对数及对数运算

关于对数及对数运算第一页，共八十三页，2022年，8月28日

1.庄子:一尺之棰，日取其半，万世不竭，问4天还有多少尺？取多少次还有0.03125尺？设取x次还有0.03125尺问题提出()x＝0.03125，求x=?第二页，共八十三页，2022年，8月28日2.截止到1999年底，我国人口约13亿.如果今后能将人口年平均增长率控制在1%，那么过几年人口数将达到18亿？

13×

(1＋1％)x＝18，求x=?即1.01x＝，求x=?设过x年人口数将达到18亿第三页，共八十三页，2022年，8月28日已知底数和幂的值，求指数.

3.上面的实际问题归结为一个什么数学问题？1.01x＝，求x=?()x＝0.03125，求x=?第四页，共八十三页，2022年，8月28日对数第五页，共八十三页，2022年，8月28日知识探究（一）：对数的概念

思考1:24＝

2－2＝思考2:若2x＝16，则x＝

若2x＝,则x＝若4x＝8，则x＝若2x＝3，则x＝164-2第六页，共八十三页，2022年，8月28日若2x＝3，则x＝

苏格兰数学家纳皮尔在研究天文学过程中，为了简化其中的计算而发明了对数。第七页，共八十三页，2022年，8月28日满足2x＝3的x的值，我们用log23表示，即x＝log23，并叫做“以2为底3的对数”.思考3:

若2x＝16，则x＝

若2x＝,则x＝若4x＝8，则x＝

若2x＝3，则x＝log23log216log2log48第八页，共八十三页，2022年，8月28日思考5:满足

,，

（其中e=2.71828…）的x的值可分别怎样表示？X=log10NX=logeN第九页，共八十三页，2022年，8月28日x=log1.01思考4:前面问题中，

,

中的x的值可分别怎样表示？

（）x＝0.03125x=log

0.03125

第十页，共八十三页，2022年，8月28日

恩格斯曾经把对数的发明、解析几何的创始和微积分的建立并称为17世纪数学三大成就。

但是首先用指数来定义对数的是瑞士数学家欧拉。第十一页，共八十三页，2022年，8月28日思考1:指数与对数有什么关系？知识探究（二）：对数与指数的关系

指数与对数是可以等价且相互转化ax＝Nx＝logaN当a>0，且a≠1时第十二页，共八十三页，2022年，8月28日思考3:当a>0，且a≠1时，loga（-2），loga0存在吗？为什么？由此能得到什么结论？

设loga(-2)=x,则ax=-2而当a>0，且a≠1时,恒有ax>0设loga0=x,则ax=0第十三页，共八十三页，2022年，8月28日aNx指数式ax＝N指数的底数幂幂指数对数式x＝logaN对数的底数真数对数思考2:在指数式ax＝N和对数式x＝logaN中，a，x，N各自的地位有什么不同？第十四页，共八十三页，2022年，8月28日思考4:根据对数定义，logal和logaa和logaan（a>0，a≠1）的值分别是多少？

设loga1=x,则ax=1,所以x=0,得loga1=0设logaa=x,则ax=a,所以x=1,得logaa=1设logaan=x,则ax=an,所以x=n,得logaan=n第十五页，共八十三页，2022年，8月28日理论迁移

例1.将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：

(1)54＝625

;(2)2－6＝

;(3)

()m＝5.73

;(4)＝－４;(5)lg0.01=－２;(6)ln10＝2.303.第十六页，共八十三页，2022年，8月28日

例2.求下列各式中ｘ的值：

(1)log64x＝;(2)logx8＝6;(3)lg100=x;(4)－lne2＝ｘ.第十七页，共八十三页，2022年，8月28日例3计算（1）log

81(2)log0.30.09第十八页，共八十三页，2022年，8月28日例4:（1）已知a>0，且a≠1时,N>0,证明

alogaN=N第十九页，共八十三页，2022年，8月28日练习：(1)计算2log25=_____第二十页，共八十三页，2022年，8月28日(2)已知log（x+3）(x2+3x)=1,求实数x的值。第二十一页，共八十三页，2022年，8月28日(3)已知loga3=m,logan=5,则a2m+n=_____第二十二页，共八十三页，2022年，8月28日第二课时对数的运算2.2.1对数与对数运算第二十三页，共八十三页，2022年，8月28日问题提出1.对数源于指数，对数与指数是怎样互化的？

2.指数与对数都是一种运算，而且它们互为逆运算，指数运算有一系列性质，那么对数运算有那些性质呢？

第二十四页，共八十三页，2022年，8月28日对数的运算第二十五页，共八十三页，2022年，8月28日知识探究（一）：积与商的对数思考2:将log232＝log24十log28推广到一般情形有什么结论？思考1:求下列三个对数的值：log232，log24，log28．你能发现这三个对数之间有哪些内在联系？思考3:如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，你能证明等式loga（M·N）＝logaM十logaN成立吗？第二十六页，共八十三页，2022年，8月28日思考4:将log232－log24=log28推广到一般情形有什么结论？怎样证明？思考5:若a＞0，且a≠1，M1，M2，…，Mn均大于0，则loga(M1M2M3…Mn）＝？第二十七页，共八十三页，2022年，8月28日知识探究（二）:幂的对数思考1:log23与log281有什么关系？思考2:将log281=4log23推广到一般情形有什么结论？思考3:如果a>0，且a≠1，M>0，你有什么方法证明等式logaMn＝nlogaM成立．思考4:log2x2=2log2x对任意实数x恒成立吗？第二十八页，共八十三页，2022年，8月28日思考6:上述关于对数运算的三个基本性质如何用文字语言描述？思考5:如果a>0，且a≠1，M>0，则等于什么？①两数积的对数，等于各数的对数的和；②两数商的对数，等于被除数的对数减去除数的对数；③幂的对数等于幂指数乘以底数的对数．第二十九页，共八十三页，2022年，8月28日理论迁移例1用logax，logay，logaz表示下列 各式：

;(2).第三十页，共八十三页，2022年，8月28日例2求下列各式的值：

(1)log2（47×25）；

(2)lg

；(3)log318-log32

；(4).第三十一页，共八十三页，2022年，8月28日例3计算：

第三十二页，共八十三页，2022年，8月28日小结作业:性质①的等号左端是乘积的对数，右端是对数的和，从左往右看是—个降级运算.性质②的等号左端是商的对数，右端是对数的差，从左往右是一个降级运算，从右往左是一个升级运算.性质③从左往右仍然是降级运算．利用对数的性质①②可以使两正数的积、商的对数转化为两正数的各自的对数的和、差运算，大大的方便了对数式的化简和求值.第三十三页，共八十三页，2022年，8月28日作业：

P68练习：1,2，3.P74习题2.2A组：3,4,5.第三十四页，共八十三页，2022年，8月28日2.2.1对数与对数运算第三课时换底公式及对数运算的应用

第三十五页，共八十三页，2022年，8月28日问题提出.（1）（2）（3）（1）;（2）;（3）.1.对数运算有哪三条基本性质？2.对数运算有哪三个常用结论？第三十六页，共八十三页，2022年，8月28日

3.同底数的两个对数可以进行加、减运算，可以进行乘、除运算吗？

4.由得，但这只是一种表示，如何求得x的值？第三十七页，共八十三页，2022年，8月28日换底公式及对数运算的应用第三十八页，共八十三页，2022年，8月28日知识探究（一）：对数的换底公式

思考2:你能用lg2和lg3表示log23吗？思考1:假设，则，从而有.进一步可得到什么结论？

第三十九页，共八十三页，2022年，8月28日思考4:我们把（a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0）叫做对数换底公式，该公式有什么特征？思考3:一般地，如果a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0，那么与哪个对数相等？如何证明这个结论？第四十页，共八十三页，2022年，8月28日思考6:换底公式在对数运算中有什么意义和作用？思考5:通过查表可得任何一个正数的常用对数，利用换底公式如何求的值？第四十一页，共八十三页，2022年，8月28日知识探究（二）：换底公式的变式

思考1:与有什么关系？

思考2:与有什么关系？

思考3:可变形为什么？第四十二页，共八十三页，2022年，8月28日理论迁移

例1计算：

(1)

;(2)（log2125＋log425＋log85)·

（log52＋log254＋log1258）第四十三页，共八十三页，2022年，8月28日作业：P68练习：4.P74习题2.2A组：6，11，12.第四十四页，共八十三页，2022年，8月28日2.2.1对数与对数运算第四课时对数运算习题课第四十五页，共八十三页，2022年，8月28日知识回顾.1.指数与对数的换算:2.对数运算的三个常用结论:第四十六页，共八十三页，2022年，8月28日3.对数运算的三条基本性质:4.对数换底公式:第四十七页，共八十三页，2022年，8月28日理论迁移例1求下列各式的值:2-21第四十八页，共八十三页，2022年，8月28日例2已知，求的值.例3设，已知, 求的值.第四十九页，共八十三页，2022年，8月28日

例420世纪30年代，里克特制订了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越.这就是我们常说的里氏震级M，其计算公式为M＝lgA－lgA0.其中A是被测地震的最大振幅，A0是“标准地震”的振幅（使用标准振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差）.（1）假设在一次地震中，一个距离震中100千米的测震仪记录的地震最大振幅是20，此时标准地震的振幅是0.001，计算这次地震的震级（精确到0.1）；4.3第五十页，共八十三页，2022年，8月28日20世纪30年代，里克特制订了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越.这就是我们常说的里氏震级M，其计算公式为M＝lgA－lgA0.其中A是被测地震的最大振幅，A0是“标准地震”的振幅（使用标准振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差）.（2）5级地震给人的震感已比较明显，计算7.6级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的多少倍（精确到1）.398第五十一页，共八十三页，2022年，8月28日

例5生物机体内碳14的“半衰期”为5730年，湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时碳14的残余量约占原始含量的76.7％，试推算马王堆古墓的年代.2193思考题:设函数已知且对一切恒成立，求的最小值.第五十二页，共八十三页，2022年，8月28日2.2.2对数函数及其性质第一课时对数函数的概念与图象

第五十三页，共八十三页，2022年，8月28日问题提出1.用清水漂洗含1个单位质量污垢的衣服，若每次能洗去污垢的四分之三，试写出漂洗次数y与残留污垢x的关系式.

2.（x>0）是函数吗？若是，这是什么类型的函数？第五十四页，共八十三页，2022年，8月28日对数函数的概念与图象第五十五页，共八十三页，2022年，8月28日知识探究（一）：对数函数的概念

思考1:在上面的问题中，若要使残留的污垢为原来的，则要漂洗几次？

思考2:在关系式中，取对应的y的值存在吗？怎样计算？

思考3:函数称为对数函数，一般地，什么叫对数函数？

第五十六页，共八十三页，2022年，8月28日思考4:为什么在对数函数中要求a＞0，且a≠l？

思考5:对数函数的定义域、值域分别是什么？思考6:函数与相同吗？为什么？

第五十七页，共八十三页，2022年，8月28日思考1:研究对数函数的基本特性应先研究其图象.你有什么方法作对数函数的图象？知识探究（二）：对数函数的图象

思考2:设点P(m，n)为对数函数图象上任意一点，则，从而有.由此可知点Q（n，m）在哪个函数的图象上？第五十八页，共八十三页，2022年，8月28日思考3:点P(m，n)与点Q(n，m)有怎样的位置关系？由此说明对数函数的图象与指数函数的图象有怎样的位置关系？PQxyo第五十九页，共八十三页，2022年，8月28日思考4:一般地，对数函数的图象可分为几类？其大致形状如何？yx011xy011思考5:函数与的图象分别如何？

a>10<a<1第六十页，共八十三页，2022年，8月28日理论迁移

例1求下列函数的定义域：

(1)y＝log0.5|x+1|

;(2)y＝log2(4－x)

;(3).

例2已知函数,求函数f(x)的定义域，并确定其奇偶性.第六十一页，共八十三页，2022年，8月28日作业：P73练习：2P74习题2.2A组：9，10.第六十二页，共八十三页，2022年，8月28日第二课时对数函数的性质

2.2.2对数函数及其性质第六十三页，共八十三页，2022年，8月28日问题提出1.什么是对数函数？其大致图象如何？2.由对数函数的图象可得到哪些基本性质？

对数函数的性质第六十四页，共八十三页，2022年，8月28日知识探究（一）：函数的性质思考2:由此可知函数的定义域、值域分别是什么？

思考3:函数图象的升降情况如何？由此说明什么性质？

思考1:函数图象分布在哪些象限？与y轴的相对位置关系如何？

xy011第六十五页，共八十三页，2022年，8月28日思考5:若，则函数与的图象的相对位置关系如何？yx01思考4:图象在x轴上、下两侧的分布情况如何？由此说明函数值有那些变化？xy011第六十六页，共八十三页，2022年，8月28日知识探究（二）:函数的性质

思考2:若，则函数与的图象的相对位置关系如何？xy01思考1:函数的定义域、值域、单调性、函数值分布分别如何？xy01第六十七页，共八十三页，2022年，8月28日思考3:对数函数具有奇偶性吗？思考4:对数函数存在最大值和最小值吗？思考5:设，若，则m与n的大小关系如何？若，则m与n的大小关系如何？第六十八页，共八十三页，2022年，8月28日例1比较下列各组数中的两个值的大小：（1）log23.4，log28.5；（2）log0.31.8，log0.32.7；（3）loga5.1，loga5.9（a>0,a≠1);（4）log75，log67.理论迁移第六十九页，共八十三页，2022年，8月28日

例2求下列函数的定义域、值域：

(1)y＝；

(2)y＝log2(x2＋2x＋5).第七十页，共八十三页，2022年，8月28日例3溶液酸碱度的测量:

溶液酸碱度是通过pH刻画的.pH的计算公式为pH＝－lg[H+]，其中[H+]表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔／升.（1）根据对数函数性质及上述pH的计算公式，说明溶液酸碱度与溶液中氢离子的浓度之间的变化关系；（2）已知纯净水中氢离子的浓度为[H+＝10－7摩尔／升，计算纯净水的pH.第七十一页，共八十三页，2022年，8月28日作业：

P73

练习：3P74

习题2.2B组：1，2，3.第七十二页，共八十三页，2022年，8月28日第三课时指、对数函数与反函数

2.2.2对数函数及其性质第七十三页，共八十三页，2022年，8月28日问题提出

设a＞0，且a≠1为常数，.若以t为自变量可得指数函数y＝ax，若以s为自变量可得对数函数y＝logax.这两个函数之间的关系如何进一步进行数学解释？第七十四页，共八十三页，2022年，8月28日指、对数函数与反函数第七十五页，共八十三页，2022年，8月28日知识探究（一）：反函数的概念

思考1:设某物体以3m/s的速度作匀速直线运动，分别以位移s和时间t为自变量，可以得到哪两个函数？这两个函数相同吗？

思考2:设，分别x、y为自变量可以得到哪两个函数？这两个函数相同吗？

思考3:我们把具有上述特征的两个函数互称为反