不等式的证明及著名不等式知识梳理及典型练习题(含答案)

不等式的证明及著名不等式一、知识梳理1.三个正数的算术一几何平均不等式(1)定理如果a,b,c均为正数，那么—3+。^fObc、当且仅当时，等号成立.即三个正数的算术平均■它们的几何平均.(2)基本不等式的推广对于n个正数ai,a2,…，an,它们的算术平均它们的几何平均，即ai+m;…+an―n/aa7^,当且仅当B寸，等号成立..柯西不等式一、二维形式的柯西不等式定理1(二维形式的小^西不等式)若a,b,c,d都是实数，则(a2b2)(c2d2)(acbd)2当且仅当adbc时,等号成立.二维形式的柯西不等式的变式：⑴Ja2b2vc2d2acbda2b2c2d2acbd定理2(柯西不等式的向量形式)设一「是两个向量，则「一|当且仅当「是零向量，或存在实数k,使一k一时，等号成立.平面向量坐标代入，得二维形式的柯西不等式(a12a2)(b2b1)(a1ba2b2)2当且仅当a1b2a2bl时，等号成立.将空间向量的坐标代入，得三维形式的柯西不等式：(a；a2a2)(b2b2及)(&ba2b2a3b3)2当且仅当.「共线时，即,0,或存在一个数k,使得akb(i1,2,3)时，等号成立.定理3(二维形式的三角不等式)设x1,y1,x2,y2R,那么X12y2xfy2,(X1X2)2(y1y2)2三维形式的三角不等式.x2y；z2.x2y2z2..(x1x2)2(yy2)2(zz2)2二、一般形式的柯西不等式定理(一般形式的柯西不等式)设a1,a2,a3,,an,b1,必b3,,bn是实数，则(a2a；a2)(b2Mb：)(a1bla2b2anbb)2当且仅当b0(i1,2,,n)或存在一个数k,使得ajkb/i1,2,,n)时，等号成立.三、排序不等式定理(排序不等式或称排序原理)设aia?an,bib2bn为两组实数,ci,C2,©是匕,为，，bn的任一排列，那么a1bna2bn1anba1Ga2c2ancna1bla2b2anbn,即反序和乱序和顺序和，当且仅当a1a22「或匕b2bn时，反序和等于顺序和..贝努利不等式若xCR,且x>—1,xwQn>1,nCN,则(1+x)n>1+..证明不等式的方法(1)比较法①作差：知道a>b?a—b>0,a<b?a—b<0,因此要证明a>b,只要证明即可，这种方法称为求差比较法.a②作冏：由a>b>0?b>1且a>0,b>0,因此当a>0,b>0时要证明a>b,只要证明即可，这种方法称为求商比较法.(2)综合法与分析法；(3)反证法、放缩法；(4)数学归纳法.对于一个与自然数相关的命题集合，如果：①证明起始命题nrt成立；②假设nk时命题成立，证明nk1也成立；那么可以断定该命题对一切自然数成立.二、练习.(2013陕西)已知a,b,m,n均为正数，且a+b=1,mn=2,则(am+bn)(bm+an)的最小值为.答案2解析由柯西不等式(a2+b2)(c2+d2)Nac+bd)2,当且仅当ad=bc时匚”成立，得(am+bn)(bm+an)?V0mVan+VbmVbn)2=mn(a+b)2=2..［2014陕西卷］设a,b,m,n€R,且a2+b2=5,ma+nb=5,贝Udm'+d的最小值为.［解析］由柯西不等式可知(a2+b2)(m2+n2)>r<ia+nb)2,即5(0^+啥>2?当且仅当an=bm时，等号成立，所以^/m2+n2^/5..若a,b,c€(0,十°°)且a+b+c=1,则血+«b+&的最大值为.答案审解析(U+，B+加)2=(1>Va+1%Jb+1>Vc)2^12+12+12)(a+b+c)=3.1当且仅当a=b=c=a时，等号成立.o.(2012福建)已知函数f(x)=m—|x—2|,mCR,且f(x+2))由勺解集为［—1,1］.⑴求m的值;111(2)若a,b,c£R,且-+就+^=m,求证：a+2b+3c>9.''a2b3c审题破题(1)从解不等式f(x+2)N)出发，将解集和［—1,1］对照求m；(2)利用柯西不等式证明.⑴解因为f(x+2)=m-|x|,f(x+2)等价于|x|Sn.由|x|Mn有解，得m冷，且其解集为{x|—mq^n}.又f(x+2)W)的解集为［―1,1］,故m=1.111⑵证明由⑴知&+/+无=1，又a,b,cCR+,由柯西不等式得a+2b+3c=(a+2b+3c)；以十,",十亚君十—送?=+5.(2013新课标H(理))选修4—5;不等式选讲设a,b,c均为正数，且abc1,证明:(I)abbcca2(n)r1.【答案】(I)由/4b*3lai.从十2td2Mt制。、匕『£岫中配+rw,由麴设"(a+i+c)JI1即/十炉，/+2时+女=】.所蹴3(讪+理必4■加宁8$；.&rirtTOC\o"1-5"\h\z<1【)因为二十占孑2d.一十京亭筋*—十叮Mie.bca故g-+*—+右■十(4+白寸r)罂之(口十・即已+士一十匚娈。+A**b叁叁ben所以"+Lb毒016.(2013福建(理))不等式选讲：31设不等式x2a(aN)的解集为A,且金A,1A.122(1)求a的值;(2)求函数f(x)|xa||x2|的最小值.【答案】解：(I)因为3A,且1A,所以32a,且12a22223解得1a。，又因为aN，所以a12(H)因为|x1||x2||(x1)(x2)|3当且仅当(x1)(x2)0,即1x2时取得等号，所以f(x)当且仅当(x1)(x2)（2013江苏卷）［选彳4-5:不定式选讲］已知ab>0,求证：2a3b32ab2a2b8.12014江苏卷][选彳4-5:不等式选讲]已知x>0,y>0,证明：(1+x+y2)(1+x2+y)>Xy.证明：因为x>0,y>0,c3一所以1+x+y2>3\/xy2>0,1+x2+y>3x2y>0,故(1+x+y2)(1+x2+y)>^/x73\fx2y=9xy.9.[2014辽宁卷]选彳4-5:不等式选讲设函数f(x)=2|x—1|+x—1,g(x)=16x2—8xf(x)的解集为M,g(x)04的解集为N.(1)求M；(2)当xCMAN时，证明：x2f(x)+x[f(x)]2弓.3x-3,xC[1,+2,解：(1)f(x)=1—x,x€(一00,1).4当x》l时，由f(x)=3x—301得x青，一.4故14ss3；当x<1时，由f(x)=1—x01得x>q故04<1.4所以f(x)&的勺解集M=x0虫可.。112(2)由g(x)=16x2-8x+104得16x-4<4,…13解得—4w耳，因此N=x-1双,，3故man=x0.<4.当xCMAN时，f(x)=1—x,于是x2f(x)+x[f(x)]2=xf(x)[x+f(x)]=xf(x)=〃、112Jx(1-x)=4-X-2q.10.[2014新课标全国卷H]选彳4-5:不等式选讲设函数f(x)=x+1+|x—a|(a>0).a⑴证明：f(x)>?(2)若f(3)<5,求a的取值范围.TOC\o"1-5"\h\z解：(1)证明：由a>0，有f(x)=x+-+|x—a|>x+~—(x—a)=-+a>^aaa，所以f(x)>2.・c1「，(2)f(3)=3+-+|3-a|.a,1,5+x/21当a>3时，f(3)=a+-，由f(3)<5得3<a<一寸一.a2当0<a03时，f(3)=6—a+1,由f(3)<5得1^5<a<3.a2综上，a的取值范围是上耍，红J21.11.[2014全国新课标卷I]选彳4-5:不等式选讲若a>0,b>0,且。'^/^.ab(1)求a3+b3的最小值;(2)是否存在a,b,使得2a+3b=6?请说明理由.解：(1)由•=1+bq|b，得ab》Z当且仅当a=b=/时等号成立.故a3+b3>2爽，当且仅当a=b=加时等号成立.所以a3+b3的最小值为4叵(2)由(1)知，2a+3b>2加相>4g.由于4>/3>6,从而不存在a,b,使2a+3b=6.

不等式经典题型专题练习(含答案)班级:姓名:班级:、解答题、解答题解不等式组:13x解不等式组:13x2x11、——5,并在数轴上表示不等式组的解集.33x2.若不等式组2x(xa2.若不等式组2x(xa2b的解集为-1<x<1,求(a+1)(b-1)的值.3.已知关于x,y的方程组xym的解为非负数，求整数m的值.

5x3y31x2y14.由方程组得到的x、y的值都不大于1,求a的取值范围.x2ya

-2)-405.解不等式组：，2x+1并写出它的所有的整数解.----1②」…，5x2y11a18,……，6.已知关于x、y的方程组y的解满足x>0,y>0,求实数a的取2x3y12a8值范围.x206.求不等式组x6.求不等式组x1x32.求适合不等式-1K-2a-5<3的a.求适合不等式-1K-2a-5<3的a的整数解..已知关于x的不等式组的整数解共有5个，求a的取值范围.x2yk…9,若二元一次方程组｛的解xx2y4y,x2yk…9,若二元一次方程组｛的解xx2y4y,求k的取值范围5x13x410.解不等式组1并求它的整数解的和.-x<2x211.已知x,y均为负数且满足:2xym3D…/士*用,求m的取值范围.xy2m②12.解不等式组2x2x53(x2)13x.12,把不等式组的解集在数轴上表示出来,并写出不等式组的非负整数集.若方程组2xym2的解是一对正数，则:xy2m5(1)求m的取值范围(2)化简：m411m2.我市一山区学校为部分家远的学生安排住宿，将部分教室改造成若干间住房.如果每间住5人，那么有12人安排不下；如果每间住8人，那么有一间房还余一些床位，问该校可能有几间住房可以安排学生住宿？住宿的学生可能有多少人？.某宾馆一楼客房比二楼少5间，某旅游团有48人，如果全住一楼，若按每间4人安排，则房间不够；若按每间5人安排，则有的房间住不满5人.如果全住在二楼，若按每间3人安排，则房间不够；若按每间4人安排，则有的房间住不满4人，试求该宾馆一楼有多少间客房？.3个小组计划在10天内生产500件产品（计划生产量相同），按原先的生产速度,不能完成任务；如果每个小组每天比原先多生产一件产品，就能提前完成任务。每个小组原先每天生产多少件产品？.学校将若干间宿舍分配给七年级一班的女生住宿，已知该班女生少于35人，若每个房间住5人，则剩下5人没处住；若每个房间住8人，则空一间房，并且还有一间房也不满；则学校有多少间宿舍，七年级一班有多少名女生？.为了参加2011年西安世界园艺博览会，某公司用几辆载重为8吨的汽车运送一批参展货物.若每辆汽车只装4吨，则剩下20吨货物；若每辆汽车装满8吨，则最后一辆汽车不空也不满.请问：共有多少辆汽车运货？.某校选派一部分学生参加“六盘水市马拉松比赛”，要为每位参赛学生购买一顶帽子.商场规定：凡一次性购买200顶或200顶以上，可按批发价付款；购买200顶以下只能按零售价付款.如果为每位参赛学生购买1顶，那么只能按零售价付款，需用900元；如果多购买45顶，那么可以按批发价付款，同样需用900元.问：(1)参赛学生人数x在什么范围内？(2)若按批发价购买15顶与按零售价购买12顶的款相同，那么参赛学生人数x是多少？.实验中学为了鼓励同学们参加体育锻炼，决定为每个班级配备排球或足球一个，已知一个排球和两个足球需要140元，两个排球和一个足球需要230元.(1)求排球和足球的单价.(2)全校共有50个班，学校准备拿出不超过2400元购买这批排球和足球，并且要保3证排球的数量不超过足球数量的7,问：学校共有几种购买方案？哪种购买方案总费用最低？.5月12日是母亲节，小明去花店买花送给母亲，挑中了象征温馨、母爱的康乃馨和象征高贵、尊敬的兰花两种花，已知康乃馨每支5元，兰花每支3元，小明只有30元，希望购买花的支数不少于7支，其中至少有一支是康乃馨.(1)小明一共有多少种可能的购买方案？列出所有方案；(2)如果小明先购买一张2元的祝福卡，再从(1)中任选一种方案购花，求他能实现购买愿望的概率..学校计划选购甲、乙两种图书作为“校园读书节”的奖品.已知甲图书的单价是乙图书单价的1.5倍；用600元单独购买甲种图书比单独购买乙种图书要少10本.(1)甲、乙两种图书的单价分别为多少元？(2)若学校计划购买这两种图书共40本，且投入的经费不超过1050元，要使购买的甲种图书数量不少于乙种图书的数量，则共有几种购买方案？.为了提高服务质量，某宾馆决定对甲、乙两种套房进行星级提升，已知甲种套房提升费用比乙种套房提升费用少3万元，如果提升相同数量的套房，甲种套房费用为625万元，乙种套房费用为700万元.(1)甲、乙两种套房每套提升费用各多少万元？(2)如果需要甲、乙两种套房共80套，市政府筹资金不少于2090万元，但不超过2096万元，且所筹资金全部用于甲、乙种套房星级提升，市政府对两种套房的提升有几种方案？哪一种方案的提升费用最少？(3)在(2)的条件下，根据市场调查，每套乙种套房的提升费用不会改变，每套甲种套房提升费用将会提高a万元(a>0),市政府如何确定方案才能使费用最少？.如图，用锤子以相同的力将铁钉垂直钉入木块，随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力1也越来越大.当未进入木块的钉子长度足够时，每次钉入木块的钉子长度是前一次一.已2知这个铁钉被敲击3次后全部进入木块(木块足够厚)，且第一次敲击后铁钉进入木块的长度是2cm,若铁钉总长度为acm,求a的取值范围..关于x的不等式组：{32xa0(1)当a=3时，解这个不等式组；(2)若不等式组的解集是xv1,求a的值.27.某房地产开发公司计划建A、B两种户型的住房共80套，该公司所筹资金不少于2090万元，但不超过2096万元，且所筹资金全部用于建房，两种户型的建房的成本和售价如表：AIf成本《万丁一套厂iF督价£力」■建)|30|34(1)该公司对这两种户型住房有哪几种方案？(2)该公司如何建房获利利润最大？(3)根据市场调查，每套B型住房的售价不会改变，每套A型住房的售价将会提高a万元(a0),且所建的两种住房可全部售出，该公司又将如何