概率论与数理统计教程课后习题答案(魏宗舒第二版)

第一章事件与概率L1与出卜列随机试版的样本空间及表示卜列事件的样本点集合.⑴10件产品中有1件是不合格品，从中任取2件得1件不合格品。⑵一个口袋中有竹咱球、3个黑球、4个红球,从中任取一球，（3得白球，（ii）得红球。解⑴记9个合格品分别为宙正""L记不合格为次则G=｛（£］/正2M正I+正］）.…4正1*正,），正［/树.［正］,正］）'（正］#正*（正］r正7（正1，次），征】‘正〃''征了正j）怔】，次%■、征Y正IX正N为，征1为1｝J■呜.浏，征尸次b…，（正父次）｝⑵记晚白球分别为州，对3个黑球分别为尢瓦，34个红球分别为I333则口二｛叼，吗，%%3I3⑴4■｛叱H（ii）B・p24旬L2在数学枣的学生中任选一名学生，令事件A表时蛾学生是男生，事件曝示被选学生是三年级学生，事件C表示该生是运动员。（1）叙述疵的意义⑵在什么条件下曲。=CjSi?⑶什么时候挈式CuB是正确的？⑷什么时候区二3成立？解⑴事件工比表示该是三年级男生，但不是运动员.⑵A5C=C等价于C匚弱,表示全系运动员都有是三年级的男生.⑶当全系运动员都是三年级学生时,⑷当全系女生都在三年级并且三年级学生都是女生时，一个工人生产了祖个零件，以事件4表示他生产的第，个零件是合格品（底区加）。用居表示下列事件；⑴没有一个零件是不合格品：⑵至少有一个零件是不合格品：⑶仅仅只有T零牌不合格称⑷至少有两个零件是不合格品。八4解⑴一U4A⑷原事件即“至少有两个零件是合格品”，可表示为?“3证明下列各式「⑴AuB=BuA-⑵/=BnR（3）（Mu功uC=A^j（B<jC）.（4）0小用八⑸C=（A凸⑹-g证明（D—（4）显然，（5）和（6）的证法分别类似于课文第10—1?页（1.5）式和［1.6）式的证法。在分别写有2,4、6>7、8>11,12、13的八张卡片中任取两张，把卡片上的两个数字组成一个分数，求所得分数为既约分散的概率,2解样本点总数为《"*"0所得分数为贿分数必当虹仔分母或为八11，13中的两个，或为2、4,6、入12中的一个和7、11、13中的一个组合，所以事件4”所得分数为既约分数”包含®+2'”®=2心乂6个样本点。于是2x3x68x7=解样本点总数为1引o所取三条线段能构成一个三角形，这三条线段必专页是，5、7或3、-9或多或5、7、9.所以事件解样本点总数为1引o所取三条线段能构成一个三角形，这三条线段必专页是，5、7或3、-9或多或5、7、9.所以事件月“所取三条线段能构成一个三角形”包含3个样本点，于是“⑷=io0一个小孩用13个字母4a儿作组字游戏.如果字母的各种排列是随机的（等可能的），问.恰好组成“HATHEMATICIAN*f的概率为多大？=3⑵2⑵=48解显然样本点总数为131,事件/“恰好组成“办丁郎网口(；1小”包含31212121个样本点。所以13=131在中国象棋的棋盘上任意地放上一只红“车〃及一只黑“车〃，求它们正好可以相互吃掉的概率。解任意固定红“车”的位黑“车”可处于9x10-1=89个不同位置,当它处于^红“车”同行或同列的9+8=17个位置之一时正好相互“吃掉”。故所求概率为产⑷=痣89一幢10层楼的楼房中的一架电梯，在底层登上7位乘客。电梯在每一层都停，乘客从第二层起离开电梯，假设每位乘客在哪一层离开电梯是等可能的•求没有两位及两位以上乘客在同一层离开的概率。解每位乘客可在除底层外的9层中任意一层离开电梯，现有7位乘客，所以样本点总数为9、事件/“没有两位及两位以上乘客在同一、、-7尸(⑷=层离开”相当于“从9层中任取7层，各有一位乘客西开电梯”。所以包含4个样本点，于是9’。某城市共有10000辆自行车,其牌照编号从00001到10000。问事件“偶然遇到一辆自行车，其牌照号码中有数字8〃的概率为多大？解用/表示“牌照号码中有数字8〃，显然1000°,所以,尸画=】_上=1_/2丫尸(⑷=1-10000UoJ任取一个正料求下列事件的概率，(1)该数的平方的物数字是1,(2)该数的四次方的末位数字是1；(3)该数的立方的最后两位数字都是11L解⑴答案为504_=2(2)当该数的末位数是1、3、7、9之一时，其四次方的末位数是1,所以答案为证=与(3)一个正整数的立方的最后两位数字决定于该数的最后两位数字，所以样本空间包含I。。个样本点。用事件，表示“该数的立方的最后两位数字都是1".则该数的最后一位数字必须是1・设最后第二位数字为，.则该政的立方的最后两位数字为1和3。的个位数.要使3a的个位数是1,必须。=7,因此，所包含的样本点只有71这一点，于是一个人把6根草掌握左手申，仅露出它们的头和尾。然后请另一个人把6个头两两相接，6个尾也两两相接。求放开手以后6根草恰好连成一个环的概率。并把上述结果推广到幼根草的情形。解⑴6根草的情形。取定一个头，它可以与其它的5个头之一相接，再取另一头，它又可以与其它未接过的3个之一相接，最后将乘仆的两个头相接，故对头而言有531种接法，同样对尾也有531种接法，所以样本点总数为03D1用力表示“6根草恰好连成一个环”，这种连接，对头而言仍有531种连接法，而对尾而言，任取一尾，它只能和未与它的头连接的另4根草的尾连接。再取另一尾，它只能和未与它的头连接的另2根草的尾连接，最后再将其余的尾连接成环，故尾的连接法为42。所以火包含的样本点数为(5-31)(4.2),83.1)(42),于是(5-3I)2152%根草的情形和(1)类似得把九个完全相同的球随机地放入"个盒子中(即球放入盒子后，只能区别盒子中球的个数，不能区别是哪个球进入某个盒子，这时也称球是不可辨的)。如果每一种放法都是等可能的.证明⑴某一个指定的盒子中恰好有个球的概率为I«J三I(2)恰好有加个盒的概率为I力J,N-八三中三N-'(3)指定的m个盒中正好有J个球的概率为〔力J.XmMNOMjWN.解略。某公共汽车站每隔£分钟有一辆汽车到达，乘客到达汽车站的时刻是任意的，求一个乘客候车时间不超过3分钟的概率。尸(力)=-TOC\o"1-5"\h\z解所求概率为5"-11在&中任取一点尸，证明"8尸与A43c的面积之比大于丁的概率为京\CD9=—CD=解截取力，当且仅当点尸落入ACH4之内时&43户与A43c的面积之比大于n,因此所求概率为A4@C有面积_司一/二口1_&43c的面积一苗"一近2=3两艘轮船都要停靠同一个泊位，它们可能在一昼夜的任意时刻到达。设两船停靠泊位的时间分别为1小时与两小时.求有一艘船停靠泊位时必须等待一段时间的概率。解分别用a，表示第一、二艘船到达泊位的时间。一艘船到达泊位时必多页等待当且仅当因此所求概率为24a-lx232--＞：222P(A)=5―2«012124?在线段为B上任取三点勺，%，句.求,(1)叼位于勺与小之间的概率。

R演/内，/勺能构成一个三角形的概率。1-3xAx1[P(A)=一■L-2.1解(1)3⑵气,12在平面上画有间隔为d的等距平行线，向平面任意地投掷一个三角形，该三角形的边长为巴瓦匕(均小于d),求三角形与平行线相交的概率。解分别用表示三角形的一个顶点与平行线相合，一条边与平行线相合，两条边与平行线相交，显然尸(4)=产(4)二°所求概率为与区)。分别用444,4，&，4表示边二边血加观与平行线相交，则式&=尸(/显然°)H3+K4),产(4)=武/)+点4),产(4)=84)+氏%)。所以尸⑷=i[尸⑷+F⑷+2W「券('3。)=焉3+"0(用例1.12的结果)己知不可能事件的概率为零，现在问概率为零的事件是否一定为不可能事件？试举例说明之。解概率为零的事件不一定是不可能事件。例如向长度为1的线段内随机投点。则事件为“该点命中A9的中点”的概率等于零，但力不是不可能事件。甲、乙两人从装有。个白球与个黑球的口袋中轮流摸取一球，甲先取，乙后取，每次取后都有不放回，直到两人中有一人取到白球时停止。试描述这一随机现象的概率空间，并求甲或乙先取到白球的概率。解0】表示白，灯表示黑白.外表示黑黑白.表示熏鼻白，尸(3))==一则样本空间Q={°]，牝,…，，并且“b,P({/})=ba+b产(Q})=ba+baP({/})=ba+b产(Q})=ba+baa+5-1,

2>-la+b-1aa+b-292>—(i-2)aa+b-(i-2)a+b—(i-1)产([*)=b\a(a+2>)(a+8-1)…a甲取胜的概率为产({/))+尸({6))+「({05})+…乙取胜的概率为尸((。/)+尸(3))+尸([%))+…L21设事件48及4u3的概率分别为P、q及r,求尸(力的，尸5功，尸,尸(力切解由尸(工。5)=尸(£»+户(8)-2(45)得P(AB)=P(A)+P(B)-?:/u8)=p+g-/P(AB)=P(A-AB)=尸(工)-P(AB)二/一g,P(AB)=r-pP(AB)=P(A^jB)=1-F(Su8)=1-r1.22设4、4为两个随机事件，证明I(1)产(44)=1-尸(④-尸(石)+尸(不正)；(2)1-PW-尸(右)M2(4均)"(4u4)g产(4)+PW.证明(1)产(44)=产而高)=i-石)二1-尸(耳)-尸(石)+尸国石)(2)由(1)和尸(不可)之°得第一个不等式，由概率的单调性和半可加性分别得第二、三个不等式。L23对于任意的随机事件工、3、C,证明：P(AB)^AC)^BC)<1\A)证明P(A)>RA(BuC)]=P(AB)+P(AC)一P(ABC)>P(AB)+P(AC)-P(BC)1.24在某城市中共发行三种报纸：甲、乙、丙。在这个城市的居民中，订甲报的有45%,订乙报的有35%,订丙报的有30%同时订甲、乙两报的有10%，同时订下、丙两报的有8%,同时订乙、丙两报的有5乐同时订三种报纸的有3%,求下述百分比：(1)只订甲报的；(2)只订甲、乙两报的；(3)只订一种报纸的；(4)正好订两种报纸的；(5)至少订一种报纸的；(6)不订任何报纸的。解事件。冬示订甲报，事件8表示订乙报，事件C表示订丙报。⑴P(ABC)=P(A-(ABuAC))=P(A)一P(ABuAC)=30%(2)P(ABC)=P(AB-ABC)=7%(3)P(BAC)=P(B)-[P(AB)+F(3C)-P(ABC)]=23%P(CAB)=P(C)-[?(<C)+产(8C)-P(ABC)]=20%P(ABC^J+BAC+CAB);P(ABC)+P(BAC)+P(CAB)=73%(4)P{ABC+ACB+BCA)=P(ABC)+P(ACB)+P(BCA)=14%(5)产(4+B+0)=90%

（6）P（ABC）=1-P（A+5+C）=1-90%=10%某班有〃个学生参加口试.考签共N张，每人抽到的考签用后即放回,在考试结束后，问至少有一张考没有被抽到的概率是多少？N尸d1a）解用4表示“第i张考签没有被抽到"，'=12…加。要求7。N-2尸N-2尸(A・・・AJ=(agYj=0期3图（爷）'…噌K打-N尸-N尸(44)=-<2JI-V"=(7严所以尸5）=如D-（铝”从〃阶行列式的一般展开式中任取一项,问这项包含主对角线元素的概率是多少？尸（“包守解，阶行列式的展开式中，任一项略去符号不计都可表示为"％…"可，当且仅当12…避的排列。也・・£）中存在上使"=卜时这一项包含主对角线元素。用a表示事件“排列中以二尸（“包守n\^(Ua)=±所以z11S了S〃尸(74)=._2>n\^(Ua)=±所以z1已知一个家庭中有三个“赤，且其中一个是女孩，求至少有一个男孩的概率（假设一个小孩是男孩或是女孩是等可能的）。解用山g分别表示男孩和女孩。则样本空间为，C=｛（瓦b9b）9（瓦瓦g）,8g㈤（g,瓦B）,⑸g,g）g,瓦g）（g,g,b）（g,g,g））其中样本点依年龄大小的性别排列。/表示“有女孩〃，8表示“有男孩〃,则产》|0=3=丝-尸（力）7/87L30设M件产品中有切件是不合格品，从中任取两件，（1）在所取产品中有一件是不合格品的条件下，求另一件也是不合格品的概率。（2）在所取产品中有一色是合格品的条件下，求另一件也是不合格品的概率。(m\m\(M-m\,bHLJ如、解（1）设火表示“所取产品巾至少有一件是不合格品”，8表示“所取产品都是不合格品”，则尸⑷尸⑷2亚-也-1（2）设C表示“所取产品中至少有一件合格品”，Q表示“所取产品中有一件合格品，一件不合格品”。则产⑵0=需=磊的+―%个人用摸彩的方式决定谁得一张电影票，他们依次摸彩，求:（1）已知前上-1（上《阀）个人都没摸到，求第上个人摸到的概率；（2）第左&M"）个人摸到的概率。解设4表示“第1个人摭到“，产（产（41%…£】）=⑴%一(上一1)n-k+\«-1力-2（^>0）,而每一个蛋能孵化成小鸡的概率为尸，证明：一个母鸡恰有,个下一代（即小鸡）（^>0）,而每一个蛋能孵化成小鸡的概率为尸，证明：一个母鸡恰有,个下一代（即小鸡）已知一个母鸡生发个蛋的概率为依区5的概率为“。解用4表示“母鸡生化个蛋”，B表示“母鸡恰有r个下一代，，，则产（3产（3）=为只4）尸例4）=火fk}_(3.物0)】A《犷Ji)r!h(一)！一二]=^Le-^L33〃某射击小组共有20名射手，其中一级射手4人，二级射手8人，三级射手7人，四级射手一人，一、二、三、四级射手能通过选拔进入决赛的概率分别是0.9、0.7.0.5、0.2,求在一组内任选一名射手，该射手能通过选拔进入决赛的概率。<，上一丁?(3)=£尸(4)尸(B|4)解用义表示“任选一名射手为上级”，上=123,4,B表示“任选一名射手能进入决赛〃，则4-J.xO9+AxO7+—x0.54-JLx0.2-0.64520202020在某工厂里有甲、乙、丙三台机器生产螺丝钉，它们的产量各占25%,35%,40%,并在各自的产品里，不合格品各占有5%,4%,2%。现在从产品中任取一只恰是不合格品，问此不合格品是机器甲、乙、丙生产的概率分别等于多少？解用4表示“任取一只产品是甲台机器生产”也表示“任取一只产品是乙台机器生产”均表示“任取一只产品是丙台机器生产”3表示“任取一只产品恰是不合格品”。则由贝叶斯公式.切4)oy石旦4火功4)某手的车床、钻床、磨床、刨床的台数之比为9:3:2:1,它们在一定时间内需要修理的概率之比为1:2:3:1。当有一台机床需要修理时，问这台机床是车床的概率是多少？TOC\o"1-5"\h\z9321尸(4)=二p(j2)=—尸(4)=£？(/)=▲解则15,215,15.151231与8|4)=亍尸(814)=1P(B|A)=y尸(B|4)=、’—画，-⑷W由贝时叶斯公式得盲"4，"।*)有朋友自远方来访，他乘火车、轮船、汽车、飞机来的概率分别是0.3、0.2、0.1、0.4。如果他乘火车、轮船、汽车来的话,迟到J1工的概率分别是W、1、12,而乘飞机不会迟到。结果他迟到了，试问他是乘火车来的概率是多少？解用4表示“朋友乘火车来”，益表示“朋友乘轮船来”，&表示“朋友乘汽车来”，4表示“朋友乘飞机来”，8表示“朋友迟到了“。HAI为==tnI⑷则z1.37证明：若三个事件4、B、C独立，则AD8、力8及力一8都与C独立。证明⑴产((/u8)C)=P(/C)+9，C)-P(H8C)二P(A2扮P©(2)PABC)=P(A)P(B]P(C)=P(AB)P(C)(3)产((4—3)6=P((/-AB)C)=P(AC-ABC)=P(A-B)P(C)1.38试举例说明由「(/8C)=95)?(B)尸(C)不能推出P(AB)=尸(卬尸伊)_定成立.[18解设0={%%羯04，%),尸，，”=利其⑷)=目,p(⑹)=/{%})=/(哂啥,D/={/.%},则尸⑷=尸⑶“⑹吟+乎、P(ABC)=尸(®})■占-尸⑷尸⑻尸⑹64但曰P(AB)=P(㈤)=》尸(⑶尸(功1.39设4,4，…，4为〃个相互独立的事件，且「(4)="(1"k=%),求下列事件的概率：(1)/个事件全不发生；〃个事件巾至少发生一件；%个事件中恰好发生一件。尸。％)=口尸&=由1-%)解(1)」u、p(UA)=i-p(n^)=i-n(i-pA)(2)717⑶1.40已1j(An勒1=z(A.n^)=s-户评⑶1.40已f避相互独立且互不相容，求3（尸⑵.以劭【注：表示工，中小的一个教）解一方面7"，伊⑶之0,另一方面F（闻网刃=F（且对=0,即玳』）,F⑷中至少有t等于口，所以皿（解一方面7"，1.41f人的血型为64%*白型的概窣分别为0.4鼠540、0,11、0+03,现在任意扰选五个人，求下列事件的概率⑴两个人为°型.其它三个人分别为其它三种血型;已）三个人为。型，两个人为』型『臼）没有一人为环解（1）从5个人任选2人为门型，共有（切种可能，在其余3人中任选一人为』型，共有三种可能，在余下的2人中任选一人为百型，共有2种可能，另一人为上§型，顺此所求概率为：口种可能，另一人为上§型，顺此所求概率为：口X3X2X0,461x0.40x0.11x0.13a0.016S<5x0.46ax0.403«0.1557⑵⑴臼）（1一00句,00E5S7L翌设有两门高射炮，每一门击中目标的概率都是0.5,求同时发射一发炮弹而击中飞机的概率是多少？又若有一架敌机入侵领空,欲以9麒以上的概率击中它，问至少需要多少门高射炮.解用以表示“第比门高射炮发射一发炮弹而击中飞机".上=12…，石表示“击中飞机二则网4）=口凡比=1之…，⑴F（儿》冉）=1-网看石）=]rOd*=034P（4^--^.）-]-广八区。=1-0.4">0,99n5.026⑵」，国°4取”=屋至少需要6门高射炮.同时发射一发炮^弹.可保证9翦的概率击中飞机，1-43做一系列独立的试验，每状试舱中成功的概率为求在成功对次之前已失败了阳次的概率.解用达表示.在成功用次之前已失败了明次”，方表示“在前目+用一1次试跑中失败了隰次“，。表示"第内+的次试验成功”/月)=F@6=F(8)R6=则pao-pr1.45某数学家有两盒火柴，每盒都有越根火柴，每次用火柴时他在两盒中任取一盒并从中抽出一根。求他用完一盒时另一盒中还有正根火柴（I介口）的概豕解用W表示“甲盒中尚余工根火柴”，用均表示“乙盒中尚余/根火柴“，二门分别表示“第筋一厂次在甲盒取”，“第2再-r次在乙盒取”，4凡。表示取了加一，次火柴.且第裔-广次是从甲盒中取的，即在前2廿一r-1在甲窟中取了时-1.其余在乙盒中取.所以由时称性知国耳用C）=F。%6,所求概率为:式44gA式44gA瓦功/式A。®）⑵-F-℃

<"1Jis2.1(1)2.1(1)<2>12307O.1O.1第二章离散型随机变量F列给出的是不是某个随机室量的分布列?⑶向军⑶向军（2）(3>〔打（工）7^2°了+口1+01x1,所以它不星随机变量的分而列心咤目T③，…10]+=2所以在不是骸机在量的分布列中（4）>（4）>口，"为自然数,且尸=*〉=W，2设随机变量岁的分布列为工所以后是随机变量的分布■列。行上=L234.求⑴产y=i或金="解设随机变量^的分布列为。求C的值。弟呜）'+即=|C=2解L3⑴⑴」，所以38.随机变量4只取正逑"，且尸&=洲与^成反比，求的分布列。qC.C五’.\仆60c八卜6解根据题意知我""下产，其中常数c待定。由于av下■,所以尸，即的分布列为""=2=疗，R取正整数。一个口袋中装有加个白球、力一加个黑球，不返回地连续从袋中取球，直到取出黑球时停止。设此时取出了4个白球，求4的分布列。解设“4=々”表示前上次取出白球，第2,1次取出黑球，则4的分布列为：M3也学客喑型，……・力（力・1）・・・（月_4）设某批电子营的合格品率为4,不合格品率为4,现在对该批电子管进行测试，设第4次为首次涧到合格品，求4的分布列。尸（<=无）=（）］T>无=L2.・・・,解⑴4一个口袋中有5个同样大小的球，编号为1、2、3、4、5,从中同时取出3只球，以4表示取出球的取大号码，求的分布列。■八）・抛掷一枚不均匀的硬币，出现正面的概率为P（°<P<D,设4为一直掷到正、反面都出现时所需要的次数，求的分布列。解尸4=兀）=g*"p+pi<7,无=23…,苴中g=［_p。两名篮球队员轮流投篮，直到某人坟小时为止，如果第一名队员投中的概率为0.4,第二名队员投中的概率为0.6,求每名队员投篮次数的分布列。解设工〃表示第二名队员的投篮次数，则尸（片=短=0.6"10.4心10.4+0.620才70.6・0.760.24"】,后-1,2,…,Pin=k）=06*0.4w0.6+0,6x0.4*0,4=0.7606*04“1/=1,2,…©设随机变量细艮从普哇松分布，且?G=1）=?6=2）,求尸（4=叽?6=t）=_/（4>0吠=0,12…4尸=_「，.9.A尸6=4）=—/=_/解用。由于2得4-2乩-。（不合要求）。所以4!30设某商店中每月销售某种商品的数量服从参数为7的普哇松分布，问在月初进货时应进多少件此种商品，才能保证当月不脱销的概率为0・999o解设4为该种商品当月销售数，X为该种商品每月进货数，则产d）“.9990查普哇松分布的数值表，得出16。如果在时间，（分钟）内，通过某交叉路口的汽车数量服从参数与［成正比的普哇松分布。已知在一分钟内没有汽车通过的概率为0.2,求在2分钟内有多二一辆汽车通过的概率.解设力为时间£内通过交叉路口的汽车数,则P也=上）=电（4>0）代=0,1,2,…k\2=1时，产6=。）=/=。.2,所以4=ln5；2=2时，"E=21n5,因而>1）=1-26=0）-产（J=l）=（24-ln25）/25^083。一本500页的书共有500个错误，每个错误等可能.出现在每一页上（每一页的印刷符号超过50吐）。试求指定的一页上至少有三个错误的概率。解在指定的一页上出醵一个错误的概率*=荷，因而，至少出现三个错误的概率为部5001SU1500（部5001SU1500（49产丽=可:°499丫°鹏500；15004=取=500x—^―=1利用普哇松定理求近似值，取500,于是上式右端等于二1一，0.0803012e14某厂产品的不合格品率为0.03,现在要把产品装箱，若要以不小丁0.9的概率保证每箱中至少有10S个合格品，那么每箱至少应装多少个产品？解设每箱至少装1。。+，个产品，其巾有上个次品，则要求％使。,闻。,闻k0.03“0971°°”"0.9年利用普哇松分布定理求近似值，取4=(100+x)x0W3,于是上式相当于“上|,2.15设二维随机变量©7)的联合分布列为：Rf=zg=1)0.9年利用普哇松分布定理求近似值，取4=(100+x)x0W3,于是上式相当于“上|,2.15设二维随机变量©7)的联合分布列为：Rf=zg=1)=才"0二P)_q-l(4>。“')M(m-M)'"，=0]…避»=0,U-求边际分布列。查普哇松分布数值表，得x=5。%=力=£尸6=，力=〃)=之之^^飞一切7解馥』加痣加⑪-⑼！下一=^—»=0,1,2,-9P5=M=£尸(4==Mx-0(⑹产m\m=012,…44=加，q=2。=上)=—1^—0.5.0.3・0.2”,)A解M汨用，风儿才=0,1,2,3,4m+”+才=4.,4、**)■05Ww=0,123,4.9w=0,123,4.9时=切=03*0.74-*«=0J,2,3,4.A<=^)=L10.2^0.84^W,2=0,123,4。抛掷三次均匀的硬币，以4表示出现正面的次数，以7表示正面出现次数与反而出现次数之差的绝对值，求47)的联合分布列及边际分布列。设随机变量4与不独立，且尸6=1)二尸①=1)=?>0,fl若红成偶数又产&=o)=尸⑦=0)=1-2>0,定义‘一I。若红㈱奇数，问P取什么值时均7独立？解F(，=D=产C=0*("0)+产化=1)P(7=1)x(1-犷+p1尸(7=0)=F也=6Ps=1)+产6=0)P(7=1)=2X1-P)1而砥=4=1)=%=5=1)=叫由3L7=1)=R红1)*1)得P=3设随机变量6与彳独立，且尸&=±1)=产你=±1)=5,定义切，证明7,4月两两独立，但不相互独立。、F(，=1)=产0=1*8=1)+F©=-1)尸⑦=-1)=1证明2?(7=-1)=产("1)P(7=—D+产("一1)产(7=1)=1因为3"=—?("L7=—】)=尸("叮=T)=；尸槎=1*7=7/"—"=])=尸(”一L”一1)=；尸(”7尸(八1)/小T7=7=%=T”d]产("-"4=-1)所以“相互独立。同理[与？相互独立。但是产G=1月="=1)。PG=D?⑨=1"(7=1),因而C，5不相互独立。ge,P(^+7=^)=—,A;=2,3,-,1223设随机变量4与^独立，，且只取值1、2、3、4、5、6,证明《+不不服从均匀分(即不可能有“证明设产G=坊=Px,25=k)=以,上=12…,6o分尸&+根=短=±承=2,3,…,12右11,则

F©+7=2)=Pi%=A⑴尸(4+g=7)=01乳+02<?5+…+,6的='Q)2五，与（3）式矛盾。产©+7=12)=为％='⑶将（2）式减去⑴式，得：3-。]）的＜0,于是。6＜2五，与（3）式矛盾。!!!7=矢+22.24已知随机变量的分布列为口2谈求一号与7=8S4的分布列。TOC\o"1-5"\h\z17rl27rl尸⑺=2)=-P(7=2+-)=-FS=2+——)=-解〃分布列为4,3^2,3，4,产(7=1)=!4。/产(7=_1)=产(7=1)=!4。C的分布列为4,2,J。,1•/"5♦，J2-102.25已知高散型随机变量&2.25已知高散型随机变量&的分布列为I5P（j）=0）=1尸物=：）=/P5=4）=解5,30,651530j,求7=力2的分布列。5「02・26设高散型随机变量4与7的分布列为九12（01234、111111尸("9)=余13、(03188J.*〔亏113人且4与7相互独立.求7=4+7的分布歹h设独立随机变量力与〃分别月艮从二项分布：仪公2,P）与仅抬心,尸），求力+7的分布列。解设官为々重贝努里试验中事件力发生的次数（在每次试验中尸（/）=尸），7为叼重贝努里试验中事件工发生的次数（在每次试验中尸（力）=尸），而4与相互3岐，所以力+7为2+冬至贝努里试验中事件/发生的次数.因而设4与夕为独立同分布的离散型随机变量，其分布列为尸（4=＞）=P（j）=力）=3,存=12…求6+7的分布列。Pd=9=£P9=4P5=n-4=£正F=亏厂TOC\o"1-5"\h\z先¥A-lA-l设随机变量力具有分布，尸“=无）=—=L234«5,求分、巨甲及£（才+2『。解窃=g（l+2+3+4+5）=3F染=#+2*+3,+4?+5，）=1】&（，+2）'-54+4=27发产（4=用）=上.k=1,2,・・・〜2.30设随机变量&具有分布：2,，求石f及D九的。，衾=4£出『=2叱，异3£1借『=63翠A-122LI121,比一2271D&=EE）-（EE）?=2/1&=（-1）*—]==12…62.31设离散型随机变量0的分布列为：上2比，同力是否有数学期望？9之比1019]解Sl（-1）K产一^三，因为级数M三发散，所以4没有数学期望。32用天平秤某种物品的重量（破码仅允许放在一个秤盘中）.物品的重量以相同的概率为1克、2克、…、10克,现有三组祛码:（甲组）1,2,2,5,10（克）（乙组）1,2,3,4»10（克）（丙组）1.1,2,5,10（克）问哪一组硅碣秤重时所用的平均硅码数最少？解设2、当、与分别表示及中组、乙组、内组徒码秤重时所用的硅g数.则有物品重量度12345678910盘1122122331^1111222331备1123122341于是=噌（1+1+2+2+1+2+2+3+3+1）=18

E&i=A(1+1+1+1+2+2+2+3+3+1)=1.7EJ3=--(1+1+2+3+14-2+2+3+4+1)=2所以，用乙组硅码秤重时所用的平均破码数最少。2.33某个边长为500米的正方形场地，用航空测量法测得边长的误差为x0米的概率是0.49,土1。米的概率各是0.16,±20米的概率各是0.08.±30米的概率各是0.05,求场地面积的数学期望。解设场地面积为S米、边长的误差为4米，贝产=©+500)2且再=。窈2=2(10陵0.16+20陵。,08+30隈005)=186所以£*$=5(^+500)41在贝努里试验巾，每次试脸成功的概率为。，试脸进行到成功与失败均出现时停止，求平均试验次数。解设成功与失败均出现时的试验次数为£则241在贝努里试验巾，每次试脸成功的概率为。，试脸进行到成功与失败均出现时停止，求平均试验次数。解设成功与失败均出现时的试验次数为£则21)=1,产CN刈=p*"+g*T,R=2,3,・・・3=l-p)2.34对三架仪器进行检验，各仪器发生故障是独立的，且概率分别为外、外、小。试证发生故障的仪器数的数学外+外+小。1节架仪器发生故障,=1230郭vwwjsj8,com'生故障14为发生故障的仪器数，则因=产©=])=＞，/=123,所以E&=E&i+=Pi+Pi+P302.37如果在15000件产品中有1000件不合格品，从中任意抽取150件进行检查，求查得不合格品数的数学期望。解设，014则名的分布列为11515则名的分布列为11515；,因而-记。设4为查得的不合格品数，则1504=、，所以产(4=1504=、，所以产(4=上)=.k=1,2,・・・.〃解设《为所选两个数字之差的绝对值，则n-k+\150唇=工防=102-138从数字0,1,…，n中任取两个不同的数字，求这两个数字之差的绝对值的数学期望。再=工无再=工无7=―--V[(w+T)k-k2]=*3+1)白3于是把数字L2,…逮任意在排成一列，如果数字化恰好出现在第止个位置上，则称有一个匹配，求匹配数的数学期望。[1数字上出现在第小位置上(}0/解设“1°数字杯在第6位置上则盘的分布列为：仁】一耳£羡=与4=1)=工F4=Z^^=254=1于是*设匹配数为臬贝|J1，因而1。设4为取非负整数值的随机变量，证明：方工产(4)1;34=25力户(4之九)一石夕石4+1).TOC\o"1-5"\h\z-窈==证明(1)由于2存在，所以该级数绝对收敛。从而e4=?©=⑷=玄£尸("附)=阀)=£产©训N-lX-12»1ZHJIcQ4存在，所以级数7也绝对收敛，从而口卜改2+再-吟+D=Ng=加一品回+】)=2京£]尸©=/)一眦位&+1)=2^£]产©=⑼-E4阳+1)*■1ji-利用上题的结论，2D+£F(4)£*+/“)=1+»-2£42从一F有照个白球、“个黑球的袋中摸球，直至摸到白球时停止，如果（1）摸球是为返回的.（2）摸球是返回的，试对这两种不同的摸球方式求。取出黑拜敷的教学期望.解略.对一批产品进行检骏，如果检查到第％件仍未发现不合格品就认为这批产品合格，如在尚未抽到第九件时已检查到不合格品即停止^续检查，且认为这批产品不合格。设产品数量很大，可以认为再次检查到不合格品的概率都是尸，间平均每批要检查多少件？解略.流水作业线上生产出的每个产品为不合格品的概率户，当生产出上个不合格品时即停工检修一次.求在两次检修之间产品施数的数学期望与方差.E=＞工解设第一1个不合格出现后到第i个不合格品出现时的产品数为白，'=12…代又在两次检修之间产品总数为仁则一…'因费独立同分布，软盘=月=/力*12产0=1-0,由此得，无生=£应…P=g晡二三二口JTP,"P,口蚤=e^一的套S六皂央=艮a巴=玄口羸=独手1p,I户#设随机变量广与平独立，且方差存在，则有。建印二口餐小十修4尸3一口士空疗（由此并可将口述哈2口夕。不）证明卬协=彩%—缈=—（■尸-Eg——电气蹒L+四气区4—遂勿“坳户=总甲口再_［£号y口号=口目口号+（宜第3口斗十口者（国7/在燃期到9中先后按下列两种情况任取两个数，记为4和九（1）第一m取后放回,再取第二个数I匕）第一个数取后不放回就取第二个数.求在中=村0兰上工幻的条件下4的分布列，朋＜i＞尸yi»=2=；口*=口」.…尸（2＞产（二=$i7=o=5存=0.1,…aiK/），不告=全1疗=上）=口Z749隹也次贝弊里试筠中，牛启出现的版率为它.令1在第i次试脸中/出现O翦弟际i式治中出现求在党十务+…十鼻=L8=厂二冷的条件下鼻e小三小的分布列，j=X^=U［岁+%+…+4=ry=口;一门，％•'—一.++•---■一尸（c：2

〔事5A31-h向军Tc：2

〔事5A31-h＞丈有L=Q帝+品=出）

厂工事十^3=Z.50设^初•金安：金】.当币月互学史立r分另U月应从备姿文为q1与具3的普口手棒分柞r.a3正・尸片=力克十名＞丈有L=Q帝+品=出）

厂工事十^3=F出=全I式十篇=r©证日月一£打=无=代心=—一无＞由昔口圭档分柞■的可力口性入口羌I岛月员从拿-毅力以由昔口圭档分柞■的可力口性入口羌I岛月员从拿-毅力以11兄二的普口圭松分市，所以Z5L设步】*品.….当为产个:阳万与虫立隔矶室室.目当CWf月艮从同一7T何分加.RPWF4=的=铲5收=12…＜1方,与）其中q=I-r.试证明在彘+备4…=N的条件.卜，（［？”「公）的分布是均匀分布，即产〔氤=算1，…，鼻=鼻I或I-21-,当=理=「内_1、【尸一,其中段・+RaT卜/=f,・一一%:+“，+-一唠证明鹏克-弗1.■，真一降I灯+空j+…+仁一代邕+…+＜=功_政&=F，---,4=■»二》我委+…+,鼻一身，由于右，另，…，身相互独立且服从同一几何分布，所以从而"冕二也F（《十心•|…t京=玻=耳（fj守产，-i）=（：_；卜产史［之从而"冕二也第三章连续型随机变量3.1设随机变数6的分布函数为尸（外9试以尸表示下列概率.（1）尸¥=。兀（2）产学Ma）;（3）户（4）尸学>"）解*（1）声（力=&）="（a+0）一尸（a）,（2）尸（MMa）=F（a+0）.F（4Na）=i-尸3）J（4）尸¥>。）=1一户3+0）。户O）=t3.2函数1+工2是否可以作为某一随机变量的分布函数，如果（1）—8VXV87T（2）0VKV8,在其它场合适当定义，（3）角霜（3）角霜（2）⑶（1）尸（R在（-8,8）内不单调，因而不可能是随机变量的分布函数,尸（於在（0,8）内单调下降，因而也不可能是随机变量的分布函数;尸（R在（-8,0）内单调上升、连线且尸（-8。，若定义fF（x）—oo<x<01x>0则砥於可以是某一随机变量的分布函数。1.函数sinx是不是某个随机变数力的分布雷度？如果力的取值范围为解：3[0,-Jyr](3)2解：（1）当'e0和时，sinxNO且「sinxdx=i,所以知x可以是某个随机变量的分布由度;因为Lsgk以=2w1,所以sinx不是随机变量的分布由度，r3[X€[7T,—7t\当2时，sinxMO,所以sinx不是随机变量的分布定度。3.4设随机变数4具有对称的分布密度函数P（x）,即P（x）=P（f），证明：对任意的a>°，有（1）”（一"）二】一"3）=5一]「⑴公；⑵P（图<。）=2产⑷-1；（3）产的）"）=2（1-9⑷]。证:(证:(1)F(-a)=[p(x)dx=l-Jp(x)dxl+「p(-x)dx=1-pp{x)dx1-F(a)=1-J°p(x)dx-『p（x）dx=1-Q（x）右2j⑵叫l“=f>（的=2j>（x）dx,由⑴知1r°FQ）=--JQp{x）dx1~4故上式右端=29⑷T；（3）尸的>a）=1-产（用<a）=l-[2F（a）-l]=2[1-F（d）]。3.5设耳⑶与尸2（x）都是分布函数，又田>°是两个常数，且a+b=l。无明斤（x）=a瓦*）+8玛（x）也是一个分布函数，并由此讨论，分布函数是否只有离散型和连续型这两种类型？证:因为瓦⑶与玛8都是分布函数，当.<必时,瓦氏）£耳（必）,鸟』i）M玛（孙）,于是尸（句）=哂（々）+bF2（x1）<aF1（必）+b玛（叼）=尸（叼）又limF（x）=lim[a^（x）+iF2（x）]=0XT—XT2limF（x）=lim[aF1（x）+^K（x）]=a+^=lXT9XT9F（x-0）=以片（彳-0）+8为（x-0）=a耳（x）+bF式x）=?（彳）所以，仪乃也是分布函数。工1。=6=—取2,又令

|0x<0|0x<04⑸=1X>。%8=0x<0x0<x<l

1x>1这时0x<0[+XF(x)=0<1X>1显然，与肝(外对应的随机变量不是取有限个或可列个值，故尸(R不是高散型的，而砥X)不是连续函数，所以它也不是连续型的。3.6设随机变数4的分布函数为，一(1+幻尸xNO求相应的密度函数，并求产—[1-(14-X)。-"]=解：公，所以相应的密度函数为P(P(x)=xbx>02<1)=F(l)=1--3.7设随机变数4的分布函数为0x<0户⑸户⑸=<Ax"0<x<11x>l求常数力及密度函数。解，因为尸0一°)=尸⑴，所以4=1,密度函数为0其它3.8解：随机变数63.8解：随机变数6的分布函数为"⑺=*+Bar。*求常数a与b及相应的密度函数。lim因为一户(X)=N+E(-石)=0limXT->-Ho所以A=-,B=—2TV因而F(x)=4+工《尸”曰,「。)=F9=J27T7T(14-X2)o3.9已知随机变数的分布函数为x0<x1p(x)=<2—X1<x<20其它.求相应的分布函数户")；.求产4<0.5),尸¥>1.3),产(0.2<1.2)0-X2-11<X<22。曲+[(-X2-11<X<22解:解:FH<0.5)=F(0.5)=1OFQ&>1,3)=1-<1.3)=1一户(1.3)=0.245产(0.2<&<1.2)=户(1.2)一户(0.2)=0.66

10确定下列函数中的常数力，使该函数成为一元分布的密度函数。(1)(2)力cosX林(2)力cosXMxM-22(3)解，AxAx02<x<3其它「Ae^dx=2AC^xdx=2A=^\>kA=-⑴J(3)解，AxAx02<x<3其它「Ae^dx=2AC^xdx=2A=^\>kA=-⑴J上23cosxdx=2A\2cosxdx=2A=1A°,所以A=2；CAx2dx+广Axdx=—A=1A=—⑶身h6，所以29°(2)3.12在半径为R,球心为0的球内任取一点巳求4=。尸的分布函数。解，当oVkWK时尸(x)尸©vx)=4,一兀-~=分3所以x<0尸⑸=](1)0<x^R3.13某城市每天用电量不超过一百万度，以号表示每天的耗电率(即用电量除以一万度)，它具有分布密度为12x(1—x)0<x<10其它若该城市每天的供电量仅有80万度，求供电量不够需要的概率是多少？如每天供电量90万度又是怎样呢？解:产C>0,8)=「12x(1-解:JOB产(J>0.9)=^12x(1-x)2^x=0.0037因此，若该城东每天的供电量为80万度，供电量不帔需要的概率为0.0272,若每天的供电量为90万度，则供电量不够需要的概率为0.0037。.设随机变数《服从(0,5)上的均匀分布，求方程4，+4/+4+2=0有实根的概率。解：当且仅当(牝)2-16©+2)N0(1)成立时，方程4-+4夕+4+2=°有实根。不等式(1)的解为："2或"一1。因此，该方程有实根的概率。=尸&N2)+产GV—1)=P也>2)=J^x=|3.17某种电池的寿命《服从正态分布，其中［=300(小时)，。=35(小时)(1)求电池寿命在250小时以上的概率j(2)求x,使寿命在。-工与。+无之间的概率不小于0.9。P(4>250)=♦-3"。>-1,43)TOC\o"1-5"\h\z解：(1)35尸($_3。。<143)=①(1.45打0.9236=35।t(.Dzx4一300xP{a一x<4<a+x)=产(一一<<—(2)353535_①嗫)-①(一言=2畸-120.9ip

B（言之0.95所以—>1.6535即x>57,753.18设6(幻为"(°」)分布的分布函数，证明当大>。时,1-L11-二11-7=^2>1-<X>(X)>-7=^2(---)入/2kx。2无xx证.证.1一B8=1"卷*告"=志I）与砂工-宅心告「②一，、/27VJxy=、/告「②一，、/27VJxyTOC\o"1-5"\h\z1xA11、K—2(――+="27VKX后以1一丁1-7=&2-1一丁1-7=&2--、/2yrx3.21证明.>1-O(x)2(---)V2yrxx二元函数k+>>0k+yM0对每个变元单调非降，左连绫，且尸（-8,）=尸O，-8）=0,^（-00,400）=0,但是"&介并不是一个分布函数。证：（1）设Ax>0,若k+y>0,由于a+Ak+>>0,所以户O，y）=户O+△★》）=1,若x+»M0,贝|J9（x,»）=0。当x+Ax+'MO日寸，F（x+Ax,y）=O；当x+Ax+y>0时，F（k+Ax,»）=1。所以尸（k,»）MF（x+Ax,>）。可见，F（K。）对A非降。同理，尸（KJ）对I非降。）x+'MO时飘尸（x-△兀力=飘F50一△#=°=力，O°时，飘尸3-6,力=飘?（2-矽）=1二百（”），所以尸（K0）对k、'左连续。（3）户（一8,y）=户（X,—8）=0（4-00,4-00）=0o（4）P（0<^<2,0<??<2）=%（2,2）-声（2,0）—7（。,2）+户（0,0）=-1,所以尸（孤川不是一个分布函数。23设二维随机变数（上斤）的密度,(")=5'1n,(")=5'1n(…

00<x<—,0<j/<—22其它求《晟冷的分布函数。0<x<—0<y<—解;当2,2时,Fg介=?(4<x,rfvy)[*sin(t+s)dsdt—j[cot—cos(Z+')]•2°

—[sinx+siny—sin(x+v)l,=2所以—[sinx+siny—sin(x+>)]—(sinx4-1—cosx)义(1+siny-cosy)1Ov0)j5OWxW等.OW，Ov0)j5OWxW等.OW，oMxM学》x咤QMyTVx>—,y4^X>0,^y>0其它1.2.3.求常1.2.3.角翠，所以上=12；(2)入A。」AO时，F(k.力=]^匚12点口-d£ds=12(g-ds)=。一角翠，所以上=12；(2)入A。」AO时，F(k.力=]^匚12点口-d£ds=12(g-ds)=。一£々”义1二£一，)，所以。一夕f)Q—£~)oK>0,，>0其它(3)尸(0v}vl.Ov7V2)户。，2)-尸(0.2)-FQ,0)+产(0.0)3.25设二维随机变数有宙度函数卬")=/(16+<(25+丹求常数/及(羡夕)的定度函数。PJ'P^y'ydxdyJ<}OJ—=「「-25-ydxdyJyJ-97r"16+/)(25+少2)AAr9dxp>dy__解：~164-X2*25+y2-20-所以，4=2。；斤(x,力=J『p[trs)dtdsJ-9J-dtds(16+尸)(25+7)"Idt\y2s五人1?77^」_925+$~=回ctg?+])(ap坦1+3)3.26设二维随机变数©〃)的定度函数为P(x，V)=<”4个

00<x<1,0vyvl其它产(0vjv7vl);(2)产(力=不)；(3)尸9v叩)；(4)?(JM叩)求⑴24解：(1)F(O<^<1A<T)<1)=\iAxydxdy=4^xdx^ydy=Aj;/qaao^4

（3）户（45）=口4号〃xQ=0的分=。2也一一）小=1;ic<y/（4）尸23.28设（短夕）的岳度函数为，、工0Mx£l,0MyM2P（K・》）=120其它2求§与夕中至少有一个小于2的概率。解：v［）］=l-FeN1.7左1）乙乙乙乙=>］；］；P0,）小砂=1-££京@=-|3.30一个电子器件包含两个主要组件,分别以}和夕表示这两个组件的寿命（以小时计），设（夕外的分布函数为+£旬。式》“x>0,j/>00其它求两个组件的寿命都超过120的概率。解：P超>120,7>120)inSM12。)]=1-产(JM120)一产SM120)+产dM120.7M120)=1-尸(120+0,8)一尸(8,120+0)+F(120+0,120+0)-2.43.31设外（*外5）都是一维分布的密度函数，为使P（K・》）=P1WP2W+方（3.31设外（*外5）都是一维分布的密度函数，为使P（K・》）=P1WP2W+方（X・》）成为一个二维分布的密度函数，问其中的次X，川必需且只需满足什么条件？解：若「5，）为二维分布的雷度函数，则p（X,力N0,匚匚中（玄»以士=1所以条件⑴处3）工以5Ms⑵匚匚为3"心*=。得到满足。反之，若条件（1）,（2）满足，则p{x9y）>0,PFp（x9y）dxdy=1J-<X>•*—<£>P（x，》为二维分布的密度函数。因此，为使。5。）成为二维分布的密度函数，次兀力必需且只需满足条件（1）和（2）。3.32设二维随机变数收，万）具有下列密度函数，求边际分布。，2c7+1——5-x>1J>1(1)其它(2)x>0,y<。或x<0,y>0其它(3)尹5,力=1「囱）「（仁）

0x^\y-穴卢-0r0<x<y其它解:⑴…=「2。一》】2dy=—>1)P&。)=0,0工1)X22。一下dx=产】，。>1)乙(x)=0QM1)(2)x>°时，P勺O)=J°L—户2)/=2—e~J—兀42tvxMO时，

乙。）=所以，1金PQ）=-^=e2。同理，质P⑼=(3)乙。）=所以，1金PQ）=-^=e2。同理，质P⑼=(3)P4(x)=O,(xWO)「（公）r32）「一”(»・X卢"dx=--L-—y^\(y>0)*r囱+/)pQ）=O.OMO）证明，若随机变数e只取一个值。，则^与任意的随机变数“独立。证，4的分布函数为%*)=0x<a1x>a设57的分布函数、4?）的联合分布函数分别为纥。当xWa时，9（冗尸）=尸《＜%不。）=。二吊（用43）。当时，尸（虫»）=尸（4＜,＜避＜尸）=尸（7＜尸）=々（乃%（»）。所以，对任意实数XJ,都有以％»=鼻⑸鸟8）,故4与7相互独立。证明，若随机变数4与自己独立，则必有常数。，使P（4=c）=l。证,由于尸（4＜人）=夕4＜人/＜人）=尸（4＜人）尸（4＜人），所以尸（人）=【尸（人"，尸（人）=。或1。由于尸（-8）=0,尸（"o）=i,9（人）非降、左连续，所以必有常数。，使得0x<c0x>c故尸G=c）=i,3・36设二维随机变量收⑼的密度函数为-?+/<17T0其它问4与不是否独立？是否不相关？解,P⑼=图与=X1-1）%⑶=。川力1）…pQ）=同理，7T川川§）；%8）=0,（3＞1）由于「区＞户”《）巳8,所以6与7不相互独立。又因P（"），A⑶，％8）关于礴关于y都是偶函数，因而眼=砌=醺攵）=0,故8啕,『）=0,4与7不相关。41设某类电子管的寿命（以小时计）具有如下分布密度：100x>100100x>100x<100一台电子管收音机在开初使用的150小时申，三个这类管子没有一个要替换的概率是多少？三个这类管子全部要替换的概率又是多少？（假设这三个管子的寿命分布是相互独立的）解：设这类电子管的寿命为？，则依＞如［詈=：所以三个这类管子没有一个要替换的概率为（%）-%?;三个这类管子全部要替换的概率是"%）"%。3.44环球的直径作近似测量，设其值均匀分布在区间口力］内，求球体积的密度函数。解：设球的直径为九则其体积为‘一石"。’一石"的反函数x=，断.=2田标^。由4的密度函数P网=1胆一/aWxl,得7的密度函数为¥少卓,

其它。设随机变数4服从W°，D分布，求尚的分布密度。解：在心。时，所以因的分布密度,，尸间（力=旧云二:（X?0）,pM（x）=0,（x<0）设随机变数6服从分布，求公的分布密度。解：的反函数工=必》以=1/尸力。由4服从加@/）分布，推得『=€’的分布密度为打8）/焉"P卜白伽尸"}3'［0”0.3.47随机变数4在任一有限区间上引上的概率均大于0（例如正态分布等），其分布函数为々S）,又服从［°1］上的均匀分布。证明7"娓"①）的分布函数与&的分布函数相同。解：因为《在任一有限区间上回上的概率均大于0,所以外⑺是严格上升函数。日于上的均匀分布，所以,的分布函数"⑸=尸©<x）=产因％）<x）=尸（"々（x）=娓（x）,对任意的x都皿。所以，与4的分布函数相同。3.48设随机变量《与乡犯立，求<+不的分布密度。若（1）4与77分布服从3力）及（心向上的均匀分布，且<小（2）<与不分别服从（一/°）及9。）上的均匀分布，a>0°解（1）PgS）=l/（B-a）avx（瓦2（X）=°，其它*(x)=1/(/5-a),a<x<AO)=0其它。As(X)=匚乙S一丁)PR)。Cx-3)],*"©)(3—a)(尸—a)_[min(x-aQ-max(x-x>,a)]/[(2>-a)(内-a)}a+a<x<b+£(x)=0其它(2)P《(x)=<x<°；，g(x)=°,其它，)=1/30<才<a，%CO=0,其它。人对=匚尸式公>)pQ)*=£：：：)】//的_[min(x+a,a)-max(x,0)]/a2a-x=W，"<x<a，A+8）=0,其它3.49设随机变量4与为虫立，服从相同的拉普拉斯分布，其密度函数为P（x）=；eT*%3>0）2a求着不的密度函数。解:解:Pg(X)=%(x)=7~Za049（乃=［。式工一川,。办当XNO时，r«>1九.s)=L彳w1ro-；1ro-；口的+Jca.+Jeady]1・y-yx-e1/x1/x、-%=—(l+->4aa当x<0时，乙")=彳[£/addy+ke所以a*]=；Q一乙纭/

4aaP-5）=工（叶|工伽」%4a3.50设随机变量与不独立，服从相同的柯西分布，其密度函数为p(x)=p(x)=水1+X2)c=-（e+j?）证明：2也服从同一分布。证：心8)=

=」：—「[孚二2(…『表(y+4)-x2+1(x-j/)2+i=:J77〔必(N+1)+yarctgx-ln((x-^y)2+1)4-yarctg(x-y)]|工k>。+4)_2ttO2+4)所以r.21P拉r)⑵-m(2z>+4]水l+z')0=—(^+7)即2也服从相同的柯西分布。x>0x<03(x>0x<03(工)=<x>0x^O(其中4>0，〃>0),求4+〃的分布密度。解：工>0时，J%"""。"不为。田，2=〃xWO时，「"其用=。3.53设随机变量。与不独立，都服从(°刀上的均匀分布，求味一万।的分布。解：T服从(一划上的均匀分布,据3.48(2)知，fx+1-1<x<0W=〔3(x+1，D—max(x,O)J=♦f11-x0<x<l在0<x<l时，"一勿的分布函数户(工)=产(|4一力|v工)=尸(一入<4_百VX)=J0(E+T)dt+1(1—!)dZ=2x-x2所以1一〃I的分布密度为/f2(l-x)O^x<1。…⑸=1o其它54设随机变量力与〃独立，分别服从参数为2与〃的指数分布，求。一〃的分布定度。解：由3>0得〜(x)="\x<0,所以Pi(x)=匚ACy)Pp(x-«y)*在xMO时,P/«=「&交侔/5砂=+〃)在X>0时,Pi(x)=「%=3/(1+/Z)所以x<0x>0久侔户/4+x<0x>0ML/4+〃).设随机变量占与万独立，且分别具有密度函数为

P&（X）=<7T&一代।।e|小1Z、工6一%X>0p^（y）=\TOC\o"1-5"\h\z10x<0证明々服从"CD分布。证：由乙⑸=x/Zx>0得，％（x）=PfO)=P^i8=11XI,4(泡％(x)dx令%-=〃+%叫，入3)=^一"「口锯—必=Jj/6忑/Jo历所以女服从"(61)分布。3.SR设随机变量力与「独立.都服从（°，"）上的均匀分布.求%的空度函数cP/O）=匚/（xz）p式z）INI必=，「孕当｛xzydz普屋工1时,。/x）=量;卷4当X>1时，%5）=.产/=+所以%的密度函数为0X<0pt/(x)=X0<x=l3.59设随机变量与〃独立，都服从参数为之的指数分布，求/7的密度函数。解：在五20时，x)=x)=匚外3)%83的巴/（X）=0在XV。时，％。60设二维随机变量©））的联合分布密度为+XV.,一，彳0其它证明：4与〃不独立，但却与代独立。证：由于Hxj）w々（初冬⑶），所以4与不不独立。由于1x>1产（于VX）=<匕（£^^矽）成=0<X<10x<0V>10<^<1V>10<^<1<0尸(/。)="%£三^常业=4y0产(42<y)=<0xj>1

0<x<\9y>1

x>1,0vyMl0v”M1其它所以对一切的兀儿都有尸<X，M<y)=F(¥VQFS?vy),故二与十相互独立。3.61设随机变量占具有密度函数227V,一兀—COSX——<X<—7V220其它求必&。产,=J^x^cos'xdx=0解**口&=E&*=J—cos2xdx=-^---13.62设随机变量4具有定度函数0VxM11<x<2其它求必及a,。2窗翠=C/dx+fx(2-x)dx=1后却=卜小+£2x2(2-x)^x=7/6□4=^4?一(5J)?=”6o3.63设随机变量^的分布函数为F(k)=oa+Z>arcsinx1x<-l-lMx<1试确定常数9㈤，并求网与0九解：由分布函数的左连续性，.a+b-arcsin1=1,<a+barcsin0-0,故a=1/2,Z>=1/tfri11E&=Jix•<i(—Harcsinx)f1—「dx=0="1tfV1-x2八仓厂经I4x,2rlx2dx2r”?.2D&==|厂dx——I—I==—Isintdt=1/2J-】tvE二F4JoJTK汗Jo1.随机变量4具有电度函数A-x*x<00,x<0其中4>L4>0,求常数A.E&及D鼠解：1=「*X.产公=4/毋故，户…T(a+1)©=.e^ffidx=A4"2T(4+2)=(a+1)尸,目J=1N.x**2e^,fidx=A4“3t(&+习=(a+l)(a+2)产2£）4=名于一（/4）2=（。+1）尸2（」366设随机变量〈服从2,2上的均匀分布，求〃=sin雨的数学期望与方差。2Er）=［彳sinTKdx=0,解：工1Dr）=Er）2=RjSin27Kdx=1/2-5o3.67地下铁道列车的运行间隔时间为五分钟，一个旅客在任意时刻进入月台，求候车时间的数学期望与方差。解：设旅客候车时间为4（秒），则4服从［03。0］上的均匀分布，则&4=1：0°工工公=150（秒）J。300,港“=广焉,"五=30000（秒2）口&=30000-1502=7500砂）.3.71设媒,2’…盘为正的且独立同分布的随机变量（分布为连续型或离散型），证明：对任意的双1二'&编，有/费+…+<］=上di+…+盘1/◎证।』同分布（J=L…⑼，又』，所以』」都存在且相等0=1，…，⑷。由于『找家之小学久士g，一】」Z」，所以14+…+4jL>-1J«O设4是非负连续型随机变量，证明：对工>0,有尸G<乃之1-毁X。证尸©<x）=［为（£）=1-「2。）成之1一[:L.’gSd之1一)「，”4©/之1一E4xo若对连续型随机变量外有囿*<0°（r<0）,证明有尸的证.尸的>£）=K/回xL.a（x）dx“3口小外（乃=用耳_同4-%）.?「期）］

《E&-E幻尸-Et）Y解，3.75_同4-%）.?「期）］

《E&-E幻尸-Et）Y解，OC・COV(4⑼二同,底.H.廊acw=tacw=tpac>0_pac<03.81设随机变量外刍，…，盘中任意两个的相关系数都是Q,试证："‘一证：0工£比、《一后对工D，2Pz曲.历三2；J/+Q,二（必+%）

一•—二二界［i+Hh-叫i+p（«-i）>o,p>-—!—故&T3.84证明下述不等式(设“不都是连续型或离散型随机变量)：(1)若彳与〃都有0之1阶矩，则有团4+"产三闯式『产+［即'，叫碓+褶工2,7(磁『十喇，)(2)若4与不都具有，>°阶矩，则由+加M2«此|*+即『)证।⑴。之1时，［m+"产工［旗『心+〔劭门”‘即所谓的明可夫斯基不等式，证明略。在时，,「是x的下凸函数，故『+"，<|x|FW即|才+”七27"0|*，故由+"M2f国”+即F(2)在尸>0时，Ix+WQxl+InD'+|2W=2，(|=F+|川，),故^+^<2*(£|^+£|7K)I计算机吧I3.88设二维随机变量情，外的联合分布密度为J-x>o,>o〃(")=，(l+x+y)380其它其中">2。求4=1条件下叩的条件分布密度。解:「9（九—1）（%—2）解:「9（九—1）（%—2）,/⑶，（i+0矽=。把3ID=[2"-1）/（2+犷0力一2百r.X>0…产y>0其它3.89设随机变量4服从N(”V)分布，随机变量万在4=才时的条件分布为NS。?)，求〃的分布及J关于不的条件分布。（、，、，[、1J（人一次尸3一炉L、,1Cy-也）2f-fmcr2+yiP_1P^（y）=\p（xfy）dx=-©噂1一~二1J4。出斗一72•X———2,2曲一kV7/%-27VUO-2（cr+tt）J』[2-rcrb'+汇J27r（汇？+/）exp<-⑶一加»2（4+T2）故不〜f（a2+t2）a2fn+'Py=P（x,y）/p<y）=&，+//（后^3）印[21，.NU…—JiT_L2_)故在不二V时，的条件分布为"+/'ar090设盘，备…，晟,…为具有数学期望的独立随机变量序列，随机变量「只取正整数值，且与｛£》之。独立,证明:吃盘=£e&『P5£47X-1后£&=£］£（£金加）］证：zL1」=之羡］,尸（7=s）I。）=心后战产⑦之上）3.91求下列连续型分布的特征函数,（1）（一%"）上的均匀分布3>°）,（2）柯西分布，其超度函数为加幻=£（大——（八。）7一分布,其密度函数为xmoy>0,尸>0)歹—15P（^歹—15P（^）=7X^）Xy0(2)由拉普拉斯积分rC；弋a=,3.尸>0）产⑷上4+/2c得冈）=6f（3）3.93若的）是特征函也证明下列函数也是特征函数，（1）火一。⑵“）「；⑶回）『（力为正整数）证：（1）着火力是随机变量彳的特征函数.则以7是随机变量不=T的特征函数，（2）若乙与7独立同分布，其特征函数为奴切。贝/奴'）『=.>火一'）是随机变量7=4-7的特征函数；（3）若刍，…4独立分布，其特征函数为必）。贝武加才是随机变量"=的特征函数。94证明下列函数是特征函数.并找出相应的分布函数；][（1）证，cog%(2)c。/%(3)1+〃:(4)VJ;(5)（1）证，cosz22,所以89工是两点分布4T1P工1/2土1/2的特征函数。COS2t=工+工.02”+—2244所以co/，是三点分布4-202PV41/21/4的特征函数.[]（3）备度函数为75）=8-1刀岂0/5）=0瓜V0的指数分布的特征函数为匚爰，所以K工是定度函数为「5）=61刀二°力（於=°・刀>0的分布的特征函数。sin£,sin£、？,sin£、？（4）[一】・1]上均勺分布的特征函数为丁，所以互相独立且同为LU]上均匀分布住两个随机变量和的特征函数为丁，即丁是忠度函数为（2+%-2<x<0（2-吻0M/M20其它的分布的特征函数。41/]（5）次”-1-22,.所以井口是几何分布P（82=/.k=123.…的特征函数。3.95试举一个满足（1）奴一0=奴£）.（2）।融）区以°）=〔.但是次°不是特征瞰的例子。解：令火叼0…则只切满足（1）,（2）,但R）在，=°点不连续.故奴。不是特征函数。3.96证明函数火，）=/一丁"后。（a>0）0|/|>a是特征函数,并求出它的分布函数。解，由于匚欧冰=讣一%=aV8所以奴工）为特征函数，其分布函数为所以奴工）为特征函数，其分布函数为故欲证可°是特征函数，仅须验证1—cosax是密度函数由于HR之0,°⑸WW=/。*•1-躯=1—cosax是密度函数由于HR之0,“o=fL上等丝水j八ar益3.97设双。是一个特征函数。卜>。,证明：乙、/八sinth①Q）=P（t）———th也是特征函数。sinthsinth证：设彳与不相互独立，彳的特征函数为奴工），歹服从卜〃㈤上的均匀分布，不的特征函数为",则"是>7的特征函数。ly3.98设4】若2,…，盘为〃个独立同柯西分布的随机变量，证明“I与4有相同的分布。所以"I与同分布.证.柯西分布‘兀（x-32+白2的特征函数凶）所以"I与同分布.3・99设44,…4为独立同7一分布的随机变量，求占’的分布。,、八次£）=卜-二）£4解：T一分布73）,工>°；「3）=0,AKO的特征函数I8）。故z的特征函数为VAp（x）=—X"""•Q-坏a<0.所以Z也是7-分布，其密度函数为,x>0,P（x）=°a<0.3.100设二维随机变量C具有联合密度函数为H”）=；h+秋（—+/）][o其它证明，4+叩的特征函数等于或7的特征函数的乘积，但是4与7并不相互独立。证，p-（z）=匚P（x，"K）dx（2+x）/4-2<x<0=（2-力/4O^x<20其它。e十^的特征函数为l'）Qp4（x）=1/2-1<x<l;p4（x）=0，k|NLpQ）=1/2-1<y<1;（y）=O,[y|>l故《与『的特征函数皆为丁,所以夕的特征函数等于数的乘积。由Hx,A=p,@）匕⑶），故6与夕不互相独立。3.101设随机变量《服从河西分布，其特征函数为。制，又令式°>0）,证明<+彳的特征函数等于《、〃的特征函数的乘积，但与很不独立。证：由6的特征函数％©='制推得,"储与"+夕的特征函数分别为.（℃则与“&）=/**）故叫©"M%©。倘若《与^相互独立，令J的分布函数为尸⑸，则尸⑶=尸ev=不<以）=?（<<R?⑦<"）=尸（4<刀）?（<<x）=[尸⑸F,故"⑶=。或1,此与6月e从柯西分布相矛盾，故6与互不独立。3.102判别下列函数是否为特征函数（说明理由）«1-/，12⑴sin%⑵1-广；⑶历（e+W）；⑷】一谓；（5）（1+尸）\解，（1）不是，因为sin°H】。1-Z-T>]（2）不是，因为当-1<£<。时，1+J。（3）不是，因为1nd）工1不成立如=*一一。（4）不是，因为1一电。（5）是的，拉普拉斯分布“，）=5°的特征函数为币7,所以（i+尸），也是特征函数。第四章大数定律与中心极限定理4.1设白3为退化分布I1x>008=<Q齐与0讨论下列分布函数列的极限是否仍是分布困数T⑴（ZX五十比1}.Q）（□（%+；»；0）{DS-（0）.其中用=12…解।（1）⑵不是；?3）是.4.2设分布国数马区1如下定义工K王一程居⑴二问F8=蚣乙⑶是分布函数吗守解：不是。4•暇分布函数冽（凡⑸）弱收敛于分布函数肛的，且尸⑴为连续函数.则{咒⑺）在（YM）上一致收敛于网行。证।对任意的取W充分大，使有E⑺2Vx之氟*5<£1,对上述取定的虹，因为F&）在上一致连续，故可取它的比分点：/4啊父…‘五」<小=",使有尸（号+i）一尸（演）<止，再令诙=一0°M“i=00,则有尸（&+D—F（/）vM0三i0土+1（1）这时存在"，使得当雄>州时有|F<#J「尸（吊）|<弟0至i三巾+1⑵成立，对任意的能"TO㈤，必存在某个"°小名然使得一为",由⑵知当用>N时有,&㈤—/"升1）<+f（3）鸟3全尸"5）>Fgj3⑷由（1）,（3）,（4）可得与3-F8<FQQ-产g”M"小1”取Q+k28用。）一尸（幻打尸（石）一尸之门51一夕5泪）一h>-2」即有限⑴-F（x）|<25时结论得证.4.5设随机变量序列阎同时依概率收敛于随瞰型与周证明这时必有抬7）7证：对任意的日证：对任意的日,。有>_一2即时任意的”。有噬一*3=。威立，于是有1MT丽仙用F("办二1MT丽仙用F("办二FUh*EM从而打"制二】成立，结论得证，45设随机变量序列闵，配）分别廨收敛于随机变量看以证聊（1）品+%—+,（？）3飞*^~^叼*之一~2）—30*理一3co2)即盘+%—6+可成立，（fX/M-]^（2）先证明这时势有磨―丁，对任给的仆°石>。取乱足够大〔讶'I使有々眼:"丁下"成立，对取定的破，存在叫当唾,-晶世尸似r注目<岂―拜,"时有I成立这时有取・+曰>"）"以7|+"卜闻=Hfe«-4|+|24|>^）n（41-4|<ll|+P（（|；1-j|+|2f|>j/）nai-4|>1））EFQ2小加7+FQ金—ERIk2。从而有产（|欧-于的e）=尸（|荔一寻|虞+寻之月=p（（|备一eII盘+£4=cq0+/■,）｝+产w盘一昌|a+e心月c（I女+4|>M））MP（］或一J|N焉）+尸（|荔|>M）<3J由的任意性知公—J”,同理可证琮7由前述（1）有2盘%=（£