吉林省四平市2022年数学九上期末联考试题含解析

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题（每题4分，共48分）1．函数y=ax2+1与（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A． B． C． D．2．如图，在平面直角坐标系内，正方形OABC的顶点A，B在第一象限内，且点A，B在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，点C在第四象限内．其中，点A的纵坐标为2，则k的值为（）A．2﹣2 B．2﹣2 C．4﹣4 D．4﹣43．将半径为5的圆形纸片，按如图方式折叠，若和都经过圆心，则图中阴影部分的面积是()A． B． C． D．4．如图，点G是△ABC的重心，下列结论中正确的个数有（）①；②；③△EDG∽△CBG；④．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个5．如图是一根空心方管，则它的主视图是（）A． B． C． D．6．方程x2=x的解是（）A．x=1 B．x=0 C．x1=1，x2=0 D．x1=﹣1，x2=07．在比例尺为1:10000000的地图上，测得江华火车站到永州高铁站的距离是2cm，那么江华火车站到永州高铁站的实际距离为（）kmA．20000000 B．200000 C．2000 D．2008．某商场举行投资促销活动，对于“抽到一等奖的概率为”，下列说法正确的是（）A．抽一次不可能抽到一等奖B．抽次也可能没有抽到一等奖C．抽次奖必有一次抽到一等奖D．抽了次如果没有抽到一等奖，那么再抽一次肯定抽到一等奖9．如图，在正方形中，以为边作等边，延长分别交于点，连接与相交于点，给出下列结论：①；②；③；④；其中正确的是（）A．①②③④ B．②③ C．①②④ D．①③④10．如图，当刻度尺的一边与⊙O相切时，另一边与⊙O的两个交点处的读数如图所示(单位：cm)，圆的半径是5，那么刻度尺的宽度为（）A．cm B．4cm C．3cm D．2cm11．如图，在▱ABCD中，AB=6，AD=9，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE，垂足为G，若BG=，则△CEF的面积是（）A． B． C． D．12．下列说法正确的是（）．A．“购买1张彩票就中奖”是不可能事件B．“概率为0.0001的事件”是不可能事件C．“任意画一个三角形，它的内角和等于180°”是必然事件D．任意掷一枚质地均匀的硬币10次，正面向上的一定是5次二、填空题（每题4分，共24分）13．如图是一个可以自由转动的转盘，转盘分成6个大小相同的扇形，颜色分为红、绿、黄三种颜色．指针的位置固定，转动的转盘停止后，其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置（指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形）．转动一次转盘后，指针指向_____颜色的可能性大．14．如图，点A，B的坐标分别为（1，4）和（4，4），抛物线y=a（x﹣m）2+n的顶点在线段AB上运动，与x轴交于C、D两点（C在D的左侧），点C的横坐标最小值为﹣3，则点D的横坐标最大值为_____．15．因式分解：=．16．已知关于x的方程有两个实数根，则实数k的取值范围为____________.17．已知线段，点是它的黄金分割点，，设以为边的正方形的面积为，以为邻边的矩形的面积为，则与的关系是__________．18．如图，在中，，棱长为1的立方体的表面展开图有两条边分别在，上，有两个顶点在斜边上，则的面积为__________．三、解答题（共78分）19．（8分）如图1，抛物线与x轴交于A、B两点(点A在x轴的负半轴)，与y轴交于点C．抛物线的对称轴交抛物线于点D，交x轴于点E，点P是线段DE上一动点(点P不与DE两端点重合)，连接PC、PO．(1)求抛物线的解析式和对称轴；(1)求∠DAO的度数和△PCO的面积；(3)在图1中，连接PA，点Q是PA的中点．过点P作PF⊥AD于点F，连接QE、QF、EF得到图1．试探究:是否存在点P，使得，若存在，请求点P的坐标；若不存在，请说明理由．20．（8分）抛物线的图像与轴的一个交点为，另一交点为，与轴交于点，对称轴是直线．（1）求该二次函数的表达式及顶点坐标；（2）画出此二次函数的大致图象；利用图象回答：当取何值时，？（3）若点在抛物线的图像上，且点到轴距离小于3，则的取值范围为；21．（8分）如图，在宽为40m，长为64m的矩形地面上，修筑三条同样宽的道路，每条道路均与矩形地面的一条边平行，余下的部分作为耕地，要使得耕地的面积为2418m2，则道路的宽应为多少？22．（10分）如图，在△ABC中，∠B=30°,∠C=45°,AC=2,求AB和BC．23．（10分）请阅读下面材料：问题：已知方程x1+x-3＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的一半．解：设所求方程的根为y，y=，所以x＝1y把x＝1y代入已知方程，得(1y)1+1y-3＝0化简，得4y1+1y-3＝0故所求方程为4y1+1y-3＝0这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．请用阅读材料提供的“换根法”解决下列问题：（1）已知方程1x1-x-15＝0，求一个关于y的一元二次方程，使它的根是已知方程根的相反数，则所求方程为：_________．（1）已知方程ax1+bx+c＝0(a≠0)有两个不相等的实数根，求一个关于y的一元二次方程，使它的根比已知方程根的相反数的一半多1．24．（10分）永农化工厂以每吨800元的价格购进一批化工原料，加工成化工产品进行销售，已知每1吨化工原料可以加工成化工产品0.8吨，该厂预计销售化工产品不超过50吨时每吨售价为1600元，超过50吨时，每超过1吨产品，销售所有的化工产品每吨价格均会降低4元，设该化工厂生产并销售了x吨化工产品．（1）用x的代数式表示该厂购进化工原料吨；（2）当x＞50时，设该厂销售完化工产品的总利润为y，求y关于x的函数关系式；（3）如果要求总利润不低于38400元，那么该厂购进化工原料的吨数应该控制在什么范围？25．（12分）如图，双曲线与直线相交于点（点在第一象限），其横坐标为2.（1）求的值；（2）若两个图像在第三象限的交点为，则点的坐标为；（3）点为此反比例函数图像上一点，其纵坐标为3，过点作，交轴于点，直接写出线段的长．26．如图1，直线y=2x+2分别交x轴、y轴于点A、B，点C为x轴正半轴上的点，点D从点C处出发，沿线段CB匀速运动至点B处停止，过点D作DE⊥BC，交x轴于点E，点C′是点C关于直线DE的对称点，连接EC′，若△DEC′与△BOC的重叠部分面积为S，点D的运动时间为t（秒），S与t的函数图象如图2所示．（1）VD,C坐标为；（2）图2中，m=，n=，k=.（3）求出S与t之间的函数关系式（不必写自变量t的取值范围）.

参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、B【解析】试题分析：分a＞0和a＜0两种情况讨论：当a＞0时，y=ax2+1开口向上，顶点坐标为（0，1）；位于第一、三象限，没有选项图象符合；当a＜0时，y=ax2+1开口向下，顶点坐标为（0，1）；位于第二、四象限，B选项图象符合．故选B．考点：1.二次函数和反比例函数的图象和性质；2.分类思想的应用．2、B【分析】作AE⊥x轴于E，BF∥x轴，交AE于F，根据图象上点的坐标特征得出A（，2），证得△AOE≌△BAF（AAS），得出OE=AF，AE=BF，即可得到B（+2，2-），根据系数k的几何意义得到k=（+2）（2-），解得即可．【详解】解：作AE⊥x轴于E，BF//x轴，交AE于F，∵∠OAE+∠BAF＝90°＝∠OAE+∠AOE，∴∠BAF＝∠AOE，在△AOE和△BAF中∴△AOE≌△BAF（AAS），∴OE＝AF，AE＝BF，∵点A，B在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，点A的纵坐标为2，∴A（，2），∴B（+2，2﹣），∴k＝（+2）（2﹣），解得k＝﹣2±2（负数舍去），∴k＝2﹣2，故选：B．【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，反比例函数的图象与性质，关键是构造全等三角形．3、B【解析】如图（见解析），先利用翻折的性质、直角三角形的性质求出的度数，再根据垂径定理、等腰三角形的性质得出度数，从而得出的度数，最后根据翻折的性质得出，利用扇形的面积公式即可得．【详解】如图，过点O作，并延长OD交圆O与点E，连接OA、OB、OC（垂径定理）由翻折的性质得（等腰三角形的三线合一）同理可得故选：B．【点睛】本题考查了垂径定理、翻折的性质、扇形的面积公式等知识点，利用翻折的性质得出的度数是解题关键．4、D【分析】根据三角形的重心的概念和性质得到AE，CD是△ABC的中线，根据三角形中位线定理得到DE∥BC，DE＝BC，根据相似三角形的性质定理判断即可．【详解】解：∵点G是△ABC的重心，∴AE，CD是△ABC的中线，∴DE∥BC，DE＝BC，∴△DGE∽△BGC，∴＝，①正确；，②正确；△EDG∽△CBG，③正确；,④正确，故选D．【点睛】本题考查三角形的重心的概念和性质，相似三角形的判定和性质，三角形中位线定理，掌握三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍是解题关键．5、B【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．【详解】解：从正面看是：大正方形里有一个小正方形，∴主视图为：

故选：B．【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图，注意看不到的线画虚线．6、C【解析】试题解析：x2-x=0，x（x-1）=0，x=0或x-1=0，所以x1=0，x2=1．故选C．考点：解一元二次方程-因式分解法．7、D【分析】由题意根据图上的距离与实际距离的比就是比例尺，列出比例式求解即可．【详解】解：设江华火车站到永州高铁站的实际距离为xcm，根据题意得：2：x=1：10000000，解得：x=20000000，20000000cm=200km．故江华火车站到永州高铁站的实际距离为200km．故选：D．【点睛】本题主要考查比例线段，解题的关键是熟悉比例尺的含义进行分析．8、B【解析】根据大量反复试验时，某事件发生的频率会稳定在某个常数的附近，这个常数就叫做事件概率的估计值，而不是一种必然的结果，可得答案．【详解】A.“抽到一等奖的概率为”，抽一次也可能抽到一等奖，故错误；B.“抽到一等奖的概率为”，抽10次也可能抽不到一等奖，故正确；C.“抽到一等奖的概率为”，抽10次也可能抽不到一等奖，故错误；D.“抽到一等奖的概率为”，抽第10次的结果跟前面的结果没有关系，再抽一次也不一定抽到一等奖，故错误；故选B.【点睛】关键是理解概率是反映事件的可能性大小的量.概率小的有可能发生,概率大的有可能不发生.概率等于所求情况数与总情况数之比.9、A【分析】根据等边三角形、正方形的性质求得∠ABE=30°，利用直角三角形中30°角的性质即可判断①；证得PC=CD，利用三角形内角和定理即可求得∠PDC，可求得∠BPD，即可判断②；求得∠FDP=15°，∠PBD=15°，即可证明△PDE∽△DBE，判断③正确；利用相似三角形对应边成比例可判断④．【详解】∵△BPC是等边三角形，

∴BP=PC=BC，∠PBC=∠PCB=∠BPC=60°，

在正方形ABCD中，

∵AB=BC=CD，∠A=∠ADC=∠BCD=90°

∴∠ABE=∠DCF=30°，∴，

∴；故①正确；

∵PC=CD，∠PCD=30°，

∴∠PDC=∠CPD===75°，∴∠BPD=∠BPC+∠CPD=60°+75°=135°，故②正确；

∵∠PDC=75°，∴∠FDP=∠ADC-∠PDC=90°-75°=15°，

∵∠DBA=45°，

∴∠PBD=∠DBA-∠ABE=45°-30°=15°，

∴∠EDP=∠EBD，

∵∠DEP=∠DEP，

∴△PDE∽△DBE，故③正确；

∵△PDE∽△DBE，∴，即，故④正确；综上：①②③④都是正确的．

故选：A．【点睛】本题考查的正方形的性质，等边三角形的性质以及相似三角形的判定和性质，解答此题的关键是熟练掌握性质和定理．10、D【解析】连接OA，过点O作OD⊥AB于点D，∵OD⊥AB，∴AD=12AB=12(9−1)=4cm，∵OA=5，则OD=5−DE，在Rt△OAD中，,即解得DE=2cm.故选D.11、A【详解】解：∵AE平分∠BAD，∴∠DAE=∠BAE；又∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠BEA=∠DAE=∠BAE，∴AB=BE=6，∵BG⊥AE，垂足为G，∴AE=2AG．在Rt△ABG中，∵∠AGB=90°，AB=6，BG=，∴AG==2，∴AE=2AG=4；∴S△ABE=AE•BG=．∵BE=6，BC=AD=9，∴CE=BC﹣BE=9﹣6=3，∴BE：CE=6：3=2：1，∵AB∥FC，∴△ABE∽△FCE，∴S△ABE：S△CEF=（BE：CE）2=4：1，则S△CEF=S△ABE=．故选A．【点睛】本题考查1．相似三角形的判定与性质；2．平行四边形的性质，综合性较强，掌握相关性质定理正确推理论证是解题关键．12、C【解析】试题解析：A.“购买1张彩票就中奖”是不可能事件，错误；B.“概率为0.0001的事件”是不可能事件，错误；C.“任意画一个三角形，它的内角和等于180°”是必然事件，正确；D.任意掷一枚质地均匀的硬币10次，正面向上的一定是5次，错误.故选C.二、填空题（每题4分，共24分）13、红【解析】哪一种颜色多，指针指向那种颜色的可能性就大．【详解】∵转盘分成6个大小相同的扇形，红色的有3块，∴转动一次转盘后，指针指向红颜色的可能性大．故答案为：红．【点睛】本题考查了可能性大小的知识，解题的关键是看清那种颜色的最多，难度不大．14、1【分析】根据题意当点C的横坐标取最小值时，抛物线的顶点与点A重合，进而可得抛物线的对称轴，则可求出此时点D的最小值，然后根据抛物线的平移可求解．【详解】解：∵点A，B的坐标分别为（1，4）和（4，4），∴AB=3，由抛物线y=a（x﹣m）2+n的顶点在线段AB上运动，与x轴交于C、D两点（C在D的左侧），可得：当点C的横坐标取最小值时，抛物线的顶点与点A重合，∴抛物线的对称轴为：直线，∵点，∴点D的坐标为，∵顶点在线段AB上移动，∴点D的横坐标的最大值为：5+3=1；故答案为1．【点睛】本题主要考查二次函数的平移及性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．15、．【详解】解：=．故答案为．考点：因式分解-运用公式法．16、【分析】根据一元二次方程有两个实数根，可知，列不等式即可求出k的取值范围.【详解】∵关于x的方程有两个实数根∴解得故答案为：.【点睛】本题考查根据一元二次方程根的情况求参数，解题的关键是掌握判别式与一元二次方程根的情况之间的关系.17、【分析】根据黄金分割比得出AP，PB的长度，计算出与即可比较大小．【详解】解：∵点是AB的黄金分割点，，∴，设AB=2，则，∴∴故答案为：．【点睛】本题考查了黄金分割比的应用，熟知黄金分割比是解题的关键．18、16【解析】根据题意、结合图形，根据相似三角形的判定和性质分别计算出CB、AC即可．【详解】解：由题意得：DE∥MF,所以△BDE∽△BMF,所以，即,解得BD=1，同理解得：AN=6；又因为四边形DENC是矩形，所以DE=CN=2，DC=EN=3,所以BC=BD+DC=4，AC=CN+AN=8，的面积=BC×AC÷2=4×8÷2=16.故答案为：16.【点睛】本题考查正方形的性质和相似三角形的判定和性质，解题的关键是需要对正方形的性质、相似三角形的判定和性质熟练地掌握．三、解答题（共78分）19、（1）；；（1）45°；；（3）存在，【分析】（1）把C点坐标代入解出解析式，再根据对称轴即可解出．（1）把A、D、E、C点坐标求出后，因为AE=DE，且DE⊥AE，所以∠DAO=，P点y轴的距离等于OE，即可算出△POC的面积．（3）设出PE=m，根据勾股定理用m表示出PA，根据直角三角形斜边中线是斜边的一半可以证明AQ=FQ=QE=QP，所以△AQF和△AQE都是等腰三角形，又因为∠DAO=，再根据角的关系可以证明△FEQ是等腰直角三角形，再根据，解出m即可．可以通过圆的性质，来判断△FEQ是等腰直角三角形，再根据建立等式算出m即可．【详解】解:(1)将C代入求得a=，∴抛物线的解析式为；由可求抛物线的对称轴为直线(1)由抛物线可求一些点的坐标:∴AE=DE=3，又DE⊥AE∴△ADE是等腰直角三角形∴∠DAO=45°作PM⊥y轴于M，在对称轴上的点P的横坐标为-1，∴PM=1，又OP=∴△OPC的面积为(3)解:存在点满足题目条件．解法一:设点P的纵坐标为m（0<m<3），则PE=m，∵点Q是PA的中点，∴QE、QF分别是Rt△PAE、Rt△PAF的公共斜边PA上的中线∴QE=QF=AQ=PQ=∵QE=AQ，QF=AQ∴∠EAQ=∠AEQ，∠FAQ=∠AFQ∴∠EQP=1∠EAQ，∠FQP=1∠FAQ∴∠EQF=1（∠EAQ+∠FAQ)=1∠DAO=90°又∴QE=QF∴△EFQ是等腰直角三角形∴△EFQ的面积为由得解得∵0<m<3∴∴在抛物线对称轴上的点P的坐标为解法二:设点P的纵坐标为m（0<m<3），则PE=m，∵点Q是PA的中点，∴QE、QF分别是Rt△PAE、Rt△PAF的公共斜边PA上的中线∴QE=QF=AQ=PQ=∴四边形PEAF内接于半径为QE的⊙Q，∴∠EQF=1∠DAO=90°又∴QE=QF∴△EFQ是等腰直角三角形∴△EFQ的面积为由得解得∵0<m<3∴∴在抛物线对称轴上的点P的坐标为【点睛】本题考查了用待定系数法求一元二次函数解析式，对称轴，直角三角形的性质，及一元二次函数与三角形综合点存在性的问题，熟练运用相关知识点是解本题的关键．20、（1），；（2）见解析，或；（3）【分析】（1）根据图像对称轴是直线，得到，再将，代入解析式，得到关于a、b、c的方程组，即可求得系数，得到解析式，再求出顶点坐标即可；（2）根据特定点画出二次函数的大致图象，根据二次函数与不等式的关系，即可得到对应的x的取值范围．（3）求出当时，当时，y的值，即可求出的取值范围．【详解】（1）因为图像对称轴是直线，所以，将，代入解析式，得：由题知，解得，所以解析式为：；当时，，所以顶点坐标．（2）二次函数的大致图象：当或，．（3）当时，得，当时，得，所以y取值范围为,即的取值范围为．【点睛】本题考查了待定系数法的求解析式、二元一次方程与不等式的关系，本题难度不大，是二次函数中经常考查的类型．21、道路的宽应为1m.【解析】分析：根据题意，设道路的宽为xm，根据矩形的面积找到等量关系，列方程求解即可.详解：解：设道路的宽应为xm，则(64－2x)(40－x)＝2418，整理，得x2－72x＋71＝0，解得x1＝1，x2＝71(不合题意，舍去)．答：道路的宽应为1m.点睛：此题主要考查了一元二次方程几何问题中的应用，分清矩形的特点，确定矩形的面积是解题关键，注意解出来的结果要符合实际情况.22、AB=2,BC=.【解析】要求AB和BC，由已知∠B、∠C为特殊角，故可构造直角三角形来辅助求解.过点A作AD⊥BC于D，首先在Rt△ACD中求出CD和AD，然后在Rt△ABD中求出BD和AB，从而BC=BD+DC可求.【详解】解：作三角形的高AD.在Rt△ACD中,∠ACD=45°,AC=2,∴AD=CD=.在Rt△ABD中,∠B=30°,AD=，∴BD=，AB=.∴CB=BD+CD=+.故答案为AB=2,BC=.【点睛】本题考查解直角三角形，解答本题的关键是熟练掌握勾股定理与特殊角的三角函数值.23、（1）1y1+y-15＝0；（1）．【分析】（1）利用题中解法，设所求方程的根为y，则y=-x，所以x=-y，然后把x=-y代入已知方程整理后即可得到结果；（1）设所求方程的根为y，则y=（x≠0），于是x=4-1y（y≠0），代入方程ax1+bx+c=0整理即可得．【详解】解：（1）设所求方程的根为y，则y=-x，所以x=-y，把x=-y代入1x1-x-15＝0，整理得，1y1+y-15＝0，故答案为：1y1+y-15＝0；（1）设所求方程的根为y，则y=（x≠0），所以，x=4-1y（y≠0），把x=4-1y代入方程ax1+bx+c=0，整理得：．【点睛】本题主要考查一元二次方程的解，解题的关键是理解方程的解的定义和解题的方法．24、（1）x；（2）y＝﹣4x2+800x；（3）如果要求总利润不低于38400元，那么该厂购进化工原料的吨数应该控制在100吨～150吨范围内．【分析】（1）根据“每1吨化工原料可以加工成化工产品0.8吨”，即可求出；（2）根据总利润＝总售价－总成本即可求出y关于x的函数关系式；（3）先求出y=38400元时，x的值，然后根据二次函数图象的开口方向和增减性即可求出x的取值范围.【详解】（1）x÷0.8＝x吨，故答案为：x；故答案为：x；（2）根据题意得，y＝x[1600﹣4（x﹣50）]﹣x•800＝﹣4x2+800x，则y关于x的函数关系式为：y＝﹣4x2+800x；（3）当y＝38400时，﹣4x2+800x＝38400，x2﹣200x+9600＝0，（x﹣120）（x﹣80）＝0，x＝120或80，∵﹣4＜0，∴当y≥38400时，80≤x≤120，∴100≤x≤150，∴如果要求总利润不低于38400元，那么该厂购进化工原料的吨数应该控制在100吨～150吨范围内．【点睛】此题考查的是二次函数的应用，掌握实际问题中的等量关系和二次函数的增减性是解决此题的关键.25、（1）k=12；（2）；（3）3【分析】(1)将横坐标为2代入y=3x解出纵坐标,再将坐标点代入反比例函数求出k即可.(2)根据反比例函数的图象性质即可写出.(3)先算出B的坐标,再算出BC的表达式即可算出C的坐标点,则OC即可得出.【详解】（1）把代入中，得把代入中，得，.（2）∵A(2,6)∴根据反比例函数的图象M.（3）将y=3代入,解得x=4,则B(4,3),∵BC∥OA,∴设BC:y=3x+b,将B(4,3)代入解得:b=-9,BC:y=3x-9.令y=0,则3x-9=0,x=3,∴C(3,0)即OC=3.【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的图象性质,关键在于熟悉基础知识.26、（1）点D的运动速度为1单位长度/秒，点C坐标为（4，0）．（2）；；．（3）①当点C′在线段BC上时，S＝t2；②当点C′在CB的延长线上，S=−t2＋t−；③当点E在x轴负半轴，S＝t2−4t＋1．【分析】（1）根据直线的解析式先找出点B的坐标，结合图象可知当t＝时，点C′与点B重合，通过三角形的面积公式可求出CE的长度，结合勾股定理可得出OE的长度，由OC＝OE＋EC可得出OC的长度，即得出C点的坐标，再由勾股定理得出BC的长度，根据CD＝BC，结合速度＝路程÷时间即可得出结论；（2）结合D点的运动以及面积S关于时间t的函数图象的拐点，即可得知当“当t＝k时，点D与点B重合，当t＝m时，点E和点O重合”，结合∠C的正余弦值通过解直角三角形即可得出m、k的值，再由三角形的