量子力学第二章课件

第二章波函数和薛定谔方程

微观粒子的基本属性不能用经典语言确切描述。量子力学用波函数描述微观粒子的运动状态，波函数所遵从的方程——薛定谔方程是量子力学的基本方程。第二章波函数和薛定谔方程1这一章开始介绍量子力学的基本理论与方法。主要介绍：1.二个基本假设：A.微观粒子行为由波函数描述,波函数具有统计意义。B.描述微观粒子行为的波函数由薛定谔方程解出。2.用定态薛定谔方程求解三个简单问题：A.一维无限深势阱B.

一维谐振子C.势垒贯穿（隧道效应）这一章开始介绍量子力学的基本理论与方法。21.波函数：概率波的数学表达形式，描述微观客体的运动状态一般表示为复指数函数形式§2.1

波函数及其统计解释1.波函数：概率波的数学表达形式，一般表示为3例：

一维自由粒子的波函数经典描述：

沿x轴匀速直线运动量子描述：类比：单色平面波一定沿直线传播以坐标原点为参考点，设＝0，以速率u沿+x方向传播（取实部）例：一维自由粒子的波函数经典描述：沿x轴匀速43个问题？

描写自由粒子的平面波如果粒子处于随时间和位置变化的力场中运动，他的动量和能量不再是常量（或不同时为常量）粒子的状态就不能用平面波描写，而必须用较复杂的波描写，一般记为：描写粒子状态的波函数，它通常是一个复函数。称为deBroglie波。此式称为自由粒子的波函数。(1)是怎样描述粒子的状态呢？(2)如何体现波粒二象性的？(3)描写的是什么样的波呢？3个问题？描写自由粒子的平面波如果粒子5三维自由粒子波函数2.波函数的强度——模的平方波函数与其共轭复数的积例：一维自由粒子：3.波函数的统计解释光栅衍射电子衍射类比三维自由粒子波函数2.波函数的强度——模的平方波函数与其6I大处到达光子数多I小处到达光子数少I=0无光子到达各光子起点、终点、路径均不确定用I对屏上光子数分布作概率性描述各电子起点、终点、路径均不确定对屏上电子数分布作概率性描述电子到达该处概率大电子到达该处概率为零电子到达该处概率小光栅衍射电子衍射I大处到达光子数多I小处到达光子数少I=7电子源感光屏（1）两种错误的看法①.波由粒子组成如水波，声波，由分子密度疏密变化而形成的一种分布。这种看法是与实验矛盾的，它不能解释长时间单个电子衍射实验。

电子一个一个的通过小孔，但只要时间足够长，底片上增加呈现出衍射花纹。这说明电子的波动性并不是许多电子在空间聚集在一起时才有的现象，单个电子就具有波动性。

波由粒子组成的看法夸大了粒子性的一面，而抹杀了粒子的波动性的一面，具有片面性。PPOQQO 事实上，正是由于单个电子具有波动性，才能理解氢原子（只含一个电子！）中电子运动的稳定性以及能量量子化这样一些量子现象。电子源感光屏（1）两种错误的看法①.波由粒子组成如水波，声8②.粒子由波组成电子是波包。把电子波看成是电子的某种实际结构，是三维空间中连续分布的某种物质波包。因此呈现出干涉和衍射等波动现象。波包的大小即电子的大小，波包的群速度即电子的运动速度。

什么是波包？波包是各种波数（长）平面波的迭加。 平面波描写自由粒子，其特点是充满整个空间，这是因为平面波振幅与位置无关。如果粒子由波组成，那么自由粒子将充满整个空间，这是没有意义的，与实验事实相矛盾。实验上观测到的电子，总是处于一个小区域内。例如在一个原子内，其广延不会超过原子大小≈1Å。电子究竟是什么东西呢？是粒子？还是波？ “电子既不是粒子也不是波

”，既不是经典的粒子也不是经典的波， 但是我们也可以说，“

电子既是粒子也是波，它是粒子和波动二重性矛盾的统一。”

这个波不再是经典概念的波，粒子也不是经典概念中的粒子。②.粒子由波组成电子是波包。把电子波看成是电子的某种实际结9经典概念中1.有一定质量、电荷等“颗粒性”的属性;粒子意味着

2．有确定的运动轨道，每一时刻有一定 位置和速度。经典概念中1.实在的物理量的空间分布作周期性的变化;波意味着2．干涉、衍射现象，即相干叠加性。1.入射电子流强度小，开始显示电子的微粒性，长时间亦显示衍射图样;电子源感光屏QQOPP我们再看一下电子的衍射实验2.

入射电子流强度大，很快显示衍射图样.经典概念中1.有一定质量、电荷等“颗粒性”的属性;10结论：衍射实验所揭示的电子的波动性是：许多电子在同一个实验中的统计结果，或者是一个电子在许多次相同实验中的统计结果。

波函数正是为了描述粒子的这种行为而引进的，在此基础上，Born提出了波函数意义的统计解释。r点附近衍射花样的强度 正比于该点附近感光点的数目， 正比于该点附近出现的电子数目， 正比于电子出现在r

点附近的几 率。在电子衍射实验中，照相底片上

结论：衍射实验所揭示的电子的波动性是：许多电子在同一个实验中11一般：t时刻,到达空间r(x,y,z)处某体积dV内的粒子数

t时刻，出现在空间（x,y,z）点附近单位体积内的粒子数与总粒子数之比

t时刻，粒子出现在空间（x,y,z）点附近单位体积内的概率t时刻，粒子在空间分布的概率密度

的物理意义：一般：t时刻,到达空间r(x,y,z)处某体积dV内的粒12物质波的波函数不描述介质中运动状态（相位）传播的过程概率密度，粒子在空间分布的统计规律概率幅注意：干涉项物质波的波函数不描述介质中运动状态（相位）传播的过程概率134、波函数的归一化条件和标准条件粒子在整个空间出现的概率为1

归一化条件对微观客体的数学描述：脱离日常生活经验，避免借用经典语言引起的表观矛盾标准条件是单值、有限、连续的。4、波函数的归一化条件和标准条件粒子在整个空间出现的概率为14平面波归一化IDirac—函数定义：或等价的表示为：对在x=x0邻域连续的任何函数f（x）有：—函数亦可写成Fourier积分形式：令k=px/,dk=dpx/,则性质：0x0x平面波归一化IDirac—函数定义：或等价15II平面波归一化写成分量形式t=0时的平面波考虑一维积分若取A122=1，则A1=[2]-1/2,于是平面波可归一化为函数II平面波归一化写成分量形式t=0时的平面波考虑一维16三维情况：其中注意：这样归一化后的平面波其模的平方仍不表示几率密度，依然只是表示平面波所描写的状态在空间各点找到粒子的几率相同。三维情况：其中注意：这样归一化后的平面波其模的平方仍不表示几17§2.2

态的迭加原理

态迭加原理是量子力学中一个很重要的原理，这一节先作一些初步介绍，随着学习量子力学内容的不断深入，会不断加深对态迭加原理的理解。§2.2态的迭加原理18一、量子态和波函数用波函数Ψ（r,t）来描述微观粒子的量子态。当Ψ（r,t）给定后，如果测量其位置，粒子出现在点的几率密度为||2。波函数的统计解释也是波粒二象性的一种体现。经典波：遵从迭加原理，两个可能的波动过程迭加后也是一个可能的波动过程。如：惠更斯原理。描述微观粒子的波是几率波，是否可迭加？意义是否与经典相同？一、量子态和波函数191、经典物理中，光波或声波遵守态迭加原理：二列经典波φ1与φ2线性相加，φ=aφ1+bφ2,相加后的φ也是一列波，波的干涉、衍射就是用波的迭加原理加以说明的。

量子力学的二个态的迭加原理（P17顺2行）：如果Ψ1与Ψ2是体系的可能状态，那么它们的线性迭加态Ψ=c1Ψ1+c2Ψ2，（c1、c2是复数）也是这个体系的一个可能状态。二、量子力学的态的迭加原理1、经典物理中，光波或声波遵守态迭加原理：二列经典波φ1与φ20考虑电子双缝衍射

Ψ=C1Ψ1+C2Ψ2

也是电子的可能状态。空间找到电子的几率则是：|Ψ|2=|C1Ψ1+C2Ψ2|2

=(C1*Ψ1*+C2*Ψ2*)(C1Ψ1+C2Ψ2)=|C1Ψ1|2+|C2Ψ2|2+[C1*C2Ψ1*Ψ2+C1C2*Ψ1Ψ2*]PΨ1Ψ2ΨS1S2电子源感光屏电子穿过狭缝１出现在Ｐ点的几率密度电子穿过狭缝２出现在Ｐ点的几率密度相干项正是由于相干项的出现，才产生了衍射花纹。一个电子有Ψ1和Ψ2两种可能的状态，Ψ是这两种状态的叠加。考虑电子双缝衍射Ψ=C1Ψ1+C2Ψ2也是电子的212、双缝衍射实验中，衍射图样的产生证实了干涉项的存在。推广到任意多态的一般态迭加原理：3、态的迭加原理如果Ψ1、Ψ2、Ψ3…是体系可能的状态，则它们的线性迭加态Ψ=c1Ψ1+c2Ψ2+c3Ψ3…=∑ciΨi也是体系的一个可能状态。当体系处在迭加态Ψ时，体系部分处在Ψ1态、也部分处在Ψ2态，…等，即各有一定几率处在迭加之前的各个态Ψi。

2、双缝衍射实验中，衍射图样的产生证实了干涉项的存在。22

4、说明：（1）量子力学使用最多的是把可以实现的态分解为某一个算符本征态的迭加。（2）如同经典波的分解和迭加，量子力学的态的迭加也是波函数的迭加。而不是几率（||2）的迭加。4、说明：23

数学表示式：

其中，是动量一定的平面波。这在数学上是成立的，这正好是非周期函数的傅里叶展开。三、一个结论：任何一个波函数都可以看作是各种不同动量的平面波的迭加。三、一个结论：任何一个波函数都可以看作是各种不同动量的平24例：电子在晶体表面反射后，电子可能以各种不同的动量p运动。具有确定动量的运动状态用deBroglie平面波表示根据叠加原理，在晶体表面反射后，电子的状态Ψ可表示成p取各种可能值的平面波的线性叠加，即而衍射图样正是这些平面波叠加干涉的结果。dΨΨp例：电子在晶体表面反射后，电子可能以各种不同的动量p运动25通常写成傅里叶变换的对称形式：一维情况：通常写成傅里叶变换的对称形式：一维情况：26说明：1、在态Ψ（r,t）的粒子，它的动量没有确定的值，由上式可知：粒子可处于任何一个态Ψp（r,t），但是当粒子的状态确定后，粒子动量集于某一确定值的几率是一定的。2、由于量子力学的态的迭加原理是几率波的迭加，所以φ1+φ1=2φ1不是新的态，只不过未归一化。在态φ=c1φ1+c2φ2进行测量时，发现粒子要么处在φ1，要么处在φ2。薛定谔猫说明：薛定谔猫27§2.3薛定谔方程薛定谔方程是波函数所遵从的基本方程，是量子力学的基本假设之一，只能建立，不能推导，其正确性由实验检验。建立（简单→复杂，特殊→一般）1.一维粒子的薛定谔方程一维自由粒子：§2.3薛定谔方程薛定谔方程是波函数28一维自由粒子：一维自由粒子的薛定谔方程：一维自由粒子：一维自由粒子的薛定谔方程：29式中：振幅函数与驻波类比2.一维定态薛定谔方程能量E和动量Px与作用在波函数上的下列算符相当若粒子处在一维势场中：一维粒子的薛定谔方程：式中：振幅函数与驻波类比2.一维定态薛定谔方程30要求波函数Ψ(x,t)的模方，只需求振幅函数Ψ(x）的模方。建立关于振幅函数Ψ(x）的方程——振幅方程*要求波函数Ψ(x,t)的模方，只需求振幅函数Ψ(x）的模方。31非相对论考虑自由粒子：势函数*代入得即一维自由粒子的定态方程非相对论考虑自由粒子：势函数*代入得即一维自由粒32*代入粒子在力场中运动，且势能不随时间变化即一维定态薛定谔方程得*代入粒子在力场中运动，且势能不随时间变化即一维333.三维定态薛定谔方程拉普拉斯算符即三维定态薛定谔方程振幅函数3.三维定态薛定谔方程拉普拉斯算符即三维定态薛定344.

一般形式薛定谔方程哈密顿算符4.一般形式薛定谔方程哈密顿算符35求定态问题：一维：三维：求定态问题：一维：三维：365.多粒子体系的薛定谔方程体系由N个粒子组成（N>1）体系能量为：将能量公式变为算符公式:

将算符公式同时作用在多粒子波函数Ψ(r1,r2,…,t)上，这样就得到多粒子的薛定谔方程:

5.多粒子体系的薛定谔方程体系由N个粒子组成（N>1）将能37讨论：1、薛定谔方程也称波动方程，描述在势场U中粒子状态随时间的变化规律。2、建立方程而不是推导方程，正确性由实验验证。薛定谔方程实质上是一种基本假设，不能从其它更基本原理或方程推导出来，它的正确性由它解出的结果是否符合实验来检验。3、薛定谔方程是线性方程。是微观粒子的基本方程，相当于牛顿方程。4、自由粒子波函数必须是复数形式，否则不满足自由粒子薛定谔方程。5、薛定谔方程是非相对论的方程。讨论：38求解问题的思路：1.写出具体问题中势函数U(r)的形式代入方程2.用分离变量法求解3.用归一化条件和标准条件确定积分常数只有E取某些特定值时才有解本征值本征函数4.讨论解的物理意义，即求|

|2，得出粒子在空间的概率分布。求解问题的思路：1.写出具体问题中势函数U(r)的形式代39薛定谔的另一伟大科学贡献《Whatislife？》薛定谔的另一伟大科学贡献《Whatislif40薛定谔(Schroding,1897-1961)奥地利人,因发现原子理论的有效的新形式一波动力学与狄拉克(Dirac,1902-1984)因创立相对论性的波动方程一狄拉克方程,共同分享了1933年度诺贝尔物理学奖薛定谔(Schroding,1897-1961)奥地利人,因41§2.4粒子流密度和粒子数守恒定律

（或几率流密度和几率守恒定律）

本节要引入几率流密度概念，有了它就可以把几率与电流联系起来。由薛定谔方程出发，讨论粒子在一定空间区域内出现的几率将怎样随时间变化。所以可以看作对薛定谔方程的讨论。§2.4粒子流密度和粒子数守恒定律

（或几率流42设Ψ已归一化，q为单粒子的电荷，则|Ψ|2=几率密度(w)；|Ψ|2dV=dV的几率；|Ψ|2q=电荷密度(ρ)；|Ψ|2qdV=dV的电荷。

几率流密度（J）含义=单位时间垂直流过单位面积几率。J公式=？先介绍几率的连续方程。设Ψ已归一化，q为单粒子的电荷，则几率流密度（J）含43

若从数学上能推出如下公式：通过类比，就可定义为几率流密度J，这个方程也就是几率的连续方程。

一、几率的连续方程与几率流密度类比：已知电荷有连续方程：其中，ρ电荷密度,电流密度。

若从数学上能推出如下公式：

一、几率的连续方程与几率流44薛定谔方程为:

(1)对上述方程取复共轭得(2)在非相对论情况下，实物粒子没有产生和湮灭，所以，在随时间的演化过程中，粒子数目保持不便。对一个粒子来说，在全空间中找到粒子的概率之总和应不随时间变化,即:

下面推导这个公式：薛定谔方程为:在非相对论情况下，实物粒子没有产生和45定义：几率流密度

得几率的连续方程：定义：几率流密度46二、几率守恒定律对几率的连续方程：

两边对一个封闭的体积V积分，并利用高斯公式，得：表示：左=体积V内单位时间几率的增加量=右=单位时间从体积外流向体积内的几率量，这就是几率守恒定律。有连续方程一定有守恒定律，两者是等价的。几率守恒定律表明几率不会凭空产生，也不会凭空消失。二、几率守恒定律47三、质量、电荷守恒定律1．wm=mw：质量密度，Jm=mJ：质量流密度。质量守恒定律

2．we=qw：电荷密度，Je=qJ：电流密度。电荷守恒定律三、质量、电荷守恒定律48四、波函数标准条件：连续，单值，有限。单值与有限，由波函数的统计含义所定。连续，由几率的连续方程所确定。

另外，一般情况下，还要求波函数一阶导数也连续。说明：

几率守恒具有定域性质。当粒子在某地的概率减小了，必然在另外一些地方的概率增加了，使总概率不变，并且伴随着有什么东西在流动来实现这种变化。连续性就意味着某种流的存在。四、波函数标准条件：连续，单值，有限。49一．定态薛定谔方程条件：V（r,t）=V(r)，与t无关。用分离变量法,令Ψ=φ(r)f(t)，代入薛定谔方程，得两个方程：此称定态薛定谔方程

§2.5定态薛定谔方程一．定态薛定谔方程§2.5定态薛定谔方程50整个定态波函数形式：特点：波函数由空间部分函数与时间部分函数相乘；B．时间部分函数是确定的，为：定态波函数几率密度w与t无关，几率分布不随时间而变，因此称为定态。重点要掌握如何用定态薛定谔方程求解问题。整个定态波函数形式：51算符本征方程：λ：本征值，有多个，甚至无穷多个。Ψλ：本征值为λ的本征函数。也有多个，甚至无穷多个，有时一个本征值对应多个不同的本征函数，这称为简并。若一个本征值对应的不同本征函数数目为N，则称N重简并。二、本征方程、本征函数与本征值算符本征方程：二、本征方程、本征函数与本征值52上述用分离变量得到两个方程都是本征方程：

（1）或

（2）或称为定态哈密顿算符。上述用分离变量得到两个方程53

定态薛定谔方程就是的本征方程。

薛定谔方程就可简写成：定态薛定谔方程就是的本征方程。54

设定态薛定谔方程的本征值为En,本征函数为，定态波函数为它是定态情况下的薛定谔方程：的一个解。三、定态情况下的薛定谔方程一般解

定态情况下的薛定谔方程的一般解，是所有定态波函数Ψn的线性迭加：设定态薛定谔方程的本征值为En,本征函数三、定态情55说明：1、定态薛定谔方程或不含时的薛定谔方程是能量本征方程，E就称为体系的能量本征值（energyeigenvalue），而相应的解称为能量的本征函数（energyeigenfunction）。2、是体系的哈密顿量算符，当不显含t时，体系的能量是守恒量，可用分离变量。3、解定态薛定谔方程，关键是写出哈密顿量算符。说明：56求解问题的思路：1.写出具体问题中势函数U(r)

的形式代入方程2.用分离变量法求解3.用归一化条件和标准条件确定积分常数只有E

取某些特定值时才有解4.讨论解的物理意义求解问题的思路：57作业周世勋：《量子力学教程》2.1、2.2作业周世勋：《量子力学教程》58一维定态薛定谔方程求定态问题：一维：归一化条件，波函数的标准条件，边界条件。

U(x)*=U(x)，即U(x)为实函数。§2.6一维势场中的粒子能量的

一般性质一维定态薛定谔方程求定态问题：一维：归一化条件，波函数的标59定理1：设是方程（1）的一个解，对应的能量本征值是E，则也是方程的一个解，对应的能量也是E。证：方程（1）取复共轭，注意E取实值，，容易证明。如果对应于能量的某个本征值E，方程（1）的解无简并，则可取为实解。一维问题的一般性质定理1：设是方程（1）的一个解，对应的能量本征60

定理2：对应能量的某个本征值E，总可以找到方程（1）的一组实解，凡是属于E的任何解，总可以表示为这一组实解的线性叠加。证：如果(x)是实解，(x)*是复解，(x)*也是方程（1）的解，且：(x)=(x)+(x)*和(x)=－i[(x)－(x)*]也是方程（1）的解，属于能量E。均为实解。

(x)和(x)均可以表示为(x)和(x)*的线形叠加。定理2：对应能量的某个本征值E，总可以找到方程（61

定理3：设U（x）具有空间反射不变性，U（-x）=U（x）。如果(x)是方程（1）的对应能量的本征值E的解，则(－x)也是方程（1）对应能量E的解。证（略）量子力学第二章课件62

定理4：设U（-x）=U（x），则对应任何一个能量本征值E，总可以找到方程（1）的一组解，而属于能量本征值E的任何解，都可以用它来展开。证：

构造两个函数(x)=(x)+(－x)

和

(x)=[(x)－(－x)]均为方程（1）的解。(x)和(－x)均可以表示为上述两个函数的叠加。定理4：设U（-x）=U（x），则对应任何一个63

定理5：对于阶梯性方位势，

U2－U1有限，则能量本征函数及其导数必定是连续的。定理5：对于阶梯性方位势，64定理6：对于一维粒子，设1与2均为方程（1）的属于同一能量的E的解，则：定理6：对于一维粒子，设1与2均65

定理7：设粒子在规则势场中运动，如存在束缚态，则必定是不简并的。束缚态（boundstate）指粒子局限在有限空间中。

66一、一维势阱实例如：金属中的自由电子。金属粒子有规则的排列成行，1）电子在金属内部势能为常数，认定为零；2）表面有一个势阶。总之，此时电子势能可以近似认为是一个方势阱形式。

§2.6一维(无限深)势阱一、一维势阱实例§2.6一维(无限深)势阱67二、微分方程

的三种解形式。

这是二阶常系数微分方程，有三种等价的解：

a.b.c.依方便,随取一种形式的解.二、微分方程68

三、一维无限深势阱求解1、一维无限深势阱

一个粒子处在这样势阱内,其质量为μ.具体例子:金属中电子可以看成处在有限深势阱内.-a0aV(x)IIIIII

三、一维无限深势阱求解-a0692、一维无限深势阱的薛定谔方程与求解.这是定态问题,只需解出定态波函数φn与定态能量En即可.定态薛定谔方程:2、一维无限深势阱的薛定谔方程与求解.703.一维无限深势阱问题求解求解S—方程分四步：（1）列出各势域的一维S—方程（2）解方程（3）使用波函数标准条件定解（4）定归一化系数-a0aV(x)IIIIII3.一维无限深势阱问题求解求解S—方程分四步：-a71（1）列出各势域的S—方程方程可简化为：-a0aV(x)IIIIII势V(x)分为三个区域，用I、II和III表示，其上的波函数分别为I(x),

II(x)和

III(x)。则方程为：22（1）列出各势域的S—方程方程可-a72（3）使用波函数标准条件从物理考虑，粒子不能透过无穷高的势壁。根据波函数的统计解释，要求在阱壁上和阱壁外波函数为零，特别是

(-a)=(a)=0。-a0aV(x)IIIIII1.单值，成立；2.有限：当x

-∞，ψ有限条件要求C2=0。（3）使用波函数标准条件从物理考虑，粒子不能透过无穷高的势-73使用标准条件3。连续：2）波函数导数连续：在边界x=-a，势有无穷跳跃，波函数微商不连续。这是因为：若I(-a)=II(-a)，则有，0=Aαcos(-αa)-Bαsin(-αa)

Acos(αa)+Bsin(αa)=0与上面波函数连续条件导出的结果-Asin(αa)+Bcos(αa)=0矛盾，二者不能同时成立。所以波函数导数在有无穷跳跃处不连续。1）波函数连续：-a0aV(x)IIIIII使用标准条件3。连续：2）波函数导数连续：1）波函数连74(1)+(2)(2)-(1)A、B不能同时为零，分两种情况：由（4）式(1)+(2)(2)-(1)A、B不能同时为零，分两种情况：75讨论状态不存在描写同一状态所以m只取正整数，即于是：或讨论状态不存在描写同一状态所以m只取正整数，即于是：或76于是波函数：由（3）式类似I中关于m=k的讨论可知：于是波由（3）式类似I中关于m=k的讨论可知77综合I、II结果，最后得：对应n=2m对应n=2m+1能量最低的态(n=1)称为基态，其上为第一激发态、第二激发态依次类推。综合I、II结果，最后得：对应n=2m对应78

由此可见，对于一维无限深方势阱，粒子束缚于有限空间范围，在无限远处，=0。这样的状态，称为束缚态。一维有限运动能量本征值是分立能级，组成分立谱。（4）由归一化条件定系数A、B得：（取实数） 由此可见，对于一维无限深方势阱，粒子束缚于有限空间范围，在79[小结]由无穷深方势阱问题的求解可以看 出，解S—方程的一般步骤如下：一、列出各势域上的S—方程；二、求解S—方程；三、利用波函数的标准条件（单值、有限、连续）定未知数和能量本征值；四、由归一化条件定出最后一个待定系数（归一化系数）。[小结]由无穷深方势阱问题的求解可以看 出，解S—方程804.讨论一维无限深势阱中粒子的状态（2）n=0,E=0,=0，态不存在，无意义。而n=±k,k=1,2,...可见，n取负整数与正整数描写同一状态。（1）n=1,基态，与经典最低能量为零不同，这是微观粒子波动性的表现，因为“静止的波”是没有意义的。4.讨论一维无限深（2）n=0,E=0,81（3）n*(x)=n(x) 即波函数是实函数。（4）定态波函数（3）n*(x)=n(x) 即波函数是实函数。（82能量本征值

n=1,2,3,…（5）波函数与几率分布图(P28图2.2,图2.3)-a0a图2.2-a0a图2.3能量本征值83►每一态Ψn可看成向x方向传播与向-x方向传播的二列平面波合成的驻波。►利用驻波条件也可得量子化能量公式。►每一态Ψn可看成向x方向传播与向-x方向传播的二84驻波条件：2a=nλ/2,n=1,2,3,…,得λ=4a/n.∴E=p2/2μ=h2/(2μλ2)

=ħ2π2n2/(8μa2),n=1,2,3,….

（6）势阱坐标不同时的波函数与能量A、势阱从0→2a.波函数（空间部分）为能量公式不变。

B、势阱从0→a.波函数（空间部分）为驻波条件：2a=nλ/2,n=1,2,3,85

B、势阱从0→a.波函数（空间部分）为能量（此即书上44页习题2.3解。今后通常都用B的势阱坐标，故其波函数与能量要用B的波函数与能量）。

B、势阱从0→a.86在一维情况下，宇称的奇偶性与波函数的奇偶性是一致的。四、宇称（1）空间反射：空间矢量反向的操作。（2）此时如果有：称波函数具有正宇称（或偶宇称）；称波函数具有负宇称（或奇宇称）；（3）如果在空间反射下，则波函数没有确定的宇称。在一维情况下，宇称的奇偶性与波函数的奇偶性是一致的。四、宇称87b)

若一维势能是对称的，即V（x）=V(-x),则其波函数一定具有宇称（见P45习题2.6）。例如，一维无限深势阱，势阱坐标为-a→a,势能是对称的，则其波函数具有宇称，

n=偶数，奇宇称；

n=奇数，偶宇称。宇称是一个十分重要的物理概念。传统认为高能物理中某一物理过程宇称是守恒的。杨振宁与李政道发现了弱作用下宇称不守恒，并被吴健雄所做实验证实，从而获诺贝尔物理奖。b)

若一维势能是对称的，即V（x）=V(-x),则其波88五、半无限深势阱V(x)

-a0a五、半无限深势阱V(x)89六、有限深方势阱(曾教程p34)

V(x)

-a0a六、有限深方势阱(曾教程p34)90作业周世勋：《量子力学教程》2.3、2.4作业周世勋：《量子力学教程》91第二章波函数和薛定谔方程

微观粒子的基本属性不能用经典语言确切描述。量子力学用波函数描述微观粒子的运动状态，波函数所遵从的方程——薛定谔方程是量子力学的基本方程。第二章波函数和薛定谔方程92这一章开始介绍量子力学的基本理论与方法。主要介绍：1.二个基本假设：A.微观粒子行为由波函数描述,波函数具有统计意义。B.描述微观粒子行为的波函数由薛定谔方程解出。2.用定态薛定谔方程求解三个简单问题：A.一维无限深势阱B.

一维谐振子C.势垒贯穿（隧道效应）这一章开始介绍量子力学的基本理论与方法。931.波函数：概率波的数学表达形式，描述微观客体的运动状态一般表示为复指数函数形式§2.1

波函数及其统计解释1.波函数：概率波的数学表达形式，一般表示为94例：

一维自由粒子的波函数经典描述：

沿x轴匀速直线运动量子描述：类比：单色平面波一定沿直线传播以坐标原点为参考点，设＝0，以速率u沿+x方向传播（取实部）例：一维自由粒子的波函数经典描述：沿x轴匀速953个问题？

描写自由粒子的平面波如果粒子处于随时间和位置变化的力场中运动，他的动量和能量不再是常量（或不同时为常量）粒子的状态就不能用平面波描写，而必须用较复杂的波描写，一般记为：描写粒子状态的波函数，它通常是一个复函数。称为deBroglie波。此式称为自由粒子的波函数。(1)是怎样描述粒子的状态呢？(2)如何体现波粒二象性的？(3)描写的是什么样的波呢？3个问题？描写自由粒子的平面波如果粒子96三维自由粒子波函数2.波函数的强度——模的平方波函数与其共轭复数的积例：一维自由粒子：3.波函数的统计解释光栅衍射电子衍射类比三维自由粒子波函数2.波函数的强度——模的平方波函数与其97I大处到达光子数多I小处到达光子数少I=0无光子到达各光子起点、终点、路径均不确定用I对屏上光子数分布作概率性描述各电子起点、终点、路径均不确定对屏上电子数分布作概率性描述电子到达该处概率大电子到达该处概率为零电子到达该处概率小光栅衍射电子衍射I大处到达光子数多I小处到达光子数少I=98电子源感光屏（1）两种错误的看法①.波由粒子组成如水波，声波，由分子密度疏密变化而形成的一种分布。这种看法是与实验矛盾的，它不能解释长时间单个电子衍射实验。

电子一个一个的通过小孔，但只要时间足够长，底片上增加呈现出衍射花纹。这说明电子的波动性并不是许多电子在空间聚集在一起时才有的现象，单个电子就具有波动性。

波由粒子组成的看法夸大了粒子性的一面，而抹杀了粒子的波动性的一面，具有片面性。PPOQQO 事实上，正是由于单个电子具有波动性，才能理解氢原子（只含一个电子！）中电子运动的稳定性以及能量量子化这样一些量子现象。电子源感光屏（1）两种错误的看法①.波由粒子组成如水波，声99②.粒子由波组成电子是波包。把电子波看成是电子的某种实际结构，是三维空间中连续分布的某种物质波包。因此呈现出干涉和衍射等波动现象。波包的大小即电子的大小，波包的群速度即电子的运动速度。

什么是波包？波包是各种波数（长）平面波的迭加。 平面波描写自由粒子，其特点是充满整个空间，这是因为平面波振幅与位置无关。如果粒子由波组成，那么自由粒子将充满整个空间，这是没有意义的，与实验事实相矛盾。实验上观测到的电子，总是处于一个小区域内。例如在一个原子内，其广延不会超过原子大小≈1Å。电子究竟是什么东西呢？是粒子？还是波？ “电子既不是粒子也不是波

”，既不是经典的粒子也不是经典的波， 但是我们也可以说，“

电子既是粒子也是波，它是粒子和波动二重性矛盾的统一。”

这个波不再是经典概念的波，粒子也不是经典概念中的粒子。②.粒子由波组成电子是波包。把电子波看成是电子的某种实际结100经典概念中1.有一定质量、电荷等“颗粒性”的属性;粒子意味着

2．有确定的运动轨道，每一时刻有一定 位置和速度。经典概念中1.实在的物理量的空间分布作周期性的变化;波意味着2．干涉、衍射现象，即相干叠加性。1.入射电子流强度小，开始显示电子的微粒性，长时间亦显示衍射图样;电子源感光屏QQOPP我们再看一下电子的衍射实验2.

入射电子流强度大，很快显示衍射图样.经典概念中1.有一定质量、电荷等“颗粒性”的属性;101结论：衍射实验所揭示的电子的波动性是：许多电子在同一个实验中的统计结果，或者是一个电子在许多次相同实验中的统计结果。

波函数正是为了描述粒子的这种行为而引进的，在此基础上，Born提出了波函数意义的统计解释。r点附近衍射花样的强度 正比于该点附近感光点的数目， 正比于该点附近出现的电子数目， 正比于电子出现在r

点附近的几 率。在电子衍射实验中，照相底片上

结论：衍射实验所揭示的电子的波动性是：许多电子在同一个实验中102一般：t时刻,到达空间r(x,y,z)处某体积dV内的粒子数

t时刻，出现在空间（x,y,z）点附近单位体积内的粒子数与总粒子数之比

t时刻，粒子出现在空间（x,y,z）点附近单位体积内的概率t时刻，粒子在空间分布的概率密度

的物理意义：一般：t时刻,到达空间r(x,y,z)处某体积dV内的粒103物质波的波函数不描述介质中运动状态（相位）传播的过程概率密度，粒子在空间分布的统计规律概率幅注意：干涉项物质波的波函数不描述介质中运动状态（相位）传播的过程概率1044、波函数的归一化条件和标准条件粒子在整个空间出现的概率为1

归一化条件对微观客体的数学描述：脱离日常生活经验，避免借用经典语言引起的表观矛盾标准条件是单值、有限、连续的。4、波函数的归一化条件和标准条件粒子在整个空间出现的概率为105平面波归一化IDirac—函数定义：或等价的表示为：对在x=x0邻域连续的任何函数f（x）有：—函数亦可写成Fourier积分形式：令k=px/,dk=dpx/,则性质：0x0x平面波归一化IDirac—函数定义：或等价106II平面波归一化写成分量形式t=0时的平面波考虑一维积分若取A122=1，则A1=[2]-1/2,于是平面波可归一化为函数II平面波归一化写成分量形式t=0时的平面波考虑一维107三维情况：其中注意：这样归一化后的平面波其模的平方仍不表示几率密度，依然只是表示平面波所描写的状态在空间各点找到粒子的几率相同。三维情况：其中注意：这样归一化后的平面波其模的平方仍不表示几108§2.2

态的迭加原理

态迭加原理是量子力学中一个很重要的原理，这一节先作一些初步介绍，随着学习量子力学内容的不断深入，会不断加深对态迭加原理的理解。§2.2态的迭加原理109一、量子态和波函数用波函数Ψ（r,t）来描述微观粒子的量子态。当Ψ（r,t）给定后，如果测量其位置，粒子出现在点的几率密度为||2。波函数的统计解释也是波粒二象性的一种体现。经典波：遵从迭加原理，两个可能的波动过程迭加后也是一个可能的波动过程。如：惠更斯原理。描述微观粒子的波是几率波，是否可迭加？意义是否与经典相同？一、量子态和波函数1101、经典物理中，光波或声波遵守态迭加原理：二列经典波φ1与φ2线性相加，φ=aφ1+bφ2,相加后的φ也是一列波，波的干涉、衍射就是用波的迭加原理加以说明的。

量子力学的二个态的迭加原理（P17顺2行）：如果Ψ1与Ψ2是体系的可能状态，那么它们的线性迭加态Ψ=c1Ψ1+c2Ψ2，（c1、c2是复数）也是这个体系的一个可能状态。二、量子力学的态的迭加原理1、经典物理中，光波或声波遵守态迭加原理：二列经典波φ1与φ111考虑电子双缝衍射

Ψ=C1Ψ1+C2Ψ2

也是电子的可能状态。空间找到电子的几率则是：|Ψ|2=|C1Ψ1+C2Ψ2|2

=(C1*Ψ1*+C2*Ψ2*)(C1Ψ1+C2Ψ2)=|C1Ψ1|2+|C2Ψ2|2+[C1*C2Ψ1*Ψ2+C1C2*Ψ1Ψ2*]PΨ1Ψ2ΨS1S2电子源感光屏电子穿过狭缝１出现在Ｐ点的几率密度电子穿过狭缝２出现在Ｐ点的几率密度相干项正是由于相干项的出现，才产生了衍射花纹。一个电子有Ψ1和Ψ2两种可能的状态，Ψ是这两种状态的叠加。考虑电子双缝衍射Ψ=C1Ψ1+C2Ψ2也是电子的1122、双缝衍射实验中，衍射图样的产生证实了干涉项的存在。推广到任意多态的一般态迭加原理：3、态的迭加原理如果Ψ1、Ψ2、Ψ3…是体系可能的状态，则它们的线性迭加态Ψ=c1Ψ1+c2Ψ2+c3Ψ3…=∑ciΨi也是体系的一个可能状态。当体系处在迭加态Ψ时，体系部分处在Ψ1态、也部分处在Ψ2态，…等，即各有一定几率处在迭加之前的各个态Ψi。

2、双缝衍射实验中，衍射图样的产生证实了干涉项的存在。113

4、说明：（1）量子力学使用最多的是把可以实现的态分解为某一个算符本征态的迭加。（2）如同经典波的分解和迭加，量子力学的态的迭加也是波函数的迭加。而不是几率（||2）的迭加。4、说明：114

数学表示式：

其中，是动量一定的平面波。这在数学上是成立的，这正好是非周期函数的傅里叶展开。三、一个结论：任何一个波函数都可以看作是各种不同动量的平面波的迭加。三、一个结论：任何一个波函数都可以看作是各种不同动量的平115例：电子在晶体表面反射后，电子可能以各种不同的动量p运动。具有确定动量的运动状态用deBroglie平面波表示根据叠加原理，在晶体表面反射后，电子的状态Ψ可表示成p取各种可能值的平面波的线性叠加，即而衍射图样正是这些平面波叠加干涉的结果。dΨΨp例：电子在晶体表面反射后，电子可能以各种不同的动量p运动116通常写成傅里叶变换的对称形式：一维情况：通常写成傅里叶变换的对称形式：一维情况：117说明：1、在态Ψ（r,t）的粒子，它的动量没有确定的值，由上式可知：粒子可处于任何一个态Ψp（r,t），但是当粒子的状态确定后，粒子动量集于某一确定值的几率是一定的。2、由于量子力学的态的迭加原理是几率波的迭加，所以φ1+φ1=2φ1不是新的态，只不过未归一化。在态φ=c1φ1+c2φ2进行测量时，发现粒子要么处在φ1，要么处在φ2。薛定谔猫说明：薛定谔猫118§2.3薛定谔方程薛定谔方程是波函数所遵从的基本方程，是量子力学的基本假设之一，只能建立，不能推导，其正确性由实验检验。建立（简单→复杂，特殊→一般）1.一维粒子的薛定谔方程一维自由粒子：§2.3薛定谔方程薛定谔方程是波函数119一维自由粒子：一维自由粒子的薛定谔方程：一维自由粒子：一维自由粒子的薛定谔方程：120式中：振幅函数与驻波类比2.一维定态薛定谔方程能量E和动量Px与作用在波函数上的下列算符相当若粒子处在一维势场中：一维粒子的薛定谔方程：式中：振幅函数与驻波类比2.一维定态薛定谔方程121要求波函数Ψ(x,t)的模方，只需求振幅函数Ψ(x）的模方。建立关于振幅函数Ψ(x）的方程——振幅方程*要求波函数Ψ(x,t)的模方，只需求振幅函数Ψ(x）的模方。122非相对论考虑自由粒子：势函数*代入得即一维自由粒子的定态方程非相对论考虑自由粒子：势函数*代入得即一维自由粒123*代入粒子在力场中运动，且势能不随时间变化即一维定态薛定谔方程得*代入粒子在力场中运动，且势能不随时间变化即一维1243.三维定态薛定谔方程拉普拉斯算符即三维定态薛定谔方程振幅函数3.三维定态薛定谔方程拉普拉斯算符即三维定态薛定1254.

一般形式薛定谔方程哈密顿算符4.一般形式薛定谔方程哈密顿算符126求定态问题：一维：三维：求定态问题：一维：三维：1275.多粒子体系的薛定谔方程体系由N个粒子组成（N>1）体系能量为：将能量公式变为算符公式:

将算符公式同时作用在多粒子波函数Ψ(r1,r2,…,t)上，这样就得到多粒子的薛定谔方程:

5.多粒子体系的薛定谔方程体系由N个粒子组成（N>1）将能128讨论：1、薛定谔方程也称波动方程，描述在势场U中粒子状态随时间的变化规律。2、建立方程而不是推导方程，正确性由实验验证。薛定谔方程实质上是一种基本假设，不能从其它更基本原理或方程推导出来，它的正确性由它解出的结果是否符合实验来检验。3、薛定谔方程是线性方程。是微观粒子的基本方程，相当于牛顿方程。4、自由粒子波函数必须是复数形式，否则不满足自由粒子薛定谔方程。5、薛定谔方程是非相对论的方程。讨论：129求解问题的思路：1.写出具体问题中势函数U(r)的形式代入方程2.用分离变量法求解3.用归一化条件和标准条件确定积分常数只有E取某些特定值时才有解本征值本征函数4.讨论解的物理意义，即求|

|2，得出粒子在空间的概率分布。求解问题的思路：1.写出具体问题中势函数U(r)的形式代130薛定谔的另一伟大科学贡献《Whatislife？》薛定谔的另一伟大科学贡献《Whatislif131薛定谔(Schroding,1897-1961)奥地利人,因发现原子理论的有效的新形式一波动力学与狄拉克(Dirac,1902-1984)因创立相对论性的波动方程一狄拉克方程,共同分享了1933年度诺贝尔物理学奖薛定谔(Schroding,1897-1961)奥地利人,因132§2.4粒子流密度和粒子数守恒定律

（或几率流密度和几率守恒定律）

本节要引入几率流密度概念，有了它就可以把几率与电流联系起来。由薛定谔方程出发，讨论粒子在一定空间区域内出现的几率将怎样随时间变化。所以可以看作对薛定谔方程的讨论。§2.4粒子流密度和粒子数守恒定律

（或几率流133设Ψ已归一化，q为单粒子的电荷，则|Ψ|2=几率密度(w)；|Ψ|2dV=dV的几率；|Ψ|2q=电荷密度(ρ)；|Ψ|2qdV=dV的电荷。

几率流密度（J）含义=单位时间垂直流过单位面积几率。J公式=？先介绍几率的连续方程。设Ψ已归一化，q为单粒子的电荷，则几率流密度（J）含134

若从数学上能推出如下公式：通过类比，就可定义为几率流密度J，这个方程也就是几率的连续方程。

一、几率的连续方程与几率流密度类比：已知电荷有连续方程：其中，ρ电荷密度,电流密度。

若从数学上能推出如下公式：

一、几率的连续方程与几率流135薛定谔方程为:

(1)对上述方程取复共轭得(2)在非相对论情况下，实物粒子没有产生和湮灭，所以，在随时间的演化过程中，粒子数目保持不便。对一个粒子来说，在全空间中找到粒子的概率之总和应不随时间变化,即:

下面推导这个公式：薛定谔方程为:在非相对论情况下，实物粒子没有产生和136定义：几率流密度

得几率的连续方程：定义：几率流密度137二、几率守恒定律对几率的连续方程：

两边对一个封闭的体积V积分，并利用高斯公式，得：表示：左=体积V内单位时间几率的增加量=右=单位时间从体积外流向体积内的几率量，这就是几率守恒定律。有连续方程一定有守恒定律，两者是等价的。几率守恒定律表明几率不会凭空产生，也不会凭空消失。二、几率守恒定律138三、质量、电荷守恒定律1．wm=mw：质量密度，Jm=mJ：质量流密度。质量守恒定律

2．we=qw：电荷密度，Je=qJ：电流密度。电荷守恒定律三、质量、电荷守恒定律139四、波函数标准条件：连续，单值，有限。单值与有限，由波函数的统计含义所定。连续，由几率的连续方程所确定。

另外，一般情况下，还要求波函数一阶导数也连续。说明：

几率守恒具有定域性质。当粒子在某地的概率减小了，必然在另外一些地方的概率增加了，使总概率不变，并且伴随着有什么东西在流动来实现这种变化。连续性就意味着某种流的存在。四、波函数标准条件：连续，单值，有限。140一．定态薛定谔方程条件：V（r,t）=V(r)，与t无关。用分离变量法,令Ψ=φ(r)f(t)，代入薛定谔方程，得两个方程：此称定态薛定谔方程

§2.5定态薛定谔方程一．定态薛定谔方程§2.5定态薛定谔方程141整个定态波函数形式：特点：波函数由空间部分函数与时间部分函数相乘；B．时间部分函数是确定的，为：定态波函数几率密度w与t无关，几率分布不随时间而变，因此称为定态。重点要掌握如何用定态薛定谔方程求解问题。整个定态波函数形式：142算符本征方程：λ：本征值，有多个，甚至无穷多个。Ψλ：本征值为λ的本征函数。也有多个，甚至无穷多个，有时一个本征值对应多个不同的本征函数，这称为简并。若一个本征值对应的不同本征函数数目为N，则称N重简并。二、本征方程、本征函数与本征值算符本征方程：二、本征方程、本征函数与本征值143上述用分离变量得到两个方程都是本征方程：

（1）或

（2）或称为定态哈密顿算符。上述用分离变量得到两个方程144

定态薛定谔方程就是的本征方程。

薛定谔方程就可简写成：定态薛定谔方程就是的本征方程。145

设定态薛定谔方程的本征值为En,本征函数为，定态波函数为它是定态情况下的薛定谔方程：的一个解。三、定态情况下的薛定谔方程一般解

定态情况下的薛定谔方程的一般解，是所有定态波函数Ψn的线性迭加：设定态薛定谔方程的本征值为En,本征函数三、定态情146说明：1、定态薛定谔方程或不含时的薛定谔方程是能量本征方程，E就称为体系的能量本征值（energyeigenvalue），而相应的解称为能量的本征函数（energyeigenfunction）。2、是体系的哈密顿量算符，当不显含t时，体系的能量是守恒量，可用分离变量。3、解定态薛定谔方程，关键是写出哈密顿量算符。说明：147求解问题的思路：1.写出具体问题中势函数U(r)

的形式代入方程2.用分离变量法求解3.用归一化条件和标准条件确定积分常数只有E

取某些特定值时才有解4.讨论解的物理意义求解问题的思路：148作业周世勋：《量子力学教程》2.1、2.2作业周世勋：《量子力学教程》149一维定态薛定谔方程求定态问题：一维：归一化条件，波函数的标准条件，边界条件。

U(x)*=U(x)，即U(x)为实函数。§2.6一维势场中的粒子能量的

一般性质一维定态薛定谔方程求定态问题：一维：归一化条件，波函数的标150定理1：设是方程（1）的一个解，对应的能量本征值是E，则也是方程的一个解，对应的能量也是E。证：方程（1）取复共轭，注意E取实值，，容易证明。如果对应于能量的某个本征值E，方程（1）的解无简并，则可取为实解。一维问题的一般性质定理1：设是方程（1）的一个解，对应的能量本征151

定理2：对应能量的某个本征值E，总可以找到方程（1）的一组实解，凡是属于E的任何解，总可以表示为这一组实解的线性叠加。证：如果(x)是实解，(x)*是复解，(x)*也是方程（1）的解，且：(x)=(x)+(x)*和(x)=－i[(x)－(x)*]也是方程（1）的解，属于能量E。均为实解。

(x)和(x)均可以表示为(x)和(x)*的线形叠加。定理2：对应能量的某个本征值E，总可以找到方程（152

定理3：设U（x）具有空间反射不变性，U（-x）=U（x）。如果(x)是方程（1）的对应能量的本征值E的解，则(－x)也是方程（1）对应能量E的解。证（略）量子力学第二章课件153

定理4：设U（-x）=U（x），则对应任何一个能量本征值E，总可以找到方程（1）的一组解，而属于能量本征值E的任何解，都可以用它来展开。证：

构造两个函数(x)=(x)+(－x)

和

(x)=[(x)－(－x)]均为方程（1）的解。(x)和(－x)均可以表示为上述两个函数的叠加。定理4：设U（-x）=U（x），则对应任何一个154

定理5：对于阶梯性方位势，

U2－U1有限，则能量本征函数及其导数必定是连续的。定理5：对于阶梯性方位势，155定理6：对于一维粒子，设1与2均为方程（1）的属于同一能量的E的解，则：定理6：对于一维粒子，设1与2均156

定理7：设粒子在规则势场中运动，如存在束缚态，则必定是不简并的。束缚态（boundstate）指粒子局限在有限空间中。

157一、一维势阱实例如：金属中的自由电子。金属粒子有规则的排列成行，1）电子在金属内部势能为常数，认定为零；2）表面有一个势阶。总之，此时电子势能可以近似认为是一个方势阱形式。

§2.6一维(无限深)势阱一、一维势阱实例§2.6一维(无限深)势阱158二、微分方程

的三种解形式。

这是二阶常系数微分方程，有三种等价的解：

a.b.c.依方便,随取一种形式的解.二、微分方程159

三、一维无限深势阱求解1、一维无限深势阱

一个粒子处在这样势阱内,其质量为μ.具体例子:金属中电子可以看成处在有限深势阱内.-a0aV(x)IIIIII

三、一维无限深势阱求解-a01602、一维无限深势阱的薛定谔方程与求解.这是定态问题,只需解出定态波函数φn与定态能量En即可.定态薛定谔方程:2、一维无限深势阱的薛定谔方程与求解.1613.一维无限深势阱问题求解求解S—方程分四步：（1）列出各势域的一维S—方程（2）解方程（3）使用波函数标准条件定解（4）定归一化系数-a0aV(x)IIIIII3.一维无限深势阱问题求解求解S—方程分四步：-a162（1）列出各势域的S—方程方程可简化为：-a0aV(x)IIIIII势V(x)分为三个区域，用I、II和III表示，其上的波函数分别为I(x),

II(x)和

III(x)。则方程为：22（1）列