学试卷

安徽大学2002009学年第1学期《电动力学》考试试卷(A卷)(时间120分钟)院（系）物理与材料科学专业 姓名 学亏题亏 得分

四 总分一、简答(每小4分,共20分;无需推,不限字,建议回答少50字) 得分.,?.直接写出库伦规范和洛伦兹规范的表达式.(如果忘了,的推导)?、计算(每小15,共15分) 得分(15分)l,a,b.忽略同轴电缆的电阻.,V,,.均匀带电,I.,载有稳定.−−−−−−−++++++++++−−−−−(5分)E.(5分计算中间部分的磁感强度(5分)计算中间部分的PoyntingS、综合题（每小题20分，共20分）

=1E×B.µ0得分(20分)如图所示,矩形波导管,管壁看成没有电阻的导体,中间看成真空.a,b,a>.zTE波,ω,k,真空中的zc.磁感强度的zBz

满足微分方程（∂2

∂2 ω2 ＼z∂x2+∂y2+ c2−k2 z1

(x,y)=0,和边界条件

z1 =∂B

1 =, ∂B

1∂B

=0.∂B∂x1∂Bx=0

∂x 1x=ax

∂y1zy=0z

∂y1

zy=bzazby.(12分)试采用分离变量法计算B 的本征解.z(8分)k.四、证明(3小题，分) 得分(15分)ΦA定.

E

B

=B确(10分),:电场强度打下面等式确定∂tE=−∇Φ−∂A.∂t5分)对千确定的E和B,如果我们选取一组,A)A，=A+

Φ

∂λ,∂t其中λ是任意的一标.证:( ,A)和,A)对应千相同的E 和B.(10分)Poynting的矢量定义为S=E×H,电磁场的能量密度的定义为

w=1EE2

1µH2.20 2 0(5分)证明:,有下面的等式成立∇·S=

∂w.−∂t−(5分),Poynting矢量的含义.) 一个参考系相对千另外一个参考系S沿其x轴正方向以大小为v匀速运,图所示.此时,两个参考系中描述同一时空点,其时空坐标的关系是2y-vO¯O xz¯z= γ−vt)γ=(1v2/c2)−1/2.

= =zx=γ(tx

(1))有一质点在参考系¯中以速度¯沿¯.:参考系S中描述该质点的运动速度u为 ¯+vu=1+¯v/c2.(5分)证明:.(5分)S中两个事件之间的时空间隔定义为I=c2(∆t)2−(∆x)2−(∆y)2−(∆z)2,应用变换关系(1)证明:这一间隔在参考系S¯中是不变的.(5分)I>0,我们称这样的间隔为类时间隔.证明:类时间隔情况下,某一参考系S中不同时刻发生的事, 无法通过洛伦兹变换找到另一参考系S事件同时发生.附：常用的公式和一些参数的定义Maxwell方程组

使得在S，中,两个f∇·D=ρf

, E= ∂B−∇−∇∇·B=0, ∇×H=

+∂D其中 1

f ∂tD=E0E+P,

H= B−Mµ03PAGEPAGE8一些可能用到的数学公式)=A×(∇×B)+B×(∇×A)+(A+(B∇·(fA)=f(∇·A)+A·(∇f)∇×B)=B×A)−A×B)∇×(fA)=f(∇×A)−A×)∇×(A×B)=(B−(A+A(∇)−B(∇《电动力学》考试参考答案(A)一、简答题(每小题4分,共20分;无需推导,不限字数,建议回答少千50字),,定.极性分子在外场中,打原来的混乱状态过渡到不混乱状态,是转动的过程.没有极性,变得有极性,.为了保证随时间变化的情况下,.=0,洛伦兹规范为+1∂φ=0.c2∂t:.1.(15分)(5分)解:,r,h的圆筒,打千两端没有电场通量,所以总的电场通量为E2πrh=hλ/E0,其中λ表示单位长度上的电荷数.得到电场强度之后,可以计算出电势差rV=所以最后得到的电场强度大小为

b λa E=

dr=V

λ lnb2πE0 arlnba方向沿径向正方向.(5分)解:,r,,分和电流的关系为B2πr=µ0I这样得到

µ0IB=2πr方向沿绕轴的方向,和内部的电流方向构成右手关系.(5分)解:,所以其矢量积的大小为VI方向沿内部的电流方向.、综合题（分）1.(20分)

S=2πr2lnba(12分)解:采用分离变量,B 可以写成zzB(x,y)= X(x)Y(y)z把这个放入微分方程中,可以得到1d2X+

1d2Y

+ω2

2=0Xdx2 Ydy2 c2 k ,考虑到部分相互独立,我们引入1d2X=

2 1d2Y 2其本征值满足关系式

Xdx2ω2

−kx−−2x−−

Ydy2 =−ky (2)−2 2−方程(2)的通解是

kc2

k k =0y

(3)X(x)= C1coskxx+D1sinkxx,考虑边界条件,我们可以得到

Y(y)=C2coskyy+D2sinkyy. (4)D =0,

= mπ, D =0, k =nπ, m,n=0,1,2,...1 x a

2 y b那么Bz的解为 mπx nπyBz=AcosBz

cosa b其中A是任意系数,根据输入的电磁波的能量确定,n和m不能同时为0.(8分)解:从方程可以得到−2 ω2−

2 2

m2π2

n2π2k=c2

k k x y

− −c2 a2 b2−或者写成−

Ik=

m2π2

−n2π2c2 a2

b2.要保证波导管中有电磁波传播,要求k为实数,所以根据方程(3),有ω2 2 2 m2π2

+n2π2c2>kx+ky= a2 b2那么后面一项最小的可能取值是

m=1, n=0.此时,截止频率ω播

便是这最小的频率,低千这个频率的电磁波无法在这一波导管中传πc1.(15分)

ωc= a.(10分)从麦克斯韦方程组知∇×E=−∂B=−∂×A)=×∂A∂t ∂t ∂t得到∇× E+∂A =0∂t考虑到任意一个标量的梯度是无旋的,我们引入标量ΦE+∂A=∂t

−∇Φ这样,当随时间变化的场退化到不随时间变化的情形时,标量Φ是静电场中的电势,这样电场强度表示为∂t(5分)证明:∂t

E=∂A. 口∇×A，=∇×(A

+∇λ)=∇×A+0=B并且∂A，

∂λ ∂A

∂∂A2.(10分)

= − − =− =E. 口∂t ∂t ∂t ∂t ∂t(5分)证明:,∂t∇×H)=H×E)−E×H)=·∂B∂t

− E ∂D− ∂t11同时11−∂w ∂

·∂D

−H·∂B=− ( EE2+ µH2)=∂t ∂t 20其中D所以

2=E0E,

B=µ0H

∂t ∂t−·S= ∂w. 口−∂t(5分)从上面的关系式可以看出,Poynting,所以Poynting.,穿过单位面积的电磁场能量.3.(20分)dt):中的速度dt¯=

d¯

(x−vt)] =dx−vdt

dx−v =u−vc2c2c2c2dt¯

d[γ(t−vx)] dt−

vdx 1 vc2dt c2dxu−−1改写一下,得到 ¯+vdxu−−1u=1+¯v/c2. 口):当¯=,,可以得到c+vu= =c,1+ cv/c2即光速不变.(5分):I=∆t2−∆¯2−∆¯2−∆¯2v=c2(γ(∆t−

∆x))2−(γ(∆x−v∆t))2−(∆y)2−(∆z)2c2− + 2

2(v2

1) 2

∆