高中物理解题高手：专题13-动量守恒和能量守恒

1专题十三动量守恒和能量守恒[重点难点提示]动量和能量是高考中的必考知识点，考查题型多样，考查角度多变，大部分试题都与牛顿定律、曲线运动、电磁学知识相互联系，综合出题。其中所涉及的物理情境往往比较复杂，对学生的分析综合能力，推理能力和利用数学工具解决物理问题的能力要求均高，常常需要将动量知识和机械能知识结合起来考虑。有的物理情景设置新颖，有的贴近于学生的生活实际，特别是多次出现动量守恒和能量守恒相结合的综合计算题。在复习中要注意定律的适用条件，掌握几种常见的物理模型。一、解题的基本思路：解题时要善于分析物理情境，需对物体或系统的运动过程进行详细分析，挖掘隐含条件，寻找临界点，画出情景图，分段研究其受力情况和运动情况，综合使用相关规律解题。⑴由文字到情境即是审题，运用―图象语言‖分析物体的受力情况和运动情况，画出受力分析图和运动情境图，将文字叙述的问题在头脑中形象化。画图，是一种能力，又是一种习惯，能力的获得，习惯的养成依靠平时的训练。⑵分析物理情境的特点，包括受力特点和运动特点，判断物体运动模型，回忆相应的物理规律。⑶决策：用规律把题目所要求的目标与已知条件关联起来，选择最佳解题方法解决物理问题。二、基本的解题方法：阅读文字、分析情境、建立模型、寻找规律、解立方程、求解验证⑴分步法（又叫拆解法或程序法）：在高考计算题中，所研究的物理过程往往比较复杂，要将复杂的物理过程分解为几步简单的过程，分析其符合什么样的物理规律再分别列式求解。这样将一个复杂的问题分解为二三个简单的问题去解决，就化解了题目的难度。⑵全程法（又叫综合法）：所研究的对象运动细节复杂，但从整个过程去分析考虑问题，选用适合整个过程的物理规律，如两大守恒定律或两大定理或功能关系，就可以很方便的解决问题。⑶等效法（又叫类比法）：所给的物理情境比较新颖，但可以把它和熟悉的物理模型进行类比，把它等效成我们熟知的情境，方便的解决问题。⑷假设法：判断未知情境时，可以先假设其结论成立，推出与已知条件或推论相一致或相反的结果，证明其假设是否成立，从而解决物理问题。三、学习中应当注意的几点：⑴若考查有关物理量的瞬时对应关系，需应用牛顿定律，若考查一个过程，三种方法都有可能，但方法不同，处理的难易程度有很大的差别。⑵若研究对象是一个系统，应优先考虑两大守恒定律，若研究对象为单一物体，可优先考虑两个定理，涉及时间的优先考虑动量定理，涉及位移的优先考虑动能定理。⑶机械能是否守恒决定于是否有重力和弹力（弹簧）之外的力做功，而动量是否守恒，决定于系统是否有外力或外力之和是否为零。注意分析物体的受力情况，当系统动量守恒时，机械能不一定守恒，同样机械能守恒时，动量不一定守恒。⑷从能量转化的角度也可判断机械能是否守恒：如果系统机械能没有和外界其他形式的能发生相互转化，只发生系统内部势能和动能的相互转化，则机械能守恒。⑸重力势能和电势能都是标量，但有正负，表示物体相对于零势能面的位置。它们具有相对性，随零势能面的变化而变化，但势能差值具有绝对性，与零势能面的选取无关，我们只关心的是势能差值的变化。2⑹动量定理和动量守恒定律的应用时要特别注意其矢量性，列式之前选好正方向，确定各矢量的正负。将矢量运算转化为代数运算。[习题分类解析]类型一动量守恒条件的判断把一支枪固定在小车上，小车放在光滑的水平桌面上．枪发射出一颗子弹．对于此过程，下列说法中正确的有哪些？（）A．枪和子弹组成的系统动量守恒B．枪和车组成的系统动量守恒C．车、枪和子弹组成的系统动量守恒D．车、枪和子弹组成的系统近似动量守恒，因为子弹和枪筒之间有摩擦力．且摩擦力的冲量甚小分析与解答：本题涉及如何选择系统，并判断系统是否动量守恒．物体间存在相互作用力是构成系统的必要条件，据此，本题中所涉及的桌子、小车、枪和子弹符合构成系统的条件．不仅如此，这些物体都跟地球有相互作用力．如果仅依据有相互作用就该纳入系统，那么推延下去只有把整个宇宙包括进去才能算是一个完整的体系，显然这对于分析、解决一些具体问题是没有意义的．选择体系的目的在于应用动量守恒定律去分析和解决问题，这样在选择物体构成体系的时候，除了物体间有相互作用之外，还必须考虑―由于物体的相互作用而改变了物体的动量‖的条件．桌子和小车之间虽有相互作用力，但桌子的动量并没有发生变化．不应纳入系统内，小车、枪和子弹由于相互作用而改变了各自的动量，所以这三者构成了系统．分析系统是否动量守恒，则应区分内力和外力．对于选定的系统来说，重力和桌面的弹力是外力，由于其合力为零所以系统动量守恒．子弹与枪筒之间的摩擦力是系统的内力，只能影响子弹和枪各自的动量，不能改变系统的总动量．所以D的因果论述是错误的．答案为C．变式1如图所示，A、Ｂ两质量相等的物体静止在平板小车Ｃ上，Ａ、Ｂ之间有一根被压缩了的弹簧，Ａ、Ｂ与平板车的上表面间的滑动摩擦力之比为３：２，地面光滑，当压缩弹簧突然释放后，则：ＡＡ、Ｂ系统动量守恒Ｂ小车向左运动ＣＡ、Ｂ、Ｃ系统动量守恒Ｄ小车向右运动分析与解答：本题中若以A、Ｂ两质量相等的物体为研究对象，由于与小车C的摩擦力大小不等，即该系统所受合外力不为零，不满足守恒条件；但是如果以A、B、C三者为一个系统，则系统所受合外力为零，满足守恒条件。分析小车C水平方向的受力：C受到A对C的向左的摩擦力FAC；C受到B对C的向右的摩擦力FBC；由于FAC：FBC＝3:2，所以小车向左运动。答案为BC。变式2一列车沿平直轨道以速度v0匀速前进，途中最后一节质量为m的车厢突然脱钩，若前部列车的质量为M，脱钩后牵引力不变，且每一部分所受摩擦力均正比于它的重力，则当最后一节车厢滑行停止的时刻，前部列车的速度为：3分析与解答：列车原来做匀速直线运动，牵引力F等于摩擦力f，f=k(m＋Mg(k为比例系数，因此，整个列车所受的合外力等于零．尾部车厢脱钩后，每一部分所受摩擦力仍正比于它们的重力．因此，如果把整个列车作为研究对象，脱钩前后所受合外力始终为零，在尾部车厢停止前的任何一个瞬间，整个列车(前部+尾部的动量应该守恒．考虑刚脱钩和尾部车厢刚停止这两个瞬间，由(m+Mv0=0+Mv得此时前部列车的速度为答案为B．人船模型如图所示，长为Ｌ、质量为Ｍ的小船停在静水中，质量为ｍ的人从静止开始从船头走到船尾，不计水的阻力，求船和人对地面的位移各为多少？分析与解答：以人和船组成的系统为研究对象，在人由船头走到船尾的过程中，系统在水平方向不受外力作用，所以整个系统在水平方向动量守恒．当人起步加速前进时，船同时向后做加速运动；人匀速运动，则船匀速运动；当人停下来时，船也停下来．设某时刻人对地的速度为v，船对地的速度为V，取人行进的方向为正方向，根据动量守恒定律有：mv－MV=0即MmvV=因为人由船头走到船尾的过程中，每一时刻都满足动量守恒定律，所以每一时刻人的速度与船的速度之比，都与它们的质量之比成反比．因此人由船头走到船尾的过程中，人的平均速度与船的平均速度也与它们的质量成反比，即MmvV=．而人的位移s人=t，船的位移s船=t，所以船的位移与人的位移也与它们的质量成反比，即Mmss=人船此式是―人船模型‖的位移与质量的关系，此式的适用条件：原来处于静止状态的系统，在系统发生相对运动的过程中，某一个方向的动量守恒．由图可以看出：s船＋s人=Ｌ解得：LmMMs+=人LmMms+=船变式1如图所示，斜面长为L，倾角为θ、质量为M的斜面顶端上，有一质量为m、4边长为l的正方形小物块由静止开始下滑，若不计一切摩擦，求小物块由顶端刚滑到底端过程中斜面在水平面上滑行的位移．分析与解答：设末状态物块和斜面对地的速度分别为v、V，以斜面的运动方向为正方向，由动量守恒得：MV－mv=0由―人船模型‖知：Mts1－mts2=0由图２知：s1+s2=(L－lcosθ由以上两式解得s1=θcos(lLmMm-+变式2如图所示，光滑水平面上有一小车，小车上固定一杆，总质量为M；杆顶系一长为L的轻绳，被水平拉直处于静止状态(小球处于最左端．将小球由静止释放，小球从最左端摆下并继续摆至最右端的过程中，小车运动的距离是多少？分析与解答：设某时刻小球速度的水平分量为v(小车的速度为V(方向向左，取水平向左为正方向，根据动量守恒定律有：MV－mv=0即mMVv=因为小球在摆动过程中，系统综动量在每时刻都等于零，所以每一时刻小球速度的水平分量与小车的速度都跟它们的质量成反比；从而可知小球从最左端摆至最右端的过程中，小球的水平位移s1与小车的位移s2与它们的质量成反比．即mMss=21由图知s1+s2=2L由以上两式解得s2=LMmm+2动量守恒定律的应用一个质量M=1kg的鸟在空中v0=6m/s沿水平方向飞行，离地面高度h=20m，忽被一颗质量m=20g沿水平方向同向飞来的子弹击中，子弹速度v=300m/s，击中后子弹留在鸟体内，鸟立即死去，g=10m/s2．求：鸟被击中后经多少时间落地；鸟落地处离被击中处的水平距离．【分析】子弹击中鸟的过程，水平方向动量守恒，接着两者一起作平抛运动。分析与解答：把子弹和鸟作为一个系统，水平方向动量守恒．设击中后的共同速度为u，取v0的方向为正方向，则由Mv0＋mv＝(m＋Mu，得5击中后，鸟带着子弹作平抛运动，运动时间为鸟落地处离击中处水平距离为S＝ut＝11.76×2m＝23.52m．变式1如图所示，质量为3.0kg的小车在光滑水平轨道上以2.0m/s速度向右运动．一股水流以2.4m/s的水平速度自右向左射向小车后壁，已知水流流量为5100.5-⨯m3/s，射到车壁的水全部流入车厢内．那么，经多长时间可使小车开始反向运动？（水的密度为3100.1⨯kg/m3）分析与解答：由题意知，小车质量m=3.0kg，速度v1=2.0m/s；水流速度v2=2.4m/s，水流流量Q=5100.5-⨯m3/s，水的密度ρ=3100.1⨯kg/m3.设经t时间，流人车内的水的质量为M，此时车开始反向运动，车和水流在水平方向没有外力，动量守恒，所以有mv1-Mv2=0又因为M=ρVV=Qt由以上各式带入数据解得t=50s变式2甲、乙两小孩各乘一辆冰车在水平冰面上游戏．甲和他的冰车的总质量共为M=30kg，乙和他的冰车的总质量也是30kg．游戏时，甲推着一质量为m=15km的箱子，和他一起以大小为v0=2m/s的速度滑行．乙以同样大小的速度迎面滑来．为了避免相撞，甲突然将箱子沿冰面推给乙，箱子到乙处时乙迅速把它抓住．若不计冰面的摩擦力，求甲至少要以多大的速度(相对于地面将箱子推出，才能避免和乙相碰．分析与解答：设甲推出的箱子速度为v，推出后甲的速度变为v1，取v0方向为正方向，据动量守恒有(M＋mv0＝Mv1＋mv．乙抓住箱子的过程，动量守恒，则Mv＋mv0=(M＋mv2.甲、乙两冰车避免相撞的条件是v2≥v1，取v2=v1．联立并代入数据解得v=5.2m/s．变式3如图所示，在光滑水平面上有木块A和B，mA=0.5kg，mB=0.4kg，它们的上表面是粗糙的，今有一小铁块C，mC=0.1kg，以初速v0=10m/s沿两木块表面滑过，最后停留在B上，此时B、C以共同速度v=1.5m/s运动，求：6（1）A运动的速度vA=？（2）C刚离开A时的速度vC′=?分析与解答：（1）对ABC由动量守恒得mCv0=mAvA+（mB+mC）v上式带入数据得vA=0.5m/s（2）当C刚离开A时AB有共同的速度vA，所以由动量守恒得mCv0=（mA+mB）vA+mCvC′上式带入数据得vC′=5.5m/s变式4质量为M的小车，如图5－11所示，上面站着一个质量为m的人，以v0的速度在光滑的水平面上前进。现在人用相对于小车为u的速度水平向后跳出后，车速增加了多少？分析与解答：以人和车作为一个系统，因为水平方向不受外力，所以水平方向动量守恒。设人跳出后，车对地的速度增加了△v，以v0方向为正方向，以地为参考系。由动量守恒定律：(M＋mv0=M(v0+△v－m[u－(v0＋△v]动量守恒定理相隔一定距离的A、B两球，质量均为m，假设它们之间存在恒定斥力作用，原来两球被按住，处于静止状态.现突然松开两球，同时给A球以速度v0，使之沿两球连线射向B球，而B球初速为零.设轨道光滑，若两球间的距离从最小值(两球未接触到刚恢复到原始值所经历的时间为t，求两球间的斥力.分析与解答：作出示意图，如图所示.当A、B相距最近时，二者速度应相等，设为u，当二者距离恢复原始值时，设A、B的速度分别为v1、v2，整个过程经历的时间为t/。对B球，由动量定理得：Ft=mv2-mu由动量守恒得mv0=2mumv0=mv1+mv2整个过程中A、B两球对地的位移相等，则：/2/1022tvtvv=+1v2vuvu7解得：tmvF20=变式1如图所示，一块足够长的木板，放在光滑水平面上，在木板上自左向右放有序号是1、2、3、…、n的木块，所有木块的质量均为m，与木板间的动摩擦因数均为μ，木板的质量与所有木块的总质量相等。在t=0时刻木板静止，第l、2、3、…、n号木块的初速度分别为vo、2vo、3vo、…、nvo，方向都向右.最终所有木块与木板以共同速度匀速运动.试求：⑴所有木块与木板一起匀速运动的速度vn⑵从t=0到所有木块与木板共同匀速运动经历的时间t⑶第(n-1号木块在整个运动过程中的最小速度vn-1分析与解答：⑴对系统，由动量守恒得m（vo+2vo+3vo+…+nvo）=2nmvn由上式解得vn=(n+1vo/4⑵因为第n号木块始终做匀减速运动，所以对第n号木块，由动量定理得-μmgt=mvn-mnvo由上式解得t=(3n-1v0/4μg⑶第(n-1号木块与木板相对静止时，它在整个运动过程中的速度最小，设此时第n号木块的速度为v。对系统，由动量守恒得m(vo+2vo+3vo+…+nvo=(2n-1mvn-1+mv对第n-1号木块，由动量定理得-μmgt/=mvn-1–m(n-1vo对第n号木块，由动量定理得-μmgt/=mv-mnvo解得vn-1=(n-1(n+2vo/4n如图所示，半径为R的光滑半圆上有两个小球BA、，质量分别为Mm和，由细线挂着，今由静止开始无初速度自由释放，求小球A升至最高点C时BA、两球的速度？分析与解答：A球沿半圆弧运动，绳长不变，BA、两球通过的路程相等，A上升的高度为Rh=；B球下降的高度为242RRHππ==；对于系统，由机械能守恒定律得：KPEE∆=∆-；2(212vmMmgRRMgEP+=+-=∆∴πmMmgRRMgvc+-=∴2变式1如图所示，均匀铁链长为L，平放在距离地面高为L2的光滑水平面上，其长度的51悬垂于桌面下，从静止开始释放铁链，求铁链下端刚要着地时的速度？8分析与解答：1、选取地面为零势能面：2212102(51254mvLmgLLmgLmg+=-+方法2、桌面为零势能面：2212(1051mvLLmgLmg++-=-解得：gLv7451=变式2质量为m的物体甲和质量为2m的物体乙系在绕过定滑轮的细绳的两端，甲和乙距地面的高度都为（如图2所示），若将它们都由静止开始松手，甲在以后的运动中始终没有碰到滑轮，当甲运动到最高点时距地面的高度h为多少？（滑轮摩擦和空气阻力不计）。分析与解答：此题可分两个过程来研究，乙着地前为第一个过程，可用机械能守恒定律求出乙着地时甲的即时速度。乙着地后为第二个过程，可求出乙着地后甲又升高的最大高度。取地面为零势能参考面，刚松手时甲和乙的总机械能E1=(m甲+m乙gh1设乙着地前甲和乙的速度都为v，乙着地前甲和乙的总机械能212(212(vmmhgmE乙甲甲++=对系统运用机械能守恒定律211(212(vmmghmghmm乙甲甲乙甲++=+将m乙=2m甲代入上式解得v2=2gh1/3。乙刚着地时甲的总机械能E甲=21212vmghm甲甲+甲上升到最大高度h时，甲的总机械能E甲’=m甲gh对甲运用机械能守恒定律得ghmvmghm甲甲甲=+21212将v2=2gh1/3代入上式解得甲上升的最大高度h=7h1/3。.如图所示，半径分别为R和r的甲、乙两个光滑的圆形轨道安置在同一竖直平面上，轨道之间有一条水平轨道CD相通，一小球以一定的速度先滑上甲轨道，通过动摩擦因数为μ的CD段，又滑上乙轨道，最后离开两圆轨道，若小球在两圆轨道的最高点对轨道的压力都恰好为零，试求CD段的长度.分析与解答：设小球通过C点时的速度为Cv，通过甲轨道最高点的速度为1v，根据小球对轨道压力为零有9Rvmmg21=取轨道最低点所在水平面为参考平面，由机械能守恒定律有21221221mvRmgmvC+⋅=联立可得gRvC5=同理可得小球通过D点时的速度grvD5=设CD段的长度为l，对小球通过CD段的过程，由动能定理有222121CDmvmvmgl-=-μ解得：μ2(5rRl-=变式1宇航员在月球表面完成下面实验：在一固定的竖直光滑圆弧轨道内部的最低点，静止一质量为m的小球（可视为质点）如图所示，当给小球水平初速度v0时，刚好能使小球在竖直面内做完整的圆周运动.已知圆弧轨道半径为r，月球的半径为R，万有引力常量为G.若在月球表面上发射一颗环月卫星，所需最小发射速度为多大？[解析设月球表面重力加速度为g，月球质量为M.∵球刚好完成圆周运动，∴小球在最高点有rvmmg2=从最低点至最高低点有22021212(mvmvrmg-=可得rvg520=∵在月球表面发射卫星的最小速度为月球第一宇宙速度∴RrrvgRRGMv50min===变式2如图所示，游乐列车由许多节车厢组成。列车全长为L，圆形轨道半径为R，（R远大于一节车厢的高度h和长度l，但L>2πR）.已知列车的车轮是卡在导轨上的光滑槽中只能使列车沿着圆周运动，在轨道的任何地方都不能脱轨。试问：在没有任何动力的情况下，列车在水平轨道上应具有多大初速度v0，才能使列车通过圆形轨道而运动到右边的水平轨道上？分析与解答：当游乐车灌满整个圆形轨道时，游乐车的速度最小，设此时速度为v，游乐车的质量为m，则据机械能守恒定律得：1022021221mvgRLmRmv+=π要游乐车能通过圆形轨道，则必有v>0，所以有LgRv20>变式3如图所示，半径为r,质量不计的圆盘与地面垂直，圆心处有一个垂直盘面的光滑水平固定轴O，在盘的最右边缘固定一个质量为m的小球A，在O点的正下方离O点r/2处固定一个质量也为m的小球B。放开盘让其自由转动，问：（a）A球转到最低点时的线速度是多少？（b）在转动过程中半径OA向左偏离竖直方向的最大角度是多少？分析与解答：该系统在自由转动过程中，只有重力做功，机械能守恒。设A球转到最低点时的线速度为VA，B球的速度为VB，则据机械能守恒定律可得：mgr-mgr/2=mvA2/2+mVB2/2据圆周运动的知识可知：VA=2VB由上述二式可求得VA=5/4gr设在转动过程中半径OA向左偏离竖直方向的最大角度是θ（如图所示），则据机械能守恒定律可得：mgr.cosθ-mgr(1+sinθ/2=0易求得θ=sin-153。变式4如图所示，滑块A的质量m=0.01kg，与水平地面间的动摩擦因数μ=0.2，用细线悬挂的小球质量均为m=0.01kg，沿x轴排列，A与第一只小球及相邻两小球间距离均为s=2m，线长分别为L1、L2、L3…(图中只画出三只小球，且小球可视为质点.开始时，滑块以速度v0=10m/s沿x轴正方向运动，设滑块与小球碰撞时不损失机械能，碰撞后小球均能在竖直平面内完成完整的圆周运动并再次与滑块正碰，g取10m/s2，求:(1滑块能与几个小球碰撞？(2求出碰撞中第n个小球悬线长Ln的表达式.(3滑块与第一个小球碰撞后瞬间，悬线对小球的拉力为多大？分析与解答：(1因滑块与小球质量相等且碰撞中机械能守恒，所以滑块与小球相碰撞会互换速度，小球在竖直平面内做圆周运动，机械能守恒，设滑块滑行总距离为s0，有:200210mvmgs-=-μ得s0=25m11120==ssn个(2滑块与第n个小球碰撞，设小球运动到最高点时速度为vn′对小球由机械能守恒定律得:nnnmgLvmmv2212122+'=小球恰好到达最高点，则nnLvmmg2'=对滑块由动能定理得:2022121mvmvmgnsn-=-μ由以上三式得:254505220nggsnvLn-=-=μ(3滑块做匀减速运动到第一个小球处与第一个小球碰前的速度为v1，则有:20212121mvmvmgs-=-μ由于滑块与小球碰撞时不损失机械能，则碰撞前后动量守恒、动能相等，滑块与小球相互碰撞会互换速度，碰撞后瞬间小球的速度也为v1，此时小球受重力和绳子的拉力作用，由牛顿第二定律得:121LvmmgT=-因为mmL25462514501=⨯-=由以上三式得:T=0.6N变式5用长为L的细线系一个质量为m的小球（小球可以视为质点），线的一端固定在空间的O点。先将小球拉至图中的P位置，使OP水平，然后无初速释放小球。当小球绕O点转动150º到达Q位置时，细线碰到了一个固定的细钉子M，此后小球开始绕M做圆周运动。已知OM的长度是4L/5，求：⑴小球到达O点正下方的S点时细线对小球的拉力F1多大？⑵小球到达Q位置时的速度v1多大？⑶小球绕M做圆周运动到达最高点N时的速度v2多大？⑷小球通过最高点N时细线对小球的拉力F2是多大？20．⑴小球下摆90º过程机械能守恒：221SmvmgL=，在该点拉力F1和重力的合力充当向心力：LmvmgFs21=-，得F1=3mg⑵小球P到Q过程机械能守恒：21212mvLmg=得gLv=112⑶小球P到N过程机械能守恒：22o215130sin54(mvLLmg=-得522glv=⑷在N点，重力和拉力F2的合力充当向心力：5/222LmvmgF=+得F2=mg如图所示，光滑水平面上的长木板，右端用细绳栓在墙上，左端上部固定一轻质弹簧，质量为m的铁球以某一初速度（未知）在木板光滑的上表面上向左运动，压缩弹簧，当铁球速度减小到初速度的一半时，弹簧的弹性势能等于E，此时细绳恰好被拉断，从而木板向左运动，为使木板获得的动能最大，木板质量应多大？木板动能的最大值是多少？分析与解答：设球的初速度为0v，木板质量为M。对球、弹簧，由机械能守恒定律有Evmmv+=20202(2121.为使木板获得的动能最大，须使铁球与弹簧分离后（即弹簧恢复到原长）的速度为零。.对木板、铁球，由动量守恒定律有Mvvm=⋅2.对木板、铁球，由机械能守恒定律有2202121Mvmv=.联立以上三式，解得：4mM=.木板动能的最大值是EK=221Mv=34E.变式1如图所示，在光滑水平地面上有一木块A质量为m，靠在竖直墙壁上，用一轻质弹簧与质量为2m的物体B相连.现用力向左推B，使弹簧压缩至弹性势能为E0，然后突然释放.(1分析此后弹簧的弹性势能何时再次达到最大值；(2求A所获得的最大速度和最小速度.分析与解答：(1当vA=vB时弹簧的弹性势能最大.弹簧第一次恢复原长时，由机械能守恒得:020221EmvB=,所以mEvB00=.弹簧第一次被拉伸至最长时,由动量守恒定律和机械能守恒定律得:132mvB0=(2m+mv，022(21EEvmmp=++.解得:30EEp=.(2A获得最大速度和最小速度出现在其加速和减速过程结束的时刻，及弹簧处于原长时，此时Ep=0，由动量守恒定律和机械能守恒定律得:BABmvmvmv220+=,22022121BAmvmvE+=.解得:mEvvAA02134,0==，此两速度分别为A所获得的最小速度和最大速度.变式2在光滑水平地面上放有一质量为M带光滑弧形槽的小车，一个质量为m的小铁块以速度V0沿水平槽口滑去，如图所示，求：(1铁块能滑至弧形槽内的最大高度：(设m不会从左端滑离M(2小车的最大速度；(3若M＝m，则铁块从右端脱离小车后将作什么运动？分析与解答：(1铁块滑至最高处时，有共同速度V由动量守恒定律得：mV0＝(M+mV.由能量守恒定律得：22022(mgHmVMmV=-+..解得：202(MVMmgH+=(2铁块从小车右端滑离小车时，小车的速度最大为V１，此时铁块速度为V２，由动量守恒定律得：mv＝MV１+mV２.由能量守恒定律得：222111012mVmVMV=+..解得：10MmVV+=(3由上面.解得:20mMMmVV-+=.由已知当M＝m时，.得：V2＝０又因铁块滑离小车后只受重力，所以做自由落体运动．变式3如图所示,在光滑水平地面上有一辆质量为M的小车,车上装有一个半径为R的光滑圆环.一个质量为m的小滑块从跟车面等高的平台上以速度V0滑入圆环.试问:小滑块的初速度V0满足什么条件才能使它运动到环顶时恰好对环顶无压力?分析与解答：滑块至圆环的最高点且恰好对环顶无压力，应有2vmgm=14对圆心O的线速度，方向向左。设小车此时速度u，并以该速度方向为正方向，则滑块的对地速度为.(uv--对滑块和小车组成的系统，由于水平方向所受合外力为零，由动量守恒有0(mvMumvu=--由滑块和小车系统的机械能守恒有2220(2mvMumvumgR=+-+三式联立求解得：RgmMv45(0+=变式4如图所示，质量为M的长板静置在光滑的水平面上，左侧固定一劲度系数为K且足够长的水平轻质弹簧，右侧用一根不可伸长的细绳连接于墙上（细绳张紧），细绳所能承受的最大拉力为T。让一质量为m、初速为v0的小滑块在长板上无摩擦地对准弹簧水平向左运动。试求：⑴在什么情况下细绳会被拉断？⑵细绳被拉断后，长板所能获得的最大加速度多大？⑶滑块最后离开长板时，相对地面速度恰为零的条件是什么？分析与解答：⑴m对弹簧的弹力大于等于细绳的拉力T时细绳将被拉断，有：T=kx021201kxmv≥解得mkTx=⑵细绳刚断时小滑块的速度不一定为零，设为v1，由机械能守恒有：201211201kxmvmv+=∴mkTvv2201-=当滑块和长板的速度相同时，设为v2，弹簧的压缩量x最大，此时长板的加速度a最大，由动量守恒和机械能守恒有mv1=(M+mv222222202(kxvmMmv++=kx=aM解得(1220TkMvmMmMa++=设滑块离开长板时，滑块速度为零，长板速度为v3，由动量守恒和机械能守恒有mv1=Mv3232202Mvmv=解得kMmTv0-=m>M变式5用长为L的细绳悬吊着一个小木块,木块的质量为M,一颗质量为m的子弹以水平速度v射入木块,并留在木块中,和木块一起做圆周运动,为了保证子弹和小木块15一起能在竖直平面内做圆运动,子弹射入木块的初速度v的大小至少是多少?分析与解答：在子弹射入木块的过程中，子弹和木块组成的系统动量守恒，根据动量守恒定律可得：mv=(M+mv1所以v1=mMmv+子弹和木块一起运动后，绳的拉力不做功，只有重力做功。它们从最低点运动到最高点的过程中，根据动能定理有：-（M+m）g×2L=22(21vmM+-21(21vmM+为了保证子弹和木块一起能在竖直平面内做圆周运动，在最高点它们的速度不能为零。在最高点它们所受的向心力等于重力时速度最小。（M+m）g=(M+mlv22由以上三个方程联立求解可得：v1=mmM+gl即：子弹射入木块的速度至少是mmM+gl变式6如图所示，滑块A1A2由轻杆连结成一个物体，其质量为M，轻杆长L。滑块B的质量为m，长L/2，其左端为一小槽，槽内装有轻质弹簧。开始时，B紧贴A，使弹簧处在压缩状态。今突然松开弹簧，在弹簧作用下整个系统获得动能EK，弹簧松开后，便离开小槽并远离物体A1A2。以后B将在A1和A2之间发生无机械能损失的碰撞。假定整个系统都位于光滑的水平面上，求物块B的运动周期。分析与解答：设弹簧松开后A1A2物体与物体B的速度各为V和v，则有0=+mvMVKEmvMV=+222121解得(2mMMmEVK+-=，(2mMmMEvK+=B和A碰撞前后11MVmvMVmv+=+21212221212121mvMVmvMV+=+解得(11VvVv--=-即碰撞前后，B相对A1A2的速度11Vv-的大小不变，只改变方向。同理可证明，当B与A1碰撞后，也有同样的结果，即相对A1A2，B在以大小不变的相对速度作往返运动。运动的周期为mM(E2MmLVv2/L2TK+⋅=-⋅=变式7如图所示，在倾角为θ的斜面上有一辆小车，车的底板绝缘，金属板A、B、C等大、正对、垂直地安放在车的底板上，它们之间依次相距L，A、B板上各有一等高、正对的小孔，A与B、B与C之间反向连有电动势各为E1、E2的直流电源。小车总质量为M，正以速度v0匀速下滑，此时有一带负电的小球正以速度v（v＜v0）沿A、B板上的小孔的轴线向上飞来，小球质量为m（m＜M），带电荷量为q，其重力可忽略不计，其电量较小，不会改变板间电场，且直径小于A、B板上的孔径，小球运动到B板时的速度为u，试求：⑴小球在A、B板间的运动时间；⑵要使小球刚好打到C板上，E1、E2的大小有何关系？分析与解答：⑴小球在A、B板间受恒定电场力作用做匀加速直线运动，小球所受的电场力F=qE=qE1/L由牛顿第二定律得a=F/m又由于u=v+at解得(1qELvumt-=⑵小球由A至C先做匀加速运动，后做匀减速运动。设小球运动到C之前与小车有相同的速度v′，对小球和小车组成的系统，由动量守恒定律得Mv0—mv=（m+M）v′由小车原来匀速运动知，减少的重力势能恰好等于克服滑动摩擦力做的功，根据能的转化和守恒定律得qE1–qE2=(2202212121mvMvvmM--'+由以上各式解得满足题意的条件是(mMqvvMmEE+++=22012如图所示，P是固定的竖直挡板，A置于光滑水平面上的平板小车（小车表面略低于挡板下端），B是放在小车最左端表面上的一个可视为质点的小物块。开始时，物块随小车一起以相同的水平速度向左运动，接着物块与挡板发生了第一次碰撞，碰后物块相对于静止时的位置离小车最左端的距离等于车长的3/4，此后物块又与挡板发生了多次碰撞，最后物块给恰未从小车上没落。若物块与小车表面间的动摩擦因素是个定值，物块与挡板发生碰撞时无机械能损失且碰撞时间极短暂，试确定小车与物块的质量关系。分析与解答：设小车、物块的质量分别为M和m，车长为L，物块与小车间的动摩擦因素为μ，初速度为v0。第一次碰后由于无机械能损失，因此物块的速度方向变为向右，大小仍为v0，此后它与小车相互作用，当两者速度相等时（由题意知，此速度方向必向左，即必须有M＞m）,有该次相对车的最大位移l对物块、小车系统由动量守恒定律有（M-m）v0=（M+m）v由于某种原能量守恒有(220(2121vmMvmMmgl--+=μ多次碰撞后，物块恰未从小车上滑落，表明最后当物块运动到小车最右端时两者刚好停止运动（或者速度同时趋于零）对物块、小车系统由动量守恒定律有(2021vmMmgL+=μ而l=3L/4得v0=2v解得M=3m变式1如图所示，一质量为M=2kg的足够长的长木板在光滑的水平面上以速度v0=3m/s的速度向右匀速运动，某时刻一质量m=1kg的物体无初速的放在长木板的右端，物体与木板的动摩擦因数μ=0.5，g=10m/s2，求(1物体相对长板的位移多大？(2若在物体无初速放在长木板右端的同时对长木板施加一水平向右的恒力F=7.5N，则在1s内物体的位移为多大？分析与解答：设物体与木板的共同速度为v，由动量守恒定律得Mv0=（M＋m）v设物体相对于木板的位移为s，由能量守恒定律得220(2121vmMMvmgs+-=μ得:mgmMMvs6.0(220=+=μ(2设经时间t1两物体达共同速度v1，对于物体由动量定理得μmgt1=mv1对于物体和木板，由动量定理得Ft1=（M+m）v1－Mv0得:sFgmMMvt8.0(01=-+=μv1=μgt1=4m/s设t1时间内物体发生的位移为s1，由动能定理得21121mvmgs=μ，mgvs6.12211==μ物体和木块达共同速度后相对静止，由牛顿第二定律得:gsmmMFaμ<=+=2/5.2，故物体与木板能保持相对静止.在t2=0.2s内物体发生的位移：mattvs85.0212212=+=物体在1s内发生的位移:s=s1+s2=2.45m变式2一质量M=2kg的长木板B静止在光滑的水平面上，B的右端与竖直挡板的距离为S=0.5m.一个质量为m=1kg的小物体A以初速度v0=6m/s从B的左端水平滑上B，当B与竖直挡板每次碰撞时，A都没有到达B的右端.分析与解答：设定物体A可视为质点，A、B间的动摩擦因数μ=0.2，B与竖直挡板碰撞时间极短且碰撞过程中无机械能损失，g取10m/s2.求:(1B与竖直挡板第一次碰撞前的瞬间，A、B的速度值各是多少？(2最后要使A不从B上滑下，木板B的长度至少是多少？(最后结果保留三位有效数字.解:(1设A、B达到共同速度为v1时，B向右运动距离为S1由动量守恒定律有10(vmMmv+=由动能定理有21121MvmgS=μ联立解得S1=2m由于S=0.5m<2m，可知B与挡板碰撞时，A、B还未达到共同速度.设B与挡板碰撞前瞬间A的速度为vA，B的速度为vB，则由动量守恒定律有BAMvmvmv+=0由动能定理有221BMvmgS=μ联立解得vA=4m/s、vB=1m/s(2B与挡板第一次碰后向左减速运动，当B速度减为零时，B向左运动的距离设为SB，由动能定理有221BBMvmgS=μ由上式解得SB=0.5m在A的作用下B再次反向向右运动，设当A、B向右运动达到共同速度v2时B向右运动距离为S2，由动量守恒定律有2(vmMMvmvBA+=-由动能定理有22221MvmgS=μ解得smv/322=、BSmS<=922故A、B以共同速度sm/32向右运动，B第二次与挡板碰撞后，以原速率反弹向左运动.此后由于系统的总动量向左，故最后A、B将以共同速度v3向左匀速运动.由动量守恒定律有(M-mv2=(M+mv3解得smv/923=设A在B上运动的总路程为L(即木板B的最小长度，由系统功能关系得:2320(2121vmMmvmgL+-=μ代入数据解得L=8.96m变式3如图所示，右端有固定挡板的滑块B放在光滑的水平面上.B的质量为M=0.8kg，右端离墙壁的距离为L=0.09m.在B上靠近挡板处放一个质量为m=0.2kg的小金属块A.A和挡板之间有少量炸药.A和B之间的动摩擦因数μ=0.2.点燃炸药，瞬间释放出化学能.设有E0=0.5J的能量转化为A和B的动能.当B向右运动与墙壁发生碰撞后，立即以碰前的速率向左运动.A始终未滑离B.g=10m/s2，求:(1A和B刚开始运动时vA、vB；(2最终A在B上滑行的距离s.分析与解答：(1A和B在炸药点燃前后动量守恒，设向左为正mvA–MvB=00222121EMvmvBA=+解得vA=2m/s方向向左vB=0.5m/s方向向右(2B运动到墙壁处时，设A和B的速度分别为Av'和Bv'对A和B，设向左为正，由动量守恒定律有mvA–MvB=mAv'-MBv'对B由动能定理有222121BBMvvMmgL-'=-μ解得Av'=1.6m/sBv'=0.4m/s设A和B最终保持相对静止时的共同速度为v由动量守恒定律得mAv'+MBv'=(M+mv由功能关系有20(21vmMmgsE++=μ求出s=0.75m变式4如图所示，长L=12m，右端有一弹簧夹的木板，质量M=5kg，放在水平面上，木板与地面间的动摩擦因数为0.1，质量m=5kg的电动小车（可视为质点）位于木板的左端，小车启动后以4m/s2的加速度匀加速地向木板右端驶去，当小车撞击弹簧夹后被立即切断电源，且被弹簧夹子卡住.取重力加速度g=10m/s2，求：(1小车从启动到被卡住所经历的时间.(2从小车启动到最终木板静止，木板的总位移.分析与解答：（1）在木板对小车的摩擦力F作用下小车作匀加速运动，加速度41=am/s2，F=ma1=20N设木板向左的加速度为a2，木板受小车的摩擦力F′=F和地面的摩擦力作用，由牛顿第二定律有F′－μ(m+Mg=Ma2加速度22=am/s2依题意有Ltata=+22212121小车从启动到被卡住所经历的时间212aaLt+=＝2s（2）小车与弹簧夹碰撞前的速度，方向向右v1＝a1t＝8m/s木板此时的速度，方向向左v2＝a2t＝4m/s木板向左的位移42122==tasm小车与弹簧夹碰撞过程中系统动量守恒，以向右为正方向，则有：2(2121=+-=∴+=-MmMvmvvvMmMvmv共共m/s此后小车和木板一起向右滑行,设木板向右移动s′停止,由动能定理有：(210(2共vMmsgMm+-='+-μs'=2m木板移动的总位移2='-sss＝总m方向向左变式5如图所示，在光滑的水平面上有一辆长平板车，它的中央放一个质量为m的小物块，物块跟车表面的动摩擦因数为μ，平板车的质量M=2m，车与物块一起向右以初速度v0匀速运动，车跟右侧的墙壁相碰.设车跟墙壁碰撞的时间很短，碰撞时没有机械能损失，重力加速度为g.(1平板车的长度至少是多大时，小物块才不会从车上掉落下来？(2若在车的左侧还有一面墙壁，左右墙壁相距足够远，使得车跟墙壁相碰前，车与小物块总是相对静止，车在左右墙壁间来回碰撞，碰撞n次后，物块跟车一起运动的速度大小是多大？(3小物块在车表面相对于车滑动的总路程是多少？分析与解答：(1平板车跟右侧墙壁相碰后速度大小不变、方向反向，车与物块有相对运动，车与物块之间的滑动摩擦力f=μmg设物块与车共同速度为v1，对车与物块组成的系统，根据动量守恒定律有(M-mv0=(M+mv1设平板车的长度至少为L，根据能量守恒有fLvmMvmM21(21(212120=+-+解得gvLμ3820=(2由第(1问可解得v1=v0/3即平板车和物块一起以速度v1向左运动，跟左侧墙壁碰撞，同样讨论可得:11v2v1(2v0.依次类推可知，经过n次碰撞后，一起运动的速度大小是331nvn(v03(3经过足够多次的碰撞后，由于不断有摩擦力做功，最终物块和平板车的速度都变为零，则在整个过程中，平板车和物块的动能都克服摩擦力做功转化为内能，因此有:mgs12(Mmv0223v0.2g则物块相对于车滑动的总路程是:s变式6如图所示，质量为M=1kg的平板车左端放有质量为m=2kg的物块(看成质点，物块与车之间的动摩擦因数μ=0.5.开始时车和物块以v0=6m/s的速度向右在光滑水平面上前进，并使车与墙发生正碰，设碰撞时间及短,且碰撞后车的速率与碰前的相等，车身足够长，使物块不能与墙相碰，取g=10m/s2，求:(1小车与墙第一次相碰以后小车所走的总路程.(2为使物块始终不会滑出平板车右端，平板车至少多长？mv0M分析与解答：(1因为小车与墙第一次相碰以后向左运动的过程中动量守恒，取向右的方向为正,得:mv-Mv=(M+mv