傅里叶变换与傅里叶级数

重温傅里叶一笔记篇本文记录的大多是基础的公式，还有一些我认为比较重要的有参考价值的说明。（如果对这些公式已经很熟悉，可以直接看第三部分：总结性说明）重温傅里叶一笔记篇一、傅里叶级数$关于三角函数系的正交性：三角函数系包括：1,cosx,sinx,cos2x,sin2x,cosnx,sinnx,正交性”是说，三角函数系中的任何一项与另一项的乘积，在（-71,兀区间的积分为0。（任何两相的积总可以展成两个频率为整数倍基频的正余弦函数之和或差，而这两个展开后的正余弦在（-71,小积分都为0）。不同频率（但都是整数倍基频）的两个正弦函数之积，在（-71,比积分恒为0。同频率的两个正弦函数之积，只有在这两个正弦的相位正交时，其在（-兀，加积分才是0。三角函数系中除“以外的任何一项的平方，在（-71,由的积分恒为兀，“住这个区间上的积分为2兀。$上公式！①当周期为2兀时：式（1）:=-+£（邑cos期+dsinnx）2n-l%==工|f〈Gdx1r3——f（y）cosnxdxXJ-1摩;b——\fix}sinnxdx上式成立的条件是f(x)满足狄立克雷充分条件：在任意有限区间连续，或只有有限多个第一类间断点；任意的有限区间，都可被分成有限多个单调区间(另一种说法是：任意有限区间只有有限多个极值点，其实是一样的)

式(1)第一行中的a0/2就是f(x)的周期平均值，而且第一行的式子只对f(x)是连续函数的情况成立；如果f(x)不连续，则应表示成“(1/2)x[f羽+f(x+0)]”，即f(x)左右极限的算术平均。下面的类似情况都是这样，之后就不再专门说明，这些大家应该都懂。第三、四行中，n的取值都是：1,2,3,4,……n,……(都为正，且不包含0)。②当周期为2L时(这也是最一般的情形)式(2)=—+Vacos(门——x)+asin(n—x)jn=lLLjf(x)cos(门一上jf(x)cos(门一上第一行中的a0/2就是f(x)的周期平均值；第三、四行中，n的取值都是：1,2,3,4,……n,……(都为正，且不包含0)。

$傅里叶级数的复数表达方式同样设周期为2L。根据欧拉公式，正余弦函数都可以用复指数表示出来。这样上面式(2)中的第一行:十H十工+8十艺J7-1cos(n—x)bn十H十工+8十艺J7-1可以表示为:(■R

jn—jteLzJl=l:2上电J之

L-3口1an-ib^+ib^/j?_「jr___三_「9-Ljj„-c-rt2-ji式(5)Cn与C-n互为共轲。这样式（4）变为:一工JJJ-JTf（x）=%+Eq」+5D=1；式(6^)若将上式中的第一项。。看做，则上式可重写为：一工」不上犬«）=£%一门=一工由式（5）和式（2）中对a0b0anbnC0C-n的定义，可以发现Cn可统一表达为:,7f(x)eL必r(其中4-0^±1,±2?±3^±4?)

将傅里叶级数用复数表示后，就是式（6）和式（7）这样简洁的形式。简单分析:①俾里叶级数转变成复数形式后，原来每一项中的：,ancos(n—X)+bsin5ancosLL)都被分为正、负两个频率的波：，都被分为正、负两个频率的波：，-jzr-x+JFL只不过这两个频率的振幅4%都不再是实数，而是一对共施复②若f（x）为偶（或奇）函数，则所有的bn（或an）将为0,此时的Cn将变为实数（或纯虚数），且an（或bn）是转换后所得的Cn的2（或2i）倍，而C-n与Cn相等（或纯虚共轲）。二、复变函数中的傅里叶变换先上公式:-X-F(G=J-ro)+毋斗o)1尸”加定理：若f(t)在(-8,+彳上绝对可积，即f⑴的绝对值在(-8,+彳上收敛，则F(CO)在(-8,+3上存在且连续(F(3的连续性在复变函数的教科书中一般都有证明)。F(co)是实变复值函数，即变量3是在实数区间(-8,+与定义，而函数值F(3却在复数空间。式(9)的条件是：f(t)在(-8,+彳上绝对可积，并在任一有限区间满足狄立克雷充分条件。$若f(t)为偶函数，则F(3聘为纯实数，且同为偶函数；若f(t)为奇函数，则F(3聘为纯虚数，且同为奇函数；而对任意f(t),F(co)与F(-co始终共轲，这意味着|F(3)|与|F(-3)|恒相等，即F(3酌绝对值是偶函数。$由于要求f(t)绝对可积，所以对于周期函数一般是不能用傅里叶变换的，只能用傅里叶级数分析。(周期函数往往不能收敛)。三、总结性说明周期函数可以看成由很多频率是原函数频率整数倍的正余弦波叠加而成，每个频率的波都有各自的振幅和相位，必须将所有频率的振幅和相位同时记录才能准确表达原函数。但从上面的公式来看，我们好像从没涉及到相位？其实不然，从式（2）来看，我们将每个频率的波分成了一个正弦分量和一个余弦分量，同时记录了这两个分量的振幅an、bn其实就已经包含了这个频率的波的相位信息；而对于式（6a）,每个频率的波被分成了正负两个频率的复数波”，这种方式其实比正余弦形式更加直观，因为复振幅Cn恰好同时记录了这个频率的振幅和相位，它的物理意义很明显：Cn的幅值|Cn|即为该频率的振幅（准确的说是振幅的一半），而其辐角恰好就是相位（准确的说是反相的相位，C-n的辐角才恰好代表该频率波分量的相位）。傅里叶变换针对的是非周期函数，或者说，周期为无穷的函数。它是傅里叶级数的一个特例（好吧，我曾经一直以为傅里叶级数是傅里叶变换的一个特例，正好相反，刚前几天才想通透）。当傅里叶级数的周期L趋于无穷时，自然就变成了上面的傅里叶变换。这种关系从二者的表达式概能看出点端倪，但是也不是特别明显，毕竟它们的表达形式差别还挺大。如果不把傅里叶级数表达成复数形式，那就更加难看出二者之间的联系了，这也是为什么本文中详细列出了复数形式的傅里叶级数。傅里叶变换要求f（t）在（-8,+彳上绝对可积，其实可以理解成傅里叶级数要求函数在一个周期的积分必须收敛”。在深入篇中，我再好好说说二者是如何联系的。重温傅里叶--深入篇1--傅里叶级数与傅里叶变换的关系以及频谱图的介绍在读本文前，请先大致浏览一下笔记篇里的东西，下面使用的符号及其意义都跟笔记篇里是一致的。笔记篇里记录的大都是基础的公式，教科书上都可以找到。（抱歉，刚发现有点小错误：在式（6-4）和式（11）里，积分项中的“d靖B应改为“d®"由于改图不太好改，就只在这里说明了。请读者看的时候注意）为了下面叙述方便，我先做几点约定和说明:本文中提到的傅里叶级数都是复数形式的级数，下标n都是负无穷到正无穷；对于笔记篇里经常出现的“n兀/L它可以看成一个角频率，用3表示。（角频率与频率（通常用f表示）之间的关系是：3=2兀］。（参见笔记篇中的式（3）、（4）、（6）等）；进一步，我将“兀琳为角基频”，这样的话“n兀颂是n倍角基频。当周期为2兀时,角基频恰好为1;一定别搞混：cn代表的不是角频率为n的波分量的振幅，而是角频率为n倍角基频的波分量的振幅；对于周期函数，除了角频率为整数倍（包括负整数倍）角基频的波分量振幅可以不为0外，角频率为其他值的波分量振幅都是0。（下面介绍频谱图时会再提到此事）；*对于周期L等于无穷大的函数（非周期函数），其角基频为兀/L=0,这样实数围的所有角频率都可以看成整数倍角基频了，因此非周期函数在所有的角频率处都有波分量！（就是说，频谱图由离散变得连续了）。什么，那不乱套了？如果所有的角频率都有波分量而且每个波分量都有一个不为0的振幅，那级数怎么可能收敛？还好，每个Cn的表达式中都有一个1/2L的系数，这样周期无穷大时，所有的振幅Cn也都变成“0T,所以不会乱套，但是这么多0加一块应该还是0,怎么能凑出原来的f（x）呢？这就像对一个函数积分一样，函数在任意一个点处的积分都是0（好吧我知道这说法不科学，但是方便理解），但对一个区间积分，这么多0加起来就成了一个有限值。好了，不乱说了，越说越乱，本文就从这里开始，看完下面的几段大家就能清楚的知道是怎么一回事了。为了方便大家翻阅，我先将一会儿涉及到的几个公式重新贴一遍在这里。这些公式及公式的标号都与笔记篇中相同。周期函数的傅里叶级数相关公式:*ZJJ—JT手⑺二£qJ11c--2L,a

一皿—JT@1其中刀-0,±L±2」±3j±41)复变函数中的傅里叶变换相关公式：“-HJD尸3)=J周期级数公式如式（6）和式（7）那样，我们现在要做的是，搞明白为什么周期L趋于无穷时，就会有式（9）和式（8）的结果。好，现在我们对式（6）和式（7）进行第一步加工：将式中的“n兀/四角频率con来表示,代表n倍角基频。这样，会产生下面的新式子：

+xf⑴=f"0

打二T1C=——门1C=——门2LJF(x)8Tg‘改(其中77=0,±l,±2j±3,±4『~L对比式（7-1）和式（8）,发现他们右边的积分式主体部分形式几乎是一样的，只是上下限和系数不同。好吧，为了更直观的对比，我再创造一个符号，Fn,将它定义如下：Fn=X2L这样我们就可以彻底抛弃cn这个碍眼的符号了，全部用Fn代替。然后重写式（6）和式（7）:[-K»广⑴=-y尸产2Ly，LF刀-J—L再拿式（7-2）和式（8）对比，会发现很让人兴奋的结果，他们的形式几乎一样！但是式（6-2）和式（9）貌似差别还不小，他们的系数一个是（1/2L）,一个（1/2兀）好吧，接着来，我们再创造一个符号，Aco,定义如下：A3=（兀/D（其实就是角基频的大小）利用它来再次加工式(6):(式(7-2)不变，但还是一块列了出来)重新对比式(6-3)和式(9),发现形式已经很相近了，只不过一个是积分一个是和式……等一下！和式？再仔细看看看式(6-3),发现这时它很像一个函数积分的和式展开式！那我们现在来构造两个函数吧：F*(④和1(3)构造方法如下：F*(co)=Fn当[(n-1/2)Aco]<a<[(n+1/2)时；A④]CO*(CO)=con当[(n-1/2)A3]<CO<[(n+1/2)时；A3]这是两个分段跳跃函数，它们都以3为自变量，并每隔Aco,函数值变化一次。好吧，数字太不直观，我把F*(3的函数图象大致画出来方便大家理解：

AAm&图及上面这个阶梯状的东西就是F*(3的函数图象。3*(3的图像也是类似的阶梯状，而且它的更简单，是一个从负无穷到正无穷逐步升高的形状(每次升高一个角基频的大小)。这里有必要说明一下，以免误导大家：Fn一般都是复数，只有在f(x)本身是偶函数时才是实数，因此函数F*的值也应为复数。也就是说，将F*的函数图象画成图1那样的实数形式其实是不合理的。我这样做只是为了方便大家理解(6-3)中的和式是如何变成积分式的。好了，有了这两个函数，我们再来仔细看看式（6-3）,不难看出，这个和式其实就是函数F*在（-00,+与上的积分（面积）！这次我们再进一步，将上面两个式子中的Fn和con也都换掉，使其变成3*和F*这两个函数之间的关系式（离成功不远了）：L尸*（口）=jfGS'dx—L这就是转换后的结果。笔记篇中的式（6b）与式（7）,跟现在推出的式（6-4）与式（7-4）,是完全等价的，因为后面的两个就是根据前两个换算来的，只不过借助了F*（co）和3*（3这两个新构造的函数而已。表达的意义一样，适用围也一样（都适用于周期函数），但形式却大变！这时再回头看看式（9）和式（8）,我们终于可以松口气了，形式完全一样！好了，现在我们再看看看周期L趋于无穷时会发生什么。如果直接分析笔记篇中的式（6b）与式（7）,我们会很失望，因为L趋于无穷时，它们都退化”了，很难直接地从这两个式子中得到有用的信息（如果用这两个式子，我们所能得到的直观”结果就是：Cn全变0了，所以f（x）是0。显然这是错的）。但我们后来创造出来的式（6-4）与式（7-4）,适应环境的能力就很强了。.首先，L趋于无穷时，A④会变得越来越小直至变成0（A④是什么？忘了？前面有，Aco=（兀/L））;.同时，对于co*（co）=n^由于A3其实就是角基频，而相邻的两个con差就是一个角基频，根据1可知，L趋于无穷时，3*（3就由阶梯跳跃变得连续了，这时3*（3）=9.同时，两个相邻的Fn,他们的差别也越来越小直至变成0,(Fn=CnX2L,从Cn的表达式可以看出，L趋于无穷时Cn本身就是一个与(1/L)同阶的无穷小量，那相邻的Cn之间的差值就是比(1/L)更高阶的无穷小量，因此相邻的Fn之间的差值就趋于0了)。这样一来，图1中表示的函数F(<o)就渐渐的由阶梯跳跃变成果,这时F(3)就可以表达为：.尸*(口)=j…dx-4)而式(6-4)也可表示成：卡j+Xfix)=上fWdx2T式(10)和(11)其实就是式(8)和(9)oOK完结，多么简单，可是以前就没想到，刚现在才开窍。数字游戏玩完之后，我们再好好理解一下式(8)(9)中的F(w>从我们刚才的证明过程中，可以看到Fn=X2L，在笔记篇中我说过，Cn其实就代表某个频率波分量的振幅和相位，而Fn与Cn是成正比的，它的值同样可以表征一个波分量的振幅和相位。F(CO)WFn有相同的意义，因此F(3)的分布其实就代表了各角频率波分量的分布。具体的说：|F(3)|的分布正比地体现了各个角频率波分量的振幅分布。(别忘了F(co是复数)F(3的辐角体现了各个角频率波分量的相位分布。我们平时所说的频谱图”，其实指的就是|F（3的函数图象，它始终是偶函数（这个就是实数了，因为我们取的是F（co）的幅值而不是F（co库身）。对于满足傅里叶变换条件的非周期函数，他们的频谱图一般都是连续的；而对于周期函数，他们的频谱则都是离散的点，只在整数倍角基频的位置有非零的频谱点存在。根据频谱图可以很容易判断该原函数是周期函数还是非周期的（看频谱图是否连续就行了），而且对于周期函数，可以从频谱图读出周期大小（相邻的离散点之间的横轴间距就是角基频，这个角频率对应的周期就是原函数的周期）。那怎样读出每个频率的振幅呢？|F（3）|与振幅成正比，要想读出某个频率波分量的实际振幅，只需让|F（3）|乘以相邻离散点的横轴间距再除以兀即可。其实就是让|F（3）|除以原函数周期值的一半（即L）,参考一下我们上面说到的Fn和Cn之间的关系式以及我在笔记篇中提到的“K的幅值是实际振幅的一般：就可以轻松得到得到这个结论。对于非周期函数来说，其频谱图已趋于连续，相邻离散点”的横轴间距就是一个无穷小量，而|F（3）|是有限值，那么每个频率波分量的实际振幅就都是0了。所以对于非周期函数，说“|F（3玳表了振幅密度的大小”比说“|F（3忧表了振幅的大小”更贴切一点。在某个宽度为A3的区间（频带），对这个密度”进行积分，（其实还要再除以兀的）就能得到这个宽度为A3的频带中所有频率产生的振幅之和（虽然大家的振幅都是趋于0,但无数个加一块就有非零值了）。怎么理解呢？先把这个连续频谱图想象成一个由很多离散点组成的离散频谱图，只不过相邻离散点之间的横轴间距特别小（用dco表示吧,方便我叙述），其实相当于先把这个非周期函数想