基于数学活动经验的课堂教学设计研究

2015年余杭区教育学会论文

初中数学学科基于数学活动经验的课堂教学设计研究摘要：学习是经验的改造和重组，数学学习是建立在学生已有经验上的自我建构的过程。数学活动经验是学生理解数学、运用数学解决实际问题和后续学习的有效资源。课堂教学时间是有限的，在有限的时间里帮助学生高效地学习，需要教师设计有效的数学活动，使学生生成有效、有益的数学活动经验。数学活动经验的生成既要针对核心概念的理解，又要突出数学思想方法的建立，更要有利于学生认知监控能力的发展。总之要有利于学生建立良好的认知结构。关键词：数学活动经验实效性一、问题的提出2001年，《全日制义务教育课程标准（实验稿）第一次明确地将“数学活动经验”列入义务教育课程目标：“获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学知识（包括数学事实、数学活动经验）以及基本的数学思想方法和必要的应用技能。”2011年数学新课程标准（修改稿）更是明确提出“四基”的概念：基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验。在数学教学的实践中我们经常发现，脱离学生数学经验的“问题解决”导致了课堂效率低下；脱离了学生数学经验的酝酿而导致的生硬的数学概括，由于教师和课本的生硬概括而导致的学生对数学规律和数学本质认识的缺失；由于对基础知识、基本思想方法认识的缺失而陷于题海而不能自拔。最后脱离学生数学经验的课堂教学导致教学目标不能实现。学习是经验的改造和重组，利用学生已有的生活经验、数学活动经验，设计数学活动，改造学生的数学活动经验，重新组合学生的数学活动经验，对建立学生良好的认知结构，完成数学的学习目标，自古以来都是行之有效的方法。二、数学活动经验的教学价值数学活动经验是什么？数学活动经验是指学生经历数学活动后留下的直接感受、体验和感悟。它既包含对知识理解的个体性经验，也包含朴素的数学思维方法、思想方法。数学活动经验构成了后续数学学习产生化学性变化的一切个体性因素。数学教育是个综合体，数学活动经验也是个综合体，数学学习的结果包含知识技能的习得，数学原理的掌握，数学思想方法的培养、认知自我监控的发展。作为数学学习的前期准备，数学活动，其经验的改造和重组具有无比广大的挖掘空间。1,促进数学理解的需要教师经常会惊诧于学生的理解瓶颈，也会惊叹于我们认为的理解难点却被学生轻易越过。这是学生的经验系统与教师的经验系统差异导致的。这种经验不同带来的差异同时也存在与学生之中，学生认知特点的多样性和认知水平的差异性也会导致学生理解数学核心概念的差异性。班级教学就是要在异中求同，同中存异。中庸之道是设计好有效的数学活动，即可以唤起学生已有的生活经验和认知经验，让学生生成有效的数学活动经验，使得数学理解的指向性更强，范围更广。.促进数学加工的需要。数学课堂的推进过程某种程度上是数学发展的过程的缩影。所以数学学习就是根据学生自身的经验将数学知识从具体到抽象，从特殊到一般的概括过程，是根据数学活动经验横向纵向比较之后的发现的过程。.促进数学哲学成长的需要学数学的一种目的是做减法。初中数学教学有必要让学生感受学数学就是让复杂的事情简单化，纷繁的事情条理化，非数学问题可以数学化。这一目标需要学生基于数学问题解决过程中的优良的数学学科所特有的经验积累和基于经验的数学思想方法的本质认识和自觉运用。三、数学活动经验的有效利用㈠量变原则量变原则也可以称为酿酒策略，就是对于某个数学意识的建立，例如函数的变量意识，数学符号感的培养过程中，某一节课只是一次感受点，积累一次数学活动经验，在几堂课和一个阶段的积累之后，经验的累积产生化学反应，从而突破数学学习和数学能力提升的瓶颈。例如变量意识的形成和基本函数思想的建立，北师大版和浙教版的教学效果是截然不同的。下面我们就两个版本的相关教学知识的分布进行比较（如表1）。

一次函数的图像前教材内谷分布比较北师大版浙教版章1」课时教学时问JX1早1」课时教学时问变量之间的关系小车卜滑的时问七（下）无七（下）变化中的三角形温度的变化速度的变化位置的确定确定位置八（上）图形与坐标探索确定位置的方法八（上）平面直角坐标系平面直角坐标系变化的鱼坐标平向内的图形变换一次函数函数八（上）一次函数常量与变量八（上）一次函数认识函数一次函数观察表1,我们不难发现，在教材的编排上，北师大版在七（下）安排了变量之间的关系，而浙教版在八（下）一次函数前安排了了一个课时的常量与变量。再仔细观察北师大版的变量之间的关系这四个课时的单元教学目标。变量之间的关系单元目标.经历探索具体情境中两个变量之间关系的过程，进一步发展符号感和抽象思维..能发现实际情境中的变量及其相互关系，并确定其中的自变量或因变量.能从表格、图像中分析出某些变量之间的关系，并能用自己的语言进行表达，发展有条理地进行思考和表达的能力.能根据具体问题，选取用表格或关系式来表示某些变量之间的关系，并结合对变量之间的关系，尝试对变化趋势进行初步的预测..体验从运动变化的角度认识数学对象的过程，发展对数学的认识.仅从四堂课的教学目标，就可以发现，教学意图就是反复探索具体情境中两个变量的关系。所不同的是载体的变化，小车下滑时间是行程问题速度与时间的关系，变化中的三角形是图形问题中底边与高的关系，温度变化是体现日平均温度与日期的关系，速度变化是用图形来刻画变量之间的关系。共同点基本上体现在“体验、感受、经历"，对变化趋势进行预测。我们再从学习效果进行比较，缺乏前期经验积累的一次函数教学，效果是生硬的，特别是符合一次函数的点在函数图像上，以及连续的点形成的图像就是一次函数的图像直线。一次函数教学如果借班上课的话，失败的例子是很多的，主要是数学经验积累还不足以支撑新知识的理解或加工。再具体分析两个版本所积累的数学经验的差异。在学习一次函数图像前两种版本教学下的学生数学活动经验存在如下差异：北师大版学生了解两个变量之间的关系可以用表格、图像、关系式表示；看到图像、表格可以解读出变量与变量之间的关系；体会到变量之间变化趋势的连续性。简而言之为一次函数图像的学习建立了良好的活动经验。我们在来比较两者的相同点，常量与变量浙教版放在一次函数这一章节第一课时，更多的是建立在知识层面，而非内化为学生的经验层面，这样作为经验的生发性与作为知识的生发性相比较，经验的生发性更优。所谓的酿酒策略，让我们在数学经验的积累过程中，不仅要着眼于一堂，更要把握好一类主题的经验积累。（二）有利概括原则数学学习的过程是一个个性化的加工过程，也就是在一定的经验积累后的概括过程。在经验的积累过程中我们的设计要尽量剔除学生学习中的差异性。几何教学中，对学生动态能力的培养关系到学生解题的灵活性和思维的灵活性。例如我们在解决几何问题中，经常要主动进行线段和角度的灵活转移，所以几何解题不仅是使思维动起来的过程，也是使思维对象动起来的过程。教《三角形的外角》时，三角形的外角和等于360口，是其中一个核心内容，也是课堂的主要着力点。我的教学设计在于考虑，生活中“搬动”是常见的，学生也是易于理解的；平行线之间同位角相等，内错角相等也是最简单的知识点。平行线的性质从动态的观点去认识，其实就是实现角的搬动或者说实现角度的转移。这两者本质上是一致的。我们要借助教学设计让学生体会到两者的共通之处。教学设计和操作如下：你能验证或说明三角形的外角和等于360口。可想而知至少可以得到以下两种方法。一种是剪下两个外角拼接成一个周角，可得360口；一种是通过添加平行线后使两个外角转移形成一个周角。在小结这两种方法的过程中，我提了一个问题：两种方法的相同点和不同点？学生领悟出来的经验让我感悟颇深。其中一个学生回答：“剪下来拼接是对实物角进行移动，而说明或证明也是对角度进行移动，一个是手的操作，一个是大脑中的移动。学生轻松的归纳其实得益于数学活动经验的有利概括原则。平方差公式教学是初中数学的一个典型的教学内容，我们曾做过一个对比实验，选取班级中数学抽象、概括能力最强的3位同学编为A组，选取能力一般的10名同学编为B组。对A组学生就直接讲解(a+bXa-b)=a2-b2的结构，然后进行例题讲解。B组就采用教材材料进行教学。我们先来观察平方差公式教学中课本提供的活动材料：计算下列各题：(x+2)(x-2);⑶(x+5y)(x-5y);13a1-3a;(4)y3zy-3z.我们再来看平方差公式的结论表述：平方差公式(a+b/a-b产a2-b2以上是经验的积累没有明确的导向性，不利于概括。随后是当堂测试，测试是用随堂练习进行检测。检测结果：A组100%的正确率，B组学生达到40%勺正确率。分析差异存在的原因：对优秀学生来说，为了概括的经验积累有时是多余的，但对于大部分学生来说，有利于概括的经验积累是必须的。如何设计数学活动，如何挖掘学生的活动经验，达成对公式结构的深入理解。有利于概括可以具体化为简单化和针对性，数学活动经验就是要凸显从繁琐到简洁，从无规律到有规律的过程。让学生用80%勺智力活动去完成任务，让20%的智力活动去观察、比较，抓联系、抓本质，获取经验。教学设计分两步，第一步计算下列各题：x2x-2;⑶x5yx-5y;13a1-3a;(4)y3zy-3z.分析：上述四个小题，让学生得到这样的模糊的活动经验：两项式乘以两项式，该得到四项，为什么得到了两项式，试图建立销项的统一规律，和一个初步的结构原因。即两项之和乘以两项之差。为达成预定目标，有利于概括，增加如下活动。计算下列各题-x-2x-2;13a13a;-x5yx5y;-y3zy-3z.分析：从认知的冲突中，希望学生关注结构的本质：项的位置是非本质属性，而项的要求才是结构的关键分析，力求简单化，欲建立如下活动经验：两个题组统一之处就是两项之和乘以两项之差等于这两项的平方差，符号化后就是aba-b=a2-b2第三组教学之后的检测，达标率比第二组上升30-40百半分点。㈢简化原则基于数学活动经验的教学设计，还应帮助学生对数学的理解上升到哲学的高度，在教学设计中体现为简化，简化课堂结构，使得课堂主线清晰，结构简单。

特别是对渗透数学思想方法的教学的内容尤其适合。例如，浙教版《矩形》的教材内容，教学的一个核心目标是学习一般化和特殊化的数学思维方法。整堂课数学活动我就围绕特殊化和一般化设计。通过平行四边形到矩形的变化过程，体会从平行四边形到矩形的特殊化过程，从特殊化的角度去总结矩形的定义和性质。具体设计如下：矩形的第一个知识点是矩形定义的认识。我通过几何画板的动态演示，从一般的平行四边形运动变化到特殊位置（有一个角是90°）。如下图B/BCD=90CB/BCD=90C说明：/C从锐角到钝角，从钝角到锐角进行连续运动变化，通过问题，使学生的观察点集中到变化的内角。根据演示，给矩形下个定义。分析：通过活动建立活动经验：矩形是平行四边形一个内角变化到一个特殊角度（90°）的一个特殊平行四边形，渗透事物普遍联系的数学思想，建立从一般到特殊的数学活动经验。矩形性质的获得，通过三个数学活动，积累从一般到特殊的思维方法。活动一:继续演示平行四边形变化为矩形的过程。但平行四边形中增加了对角线，如下图

活动二:引导学生观察平行四边形中对角线分割成的共边三角形和全等三角形的特殊化过程，如下图活动三:观察三角形的变化，如下图.共边三角形的变化活动三:观察三角形的变化，如下图.共边三角形的变化全等三角形的变化分析：整个矩形性质的获得的过程就是用一般化到特殊化的思维方法研究图形对象。这是数学思维方法的活动经验积累。再到练习的设计

练一练.如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O,若AB=4cm,AD=7cm,则对角线AC=cm..若将AD=7cm换为/AOD=120°,则能得到哪些角的度数和哪些线段的长度？.若在2的条件下，