高数复习题库100题

考点19.利用拉格朗日中值定理证明连体不等式102、试证：当。>匕>0,〃>1时，nb'-'(.a-b)<cf-b'<nd''(a-b).证明：构造函数/(x)= >1).,显然函数在［〃,a.上连续且可导，满足拉格朗日中值定理的条件，从而存在b<长<a使颔a)-<6)=〃长"(a-b)即cf-b'=〃长1H(a-b)［b<长<a),又因为nbr'(a-h)<n长"(a-b)<nd''(a-b),故〃"t(a-b)<a"-bn<nd11(a-b).当天>0时，证明：不等式x<ex-\<xex证明：构造函数火x)=e1则/(x)=",当X>0时，函数次x)在区间［o,x.上连续且可导，即满足拉格朗日中值定理的条件，所以，=/(长江,(0<长<x),即e匚1=eKx,(0<长<x).而x<e长x<xe',故当当x>0时，有x<e'-I<xe'TOC\o"1-5"\h\z1 1 1</(a>1,〃21)aa**</(a>1,〃21)a.证明：二<«_(«+I)3Ina证明:构造函数/□)=£:，它在区间_L_ 内连续且可导，由拉格朗日中值定理知,ina L-1至少存在长£至少存在长£岛9使得宿一/岛卜次母岛i?即有岛卜二回岛〈华)

I 1而有所以a/<a-<而有所以(n+I)2n(n+1)n2)1_ iiia**4/，-a"】/""/、1oix

7< <-="3>1,〃21)(n+1)Inaa.证明：当x>0时，—<ln(x+l)<xx+1证明：构造函数/(x)=ln(x+1),它在区间［0,x］(x>0)内连续且可导，由拉格朗日中值定理知，至少存在长e(0,x),使得於)-施)=H(长)x,即有ln(x+1)=之猖<假x),而有 」一<*J"1+x I长所以 —<ln(x+l)<x14^.试证：当〃>/?>0,n>1时，nlf'\a <nanX(a-h).证明：构造函数*X)=X"(〃>1),显然函数在［40上连续且可导，满足拉格朗日定理的条件,从而存在b<长<a使欲a)-<份=〃长""(a-b)即 a"-b"=张”|(。-6)(bv长<a)又因为〃/严(a-6)<〃长""(a-b)<na"'l(a-b),故nbn'(a-b)<a"-bn<na(a-b).考点20.求函数的单调增区间或减区间.函数y=雷的单调减区间为.2.1解：yl=—x,<0.x<0.(-O,0).3.函数*x)=—的单调递增区间为1+JC答案：(-O,-2)和(0,+O)解：函数的定义域为(-o,-l)u(-1,+O),又H(x)=W+七=总+?令/l(x)>0.x>0或x<-2.故单调增a+力2(i+*y0+4加区间为(-0,-2)和(0,+O).求曲线y=x3-3x+2单调区间和极值。解：函数的定义域为)-o,+o),yl=3炉-3=3(%+l)(x-1).令yl=0,可得驻点X1=1,x2=-1,列表:X)-0,-1)-1)T，1)1)1,+。)十0-0十y4、0X由此可知：函数在区间>。,-1)和)1,+o)上单调递增，在区间)-1,1)上单调递减;在x=-1处取得极大值4,在％=1处取得极小值0..曲线/(x)=ax'+br+x在x=1取得极大值5,求/(x)的极小值。解：/(x)=3ar+2hx+1,TOC\o"1-5"\h\z. 2=-9函数&=1处取得极大值可得：人1)=5,/(I)=0,即｛.，解得｛. .*+乃+1=0 [»=13'fix)=-9x*+13jt+x,yl(x)=-27U+26x+1=(27x+l)(-x+1).令/l(x)=0,可得驻点M=1,x2= ，列表:X户-2741一271副1)1+0)M-0+0-y4121875由此可知：函数的极小值为/'(-1-)=±1.27 2187考点21.求函数的极值或极值点.下列说法正确的是A.函数的极值点一定是函数的驻点B.函数的驻点一定是函数的极值点C.二阶导数非零的驻点一定是极值点D.以上说法都不对解：根据驻点和极值点关系知，A、B均不正确，C二阶导数非零也有可能二阶不可导，并非一定大于0或小于0,如函数/(x)= ，x=0是驻点，二阶导数也非零，但不是极值点.应选D.112.若函数/(x)在区间(a,b)内连续，在点演,处不可导，x0E(a,b),则( )A,看是大幻的极大值点 B、玉)是汽外的极小值点C、/不是/(x)的极值点 D、玉)可能是/(X)的极值点答案：D解：根据极值点的定义可知：极值点是驻点或者是不可导点，所以不可导的点可能是极值点.D113.若/(X)和g(x)在x=/都取得极小值,A. 必取得极小值 1C. 不可能取得极值 1解：在X。的某去心邻域内有/(X)+g(x)＞也则函数/(X)+g(x)在X=X。处3.必取得极大值D.可能取极大值，也可能取极小值))+g(x())，应选A.

114.已知函数/(x)=，，114.已知函数/(x)=，，讨论其单调性及极值.解：函数7U)的定义域为X。1,且/(X)=含常在定义域内都有意义.令/!(%)=0得驻点工=0,x=3,它们把定义域分成四个区间，列表如下:X)-0.o)0(0,1)(1,3)3)3,+。)H(x)符号+0+0+一X)的刀0刀*274刀所以函数/U)单调减区间为)1,3),单调增区间为)-0,1),)3,+o).27在x=3时取得极小值/*(3)=彳,无极大值.115..设曲线/)=a?+bx2+x在x=1取得极大值5,求/(x)的极小值解：yl(x)=3加+2bx+L函数在1处取得极大值可得：yu)=5,/(i)=o,即｛. ■解得｛.即+乃+1=0 3=13々x)=-9X3+13<+x,yl(x)=-27a2+26x+1=(27x+l)(-x+1).令/l(x)=0,可得驻点再=1,x2=-—,27列表：X22741■27127)1)1,+。)yl-0+0-y、4121875、由此可知：函数的极小值为"一5)=22.考点22.利用函数的单调性证明单体不等式.116.证明：当0<工<4时，cosx<--—+1.2 62证明：构造函数儿¥) +1-cosx,则yl(x)=—-x+sinx,6 2 2yl(x)=x-1+cosx,/ll(x)=1-sinx,因为=1-Sinx>0,所以/(x)在0<X<Z内增函数，所以0<x<E时，fl(x)>yll(O)=0,故/(x)在0<x<三内也是增函数,2 2所以ovx<E时，yl(x)>yl(o)=o,故y(x)在o<x<色内也是增函数,所以0<X<M时，<幻><0)=0,即有cosx<---+1成立.2 6 2117.当x>0时,arctanx+—>—x2证明：构造函数/(x)=arctanx+白-三，它的定义域为(-O,0)U(0,+O),*2.11-1则/|。)= -F 1~~5T-5-<0,1+/ ， (1+AT>所以函数ZU)在(0,+O)内是减函数，而Hm/x)=0,所以当+o>X>0时，/+O)<7U),即凡。>lim/x)=0.X-M«故,为>0时，arctanx+—>—.x2.当x>0时，(1+x)e~lr>1-x证明:领x)=(1+x)e。-(1-x),贝ij/(x)="(1+2x)e'2'+1,/(x)=4xe2x,当x>0时，直/l(x)=4xe2x>0,所以/(x)是增函数，从而直H(x)>,Ao)=0,故/U)也是增函数，即有/U)>10)=0.所以当x>0时，(1+x)/21>1-x成立..证明：当l>x>0时，21n(1+x)+In2(l+x)<2x证明:令«x)=2x-2ln(l+x)-In2(1+x),则/(x)= [x-ln(l+x)],1+x再令g(x)=x-ln(l+x),有gl(x)=1——=—>0,1+x1+x所以g(x)在1>X>0内是增函数，所以g(x)>g(0)=0；故/l(x)=>0,所以/(x)在1>x>0内是增函数，即有/U)>A0)=0,1+彳所以当1>x>0时，2ln(l+x)+ln2(l+x)<2x..证明：当x>0时，(1+x)ln(l+x)>arctanx证明：构造函数/(x)=(1+x)ln(l+x)-arctanx则/(x)=1+ln(l+x)- >0，所以/(x)在[0,+O)内为增函数，而_/(0)=0,故，当x>0时，j(x)>/0)=0,即有(1+x)ln(l+x)>arctanx成立考点23.求曲线的凹凸区间..函数")=V-5V+3x+5的凹区间为.解：H(x)=3<-10x+3.yll(x)=6x-10>0.x> ,+0.求函数y=ln(f+1)的凹凸区间解：函数/(x)的定义域为(-0,+O)，X/I(x)=怖宁，所以力⑶=令H(x)=0,可得x=1或-1.令H(x)>0,有-1<x<1；令H(x)<0,可得X>1或X<-1.因此)-0,-1)和)1,+O)是函数的凸区间，)-1,1)是函数的凹区间.町(x)=(x-3)(x+1),x£(-0,+0),则曲线在区间(3,+O)内()A.单调增加且是凹的 B.单调减少且是凹的C.单调增加且是凸的 D.单调减少且是凸的解：在(3,+O)内/(x)>0恒成立，因此曲线在(3,+O)内单调增加；在(3,+O)内/(x)=2x-2>0,因此曲线是凹函数,选A..函数y=白9-炉的凹区间为 ( )2A.(-0,0) B.(0,+O) C.(~0,+0)D.(-0,1)解：该函数的定义域为(-0,+0),yl=x-e',yl=1- ；令yl>0,可知x<0,即xG(-0,0),选A.考点24.求曲线的拐点坐标.曲线y=%-d的拐点坐标为.答案：(0,-1)解：y\=x-e',yl=1-,令yl=0.x=0,此时y=-1.当x>0时，yl<0；当x<0时，yl>0.故(0,-1)是曲线的拐点..设函数y=大幻在区间3,份内有二阶导数，则点(c,火c))(a<c<h)是曲线y=fix)的拐点的充分条件为 ( )A,71(c)=0 B、/(x)在(a,b)内单调增加C、/(c)=0,川尤)在(a,份内单调增加D、川无)在(a,b)内单调减少答案：C解：根据拐点定义知，在点左右两侧二阶导数异号即为拐点的横坐标，只有c能得到点(c,7(c))是拐点.应选C..曲线y=_?+5尤-2的拐点是

A、x=0B、(0,-2)A、x=0B、(0,-2)C、无拐点D、(0,2)答案：B解：yl=6c,令yl=0,可得x=0,此时y=考点25.函数极值，最值，单调性,凹向性，拐点结合综合题3-128.函数4元)=x--X*的极值点的个数为A.0个 B.1个.1!解：1(尤)=1-x*=—.令J\(x)=0,防在这两点两侧导数都是异号，故都是极值点,-2.经判断可知该点是曲线的拐点.故选B.)C.2个 D.3个可得x=1,x=0是导数不存在的点。显然选C..点(0,1)为曲线y=加*+bf+c的拐点，则有 ( )Aa=\,b=-3,c=1 B.a为任意不等于零的值,b=0,c=1C.a=l,b=0,c为任意值 D.a,b为任意值，c=l解：点(0,1)在曲线上，且在点x=0处的二阶导数为零，.c=l,yl(0)=6ae0+2b=0.因此c= =0.选B.若在区间［-1,1.上有/l(x)=(x-I)2,则曲线J(x)在区间［-1,1.内是( )A.单调减少且是凸函数 B.单调减少且是凹函数C.单调增加且是凹函数 D.单调增加且是凸函数解：/l(x)>0恒成立，所以在区间［-1,1.内是单调增加的/(x)=2(x-1)在区间［-1,1.内是恒小于。的，也就是说在该区间上是凸函数.选D.设函数/(x)满足H(x)=3-/,若/(/)=0,则有( )A.j(x0)是犬外的极大值 B.火与)是火幻的极小值C.(X。，八/))是曲线*x)的拐点D./U。)不是/U)的极值，(/，九”))也不是是曲线/U)的拐点解：/l(x)=3-d./l(x)="e'./I(xo)<0.由极值的第二充分条件可知，为极大值点。选A..设函数y=段)在区间(a,b)内有二阶导数，则点(a<c<份是曲线y=Ax)的拐点的充分条件为A./ll(c)=0 B./ll(x)在(a,b)内单调增加

C./ll(c)=0,/ll(x)在(a,b)内单调增加 D./ll(x)在(a,b)内单调减少解：根据拐点定义知，在点左右两侧二阶导数异号即为拐点的横坐标，只有C能得到点(c,7(c))是拐点.应选C考点26.求函数某种形式的渐近线.函数y=1+ln(l+e')A.仅有水平渐近线 B.仅有垂直渐近线C.既有水平渐近线，又有垂直渐近线 D.既无水平渐近线，又无垂直渐近线[1解[1解:因limy=limTI-+111(1+/)1xIx J=0,所以有水平渐近线y=0；又因Imv=ln(l+又因Imv=ln(l+/)所以有垂直渐近缎=0.应选C.134..曲线y=2r+134..曲线y=2r+1x2+3x-4A.有一条水平渐近线，一条垂直渐近线C.有两条水平渐近线，一条垂直渐近线.()B.有一条水平渐近线，两条垂直渐近线.D.有0条水平渐近线，两条垂直渐近线.2+1解:所以y=0是水平渐近线;Im-= =।ins-解:所以y=0是水平渐近线;Xx2r2.v+1 ..2x+1 —..2x+1 2t+1 _hm =lim =Qhm—; =hm =O,+3x-4l-4(x+4)(x-1)x-ix2+3x-4(x+4)(x-1)所以x=1,x=-4是垂直渐近线,选B..函数y="+ln(l+er)jtA.仅有水平渐近线C.既有水平渐近线，又有垂直渐近线B.仅有垂直渐近线.D.既无水平渐近线，又无垂直渐近线.所以有水平渐近线y=0；又因tov=解：因limv=limTIln(l+e)J।X所以有水平渐近线y=0；又因tov=ln(l+e‘)=O,所以有垂直渐近线x=0.应选C..下列曲线有垂直渐近线的是x2-3x-4B.y=evD.y=ln(l+x2)

解：垂直渐近线就是找函数没有意义的点，只可能是A或者B,而旷=二~——中》=1不x+1是垂直渐近线，只荀5r=。.因此选B.137.曲线137.曲线y=4x-lA.只有垂直渐近线A.只有垂直渐近线C.既有垂直又有水平渐近线B.只有水平渐近线D.既无垂直又无水平渐近线解：1解：1血：4*2=0.y=0是水平渐近线;一(“一1丁lim^X~\=O.x=1是垂直渐近线。选TQ-1)2考点27.一元函数最值的实际应用问题138.某工厂销售某产品需做两种方式的广告宣传，当宣传费分别为x和y(单位：千元)，销售量是x和y的函数_200xIQOy

vz一 十,5+x10+y若销售产品所得的利润是销售量的2减去总的广告费，两种方式的广告费共25(单位:5千元).问应怎样分配两种方式的广告费，能使利润最大？最大利润是多少？解：根据题意可知，利润函数为L(x,y)="-25= -25,(25>%>0,25>y>0)；5 5+X10+J而有约束条件x+y=25,代入得利润函数为I,、 40彳,500-20" 、、八、L(x)= + 25,(25>x>0)；5+Jt45T问题就转化为一元函数的最值问题.令〃 1600315一-=0得唯一驻点=15,且是定义域内唯一可能的极值点，(5+牙(35-*『在该点两侧Ll(x)左正右负，从而x=15是极大值点，即为最大值点.此时y=10,最大利润为卬5,10)=竺巫+码W-25=15.5+1510410故当两种宣传方式的广告费分别为15千元和10千元时，其利润最大，最大利润是15千元.

139.由曲线y=0,x=8,y=x2围成曲边三角形。48,在曲边。8上求一点，过此点作y二£的切线，使该切线与直线段OA、A8所围成的三角形面积为最大.解:如图所示,设切点为。。，垢?)，则％=yl[=Ki=2x0,切线方程为y-x02=2x0(x-x0),即y=2x0x-x02.该切线与x轴的交点为(&,0),与x=8的2交点为(8,围成的三角形面积S=Se(8-4)e(16x0-x02)=±-&x()2+64/(0</S8),2 2 4令51=过-+64=0,解得定义域内唯一可能的极值点%=—,此时SI<0,故4=”是面积的最大值点.此时耳=—.故所求点切点坐标为(空，空)时，所围成的三角形面积最大3 9.某工厂生产两种产品甲和乙，出售单价分别为10元与9元，生产x单位的产品甲与生产y单位的产品乙的总费用是400+2jc+3y+0.01(3^+孙+3y元，求取得最大利润时，两种产品的产量各为多少？解：L(x,y)表示获得的总利润，则总利润等于总收益与总费用之差，即有利润目标函数L(x,y)=(10x+9y)-[400+2x+3y+0.01(3/+xy+3y2)]=Sx+6y-0.01(3jt+xy+3y2)-400,(x>0,y>0)."1=8-0.01(6x+y)=0令｛,； /cc”(、八，解得唯一驻点(120,80).iLlv=6-0.01(x+6y)=0又因A=£|1„=-0.06<0,B=L||=-0.01,C=L|lv=-0.06,得AC-B2=3.5X10-3>o.由定理知：当x=120,y=80时，£(120,80)=320是极大值.而利润函数的定义域是

开区域，即为最大值.故生产120单位产品甲与80单位产品乙时，所得利润最大..某厂生产电视机x台的成本C(x)=500+250x-0.0lx2,销售收益是/?(x)=400x-0.02r,如果生产的所有电视机都能售出，问应生产多少台，才能获得最大利润？解：由题意，利润函数为：L(x)=7?(x)-C(x)=(400-0.02%2)-(500+250x-0.0lx2)=150x-0.0Ijc2-500,而Ll(x)=150-0.02x,令Ll(x)=0,可得驻点x=7500,此时〃l(x)<0,从而x=7500是最大值点.故当生产7500台电视机时，该厂能获得最大利润..将一长为a的铁丝切成两段，并将其中的一段围成正方形，另一段围成圆形，为使正方形和圆形的面积之和最小，问两段铁丝的长各为多少？解：设围成圆形的铁丝的长为x,则围成正方形的铁丝的长为a-X,于是两图形的面积之和为S=(―)2=—+4144r16因为Si=二+生？X(-1),令Sl=0,可得x=」一a,此时有Si>0.因此x=」一a2» 8 4+富 4+r就是最小值点.所以当围成圆形的铁丝长为上一a,围成正方形的铁丝长为一上一a时，两图形的面4+< 4+<积之和最小.考点28.涉及原函数与不定积分的关系，不定积分的性质的题目.143.设不定积分J(143.设不定积分J(- =F(x)+C,则函数F(x)=解：根据已知条件知：F(x)为-3的一个原函数,所以「(X)="1.选C.

144..若函数J(x)满足d/(x)=-sinx*7dx,且/0)=0,则/x)为解：对等式d/U)=-sinxeCO5'dx两边同时求积分得/(x)=*'+C；D.ecosvD.ecosvX/(0)=0,可知C=-e.所以/(x)=ecosx-e,选D..设y(x)的一个原函数是arctanx,则/(x)=解：/(x)=(arctanx)l=—二,所以y|(x)=--",.1+jc2 (i+y*).设")有一个原函数e%,则J/I(x)dx= ( )A.+CB.-2elv+CC.--e2x+CD.e，+C2解：火x)=(e2v)l=-2e2x,所以J/I(x)dx=/)+C=-2r'+。，选B..设函数4x)在区间［a,瓦上连续，则下列正确的是 ( )A.J/(x)cLr是)的一个原函数 B.j'%x)dx是/(x)的一个原函数C・7/COdx是-4工)的一个原函数 D.jX/(x)cLr是2状%2)的全体原函数解：(J)⑶出)=H。2)，故J'y(x)dx是次3)的一个原函数，A,D错误；,bI兀0公是个常数，不星/a)的原函数，故b错误；♦a=-fix),故J八x)dx是-危)的一个原函数，所以C正确，选C..设巩r)为连续函数，则—J：/(x)dx=A加)・A加)・加)B.M)C.-7(a)D.0解：定积分表示一个常数，因此有7⑺力=0.选D.考点29.利用第一第二换元法或者分部积分法求不定积分..若Jf(x)dx=曳三+C,则JM(x)dx=XA.A.竽+C B.l+C解：Jf(x)dx=萼+CJ(x)=C.xlnx-x+CD.-_2E*+CJ4(x)dr=Jxd/(x)=求x)-J")dr=1-lnx_c=1-21nxt，c,选D.J-：dr=-Jl+cosJx¥।解：I ^—dx=-I r-dco&r=-arctancosx+C.JI+cos2^ '1+cm2*JN三dx=.arctanx . 1 2解：J -dr=Jarctanxdarctanx="(arctanx)"+C.J—_-rZv=Je*+lB.2ln(l+ev)-x+CA.B.2ln(l+ev)-x+CC.x-21n(l+d)+C D.ln(er-1)+C解：J；-卜=J上¥12at=J仆Jj—dx=]dx+2j二)=x+21n(l+ex)+C=21n(l+^)-x+C,应选B.也可以对选项的函数求导进行验证.TOC\o"1-5"\h\ziQyl(cos2x)=sin2x,且J(0)=0,则J(x)等于 ( )A.cosx+-cos2xB.cos2x--cos4xC.x+-x2D.x--x2\o"CurrentDocument"2 2 2 2解：/l(cos2x)=sin2x=1-cos2x,即yl(x)=1-x.积分可酬(x)=x-+C,又2y(o)=o,可知c=o.选d.已知函数y=3f的一条积分曲线过(1,1)点，则其积分曲线方程为( )A.y=x3B.y=x3+1C.y=x3+2D.y=x3+C解：y—J3Tdx—x+C,把点(1,1)代入得C=0,应选A.Jxj\\(x)dx= ( )A.x/l(x)-Jfix)dx B.a/I(x)-/l(x)+CC.x/l(x)-y(x)+C D.火龙)-x/l(x)+C解：JVRx)公=Jx劭(x)=x/l(x)-J/I(x)dr=x/l(x)-/(x)+C.应选C.考点30.综合运用三种方法求不定积分(计算题).求不定积分Jxln(l+x2)dx.解：Jxln(l+V)dx=gjln(l+)C)6jC-Xrln(I+x2)-J

=rln(l+r)-J__p-dx="rln(l+r)-J="ATln(l+x2)—；r+-ln(l+；r)+C2 2 2Jn2J.求定积分J 7/-Idx..In2J ).1 21I=)2r-2arctan/)：=2-/•解：J,Je*=)2r-2arctan/)：=2-/•158,求J也埒』.COS^JC解：J‘3+^3P4r=J73+2taxesec2xdx=J，3+2tan；dtanxCOSX=；J-V3+2tan^d(3+2tanx)=^J(3+2tan^y+C&力Iarctaiix. ■&力Iarctaiix. ■ .解：J -dr=Jarctanxd--1=--arctanx+I ?="dxI“XJqiS)=--arctanx+J―】言卜--arctanx+ILlx-I-L7d(id)X JJLT1+J2117=--arctanx+Inx-—ln(1+jt)+C.TOC\o"1-5"\h\z.求定积分J£ 交 dx.解：广就日河果1舒=Hlsinr=-4-3=五乂\o"CurrentDocument"-Asmi smjr 1一 4考点31.定积分的概念,性质和几何意义等基本题目161.设/!(%)在［1,2•上可积，且加)=1,/2)=1,J7(x)dr=-1,则j'xf\(x)dx=

()TOC\o"1-5"\h\zA.2 B.1 C.0 D.-l解：JRI(x)dx=J।xdf(x)=xf(x)；-J'f(x)dx=52)-y(l)-J^f(x)dx=2-1-(-1)=2.A.J4 = ()J,1+jc2解：被积函数叫与cos犬是奇函数，积分区间是1VA.n B.-71解：被积函数叫与cos犬是奇函数，积分区间是1V,关于原点对称的区间，所以22J乙a：co&?dr=0.选C.163,设”)为连续函数，则，：/(x)dx= ( )A.册)-/(a) B.火b) C.-/(a) D.0解：定积分表示一个常数，因此有eJ⑺力=0.选D.dx".若函数Ax)满足4/U)=-Sinx/S'dr,M/(0)=0,则火x)为 ( )A.ermx-1B.esinx C.e'inx-eD.efXKX-e解：对等式WU)=-sinxe'g'dr两边同时求积分得犬尤)=+C；又40)=0,可知C=-e.所以/㈤=一°"-e,选D..J1-xdr= ( )A.1 B.2 C.0 D.4解：J；l-xdx=J：(l-x)dx+J：(x-l)dr=(x-gjr2)+之幺-x)=1,选A...]”画“・cosxdx= ( )A.it B.2兀 C.-n D.0解：被积函数署:cosx是奇函数，故在对称区间[-兀，兀.上积分为0,选D.考点32.涉及变上限函数的题目.设F(x)==「J ,其中7(x)为连续函数，则limE(x)=( )x-a° 、*

A.a2 B.cffia) C.0 D.不存在解：lim/*{%))11lim— 111im(2x J(f)dt+jcj(x)))\\JCj(a)TOC\o"1-5"\h\zX个3 X个4-Q a X个7 (I选B.. 1Jv213a|dxJ11C.3D.0A.2C.3D.004-Ii川3选C.0解： [Jf13x|dx川 ]JY13x|dx+ (|，I04-Ii川3选C.0Jl| i(yi3x)ck+ 俨df)dxJl|169.设函数/(x)川 sinfdt,g(x)川一+—,则当x个。时，是g(x)的\o"CurrentDocument"5 6A.低阶无穷小B.高阶无穷小 C.等价无穷小 D.同阶非等价无穷小llcwX、解：血)11lim-。，&：\||加岬-皿”根疝I掰g(l) xx小x4+.rTOC\o"1-5"\h\z5 6\ £y5川1汕地发幻广川hm♦，川1加一^川0,应选B.

rtOx+X小X+JF4(1+X).ct(x)JI| x1eldt,则合SB。)川 ( )A.3x2 edtB.xV C.3x2 edt+erx3D.不存在o o解：合x)Jll—()Ped川F—Zd/,所以台邮⑴川3f—Zd/+Jd,选C..若函数一：/«)山川cos2x,则7U)川.解：两边求导得道2x)川12sin2x,即有大幻川Isinx.已知函数/⑴在[0句上连续，设尸㈤川——\f(t)dt,xu[a,b]9试证：用阻)川危).a证明：根据导数的定义可知：函)川lim地电处川lim-＞始一＞h40 卜 力布)

-jr -x+h ax -x+hJ川)由+JJ J.AOdr=lim-a u =lim-4— ；h h3h根据积分中值定理，可知存在点长£卜,x+/1)，使得J：'梃)di=/(长油.又因_/u）为连续函数，所以!呼长）=晚"长）=火幻.故Fl（x）=1加上- =1油五长涉=lim/（长）=y（x）〃Xh h3hh3考点33.简单函数求定积分.J；J2x-，dx=.

解:J：j2x-V公=」/一（1-a公==-jJcos'd/=J0s巳〃■ 2考点34.综合利用积分方法求定积分（计算题）7T27T2|-isin2rjJJ刍)x+sin2a)cof^xdx=.2n 、 k ।n解：JW)x+sin2x)cos2Azix=J2fsin2xco^xdx=-J2tsin22xdx■*2 5 4下175.解:176.—x--sin175.解:176.—x--sin4xal4IM设J(J⑺力=：£，贝UJ()A)公=.)两边求导符/(x)=2x3,所以f(Jx)=2x’414— |41— .4故］—=ftjx)dx=I—=x^dx=Ixdx=8.人G 人G人设/W有一原函数为J，则J"£)dx=.解：/(幻=(/)1=2x/,所以j"d)公=2J，e'%=qJ?dx-三178.求定积分J"JZ-ldx.2?,+2-2J ；~~2?,+2-2J ；~~d/1+P解：J。J--1dx== =J"ZeT+?dz=Jd/=)2r-2arctanr)'=2-*179.求定积分179.求定积分J白——充——dx.解:।石1 .»・%!sec2t解:'Vjl+J--：tan2tsec/s -也」5~<lsinr=-」—=^--一.smtsmx"34180.hlI _0 。 .1 “解:f(x-l)dx=J1/r)d/=Jt(l+j^)dx+j解:(x+jx(x+jx3)j_37_J024e181.设181.设/(x)=2,求J7(x)dxx 1X-- <XS71,22解：根据题意知:Jj/(x)dx=J?sinxdx+J1(x-泉dx=-cosx?+ =cosl+1„fl+Jt,0«x<24.5182.iW)={' /求JJ(x-2)dxI一1,2<744解：令x-2=f,则x=，+2,dr=龙，当x=3时，t=1；当x=5时，t=3.5 .3- .2 .3, j,, 1,all*Jj(x-2)dx-Jf(t)dt= (1+x)dt+J(x--l)dr=(x+—x~)[+(—x3-x)2=—

考点35.积分等式证明JT183.证明j；sin"gj：cos"3.-J：cos"以-J：cos"以=J*cos/7Jr证明：J"sin"M¥==J.sin' 2=J2cosMx6(r.Jo1 2.证明J。xf(x)dx.证明：因为J：力(犬)公=x2J(jC)dx2==i-JJ,q । J所以J()4(犬)公="Juxf(x)dx..设/(x),g(x)在［-a,a］上连续，g(x)为偶函数，J(-x)+J(x)=2,证明:J：/(x)g(x曲=2J；g(x)dx.证明：因为J-f(x)g(x)dx=Jf(x)g(x)dx+J7(x)g(x)dr.而Jfix)g(x)dr=J°/H)g(-r)d(-f)=J%-t)g(/)d/=J'(2-/(0)g⑺由=2j：g(r)dt-jjf(r)g⑺dr=2J：g(x)dx-J，(x)g(x)dx故Jf(x)g(x)dx=21"g(x)dx-Jy(x)g(x)dr+J"/(x)g(x)dLr=2j"g(x)dx考点36.判断广义积分收敛或发散..下列广义积分收敛的是 ( )AJ -rdx B.J—drC.J—<lv D.Jexdx解：根据J：3-p>1时收敛，可知A收敛，其他都是发散的。选A..下列广义积分中收敛的是 ( ：D.Jelxdx,+0 ।2 ］ D.JelxdxA.I3cosxdxB.I-； dxC.IJxdxJ7x-l解：J-rJat=2J口；=2，故收敛，其他全都发散,选B..Jx-l.下列广义积分中发散的是•dxA.J**—1—.dxB.jT公C.J-T——•dx「1+z2「x >

解:广^<1%=Jidx+J°-^dxp积分且当解:广^<1%=Jidx+J°-^dxp积分且当p=l时，显然是发散的,选B.।+odx189.J——=解：J*dt——考点37.直角坐标系下已知平面图形，求面积及这个平面图形绕坐标轴旋转一周得到的旋转体的体积.设两抛物线y=2X2、y=3-%2及x轴所围成的平面图形为。;求:(1)平面图形。的面积;(2)平面图形。绕y轴旋转一周所得几何体的体积.解：平面图形。如图所示：看成解：平面图形。如图所示：看成Y型图形。(1)根据对称性，平面图形。的面积为.设由曲线丁=x,y=-,x=2,y=0所围成的平面图形为。.求：*(1)这个平面图形。的面积；TOC\o"1-5"\h\z(2)这个图形。绕x轴旋转一周所得几何体的体积. >解：如图所示：取X为积分变量，fixe[0,l]u[l,2],(1)平面图形。的面积为J .21S=Ixdx+I—dr“° 〃x=—x2+In/=—+In2.\o"CurrentDocument"2 1 2(2)平面图形D绕x轴旋转一周的体积为

匕=必改+兀J：g)兀——»191.设。是由曲线y=G与它在(1,1)处的法线及x轴所围成的区域,(1)求。的面积；(2)求此区域绕y匕=必改+兀J：g)兀——»191.设。是由曲线y=G与它在(1,1)处的法线及x轴所围成的区域,(1)求。的面积；(2)求此区域绕y轴旋转一周所成的旋转体体积.解：平面图形，如图所示:在点(1,1)处切线斜率为_1——,2从而法线2法=-2,法线方程为y=-2x+3.取y为积分变量，且y£[O,l]3-y2(1)。的面积为(2)此区域绕y轴旋转一周所成的旋转体体积为11123dy=jf"+E-y' 2 4.*号1i83=it0 60(1)求平面图形D的面积；(2)求该平面图形绕y轴旋转一周所成旋转体的体积.解：如图所示：把积分区域看成是X型图形，且x£[0,ln2],(1)平面图形。的面积为Jn2 - 1s=J(1(―=©+e")：2=今(2)该图形绕y轴旋转所得的体积为.In2Vy=2nJx(e-e1)dx=27t[(xer-ex)q2+(xex+