电路的频率响应

第七章电路的频率响应7-1学习要求理解和掌握网络函数的定义、频率特性、谐振、特性阻抗、品质因数、通频带和选择性等有关概念；熟练掌握串联和并联电路的谐振条件、工作特点和分析计算方法；了解耦合谐振电路的组成和特点；掌握滤波器原理及其应用。7-2主要内容1、网络函数及其分类网络函数H(j)为响应相量R(j)与激励相量E(j®)之比，即网络函数又称传递函数，可分为两类，一类为驱动点函数，一类为转移函数(或传输函数)。驱动点函数其响应和激励在同一个端口，而转移函数的响应和激励在不同的端口，表7-1给出传递函数(或网络函数)分类名称和定义式表7-1传递函数(或网络函数)分类网络分类名H(j®)的定义式驱动占八、、函数驱动点阻抗函数驱动点导纳函数转移函数转移阻抗函数转移导纳函数电压比函数电流比函数2、网络函数的零点和极点网络函数H(j®)的零点是使H(j®)=H(s)=0的s二j®的值，网络函数H(j®)的极点是使H(j®)=H(s)=g的s值。3、电路的频率响应(频率特性)

根据线性电路的齐次性，对于只有一个输入的电路，在特定的频率下，输出与输入之间成比例关系，即式中H(j®)即为电路的转递函数或网络函数，可以表示为式中|H(j®)|称为增益函数，申(①)称为相位函数。则输出幅值=|h(j®)卜输入幅值，输出相位=申(®)+输入相位可见，增益函数|H(j®)\和相位函数申(®)反映了电路如何改变输出的幅值和相角，且它们与输入的频率有关，二者描述了电路的频率响应，即频率特性包括了幅频特性和相频特性。频率特性可以通过解析法和图解法求得。定义求法解析法图解法在s平面上用作图的方法求解IH(j®)\和9(®)4、RLC串联电路的频率特性RLC串联电路具有典型性，在工程中得到广泛应用。RLC串联电路的激励是串联电路的总的电压，而响应可以是任意元件上的电压。但不同的响应电压对应的网络函数具有不同的频率特性。若响应是电容上的电压，则具有低通特性，这是由于频率较低时，容抗较大的缘故；若响应是电感上的电压，则具有高通特性，这是由于频率较高时，感抗较大的缘故；若响应是电阻上的电压，则具有带通特性，这是因为频率在谐振附近时，容抗和感抗相互抵消，因而电阻上产生较大的电压。为了更好准确地反映频率特性的特点并便于绘制通用频率特性曲线，通常将各频率特性表达成谐振角频率和品质因数的函数，它们与电路参数的关系分别为®0®05、RLC谐振电路含有电感和电容的一端口电路，如果在一定条件下，端口电压和端口电流同相位，则称此一端口电路发生了谐振。因此，谐振条件是一端口的输入阻抗为实数。典型的谐振电路的RLC串联电路，其谐振条件为可以通过改变®、L和C来满足谐振条件。RLC串联电路谐振的主要特点为：阻抗模达到最小值：|Z=|Z|=R，因而电路中电流达到最大，导纳模达到最小值：|Y|=|导纳模达到最小值：|Y|=|Y|=G，因而电路中电压达到最大，U=£；min G 电感电流和电容电流有效值相等，相位相反，相量之和为零，它们的有效值为总电流有效值的Q倍。串联谐振电路和并联谐振电路的特性如表7-2所示表7-2串联谐振电路和并联谐振电路的特性min R电感电压和电容电压有效值相等，相位相反，相量之和为零，它们的有效值为总电压有效值的Q倍。RLC并联电路谐振特点和RLC串联电路谐振特点存在对偶关系，即

谐振形式串联谐振并联谐振别名电压谐振电流谐振谐振条件谐振频率特性阻抗品质因数谐振时电路相量图谐振时的阻抗或导纳Z=Z=R，为最小minY=Y=G，为最小min谐振时的电压或电流&U&仪=—，U一定，I取最大值0RU=—，I一定，u取最大值0G储能元件的电压或电流U=jQUU=—jQUL ， C仪=-jQI&I&=jQ&L ， C电磁总能量通用曲线表达式通频带6、波特图波特图是网络函数的半对数幅频特性图和相频特性图。波特图幅度为dB,相位为度，波特图的直线近似是用H(j)的极点和零点所决定的转折频率画出来的。7、滤波器滤波器是通过某个频带和阻止其他频带的电路。无源滤波器由电阻、电容和电感等器件构成。有源滤波器由电阻、电容和有源器件等构成，一般有源器件是运算放大器。四种常用的滤波器分别为低通、高通、带通和带阻滤波器。低通滤波器只通过频率低于截止频率®的信号，高通滤波器只通过频率高于截止频率®的信号，带通滤波器只通过规定频率范围CC巴<®<®2内的信号，带阻滤波器只通过规定频率范围®1>®>®外的信号。7-3习题解答7-1求题图7-1所示电路的网络函数H(jto)=Uj)题图7-1解：H(购)解：H(购)=Uj1R_ "丿宀LCj®LX1 （j®）2+1j®+1j®C RCLCR+ 1—j®L+——j®C（购）21S2+一LC1TS2+S+RCLC7-2求题图7-2所示电路的驱动点阻抗、转移电流比$和转移阻抗备1+U2解：令I=IZOoA，则其他电压\电流可求得2最后求得7-3求题图7-3所示电路的转移电压比7-2求题图7-2所示电路的驱动点阻抗、转移电流比$和转移阻抗备1+U2解：令I=IZOoA，则其他电压\电流可求得2最后求得7-3求题图7-3所示电路的转移电压比U&和驱动点导纳$。11ifiQ解：用网孔法求解。设顺时针网孔电流为Im1题图7-3（左）和I（右），则m2解得=Im1 1可得7-4求题图7-4所示电路的转移电压比第,1当《Ci=R2C2时’此电路网络函数有何特性?ij®Cij®C2T-解：题图7-41R设z=R// = +iijeCR+j®RC1111R°2 j®C R+j®RC2222Z=R//—2当当RiCi当当RiCi=R2c2时，得Hj)=U&=112

7-5题图7-5(a)所示电路。(1)求H(s)= ；(2)求电路的幅频特性|H(j)与相频特U(s)1性申(①)；(3)画出幅频特性H(妙)|曲线，说明是何种滤波器，求滤波器的截止频率®。。题图7-5解：(1)用节点法求解。联立求解得令s二j®代入上式得故得幅频特性相频特性|H(j®)\的曲线如题图7-5(b)所示，可见为三阶低通滤波器。令可解得截止频率为®=1rad/sc7-6求题图7-6所示电路的网络函数，说明它具有高通特性还是低通特性。解：RC并联的等效阻抗为解：RC并联的等效阻抗为幅频特性为+U2当0时，|H(j®)=1；当® 时，|H(j®)=0。所以它具有低通特性。7-7求题图7-7求题图7-7(a)、(b)所示电路的转移电压比U&联立求解得U&该转移电压比的特性与RLC串联电路中u&相似，属于低通函数。调节k就可以改变函数的频S率特性。对于题图7-7(b)所示电路，可利用上述同样的方法求解，得

U&该转移电压比的特性与RLC串联电路中u&L相似，属于高通函数。调节k就可以改变函数的频S率特性。7-8求题图7-8(a)所示电路网络函数H(s)=U2(s)，定性画出幅频特性和相频特性示意图。U(s)s题图7-8解：根据图示选取的网孔电流列出回路方程为联立解得U(s)联立解得U(s)1is2+3s+1令s二j代入上式得则幅频特性和相频特性分别为定性的幅频特性和相频特性的波形分别如题图7-8(b)、(c)所示。7-9求题图7-9所示电路电压转移函数H(s)=纠J，设运算放大器是理想的。U(s)in题图7-9解：应用节点法求解。选取图所示的参考节点，并设节点电压为U(s)和U(s)，可列出方程,n1 n2并注意到理想运放特点，得解得该电路的电压转移为7-10求题图7-10(a)、(b)所示电路的谐振频率及各频段的电抗性质。解：对于题图7-10(a)所示电路，两并联电路的导纳为当301叮古时发生并联谐振，整个电路阻抗为22当Z二解：对于题图7-10(a)所示电路，两并联电路的导纳为当301叮古时发生并联谐振，整个电路阻抗为22当Z二0，即3(c+C)113L 3L=0时,3= 、(C1L+LT2 +C)LL222，发生串联谐振。对于题图7-10(b)所示电路，可设端口电压与电流相量为U,10，由KCL得由KVL可得U-jwLI+ 1I-j(3wL—1)IjwCc wCc因为输入端阻抗为3eL— wC因为输入端阻抗为3所以，当皿—爲=0，即时发生谐振。7-11题图7-11所示电路，已知，w=104rad/s时电流i的有效值为最大，量值是1A,此时叮10V。⑴求R、L、C及品质因数Q；⑵求电压uc。+u+uLC＜u=u=10、：2cos(lOt—900)VC联立求得R-0.1。, L-1mH,C-10卩F品质因数Q-昔-0.1-100(2)因为U-1- 1Z00xZ—900-10Z—900VCjC104x10X10-6故有7-12题图7-12所示电路中，，S=20mA，L=10°卩F，R二10。。求电路谐振时的通频带Bwrl和rl和RL为何值时获得最大功率，并求最大功率。式中，z叫=R+妙°L，谐振时’有①L0lz①L0lz(巴)2iz（巴）卩=Cw=—=0.5^0LC170rad/s则Y(jw)=0CRL=G,R=L，CR即R=L时获得最大功率P，且有LCRmax1■T1w0.5xl07 小一“ …此时，Q=RC5'BW=z=1 =2.5x107rad/sL52两点欲使Z，则有2两点欲使Z，则有'—W2LCC=02112解得并联谐振角频率为C+C—1 2LCC112解：ab两端电压为零，说明R上无电流流过，C2与Ci，Li串联支路发生并联谐振。从】、7-14求题图7-14所示电路在下列两种条件下电路谐振的谐振频率wo:（1）叫=R27-14求题图7-14所示电路在下列两种条件下电路谐振的谐振频率wo:（1）叫=R2丰22)R1=R2=2解：根据并联谐振电路导纳为2式中Z（j3）=R+j3L,01011。上式中虚部为零可解得0 2 ①C式中Z（j3）=R+j3L,01011。上式中虚部为零可解得0 2 ①C021)时，2)当R二R二12才时谐振频率30为不确定，在任意频率下都谐振。7-15题图7-15（a）us二10血104tV•若改变R值，电流i不变，求电容C的值。所示电路中，解：题图7-15(a)所示电路可等效变换题题电阻R的电流即为电流源电流，此时无论怎么改变R的值，电流i不变，所以7-16题图7-16所示电路中，已知3二103rad/s，为负载R=100与等效电阻为R=1000的LS电源实现共轭匹配，在负载与电源之间接入一个由LC构成的r形二端口电路，试确定L、C的大小。解：RL当Z=R时，电路实现共轭匹配，于是LS得到由上式得解得由于叭为电感，上述解取正值，代入数据得又由x1=3L得到电感值为将X代入—XX=RR，解得1 12LS1又由x2二-得到电容值为2 3C

7-17RLC串联电路，已知电源电压U二1mV,f=1.59MHz，调整电容C使电路达到谐振,S此时测得电路电流I二0.1mA，电容上电压U二50mV。求电路元件参数R,L,C及电路品质因0 C0数Q和通频带Af。解：电路发生电压谐振，故7-18RLC串联电路中，已知端电压u二10p2sin(2500t+15o)V，当电容C二8卩F时，电路吸收的平均功率P达到最大值P二100W。求电感L和电阻R的值，以及电路的Q值。max解：由题意：C=8卩F时电路发生谐振，电流I最大，吸收功率P=100W达最大，据此可求max出7-19试求题图7-17所示电路的谐振角频率表达式。解：题图7-17所示电路的输入导纳为当其虚部为零时，端口电流、电压同相，达到谐振，由此则可导出谐振角频率的表达式。令由此解出谐振角频率7-20题图7-18所示电路，已知卩二0，us⑴与心同相位，us(t)=3迈cos®tV。1Q⑴求匕的值和W的有效值；⑵求电压源us⑴发出的功率P1Q2QI i(t)I i(t)ILI2+)ugt)(T)uS(t)酬匚o.o1fL11H-C—20.05F又知u又知us(t)与i(t)同相位,又得题图7-18解：因为卩=0，故-和厶发生了并联谐振，故得故C和L发生了串联谐振，故得22i(t)=US(t)=-x3J2cos①t=\2cos①tA1+2 3故电压源发出的功率为

故屮)的有效值为7-21RLC