《一元二次方程的根与系数的关系》课件-(公开课获奖)2022年沪科版-3

19.4一元二次方程的根与系数的关系19.4一元二次方程的根与系数的关系11.一元二次方程的解法

复习提问2.求根公式1.一元二次方程的解法复习提问2.求根公式21.

填表

方程

x1,,x2

x1+x2

x1.x2

①x2-3x+2=0

②X2-2x-3=0③X2-5x+4=0问题：你发现这些一元二次方程的根与系数有什么规律？当二次项系数为1时x2+px+q=0的两根为x1,,x2则有2,132-1,32-31,4541.

填表方程x1,,x2x1+x23方程1-22、填表说一说，你又有什么发现？方程1-22、填表说一说，你又有什么发现？4猜想：

如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c是常数且a=0）的两根为x1、x2，则

x1.x2与系数a，b，c的关系。猜想：5

6

任意的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的x1+x2，x1.x2与系数a，b，c的关系是：x1+x2=-—x1.x2=—abac一元二次方程根与系数的关系是法国数学家“韦达”发现的,所以我们又称之为韦达定理.abac一元二次方程根与系数的关系是法国数学家“韦达”发现的7例1

已知方程2x2+kx-4=0的一个根是-4，求它的另一个根及k的值。答：方程的另一个根是k的值是7。解:设方程的另一根为了,则例1已知方程2x2+kx-4=0的一个根是-4，求它的8（1）x2-3x+1=0（2）3x2-2x=2（3）2x2+3x=0（4）3x2=11.下列方程两根的和与两根的积各是多少?（不解方程）自主练习灵活运用（1）x2-3x+1=01.下列方程两根的和与两根的积各是多9自主练习灵活运用2、设x1.x2是方程2x2+4x-3=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值。（1）（x1+1）（x2+1）（2）—+—x1x2x1x2自主练习灵活运用2、设x1.x2是方程2x2+4x-3=010小结一元二次方程根与系数的关系？小结一元二次方程根与系数的关系？11作业1、课外作业P54面55面练习第1、2、3题2、课堂作业P65面A组复习题第4、5、6题作业1、课外作业12再见再见13

14观察与思考∠1是∠3的

，两边分别在同一条直线上.因此一个角的对顶角可看作是把这个角的两边

延长得到的没有公共边的角观察与思考∠1是∠3的15∠AOC和∠BOD有公共顶点，且∠AOC的两边分别是∠BOD两边的反向延长线.如图直线AB与CD相交于点O，∠1和∠3有公共顶点O，并且它们的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角.对顶角：观察总结

∠AOC和∠BOD有公共顶点，且∠AOC的两边分别是∠BOD16那么对顶角有什么样的关系呢？对顶角相等那么对顶角有对顶角相等17实验探究

由∠1＋∠2＝180°，∠2＋∠3＝180°，可得∠1＝∠3.对顶角相等实验探究由∠1＋∠2＝180°，∠2＋∠318（对顶角相等）∵∠3=∠1∠1=68°（）已知∴∠3=68°解：（等量代换）∴∠2=180°—∠1=112°∴∠4=∠2=112°（对顶角相等）（对顶角相等）∵∠3=∠1∠1=68°（）已知19

如图所示，有一个破损的扇形零件，怎样用量角器量出这个扇形零件的圆心角的度数.如图所示，有一个破损的扇形零件，怎样用量角器量出这个20生活拓展观察下列各图，寻找对顶角（不含平角)

⑴如图a，图中共有

对对顶角⑵如图b，图中共有

对对顶角⑶如图c，图中共有

对对顶角⑷研究⑴～⑶小题中直线条数与对顶角的对数之间的关系，若有n条直线相交于一点，则可形成

对对顶角⑸若有2008条直线相交于一点，则可形成

对对顶角.

生活拓展观察下列各图，寻找对顶角（不含平角)⑴如图21其中一条直线叫做另一条直线的垂线1.定义：当两条直线AB和CD所成的四个角中，如果有一个角是直角时，我们就说这两条直线互相垂直.2.垂直用符号“⊥”来表示，读作“垂直于”.如“直线AB垂直于直线CD”，就记作“AB⊥CD”.OABCD3.交点O叫做垂足探究新知：垂线的定义其中一条直线叫做另一条直线的垂线1.定义：当两条直线AB和C22FEMNO记作：_________,垂足为___.ABOE记作：

______，垂足为____.试一试填一填MN⊥EFOAB⊥OEO或者MN⊥EF于O或者AB⊥OE于OFEMNO记作：_________,垂足为___.ABOE23日常生活中,两条直线互相垂直的情形很常见,说出图中的一些互相垂直的线条.你能再举出其他例子吗?你能举出生活中直线互相垂直的例子吗？日常生活中,两条直线互相垂直的情形很常见,说出图中的一些互相24生活中的垂直生活中的垂直251、∵AB⊥CD（已知）∴∠1=90°（垂线的定义）2、∵∠1=90°（已知）∴AB⊥CD（垂线的定义）ABCD1ABCD1垂直有以下两层含义1、∵AB⊥CD（已知）2、∵∠1=90°（已知）ABCD126解：∵∠1＝35°，∠2＝55°（已知）

垂直∴∠AOE＝180°－∠1－∠2

＝180°－35°－55°

＝90°∴OE⊥AB(垂直的定义)CDABOE12例如图，已知直线AB、CD都经过O点，OE为射线，若∠1＝35°∠2＝55°，则OE与AB的位置关系是

.

应用新知解：垂直∴∠AOE＝180°－∠1－∠2∴OE⊥A271、两条直线相交所成的四个角中，下列条件中能判定两条直线垂直的是()

（A）有两个角相等（B）有两对角相等（C）有三个角相等（D）有四对邻补角（C）

练一练（C）练一练282、下面四种判定两条直线的垂直的方法，正确的有（）个（1）两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角，则这两条直线互相垂直（2）两条直线相交，只要有一组邻补角相等，则这两条直线互相垂直（3）两条直线相交，所成的四个角相等，这两条直线互相垂直（4）两条直线相交，有一组对顶角互补，则这两条直线互相垂直（A）4（B）3

（C）2（D）1A2、下面四种判定两条直线的垂直的方法，正确的有（）29问题：这样画L的垂线可以画几条？1靠、2画线、LO(1)如图，已知直线L,作L的垂线.A无数条1.用三角尺画垂线动手操作问题：怎么样画已知直线的垂线？问题：LO(1)如图，已知直线L,作L的垂线.A无数条1.30LA(2)如图，已知直线L和L上的一点A,作L的垂线.B1靠（线）:把三角板的一直角边靠在直线上;3画（线）:沿着三角板的另一直角边画出垂线.2过（点）:三角板的另一条直角边过已知点;则所画直线AB是过点A的直线L的垂线.问题：这样画L的垂线可以画几条？1条LA(2)如图，已知直线L和L上的一点A,作L的垂线.31LA(3)如图，已知直线L和L外的一点A,作L的垂线.B3画（线）:沿着三角板的另一直角边画出垂线.2过（点）:三角板的另一条直角边过已知点;1靠（线）:把三角板的一直角边靠在直线上;则所画直线AB是过点A的直线L的垂线.问题：这样画L的垂线可以画几条？1条LA(3)如图，已知直线L和L外的一点A,作L的垂线.32根据以上的操作，你能得出什么结论？垂线的第一性质：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.

（1）“过一点”中的点，可以在已知直线上，也可以在已知直线外.

（2）“有且只有”中，“有”指存在，“只有”指唯一性.注意：

总结：根据以上的操作，你能得出什么结论？垂线的第一性质：过一点有且331.在小学学段我们曾通过折纸的方法，得到两条垂线，现在你可以用几种折法得到两条垂线？

2.用折纸方法画垂线1.在小学学段我们曾通过折纸的方法，得到两条垂线，现在你可以342.如图(5)：直线a上有一点A，经过点A，你能折出几条与a垂直的直线？如图(6)：直线a外有一点B,经过点B，你能折出几条与a垂直的直线？想一想做一做过点A、B分别可以做直线a的几条垂线呢？2.如图(5)：直线a上有一点A，经过点A，你能折出几条与a351.过点P向线段AB所在直线引垂线，正确的是（）.

ABCDC课堂练习PPPPPPABO1.过点P向线段AB所在直线引垂线，正确的是（36EEE注意:画线段(或射线)的垂线时,有时要将线段延长(或将射线反向延长)后再画垂线.2、问题：如何画一条线段或射线的垂线？EEE注意:画线段(或射线)的垂线时,有时要将线段延长(或将373.如图，已知AB.CD相交于O,OE⊥CD于O,∠AOC=36°，则∠BOE=.

（A）36°(B)64°(C)144°(D)54°ABOCDED3.如图，已知AB.CD相交于O,OE⊥CD3819.4一元二次方程的根与系数的关系19.4一元二次方程的根与系数的关系391.一元二次方程的解法

复习提问2.求根公式1.一元二次方程的解法复习提问2.求根公式401.

填表

方程

x1,,x2

x1+x2

x1.x2

①x2-3x+2=0

②X2-2x-3=0③X2-5x+4=0问题：你发现这些一元二次方程的根与系数有什么规律？当二次项系数为1时x2+px+q=0的两根为x1,,x2则有2,132-1,32-31,4541.

填表方程x1,,x2x1+x241方程1-22、填表说一说，你又有什么发现？方程1-22、填表说一说，你又有什么发现？42猜想：

如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c是常数且a=0）的两根为x1、x2，则

x1.x2与系数a，b，c的关系。猜想：43

44

任意的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的x1+x2，x1.x2与系数a，b，c的关系是：x1+x2=-—x1.x2=—abac一元二次方程根与系数的关系是法国数学家“韦达”发现的,所以我们又称之为韦达定理.abac一元二次方程根与系数的关系是法国数学家“韦达”发现的45例1

已知方程2x2+kx-4=0的一个根是-4，求它的另一个根及k的值。答：方程的另一个根是k的值是7。解:设方程的另一根为了,则例1已知方程2x2+kx-4=0的一个根是-4，求它的46（1）x2-3x+1=0（2）3x2-2x=2（3）2x2+3x=0（4）3x2=11.下列方程两根的和与两根的积各是多少?（不解方程）自主练习灵活运用（1）x2-3x+1=01.下列方程两根的和与两根的积各是多47自主练习灵活运用2、设x1.x2是方程2x2+4x-3=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值。（1）（x1+1）（x2+1）（2）—+—x1x2x1x2自主练习灵活运用2、设x1.x2是方程2x2+4x-3=048小结一元二次方程根与系数的关系？小结一元二次方程根与系数的关系？49作业1、课外作业P54面55面练习第1、2、3题2、课堂作业P65面A组复习题第4、5、6题作业1、课外作业50再见再见51

52观察与思考∠1是∠3的

，两边分别在同一条直线上.因此一个角的对顶角可看作是把这个角的两边

延长得到的没有公共边的角观察与思考∠1是∠3的53∠AOC和∠BOD有公共顶点，且∠AOC的两边分别是∠BOD两边的反向延长线.如图直线AB与CD相交于点O，∠1和∠3有公共顶点O，并且它们的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角.对顶角：观察总结

∠AOC和∠BOD有公共顶点，且∠AOC的两边分别是∠BOD54那么对顶角有什么样的关系呢？对顶角相等那么对顶角有对顶角相等55实验探究

由∠1＋∠2＝180°，∠2＋∠3＝180°，可得∠1＝∠3.对顶角相等实验探究由∠1＋∠2＝180°，∠2＋∠356（对顶角相等）∵∠3=∠1∠1=68°（）已知∴∠3=68°解：（等量代换）∴∠2=180°—∠1=112°∴∠4=∠2=112°（对顶角相等）（对顶角相等）∵∠3=∠1∠1=68°（）已知57

如图所示，有一个破损的扇形零件，怎样用量角器量出这个扇形零件的圆心角的度数.如图所示，有一个破损的扇形零件，怎样用量角器量出这个58生活拓展观察下列各图，寻找对顶角（不含平角)

⑴如图a，图中共有

对对顶角⑵如图b，图中共有

对对顶角⑶如图c，图中共有

对对顶角⑷研究⑴～⑶小题中直线条数与对顶角的对数之间的关系，若有n条直线相交于一点，则可形成

对对顶角⑸若有2008条直线相交于一点，则可形成

对对顶角.

生活拓展观察下列各图，寻找对顶角（不含平角)⑴如图59其中一条直线叫做另一条直线的垂线1.定义：当两条直线AB和CD所成的四个角中，如果有一个角是直角时，我们就说这两条直线互相垂直.2.垂直用符号“⊥”来表示，读作“垂直于”.如“直线AB垂直于直线CD”，就记作“AB⊥CD”.OABCD3.交点O叫做垂足探究新知：垂线的定义其中一条直线叫做另一条直线的垂线1.定义：当两条直线AB和C60FEMNO记作：_________,垂足为___.ABOE记作：

______，垂足为____.试一试填一填MN⊥EFOAB⊥OEO或者MN⊥EF于O或者AB⊥OE于OFEMNO记作：_________,垂足为___.ABOE61日常生活中,两条直线互相垂直的情形很常见,说出图中的一些互相垂直的线条.你能再举出其他例子吗?你能举出生活中直线互相垂直的例子吗？日常生活中,两条直线互相垂直的情形很常见,说出图中的一些互相62生活中的垂直生活中的垂直631、∵AB⊥CD（已知）∴∠1=90°（垂线的定义）2、∵∠1=90°（已知）∴AB⊥CD（垂线的定义）ABCD1ABCD1垂直有以下两层含义1、∵AB⊥CD（已知）2、∵∠1=90°（已知）ABCD164解：∵∠1＝35°，∠2＝55°（已知）

垂直∴∠AOE＝180°－∠1－∠2

＝180°－35°－55°

＝90°∴OE⊥AB(垂直的定义)CDABOE12例如图，已知直线AB、CD都经过O点，OE为射线，若∠1＝35°∠2＝55°，则OE与AB的位置关系是

.

应用新知解：垂直∴∠AOE＝180°－∠1－∠2∴OE⊥A651、两条直线相交所成的四个角中，下列条件中能判定两条直线垂直的是()

（A）有两个角相等（B）有两对角相等（C）有三个角相等（D）有四对邻补角（C）

练一练（C）练一练662、下面四种判定两条直线的垂直的方法，正确的有（）个（1）两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角，则这两条直线互相垂直（2）两条直线相交，只要有一组邻补角相等，则这两条直线互相垂直（3）两条直线相交，所成的四个角相等，这两条直线互相垂直（4）两条直线相交，有一组对顶角互补，则这两条直线互相垂直（A）4（B）3

（C）2（D）1A2、下面四种判定两条直线的垂直的方法，正确的有（）67问题：这样画L的垂线可以画几条？1靠、2画线、LO(1)如图，已知直线L,作L的垂线.A无数条1.用三角尺画垂线动手操作问题：怎么样画已知直线的垂线？问题：LO(1)如图，已知直线L,作L的垂线.A无数条1.68LA(2)如图，已知直线L和L上的一点A,作L的垂线.B1靠（线）:把三角板的一直角边靠在直线上;3画（线）:沿着三角板的另一直角边画出垂线.2过（点）:三角板的另一条直角边过已知点;则所画直线AB是过点A的直线L的垂线.问题：这样画L的垂线可以画几条？1条LA(2)如图，已知直线L和L上的一点A,作L的垂线.69LA(3)如图，已知直线L和L外的一点A,作L的垂线.B3画（线）:沿着三角板的另一直角边画出垂线.2过（点）:三角板的另一条直角