二次函数零点的分布专题训练

二次函数零点的分布专题训练一、单选题.若方程伏-1)/—2x+3=0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是()4444A,k<—B.k>—C.k<—,且kwlD.k>—,且〃wl3333.己知函数/(x)=g(其中无理数e=2.718…)，关于x的方程"T斤+7去G="有四个不等的实根，则实数4的取值范围是()f'AA,B.(2,+s)C.e-4A,B.(2,+s)C.[4e)「，X"0,函数g(x)=/2(x)-"(x)+f(f£/?),若函数lgx,x>0g(x)有四个零点,则实数广的取值范围是OA.[3,4)B.[1g5,4)C.[3,4)u{lg5}D.(-3,41felnxI〉。XX>»g(x)=-(2〃7-l)/(x)-2，若函数g(x)恰有42020a\x<0个不同的零点，则实数加的取值范围为()A,7z?<0B.m<1C.〃7〉2D.m>1.函数/(力=仅一3)/,关于,丫的方程尸(耳_0(力+1=0恰有四个不同实数根,则正数〃？的取值范围为()TOC\o"1-5"\h\z(6/、(6i、A.(0,2)B.(2,+s)C.0.—+—D.不+―,+s166yl[e6.已知/(x)=ke[又且5)=尸0)-/(刈+1«£/?)有四个零点，则实数f的取值范围是()Jix>0.已知函数/(#={/,关于x的方程/lx)—3/(x)+o=0(aeR)一厂一2x+l,xK0有8个不等的实数根，则。的取值范围是()134(9、A.(3,—)B.(2,3)C.(—,4)D.2,—43k4J2vH+2r<0.已知函数/")=<J-'若关于x的方程2#V)+3a=0有六个[log?,X>u,不相等的实数根，则实数。的取值范用为()A.(3,b.C.(3,4)D.(3,4]二、填空题./(■¥)=/+?(凡〃是正实数)只有一个零点，则4〃的最大值为.4.若方程^+a—2)X+2Z—1=0的两根中，一根在0和1之间，另一根在1和2之间，则实数A的取值范围是..关于“的方程，加+2(洲+3.+2冽+14=0有两实根,且一个大于4,一个小于4,则/〃的取值范围为..己知函数/(X)=N+COSX,若方程L(x)-，"x)+3=。有四个不等实根，则实数4的取值范围为.l-x2,x<0.函数/(x)满足/口-)=4/,,若方程"(x)『一2〃/(#+/-2=0有---e9x>0四个不相等的实数根，则实数〃7的取值范围为.三、解答题.若函数y=3/—51+。的两个零点分别为苍，毛，且有一2C演<0,1<公<3,试求出。的取值范围..关于％的方程4*+(〃7-3)-2'+〃?=0有两个不等的实数根，求实数〃?的取值范围..己知函数/(x)=V-m/+；〃，在区间(。，4)上有两个不同的零点，求实数〃?的取乙值范制.试讨论当实数k取不同值时，关于x的方程(2、一I)?—2'+l=k的解的个数.

参考答案参考答案c【解析】【分析】[〃—100由题意可得〈A1口〃八，从而可求出实数k的取值范围.[A=4-12(Ar-l)>0【详解】解：由方程有两个不相等的实数根可知，此方程为一元二次方程且判别式大于零，即可得[攵一1二04[A=4-12伙-1)>0'解得k<二且""故选:C.【点睛】本题考查了一元二次方程根的分布问题.本题的关键是由不同两根得判别式大于零.本题的易错点是忽略了kwl这一条件.C【解析】【分析】利用导数研究/(X)的单调性和极值，由此画出了(X)的图像令f=g(x)=77W,将方有四个不等的实根转化为产一力+1=0在o，f有四个不等的实根转化为产一力+1=0在o，f上各有一实根来求解，结合二次函数的根的分布列不等式，解不等式求得X的取值范围.【详解】依题意可知函数的定义域为(一吟0)5°68)•且/‘(x)=m^•所以XXf(x)在(一8,0),(2,+8)上递增,在(0,2)上递减,且〃2)=U,由此画出的图像4如下图所示.令f=g(x)="(x),则f=g(x)的单调性与/(x)相同，且g(2)=q.乙的方程"(x)+rTTT的方程"(x)+rTTT=2:呜｝\乙Z上各有一实根.令〃(。=/-力+l〃(o)=i>o,所以力图<0,即有四个不等的实根，所以，+1=%,即产—川+1=0在

t‘2ec2(e2-2--+K0,所以4>£+W.所以实数X的取值范围是-+-.+OO422e\2e故选：C【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值，考查根据方程零点的个数求参数的取值范闱，考查数形结合的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.A【解析】【分析】做出了(x)的图象，判断/(x)=〃7的根的情况，根据g(x)=o的根的个数判断_4m+f=0的根的分布，利用二次函数的性质列出不等式组解出t的范|制.【详解】解：作出函数“x)=E0的图象如图，1gx,x>0令/(x)=m,则g(x)=o化为〃/一4〃?+f=0,由图象可知当用之/时，/(x)=〃7有两解，•・・且。)有四个零点，・・・〃72—4m+，=0在［1，+8)有两个不等实数根，A=16-4/>0.•・<2/w>1,解得3<f<4,12-4+/>0・•・实数，的取值范围是［3,4).故选：A.【点睛】本题考查了函数零点的个数判断，基本初等函数的性质，属于中档题.A【解析】【分析】求函数研究函数的单调性和极值，作出函数的图象，设/=/(#,若函数双幻恰有4个零点，则等价为函数〃(/)=--(2〃?-1)/-2恰有两个零点，且满足利用一元二次方程根的分布进行求解即可.【详解】解：当x〉o时，r(x)J"3,由/'(A)〉。得：1一力优>。，解得0cxee，由r(x)<0得：i—/“xvo,解得x>e,即当x=e时，函数/(x)取得极大值，同时也是最大值，/(e)=l,当Xf2,/⑶-0+,当x.o+,作出函数/")的图像如图,设，=/(X)，则g(x)=f22,等价为h")=r-(2m-l)t-2f函数g(x)恰有4个不同的零点等价于〃(/)=/-(2〃?-1)—2有两个零点，且f<1,因为仅。=一一(2/〃一1)/一2过定点(0、一2),开口朝上,所以只需A(l)=f-(2m-l)xl-2=-2〃?>0,即〃？<0故选：A【点睛】本题主要考查函数与方程的应用，利用换元法进行转化一元二次函数根的分布以及求函数的导数，研究函数的/W的单调性和极值是解决本题的关键，属于难题.D【解析】【分析】利用导函数讨论函数单调性与极值情况，转化为讨论产-〃〃+1=0的根的情况，结合根的分布求解.【详解】r(x)=(x?+2x—3)e'=(x+3)(x—1)/,令得x=—3或x=l,当x<—3时，ff(x)>0,函数/(x)在(—8,-3)上单调递增，且〃x)>0;当一3vxvl时,r(x)<0,函数/(x)在(一3』)上单调递减；当x>l时，/(工)>0,函数/(x)在(1,包)上单调递增.所以极大值/(一3)=|,极小值/(l)=-2e,作出大致图象：令=则方程尸―加+1=0有两个不同的实数根,且一个根在(0,内，另一个根在(5,+8)内，或者两个根都在(―2e,o)内.因为两根之和〃?为正数，所以两个根不可能在(-2e,0)内.令g(x)=W—〃a+1,因为g(O)=l>O,所以只需g—<0,即一一_?+1<0,得)ee6"(6/、团>十―，即加的取值范围为—+—,+oo.e，6{e6)故选：D【点睛】此题考查复合函数零点问题，根据零点个数求参数范围，关键在于准确讨论函数/(x)=(V-3)，图象特征，结合二次方程根的分布知识求解.A【解析】【分析】由题意首先将函数写成分段函数的形式研究函数/(X)的性质，然后结合二次函数的性质研究更合函数g(X)的性质即可确定实数f的取值范围.【详解】xe\x>0-xe\x<0当x>0吐/'(x)=ex+xe)O恒成立，所以儿t)在［0,+8)上为增函数;当x<0时,f(x)=-/-x"=-e\x+l),由/(x)=0,得.v=T,当％£(-8,-1)时/(X)=-£"+1)>0/)为增函数,当(-1,0)时代。=-吸叶1)<0段)为减函数，所以函数穴X)=M|在(-8⑨上有一个最大值为/(-1)=则函数/(x)的大致图象如图所示：/令危)=加,要使方程f(k)-犯)+1=。(/eR)有四个实数根，则方程勿?+1=0应有两个不等根，且一个根在0,—内，一个根在L+00］内.IeJWJ再令/?(〃尸〃二〃?+1,因为颂尸1>0,则只需/?仕］<0,即仕］一,1+1<0,解得”二^.\e)\e)ee故选A.【点睛】本题主要考查导函数研究函数的单调性，导函数研究函数的零点等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.D【解析】【分析】根据题意，作出函数f(x)的图象，令的(x)=f,g(f)=尸-3f+a,结合函数的图象可知，只需函数g(。在区间(1,2)上与，轴有两个不同的交点，利用二次函数的性质求出

实数〃的取值范围即可.【详解】根据题意，作出函数/（X）的图象如图所示：令/（X）=f，由图可知，关于f的方程产一3f+o=0在区间（L2）上有两个不等的实数根,令g（f）=r—3f+a,则函数g（f）在区间（1,2）上与/轴有两个不同的交点，g(l)=

g(l)=

g(2)=l-3+a＞094—6+。〉0,解得2＜。＜一,

49所以实数。的取值范围为2＜。.4故选：D【点睛】本题考查分段函数图象的作法、一元二次方程根的分布问题及一元二次函数的性质；考查数形结合思想、换元思想和运算求解能力；正确作出函数/（X）的图象和熟练掌握一元二次函数的性质是求解本题的关键；属于综合型、难度大型试题.B【解析】【分析】令/*）=/,则产—2必+3。=0,由图象分析可知产—2々+3。=0在（2,4］上有两个不同的根，再利用一元二次方程根的分布即可解决【详解】令/(”=，，则产一2m+3。=0,如图y=f与y=/(x)顶多只有3个不同交点，要使关于x的方程一2c(f(x)+3a=0有六个不相等的实数根，则t2-2at+3a=0有两个不同的根4He(2,4],设g⑴=1_2at+3a由根的分布可知，△=4。二一12。＞0nw(2,4)g(2)>0g(4)20故选：B.【点睛】本题考查复合方程根的个数问题，涉及到一元二次方程根的分布，考查学生转化与化归和数形结合的思想，是一道中档题.1—16【解析】【分析】先由二次函数零点个数，得到△=(6,—4(-〃+[)=0,再由基本不等式，即可求出结果.【详解】因为二次函数小)二…向+；3b是正实数)只有一个零点,所以△二(«)

firrl.1“I(a+4b\144I2J16当且仅当。=4〃=工时，等号成立.2故答案为：—•16【点睛】本题主要考查由基本不等式求积的最大值，熟记基本不等式，以及二次函数的零点个数问题即可，属于常考题型.12、】。.(5卬【解析】设F(x)=a;+(A—2)x+2A—1,21〉21〉034-2<041〉0由题意知｛/(1)<0即<.〃2)>0(12、答案为:点睛：解本题的关键是处理二次函数在区间上的零点问题，对于二次函数的研究一般从以几个方面研究：一是，开口；二是，对称轴，主要讨论对称轴与区间的位置关系；三是，判别式，决定于X轴的交点个数；四是，区间端点值.19八11.--<m<03【解析】【分析】/w>0m<0%(4)〈。或另4)>。时'可求得结果.【详解】

.m>0m<0设f(x)=mx~+2(m+3)x+2刑+14,则当｛<o或(f⑷〉0时，符合题意，fm>0fm>0[//7x42+2(n7+3)x4+2/Z74-14<0m<0,,解得《mx4一+2(7/7+3)x4+2m+14>019，所以此时无解;m<13m<01919，所以一一<小<0：m>--31319故答案为：——<w<0.3【点睛】本题主要考查了函数与方程根的问题，关键运用二次项的系数与特殊点的函数值的正负的关系，属于中档题.12,仅34)【解析】【分析】先判断的性质，结合方程尸3-"(小3=0有四个不等实根，可求实数。的取值范围.【详解】因为/(—X)=N+cosX=f(x),所以/*)为偶函数；当xNO时，/V)=l-smx>0,为增函数,所以/(x)N/(0)=l；/⑴-皿(小3=0有四个不等实根，即/(内)>1,/(工)>1,且则A>0<1-«+3>0,解得2小<〃<4,即实数。的取值范围为(2万,4).512【点睛】本题主要考查函数的性质及根的分布问题，根的分布结合根的情况列出限定条件是求解的关键，侧重考查数学抽象的核心素养.13--5/2</n<l-V2或m>1+5/2或m=5/2

【解析】【分析】作出函数/(X)的图象，利用换元法转化为一元二次方程根的个数，利用函数与方程之间的关系转化为二次函数，利用根的分布进行求解即可.【详解】解：当x〉o时，函数/‘(刈="":"二"'(：一1),X"厂则当x>l时，f\x)>0,函数为增函数，当0cx<1时，f\x)<0,函数为减函数，即当x=1时函数取得极小值，同时也是最小值/⑴=e—e=0,画出的图象如图所示，设，=/W，则二次方程等价为产一2mt+一2=0,设g«)=产一2〃"+〃/一2，要使方程"(x)『一2〃/(x)+〃/一2=。，有4个不相等的实数根，等价为方程r-2mt+62—2=0有两个根，一个根乙£(0,1］内,一个根G£S0)或者a冉€(1,80)或4=0,q£(1,+co)j当时，g当时，g⑼="-2<0g(l)=1-2m+nr-2>0解得一衣</??<1-V2；A=(2m)2-4(w2-2)>0当乙,%£（1,+00）时，，2g(l)=1-当乙,%£（1,+00）时，，2g(l)=1-2m+/n2-2>0解得：/;?>1+>/2：当a=0乩£（1，+°°）时，g（0）=m2-2=0,解得「二土"将/〃=±J5代入/一2/川+团2—2=0得〃±2"=0,则t=2符合，即m=5/2符合,综合得一或＜加＜1一&或加＞1+或"?=JL故答案为：-立41一&或机＞1+J了或m=五・【点睛】本题主要考查函数与方程的应用，作出函数图象，利用换元法转化为一元二次函数，利用根的分布是解决本题的关键.注意利用数形结合.14.-12<a<0.【解析】【分析】根据题意，利用二次函数的性质和根的分布，列出不等式组，即可求出实数。的取值范围.【详解】令/(工)=3X2-5x4-6/'7(-2)>0/(0)<0"八A得。的取值范围是一12Vq<0./⑴<0./(3)>0故实数。的取值范围为—12＜0.【点睛】本题主要考查一元二次方程根的分布与系数的关系，二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于基础题.【解析】【分析】利用换元法转化为一元二次方程根的问题，结合判别式与韦达定理即可求解.【详解】令f=21〉0,则关于x的方程4'+(w-3)•T+m=0有两个不相等的实数根即为关于t.A=(加一3)一一4加>0,的方程t2+—3)•f+/”=0有两个不相等的正实数根，所以一3<0,解m>0,得0vmv1,所以实数m的取值范围为(0,1).【点睛】本题主要考查一元二次方程根的分布问题，考查换元法与转化思想，属于基础题.16.【解析】【分析】根据函数的零点分布结合草图建立不等式组即可得解.【详解】根据题意，抛物线与X轴有两个不同的交点，且其横