云南省玉溪市元江民中2023年高三最后一卷数学试卷（含答案解析）

2023高考数学模拟试卷请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．一个空间几何体的正视图是长为4，宽为的长方形，侧视图是边长为2的等边三角形，俯视图如图所示，则该几何体的体积为（）A． B． C． D．2．已知向量与向量平行，，且，则（）A． B．C． D．3．在钝角中，角所对的边分别为，为钝角，若，则的最大值为（）A． B． C．1 D．4．已知曲线的一条对称轴方程为，曲线向左平移个单位长度，得到曲线的一个对称中心的坐标为，则的最小值是（）A． B． C． D．5．若，则“”是“的展开式中项的系数为90”的（）A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件6．如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积是（）A． B． C． D．87．若复数满足，则（）A． B． C．2 D．8．已知集合，定义集合，则等于（）A． B．C． D．9．已知角的终边经过点,则A． B．C． D．10．在中，角的对边分别为，，若，，且，则的面积为（）A． B． C． D．11．设是双曲线的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点，使（为坐标原点），且，则双曲线的离心率为（）A． B． C． D．12．若复数（是虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知数列满足,且,则______.14．在矩形中，，为的中点，将和分别沿，翻折，使点与重合于点.若，则三棱锥的外接球的表面积为_____.15．已知函数，则关于的不等式的解集为_______．16．若复数满足，其中是虚数单位，是的共轭复数，则________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图所示，三棱柱中，平面，点，分别在线段，上，且，，是线段的中点.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）若，，，求直线与平面所成角的正弦值.18．（12分）如图，在三棱锥中，，，侧面为等边三角形，侧棱.（1）求证：平面平面；（2）求三棱锥外接球的体积.19．（12分）数列满足，是与的等差中项.（1）证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式；（2）求数列的前项和.20．（12分）设抛物线的焦点为，准线为，为抛物线过焦点的弦，已知以为直径的圆与相切于点.（1）求的值及圆的方程；（2）设为上任意一点，过点作的切线，切点为，证明：.21．（12分）设函数，（）.（1）若曲线在点处的切线方程为，求实数a、m的值；（2）若对任意恒成立，求实数a的取值范围；（3）关于x的方程能否有三个不同的实根？证明你的结论.22．（10分）已知的面积为，且.（1）求角的大小及长的最小值；（2）设为的中点，且，的平分线交于点，求线段的长.

2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．B【答案解析】

由三视图确定原几何体是正三棱柱，由此可求得体积．【题目详解】由题意原几何体是正三棱柱，．故选：B．【答案点睛】本题考查三视图，考查棱柱的体积．解题关键是由三视图不愿出原几何体．2．B【答案解析】

设，根据题意得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，即可得出向量的坐标.【题目详解】设，且，，由得，即，①，由，②，所以，解得，因此，.故选：B.【答案点睛】本题考查向量坐标的求解，涉及共线向量的坐标表示和向量数量积的坐标运算，考查计算能力，属于中等题.3．B【答案解析】

首先由正弦定理将边化角可得，即可得到，再求出，最后根据求出的最大值；【题目详解】解：因为，所以因为所以，即，，时故选：【答案点睛】本题考查正弦定理的应用，余弦函数的性质的应用，属于中档题.4．C【答案解析】

在对称轴处取得最值有，结合，可得，易得曲线的解析式为，结合其对称中心为可得即可得到的最小值.【题目详解】∵直线是曲线的一条对称轴.，又..∴平移后曲线为.曲线的一个对称中心为..，注意到故的最小值为.故选：C.【答案点睛】本题考查余弦型函数性质的应用，涉及到函数的平移、函数的对称性，考查学生数形结合、数学运算的能力，是一道中档题.5．B【答案解析】

求得的二项展开式的通项为,令时,可得项的系数为90,即,求得,即可得出结果.【题目详解】若则二项展开式的通项为,令,即,则项的系数为,充分性成立;当的展开式中项的系数为90,则有,从而,必要性不成立.故选:B.【答案点睛】本题考查二项式定理、充分条件、必要条件及充要条件的判断知识,考查考生的分析问题的能力和计算能力,难度较易.6．A【答案解析】

由三视图还原出原几何体，得出几何体的结构特征，然后计算体积．【题目详解】由三视图知原几何体是一个四棱锥，四棱锥底面是边长为2的正方形，高为2，直观图如图所示，．故选：A．【答案点睛】本题考查三视图，考查棱锥的体积公式，掌握基本几何体的三视图是解题关键．7．D【答案解析】

把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式计算.【题目详解】解：由题意知，，，∴，故选：D.【答案点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法.8．C【答案解析】

根据定义，求出，即可求出结论.【题目详解】因为集合，所以，则，所以.故选:C.【答案点睛】本题考查集合的新定义运算，理解新定义是解题的关键，属于基础题.9．D【答案解析】因为角的终边经过点,所以,则,即.故选D．10．C【答案解析】

由，可得，化简利用余弦定理可得，解得．即可得出三角形面积．【题目详解】解：，，且，，化为：．，解得．．故选：．【答案点睛】本题考查了向量共线定理、余弦定理、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11．D【答案解析】

利用向量运算可得，即，由为的中位线，得到，所以，再根据双曲线定义即可求得离心率.【题目详解】取的中点，则由得，即；在中，为的中位线，所以，所以；由双曲线定义知，且，所以，解得，故选：D【答案点睛】本题综合考查向量运算与双曲线的相关性质，难度一般.12．A【答案解析】

将整理成的形式，得到复数所对应的的点，从而可选出所在象限.【题目详解】解：，所以所对应的点为在第一象限.故选:A.【答案点睛】本题考查了复数的乘法运算，考查了复数对应的坐标.易错点是误把当成进行计算.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．【答案解析】

数列满足知，数列以3为公比的等比数列，再由已知结合等比数列的性质求得的值即可.【题目详解】，数列是以3为公比的等比数列，又，，．故答案为：．【答案点睛】本题考查了等比数列定义，考查了对数的运算性质，考查了等比数列的通项公式，是中档题．14．.【答案解析】

计算外接圆的半径，并假设外接球的半径为R，可得球心在过外接圆圆心且垂直圆面的垂线上，然后根据面，即可得解.【题目详解】由题意可知，，所以可得面，设外接圆的半径为，由正弦定理可得，即，，设三棱锥外接球的半径，因为外接球的球心为过底面圆心垂直于底面的直线与中截面的交点，则，所以外接球的表面积为.故答案为：.【答案点睛】本题考查三棱锥的外接球的应用，属于中档题.15．【答案解析】

判断的奇偶性和单调性，原不等式转化为，运用单调性，可得到所求解集．【题目详解】令，易知函数为奇函数，在R上单调递增，，即，∴∴，即x＞故答案为：【答案点睛】本题考查函数的奇偶性和单调性的运用：解不等式，考查转化思想和运算能力，属于中档题．16．【答案解析】

设，代入已知条件进行化简，根据复数相等的条件，求得的值.【题目详解】设，由，得，所以，所以.故答案为：【答案点睛】本小题主要考查共轭复数，考查复数相等的条件，属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（Ⅰ）证明见详解；（Ⅱ）.【答案解析】

（Ⅰ）取中点为，根据几何关系，求证四边形为平行四边形，即可由线线平行推证线面平行；（Ⅱ）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得直线的方向向量和平面的法向量，即可求得线面角的正弦值.【题目详解】（Ⅰ）取的中点，连接，.如下图所示：因为，分别是线段和的中点，所以是梯形的中位线，所以.又，所以.因为，，所以四边形为平行四边形，所以.所以，.所以四边形为平行四边形，所以.又平面，平面，所以平面.（Ⅱ）因为，且平面，故可以为原点，的方向为轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系，如下图所示：不妨设，则，所以，，，，.所以，，.设平面的法向量为，则所以可取.设直线与平面所成的角为，则.故可得直线与平面所成的角的正弦值为.【答案点睛】本题考查由线线平行推证线面平行，以及用向量法求解线面角，属综合中档题.18．（1）见解析；（2）.【答案解析】

（1）设中点为，连接、，利用等腰三角形三线合一的性质得出，利用勾股定理得出，由线面垂直的判定定理可证得平面，再利用面面垂直的判定定理可得出平面平面；（2）先确定三棱锥的外接球球心的位置，利用三角形相似求出外接球的半径，再由球体的体积公式可求得结果.【题目详解】（1）设中点为，连接、，因为，所以.又，所以，又由已知，，则，所以，.又为正三角形，且，所以，因为，所以，，，平面，又平面，平面平面；（2）由于是底面直角三角形的斜边的中点，所以点是的外心，由（1）知平面，所以三棱锥的外接球的球心在上.在中，的垂直平分线与的交点即为球心，记的中点为点，则.由与相似可得，所以.所以三棱锥外接球的体积为.【答案点睛】本题考查面面垂直的证明，同时也考查了三棱锥外接球体积的计算，找出外接球球心的位置是解答的关键，考查推理能力与计算能力，属于中等题.19．（1）见解析，（2）【答案解析】

（1）根据等差中项的定义得，然后构造新等比数列，写出的通项即可求（2）根据（1）的结果，分组求和即可【题目详解】解：（1）由已知可得，即，可化为，故数列是以为首项，2为公比的等比数列.即有，所以.（2）由（1）知，数列的通项为：，故.【答案点睛】考查等差中项的定义和分组求和的方法；中档题.20．（1）2，；（2）证明见解析.【答案解析】

（1）由题意得的方程为，根据为抛物线过焦点的弦，以为直径的圆与相切于点..利用抛物线和圆的对称性，可得，圆心为，半径为2.（2）设，的方程为，代入的方程，得，根据直线与抛物线相切，令，得，代入，解得.将代入的方程，得，得到点N的坐标为，然后求解.【题目详解】（1）解：由题意得的方程为，所以，解得.又由抛物线和圆的对称性可知，所求圆的圆心为，半径为2.所以圆的方程为.（2）证明：易知直线的斜率存在且不为0，设，的方程为，代入的方程，得.令，得，所以，解得.将代入的方程，得，即点N的坐标为，所以，，故.【答案点睛】本题主要考查抛物线的定义几何性质以及直线与抛物线的位置关系，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.21．（1），；（2）；（3）不能，证明见解析【答案解析】

（1）求出，结合导数的几何意义即可求解；（2）构造，则原题等价于对任意恒成立，即时，，利用导数求最值即可，值得注意的是，可以通过代特殊值，由求出的范围，再研究该范围下单调性；（3）构造并进行求导，研究单调性，结合函数零点存在性定理证明即可.【题目详解】（1），，曲线在点处的切线方程为，，解得.（2）记，整理得，由题知，对任意恒成立，对任意恒成立，即时，，，解得，当时，对任意，，，，，即在单调递增，此时，实数的取值范围为.（3）关于的方程不可能有三个不同的实根，以下给出证明：记，，则关于的方程有三个不同的实根，等价于函数有三个零点，，当时，，记，则，在单调递增，，即，，在单调递增，至多有一个零点；当时，记，则，在单调递增，即在单调递增，至多有一个零点，则至多有两个单调区间，至多有两个零点.因此，不可能有三个零点.关于的方程不可能有三个不同的实根.【答案点睛】本题考查了导数几何意义的应用、利用导数研究函数单调性以及函