2019年高考数学大一轮热点聚焦与扩展专题(7份解析版)

专题01利用数轴解决集合运算问题【热点聚焦与扩展】数形结合是解决高中数学问题的常用手段，其优点在于通过图形能够直观的观察到某些结果，与代数的精确性结合，能够快速解决一些较麻烦的问题.在集合的运算中，涉及到单变量的取值范围，数轴就是一个非常好用的工具，本专题以一些题目为例，来介绍如何使用数轴快速的进行集合的交集、并集及补集等运算.1、集合运算在数轴中的体现：在数轴上表示为在数轴上表示为表示区域的公共部分.表示区域的总和.在数轴上表示为中除去剩下的部分（要注意边界值能否取到）.2、问题处理时的方法与技巧：（1）涉及到单变量的范围问题，均可考虑利用数轴来进行数形结合，尤其是对于含有参数的问题时，由于数轴左边小于右边，所以能够以此建立含参数的不等关系.（2）在同一数轴上作多个集合表示的区间时，可用不同颜色或不同高度来区分各个集合的区域.（3）涉及到多个集合交并运算时，数轴也是得力的工具，从图上可清楚的看出公共部分和集合包含区域.交集即为公共部分，而并集为覆盖的所有区域.（4）在解决含参数问题时，作图可先从常系数的集合（或表达式）入手，然后根据条件放置参数即可.3、作图时要注意的问题：（1）在数轴上作图时，若边界点不能取到，则用空心点表示；若边界点能够取到，则用实心点进行表示，这些细节要在数轴上体现出来以便于观察.（2）处理含参数的问题时，要检验参数与边界点重合时是否符合题意.【经典例题】例1【2017课标1，理1】已知集合A={x|x<1}，B={x|}，则（）A．B．D．C．【答案】A【解析】由可得，则，即，所以，结合数轴得，，故选A.例2【2018届河北省衡水中学高三上学期七调】设集合，，全集，若，则有（）A.B.C.D.【答案】C【解析】,结合数轴得,故选C.例3【2018届河北省武邑中学高三下学期开学】设常数，集合，，若，则的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】由题得，因为，所以通过画数轴分析得到，（注意一定要取等），故选B.【名师点睛】：（1）含有参数的问题时，可考虑参数所起到的作用，在本题中参数决定区间的端点；（2）含有参数的问题作图时可先考虑做出常系数集合的图象，再按要求放置含参的集合；（3）注意考虑端点处是否可以重合.例4【2018届河北省衡水中学高三上学期九模】已知集合，，若，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】D例5.已知函数，对，使得成立，则实数的取值范围是__________【答案】【解析】思路：任取，则取到值域中的每一个元素，依题意，存在使得，意味着值域中的每一个元素都在的值域中，即的值域为的值域的子集，分别求出两个函数值域，再利用子集关系求出的范围解：时，时，综上所述：答案：.例6.已知集合，若，则________【答案】【解析】本题主要考察如何根据所给条件，在数轴上标好集合的范围.从而确定出的值，，所以.例7.已知集合，若，则实数的取值范围为【答案】【解析】先解出的解集，意味着有公共部分，利用数轴可标注集合两端点的位置，进而求出的范围且.例8：在上定义运算的子集，则实数a的取值范围是（），若关于的不等式或D．的解集是A．B．C．【答案】D【解析】首先将变为传统不等式：，不等式含有参数，考虑根据条件对进行分类讨论。设解集为，因为，所以首先解集要分空集与非空两种情况：当围即可时，则；当时，根据的取值分类讨论计算出解集后再根据数轴求出的范解：设解集为当当时，则时：若时，时，若综上所述：答案：D.【精选精练】1【2017北京，理1】若集合A={x|–2<x<1}，B={x|x<–1或x>3}，则AB=（A）{x|–2<x<–1}（B）{x|–2<x<3}（C）{x|–1<x<1}【答案】A（D）{x|1<x<3}【解析】利用数轴可知，故选A.2【2017山东，理1】设函数的定义域，函数的定义域为,则（A）（1,2）【答案】D（B）（C）（-2,1）（D）[-2,1)3.【2018届东北三省三校（哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）高三第二次模拟】集合（），集合，则A.B.C.D.【答案】B【解析】因为，所以，选B.4．【2018届湖南省（长郡中学、衡阳八中）、江西省（南昌二中）等十四校高三第二次联考】设集合，，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】故选D.5.【2018届重庆市巴蜀中学高三3月月考】已知全集，集合，，则（）A.B.C.D.【答案】C点晴：集合的三要素是：确定性、互异性和无序性.研究一个集合，我们首先要看清楚它的研究对象，是实数还是点的坐标还是其它的一些元素，这是很关键的一步.第二步常常是解一元二次不等式，我们首先用十字相乘法分解因式，求得不等式的解集.在解分式不等式的过程中，要注意分母不能为零.元素与集合之间是属于和不属于的关系，集合与集合间有包含关系.在求交集时注意区间端点的取舍.熟练画数轴来解交集、并集和补集的题目.）6．已知全集,集合B.,则等于A.C.D.【答案】C【解析】全集,集合,.或.故选C.7．【2018届宁夏吴忠市高三下学期高考模拟】已知全集，设函数的定义域为集合，函数的值域为集合，则（）A.B.C.D.【答案】D8．【2018届江西省新余市高三上学期期末】设集合，，则等于（）A.B.C.D.【答案】C【解析】由，即为，即，即为，解得,∴∴，由，即，∴=.9.【2018年衡水金卷三】已知集合，，若，则实数的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】对于集合，，解得.由于故.10．【2018届北京市人大附中2017-2018学年高三十月月考】已知集合,集合若则实数的取值范围是A.B.C.D.【答案】B【解析】由题得,因为,所以,故选B.11.【2018届云南省曲靖市第一中学高三3月】已知集合，，若，则的取值范围是()A.B.C.D.12．【2018届东北三省三校（哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）高三第一次模拟】已知集合，，若，则实数的取值范围是()A.B.C.D.【答案】A【解析】由已知得，由，则，又，所以.故选A.专题02充分条件与必要条件【热点聚焦与扩展】高考对命题及其关系和充分条件、必要条件的考查主要是以小题的形式来考查，由于知识载体丰富，因此题目有一定综合性，属于中、低档题．命题重点主要有三个：一是以函数、方程、三角函数、数列、不等式、立体几何线面关系、平面解析几何等为背景的充分条件和必要条件的判定与探求；二是考查等价转化与化归思想；三是由充分条件和必要条件探求参数的取值范围．1、定义：（1）对于两个条件，如果命题“若则”是真命题，则称条件能够推出条件，记为，（2）充分条件与必要条件：如果条件满足，则称条件是条件的充分条件；称条件是条件的必要条件2、对于两个条件而言，往往以其中一个条件为主角，考虑另一个条件与它的关系，这种关系既包含充分方面，也包含必要方面。所以在判断时既要判断“若则”的真假，也要判断“若则”真假3、两个条件之间可能的充分必要关系：（1）能推出，但推不出，则称是的充分不必要条件（2）推不出，但能推出，则称是的必要不充分条件（3）能推出，且能推出，记为，则称是的充要条件，也称等价（4）推不出，且推不出，则称是的既不充分也不必要条件4、如何判断两个条件的充分必要关系(1)定义法：若充分条件；若件。，则是的充分而不必要条件；若，则是的充要条件；若，则是的必要而不，则是的既不充分也不必要条(2)等价法：即利用与；与；与的等价关系，对于条件或结论是否定形式的命题，一般运用等价法．(3)充要关系可以从集合的观点理解，即若满足命题p的集合为M，满足命题q的集合为N，则M是N的真子集等价于p是q的充分不必要条件，N是M的真子集等价于p是q的必要不充分条件，M＝N等价于p和q互为充要条件，M，N不存在相互包含关系等价于p既不是q的充分条件也不是q的必要条件.4、充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意：(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．(2)要注意区间端点值的检验．5、对于充要条件的证明问题，可用直接证法，即分别证明充分性与必要性.此时应注意分清楚哪是条件，哪是结论，充分性即由条件证明结论；而必要性则是由结论成立来证明条件也成立，千万不要张冠李戴；也可用等价法，即进行等价转化，此时应注意的是所得出的必须是前后能互相推出，而不仅仅是“推出”一方面（即由前者可推出后者，但后者不能推出前者）.【经典例题】例1【2017天津，理4】设，则“”是“”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件【答案】【解析】，但，不满足，所以是充分不必要条件，选A.例2【2018届山东省天成大联考高三第二次考试】已知，，，，则是（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】D例3【2018届江西省高三监测】已知命题：；命题：，且的一个必要不充分条件是，则的取值范围是（）A.B.D.C.【答案】A【解析】x2＋2x－3>0，得x<－3或x>1，故p：－3≤x≤1；命题q：，故q：。由q的一个必要不充分条件是p，可知q是p的充分不必要条件，故得.故选A.例4【2018届东北三省三校高三第二次模拟】设，则使成立的必要不充分条件是（）A.B.C.D.【答案】B例5【2018届河北省保定市高三第一次模拟】已知非向量，则或是向量与夹角为锐角的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】向量与夹角为锐角充要条件为且向量与不共线，即，故或是向量与夹角为锐角的必要不充分条件，选B.”是“直线有公共点”的例6.“与圆A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】.将直线方程代入圆的方程,化简得.故为充分必要条件,选C.,判别式,解得例7【2018届天津市十二重点中学高三联考一】设条件：函数增，条件：存在成立，则是的（）在上单调递使得不等式A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】条件：函数在上单调递增，则；条件：存在使得不等式成立，则，则是的充要条件.故选C.例8【2018届四川省棠湖中学高三3月月考】“”是“”的A.充分不必要条件B.充要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】由可得．当时，不一定成立；反之，当时，必有．∴“”是“”的必要不充分条件．选C．例9【2018届北京市西城区156中学高三上学期期中】设”是“”的（）．，，是两个不同的平面，则“A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件【答案】A例10.已知，当“”是“”的充分不必要条件，则的取值范围是__________【答案】【解析】思路：为两个不等式的解集，因为“”是“”的充分不必要条件，所以是的真子集。考虑解出两个不等式的解集，然后利用数轴求出的范围即可解：由是的真子集可得：【名师点睛】：1、熟悉充分必要条件与集合的联系：是的充分不必要条件应集合的真子集.对应集合是对2、处理含参问题时，秉承“先常数再参数”的顺序分析，往往可利用所得条件对参数范围加以限制，减少分类讨论的情况.例如在本题中，若先处理，则解不等式面临着分类讨论的问题.但先处理之后，结合数轴会发现何种情况符合，省去了无谓的讨论.【精选精练】1．【2018届河南省濮阳市高三二模】对于实数对应的曲线是椭圆”的（），，“”是“方程A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A2．【2018届河北省衡水中学高三十五模】已知等差数列的两根”是“”的（）的前项和为，“，是方程A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】∵，是方程的两根∴∴，∴+∴充分性具备；反之，不一定成立.∴“故选：A.，是方程的两根”是“”的充分不必要条件3．【2018届上海市黄浦区高三4月模拟（二模）】在空间中，“直线内无穷多条直线都垂直”的（）平面”是“直线与平面A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.非充分非必要条件【答案】A4．【2018届上海市杨浦区高三二模】已知，，则“”是“直线与平行”的（）条件A.充分非必要B.必要非充分C.充要D.既非充分也非必要【答案】B【解析】直线，，则“”化为，即与平行”可推出：，，，则“平行”的必要不充分条件”是“直线与故选5．【2018届重庆市高三4月二诊】“”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由，可得或，即或，所以是成立的必要不充分条件，故选B．是“函数6．【2018届吉林省四平市高三质量检测】A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分且必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A的最小正周期为”的()7．【2018届北京东城五中2017-2018学年高三上期中】已知向量、为非零向量，则“的夹角为锐角”的（）．”是“、A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】∵等价于，的夹角是锐角或，∴“”是“，的夹角为锐角”的必要不充分条件，故选B.8．【2018届江西省上饶市高三下学期二模】“垂直”的（）”是“直线与直线A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由直线与直线垂直可得，，解得或，所以“”是“直线与直线垂直”的充分不必要条件，故选A.9．【2018届山东省聊城市高三一模】设等比数列”是“数列是递增数列”的（）的各项均为正数，其前项和为，则“A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C10．【2018届河南省八市学评高三下学期第一次】设等差数列是“为递减数列”的()的首项大于0，公差为,则“”A.充要条件B.充分而不必要条件C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由题意，当时，，所以，即数列为递减数列；若数列所以为递减数列，则，因为，所以，是数列为递减数列的充要条件，故选A．11．设命题实数使曲线表示一个圆；命题实数使曲线表示双曲线.若是的充分不必要条件，求正实数的取值范围.【答案】，故实数的取值范围.12．已知命题：，命题：.（1）若，求实数的值；（2）若是的充分条件，求实数的取值范围.【答案】(1)2;(2)实数a的取值范围是（﹣∞，0]∪[4，+∞）.【解析】试题分析：（1）利用一元二次不等式的解法把集合化简后，由，借助于数轴列方程组可解的值；（2）把是的充分条件转化为集合和集合之间的包含关系，运用两集合端点值之间的关系列不等式组求解的取值范围.专题03命题形式变化及真假判定【热点聚焦与扩展】（一）命题结构变换1、四类命题间的互化：设原命题为“若，则”的形式，则（1）否命题：“若”（2）逆命题：“若，则”（3）逆否命题：“若2、，则，则”，（1）用“或”字连接的两个命题（或条件），表示两个命题（或条件）中至少有一个成立即可，记为（2）用“且”字连接的两个命题（或条件），表示两个命题（或条件）要同时成立，记为3、命题的否定：命题的否定并不是简单地在某个地方加一个“不”字，对于不同形式的命题也有不同的方法（1）一些常用词的“否定”：是→不是全是→不全是至少一个→都没有至多个→至少个小于→大于等于（2）含有逻辑联结词的否定：逻辑联接词对应改变，同时或→且→（3）全称命题与存在性命题的否定均变为：且或全称命题：存在性命题：规律为：两变一不变①两变：量词对应发生变化（②一不变：所属的原集合），条件要进行否定的不变化（二）命题真假的判断：判断命题真假需要借助所学过的数学知识，但在一组有关系的命题中，真假性也存在一定的关联。1、四类命题：原命题与逆否命题真假性相同，同理，逆命题与否命题互为逆否命题，所以真假性也相同。而原命题与逆命题，原命题与否命题真假没有关联2、，，如下列真值表所示：或且真真假假真假真假真真真假真真假假真假真假真假假假简而言之“一真则真”简而言之“一假则假”3、：与命题真假相反。4、全称命题：真：要证明每一个中的元素均可使命题成立假：只需举出一个反例即可5、存在性命题：真：只需在假：要证明【经典例题】举出一个使命题成立的元素即可中所有的元素均不能使命题成立例1【2017山东，理3】已知命题p:；命题q：若a＞b，则，下列命题为真命题的是（）（A）（B）（C）（D）【答案】B【名师点睛】解答简易逻辑联结词相关问题，关键是要首先明确各命题的真假，利用或、且、非真值表，进一步作出判断.例2【2017北京，理13】能够说明“设a，b，c是任意实数．若a＞b＞c，则a+b＞c”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为______________________________．【答案】-1，-2，-3（答案不唯一）【名师点睛】对于判断不等式恒成立问题，一般采用举反例排除法．解答本题时利用赋值的方式举反例进行验证，答案不唯一．例3.命题“若，则”的逆否命题是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则【答案】B【解析】命题“若，则”的逆否命题是“若，故选C.，则，”故命题“若，则”的逆否命题是若，则例4【2018届新疆乌鲁木齐市高三第二次监测】命题若，则；是的逆命题，则（）A.真，真B.真，假C.假，真D.假，假【答案】C【解析】由题意，，所以，得，所以命题为假命题，又因为是的逆命题，所以命题：若例5.有下列命题:，则为真命题，故选C.①面积相等的三角形是全等三角形;②“若③“若,则,则”的逆命题;”的否命题;④“矩形的对角线互相垂直”的逆否命题.其中真命题为A.①②B.②③C.①③D.②④【答案】B【解析】逐一考查所给的命题：①面积相等的三角形不一定是全等三角形，该命题错误;②“若该命题正确;,则”的逆命题为“若”的否命题为“若,则”，③“若正确;,则,则”，该命题④“矩形的对角线互相垂直”为假命题，则其逆否命题为假命题，原命题错误.综上可得：真命题为②③.本题选择B选项.例6.已知命题出下列结论:,使;命题,都有.给A.命题是真命题B.命题“C.命题“”是真命题D.命题“”是真命题”是假命题【答案】B本题选择B选项.例7.命题“A.”的否定是（）B.D.C.【答案】D【解析】特称命题的否定为全称命题，将存在量词变为全称量词，同时将结论进行否定，故命题“”的否定是“”，故选D.，使得，都有例8【2018届湖南省张家界市高三三模】命题：，的否定是（）A.C.，，B.D.，，【答案】C【解析】由题意可知，命题为全称命题，其否定须由全称命题来完成，并否定其结果，所以命题的.故选C.否定是，例9【2018届北京市首师大附高三十月月考】已知命题“”是真命题,则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】因为命题“”是真命题,，选C.x&kw所以例10【2018届江西省八所重点中学高三下学期联考】已知命题对任意，总有；命题直线），，若，则或；则下列命题中是真命题的是（A.B.C.D.【答案】D【精选精练】1．【2017山东，文5】已知命题p：;命题q：若,则a<b.下列命题为真命题的是（）A．B.C.D.【答案】B【解析】由题,故选B.时成立知p是真命题,由可知q是假命题,所以是真命【名师点睛】判断一个命题为真命题,要给出推理证明；判断一个命题是假命题,只需举出反例．根据“原命题与逆否命题同真同假,逆命题与否命题同真同假”这一性质,当一个命题直接判断不易进行时,可转化为判断其等价命题的真假．2．【2018届安徽省江淮十校高三第三次（4月）联考】下列命题中，真命题是（）A.，有B.C.函数有两个零点D.，是的充分不必要条件【答案】D【解析】x=0时lnx=0,A错误；当sinx=-1时，，B错误；有三个零点，时，x=2,4,还有一个小于0，C错误；当成立，故D正确,选D.，时，一定有，但当，也3．【2018届山西省榆社中学高三诊断性模拟】设集合，，现有下面四个命题：；若，则；：若，则；：若，则.其中所有的真命题为（）A.B.C.D.【答案】B【名师点睛】此题主要考查集合的补集、交集、并集、包含等基本关系与运算，以及二次不等式、命题的真假判断等运算与技能，属于中低档题型，也是常考题型.在二次不等式的求解过程中，首先要算出其相应二次方程的根，当时，则有“大于号取两边，即，小于号取中间，即”.4．【2018届河南省南阳市第一中学高三第十二次】设有下面四个命题：①“若②若，则与的夹角为锐角”及它的逆命题均为真命题,则③“”是“或”的充分不必要条件④命题“中，若，则”的逆命题为真命题其中正确命题的个数是()A.3B.2C.1D.0【答案】B5．命题函数且图像恒过点命题有两个零点，则下列结论中成立的是A.为真B.为真C.为假D.为真【答案】A【解析】函数图像恒过点所以命题不正确；根据偶函数可知命题正确，所以根据复合命题的判断方法可知正确，故选A.6．【2018届河南省高三4月测试】下列说法中，正确的是（）A.命题“若B.命题“，则”的逆命题是真命题”的否定是“，，”C.命题“或”为真命题，则命题“”和命题“”均为真命题D.已知，则“”是“”的充分不必要条件【答案】B【解析】对于选项A,逆命题为“若”，当m=0时，不成立，所以是假命题；对于选项B，特称命题的否定是正确的；对于选项C，命题“或”为真命题，则命题“”和命题“”至少有一个是真命题，不是全都是真命题，所以是假命题；对于选项D，“”是“”的必要不充分条件,所以是假命题.故选B.7．【2018届湖南省（长郡中学、衡阳八中）、江西省（南昌二中）等十四校高三第二次联考】已知命题：A.，；命题：，，则下列命题中为真命题的是（）B.C.D.【答案】A【解析】，，故为假命题，为真命题，因为，，所以命题：，，为假命题，所以为真命题，为真命题，故选A.8．若“”为真命题，则实数的最大值为________.【答案】09．【2018届山东省桓台第二中学高三4月月考】若命题“的取值范围是________．，使得”是假命题，则实数【答案】【解析】因为命题“，使得”是假命题，所以“，使得”为真命题，因此10．下列命题：①若，则；②已知，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是；③已知是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则的轨迹一定通过的重心；④在中，，边长分别为，则只有一解；⑤如果△ABC内接于半径为的圆，且则△ABC的面积的最大值；其中正确的序号为_______________________。【答案】①③⑤【解析】①若,则代入上式得到，故正确；②已知，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是且，故选项不正确；∴cosC=，∵角C为三角形的内角，∴角C的大小为∵c=2Rsin=Rx/k//*w∴由余弦定理c2=a2+b2﹣2a•bcosC，可得2R2=a2+b2﹣∴ab≤a•b≥2ab﹣ab=（2﹣）ab，当且仅当a=b时等号成立∴S△ABC=absinC≤•R2•=即△ABC面积的最大值为故答案为：①③⑤.；故⑤正确，11．设：对任意的都有，：存在，使，如果命题为真，命题为假，求实数的取值范围.【答案】∴一真一假，①真假时，,②假真时，.综上，.12．已知：实数满足，其中，：实数满足（1）当（2）若，且为真时，求实数的取值范围；是的充分不必要条件，求实数的取值范围.（2）【答案】（1）（2），的解为，则，对应解为，是的充分不必要条件，即，即对应的集合是对应集合的子集，，所以.专题04函数的定义域、值域的求法【热点聚焦与扩展】函数的定义域作为函数的要素之一，是研究函数的基础，也是高考的热点.函数的值域也是高考中的一个重要考点，并且值域问题通常会渗透在各类题目之中，成为解题过程的一部分.所以在掌握定义域求法的基础上，掌握一些求值域的基本方法，当需要求函数的取值范围时便可抓住解析式的特点，寻找对应的方法从容解决.（一）函数的定义域1.求函数定义域的主要依据是：分式的分母不能为零；偶次方根的被开方式其值非负；对数式中真数大于零，底数大于零且不等于1.2.①若②若的定义域为的定义域为，则不等式，则函数的解集即为函数的定义域；的定义域．在上的的值域即为函数3.对于分段函数知道自变量求函数值或者知道函数值求自变量的问题，应依据已知条件准确找出利用哪一段求解.4.与定义域有关的几类问题第一类是给出函数的解析式，这时函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围；第二类是实际问题或几何问题，此时除要考虑解析式有意义外，还应考虑使实际问题或几何问题有意义；第三类是不给出函数的解析式，而由的定义域确定函数的定义域或由的定义域确定函数的定义域．第四类是已知函数的定义域，求参数范围问题，常转化为恒成立问题来解决．（二）函数的值域1.利用函数的单调性:若小(大)值,最大(小)值.是上的单调增(减)函数,则,分别是在区间上取得最2.利用配方法:形如型,用此种方法,注意自变量x的范围.3.利用三角函数的有界性,如.4.利用“分离常数”法:形如y=或(至少有一个不为零)的函数,求其值域可用此法.一般地，①②：换元→分离常数→反比例函数模型：换元→分离常数→模型③④：同时除以分子：→②的模型：分离常数→③的模型共同点：让分式的分子变为常数5.利用换元法:在高中阶段，与指对数，三角函数相关的常见的复合函数分为两种：①：此类问题通常以指对，三角作为主要结构，在求值域时可先确定的范围，再求出函数的范围.②：此类函数的解析式会充斥的大量括号里的项，所以可利用换元将解析式转为形如的形式，然后求值域即可.型,可用此法求其值域.6.利用基本不等式法:7.导数法:利用导数与函数的连续性求图复杂函数的极值和最值,然后求出值域8.分段函数的函数值时，应根据所给自变量值的大小选择相应的解析式求解，有时每段交替使用求值．若给出函数值或函数值的范围求自变量值或自变量的取值范围，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量值域范围是否符合相应段的自变量的取值范围．数形结合法也可很方便的计算值域.9.由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除.10.数形结合法：即作出函数的图象，通过观察曲线所覆盖函数值的区域确定值域，以下函数常会考虑进行数形结合.（1）的函数值为多个函数中函数值的最大值或最小值，此时需将多个函数作于同一坐标系中，然后确定靠下（或靠上）的部分为该函数的图象，从而利用图象求得函数的值域.（2）函数的解析式具备一定的几何含义，需作图并与解析几何中的相关知识进行联系，数形结合求得值域，如：分式→直线的斜率；被开方数为平方和的根式→两点间距离公式.（三）常见函数的值域：在处理常见函数的值域时，通常可以通过数形结合，利用函数图像将值域解出，熟练处理常见函数的值域也便于将复杂的解析式通过变形与换元向常见函数进行化归.（1）一次函数（）：一次函数为单调函数，图像为一条直线，所以可利用边界点来确定值域.（2）二次函数（），给定区间.二次函数的图像为抛物线，通常可进行配方确定函数的对称轴，然后利用图像进行求解.（关键点：①抛物线开口方向，②顶点是否在区间内）.（3）反比例函数：（1）图像关于原点中心对称（2）当，当.（4）对勾函数：①解析式特点：的系数为1；注：因为此类函数的值域与相关，求的值时要先保证的系数为，再去确定的值例：，并不能直接确定，而是先要变形为，再求得②极值点：③极值点坐标：④定义域：⑤自然定义域下的值域：（5）函数：注意与对勾函数进行对比①解析式特点：的系数为1；②函数的零点：③值域：（5）指数函数（）：其函数图像分为与两种情况，可根据图像求得值域，在自然定义域下的值域为（6）对数函数（）其函数图像分为与两种情况，可根据图像求得值域，在自然定义域下的值域为【经典例题】例1【2017山东理】设函数的定义域，函数的定义域为,则（）（A）（1,2）【答案】D（B）（C）（-2,1）（D）[-2,1)【解析】试题分析：由得，由得，故，选D.例2【2018届湖南省邵阳市高三上学期期末】设函数，则函数的定义域为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】的定义域为,故,所以选B.例3【2018届河南省中原名校（即豫南九校）高三第六次质量考评】已知函数（且），若有最小值，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】有最小值故选例4【2018届广东省深圳市南山区高三上学期期末】设函数的定义域为，若满足条件：存在，使在上的值域为，则称为“倍缩函数”．若函数为“倍缩函数”，则实数的取值范围是（）A.（﹣∞，ln2﹣1）B.（﹣∞，ln2﹣1]C.（1﹣ln2，+∞）D.[1﹣ln2，+∞）【答案】C令g′（x）＞0，解得：x＞2，令g′（x）＜0，解得：0＜x＜2，故g（x）在（0，2）递减，在（2，+∞）递增，故g（x）≥g（2）=1﹣ln2，故t＞1﹣ln2，故选C：．【名师点睛】由于函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的根，所以在研究方程的有关问题时，如比较方程根的大小、确定方程根的分布、证明根的存在性等，都可以将方程问题转化为函数问题解决.此类问题的切入点是借助函数的零点，结合函数的图象，采用数形结合思想加以解决例5.已知函数在闭区间上的值域为，则满足题意的有序实数对在坐标平面内所对应点组成图形为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】∵y=x2+2x=（x+1）2﹣1，∴可画出图象如图1所示．；故选：C．【名师点睛】本题考查了二次函数在给定区间上的值域问题，值域是确定的，而定义域是变动的，解题关键是分辨清楚最大值是在左端点取到还是在右端点取到，问题就迎刃而解了.例6.（1）函数的值域为（）A.B.C.D.（2）函数的值域为（）A.B.C.D.（3）函数的值域为________【答案】（1）D（2）B（3）【解析】（1）函数的定义域为.，含有双根式，所以很难依靠传统的换元解决问题，但的导数较易分析出单调性，所以考虑利用导数求出的单调区间，从而求得最值令即解不等式：【名师点睛】本题还可以利用换元解决，但利用的是三角换元：观察到被开方数的和为常数，所以想到，从而可设，由可知，由，所以原函数的值域可求得转化为求的值域，从而有.由此题可知：含双根式的函数若通过变形可得到被开方数的和为常数，则可通过三角换元转为三角函数值域问题（2）函数的定义域为，从而发现时，，所以函数的解析式为，观察可得为增函数，且，所以当时，的值域为【名师点睛】①本题中函数的定义域对解析式的化简有极大的促进作用.所以在求函数的值域时，若发现函数解析式较为特殊，则先确定其定义域.②本题也可用换元法，设后即可将函数转为二次函数求值域，但不如观察单调性求解简便。（3）先确定函数的定义域：，为分式且含有根式，求导则导函数较为复杂.观察分子分母可知：且关于单减，可知且关于单增，即单减，所以为减函数，由的值域为.【名师点睛】在函数单调性的判断中有“增+增→增”，那么如果一个函数可表示为两个函数的乘法，例如恒大于0，才能得到，则当均为增（减）函数，且为增（减）函数.例7：（1）函数的值域为（）A.B.C.D.（2）函数的值域为_________【答案】（1）D（2）解：由可得:函数的定义域为的取值只需让方程有解即可当时，不成立，故舍去当时，即：综上所述：函数的值域为.【名师点睛】①对于二次分式，若函数的定义域为，则可像本例这样利用方程思想，将值域问题转化为“取何值时方程有解”，然后利用二次方程根的判定称为“判别式法”得到关于的不等式从而求解，这种方法也②若函数的定义域不是，而是一个限定区间（例如），那么如果也想按方程的思想处理，那么要解决的问题转化为：“取何值时，方程在有根”，对于二次方程就变为了根分布问题，但因为只要方程有根就行，会按根的个数进行比较复杂的分类讨论，所以此类问题通常利用分式的变形与换元进行解决（详见附）（2）本题不易将函数变为仅含或的形式，考虑去分母得：则的取值只要让方程有解即可。观察左侧式子特点可想到俯角公式，从而得到，可知方程有解的条件为：，解出的范围即为值域解：且的定义域为，即，其中因为该方程有解【名师点睛】本题除了用方程思想，也可用数形结合进行解决，把分式视为连线斜率的问题，从而将问题转化为定点与单位圆上点连线斜率的取值范围。作图求解即可。本类型运用方程思想处理的局限性在于辅角公式与的取值相关，不过因为，所以均能保证只要在中，则必有解。但如果本题对的范围有所限制，则用方程的思想不易列出的不等式，所以还是用数形结合比较方便例8.设且，函数在的最大值是14，求的值．【答案】考点：二次函数的最值及指数函数的性质．【方法点晴】本题主要考查了二次函数的最值及指数函数的性质，其中解答中涉及到一元二次函数的图象与性质、指数函数的图象与性质等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及分类讨论思想和转化与化归思想，本题的解得中根据指数函数的性质，分类讨论是解答的关键，试题有一定的难度，属于中档试题．例9【2018届山西省太原市实验中学高三上学期9月月考】已知函数(1)判断函数的奇偶性.(2)求的值域.【答案】(1)是奇函数（2），，的值域为.【名师点睛】本题考查了利用定义证明函数奇偶性，利用分离常数求分式型函数的值域问题，考查了指数幂的运算性质，属于中档题.例10【2018届安徽省宿州市汴北三校联考高三上学期期中】已知上的奇函数.是定义在（1）若（2）若，求的值;是函数的一个零点，求函数在区间的值域.【答案】（1）a=1，b=2；（2）[-7.5,-3].【解析】试题分析：（1）由奇函数定义域关于原点对称得(b-3)+(b-1)=0，解得b=2，再由可得；（2）由是函数的一个零点，得a=-2，进而得函数单调性，由单调性求值域即可.试题解析：（1）由f(x)为奇函数，则(b-3)+(b-1)=0，解得b=2，【名师点睛】正确理解奇函数和偶函数的定义，必须把握好三个问题：（1）定义域关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要非充分条件；（2）f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)是定义域上的恒等式；（3）奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称.【精选精练】1．【2018届二轮同步（高考题）】下列函数中，其定义域和值域分别与函数y＝10lgx的定义域和值域相同的是()A.y＝xB.y＝lgxC.y＝2xD.y＝【答案】D【解析】y＝10lgx＝x，定义域与值域均为(0，＋∞)，只有D满足，故选D.2．【2019届高考一轮】已知集合A=,B={y|y=},则A∩(∁RB)=()A.[-3,5]B.(-3,1)C.(-3,1]D.(-3,+∞)【答案】C【解析】由≤0，解得3<x≤5．故A={x|3<x≤5}．∵y=，∴y>1．∴B={y|y>1}．∴∁RB={y|y≤1}．∴A∩(∁RB)={x|3<x≤1}．选C．【名师点睛】解决集合运算问题的方法(1)用列举法表示的集合进行交、并、补的运算，常采用Venn图法解决，此时要搞清Venn图中的各部分区域表示的实际意义．(2)用描述法表示的数集进行运算，常采用数轴分析法解决，此时要注意“端点”能否取到．(3)若给定的集合是点集，则可画出图象，采用数形结合法求解．3．【2018届安徽合肥八高三上学期期中】函数A.(－3,0)B.(－3,0]的定义域是()C.(－∞，－3)∪(0，＋∞)D.(－∞，－3)∪(－3,0)【答案】A【名师点睛】本题主要考查了具体函数的定义域问题，属于基础题；常见的形式有：1、分式函数分母不能为0；2、偶次根式下大于等于0；3、对数函数的真数部分大于0；4、0的0次方无意义；5、对于正切函数，需满足等等，当同时出现时，取其交集.4．【2018届东北三省三校（哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）高三第一次模拟】已知集合，，若，则实数的取值范围是()A.B.C.D.【答案】A【解析】由已知得，由，则，又，所以.故选A.5．已知函数的定义域是，则函数的定义域是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】函数所以函数的定义域是，所以，中有：，解得.即函数的定义域是.故选D.6．【2018届江西省南昌市高三第一轮】已知函数的定义域是，则的定义域是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】，则，，则的定义域是，选A.x*k&w7．下列四个函数：①y＝3－x；②y＝2x－1(x>0)；③y＝x2＋2x－10；④y＝值域相同的函数的个数为()，其中定义域与A.1B.2C.3D.4【答案】B8．【2018届江西省高三监测】函数的定义域为，若满足：①在内是单调函数；②存在使得在上的值域为，则称函数为“成功函数”.若函数（其中，且）是“成功函数”，则实数的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】D【名师点睛】本题以新定义为背景考查方程解的个数问题，利用变量分离的方法，把问题转化为两个图象的交点问题，通过换元的手段把问题归结为二次函数的图象与性质问题.9．【2018届北京西城31中高三上期中】若，则定义域__________．【答案】【解析】要使函数有意义，则，解得，故的定义域为，故答案为.10．【2018届南京市、盐城市高三一模】设函数取值范围是________．的值域为，若，则实数的【答案】【解析】因为a,所以11．【2018届北京市西城区高三期末】已知函数若，则的值域是____；若的值域是，则实数的取值范围是____．【答案】12．已知函数的定义域为，若其值域也为，则称区间为，则的值为__________.的保值区间，若的保值区间是【答案】1【解析】∵函数则称区间为又∵的定义域为，若其值域也为，的保值区间．的保值区间是定义域为，∴，值域也为．∵，，∴函数在上单调递减，在上单调递增．∴在单调递增．专题05函数的对称性、周期性及其应用【热点聚焦与扩展】高考对函数性质的考查往往是综合性的，如将奇偶性、周期性、单调性及函数的零点综合考查，因此，复习过程中应注意在掌握常见函数图象和性质的基础上，注重函数性质的综合应用的演练.（一）函数的对称性1、对定义域的要求：无论是轴对称还是中心对称，均要求函数的定义域要关于对称轴（或对称中心）对称2、轴对称的等价描述：（1）（2）关于关于轴对称（当轴对称时，恰好就是偶函数）在已知对称轴的情况下，构造形如的等式只需注意两点，一是等式两侧前面的符号相同，且括号内前面的符号相反；二是的取值保证为所给对称轴即可。例如：关于轴对称，或得到均可，只是在求函数值方面，一侧是更为方便（3）是偶函数，则，进而可得到：关于轴对称.①要注意偶函数是指自变量取相反数，函数值相等，所以在中，仅是括号中的一部分，偶函，要与以下的命题区分：数只是指其中的取相反数时，函数值相等，即若是偶函数，则：是偶函数中的占据整个括号，所以是指括号内取相反数，则函数值相等，所以有②本结论也可通过图像变换来理解，是偶函数，则关于轴对称，而可视为平移了个单位（方向由的符号决定），所以关于对称.2、中心对称的等价描述：（1）关于关于中心对称（当中心对称时，恰好就是奇函数）（2）在已知对称中心的情况下，构造形如的等式同样需注意两点，一是等式两侧和前面的符号均相反；二是的取值保证为所给对称中心即可。例如：关于中心对称便，或得到均可，同样在求函数值方面，一侧是更为方（3）是奇函数，则，进而可得到：关于中心对称。①要注意奇函数是指自变量取相反数，函数值相反，所以在中，仅是括号中的一部分，奇函，要与以下的命题区分：数只是指其中的取相反数时，函数值相反，即若是奇函数，则：是奇函数中的占据整个括号，所以是指括号内取相反数，则函数值相反，所以有②本结论也可通过图像变换来理解，是奇函数，则关于中心对称，而可视为平移了个单位（方向由的符号决定），所以关于对称。4、对称性的作用：最突出的作用为“知一半而得全部”，即一旦函数具备对称性，则只需要分析一侧的性质，便可得到整个函数的性质，主要体现在以下几点：（1）可利用对称性求得某些点的函数值（2）在作图时可作出一侧图像，再利用对称性得到另一半图像（3）极值点关于对称轴（对称中心）对称（4）在轴对称函数中，关于对称轴对称的两个单调区间单调性相反；在中心对称函数中，关于对称中心对称的两个单调区间单调性相同（二）函数的周期性1、定义：设的定义域为，若对，存在一个非零常数，有，则称函数是一个周期函数，称为的一个周期2、周期性的理解：可理解为间隔为的自变量函数值相等3、若是一个周期函数，则，那么，即也是的一个周期，进而可得：也是的一个周期4、最小正周期：正由第3条所说，也是的一个周期，所以在某些周期函数中，往往寻找周期中最小的正数，即称为最小正周期。然而并非所有的周期函数都有最小正周期，比如常值函数5、函数周期性的判定：（1）（2）：可得为周期函数，其周期的周期分析：直接从等式入手无法得周期性，考虑等间距再构造一个等式：所以有：，即周期注：遇到此类问题，如果一个等式难以推断周期，那么可考虑等间距再列一个等式，进而通过两个等式看能否得出周期（3）的周期分析：（4）（为常数）（为常数）的周期分析：（5），两式相减可得：的周期（6）双对称出周期：若一个函数存在两个对称关系，则是一个周期函数，具体情况如下：（假设）①若的图像关于轴对称，则是周期函数，周期分析：关于轴对称关于轴对称的周期为②若③若的图像关于的图像关于中心对称，则是周期函数，周期轴对称，且关于中心对称，则是周期函数，周期7、函数周期性的作用：简而言之“窥一斑而知全豹”，只要了解一个周期的性质，则得到整个函数的性质。（1）函数值：可利用周期性将自变量大小进行调整，进而利用已知条件求值（2）图像：只要做出一个周期的函数图象，其余部分的图像可利用周期性进行“复制+粘贴”（3）单调区间：由于间隔的函数图象相同，所以若在上单调增（减），则在上单调增（减）（4）对称性：如果一个周期为的函数存在一条对称轴（或对称中心），则存在无数条对称轴，其通式为证明：函数关于轴对称的周期为关于轴对称注：其中（3）（4）在三角函数中应用广泛，可作为检验答案的方法.【经典例题】例1【2017山东，文14】已知f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x+4)=f(x-2).若当时,,则f(919)=.【答案】【解析】【名师点睛】与函数奇偶性有关问题的解决方法已知函数的奇偶性,求函数值将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解．已知函数的奇偶性求解析式将待求区间上的自变量,转化到已知区间上,再利用奇偶性求出,或充分利用奇偶性构造关于f(x)的方程(组),从而得到f(x)的解析式．已知函数的奇偶性,求函数解析式中参数的值常常利用待定系数法：利用f(x)±f(－x)＝0得到关于待求参数的恒等式,由系数的对等性得参数的值或方程求解．应用奇偶性画图象和判断单调性利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象及判断另一区间上的单调性．例2.对于函数，部分与的对应关系如表：数列满足：，且对于任意，点都在函数的图象上，则的值为__________.【答案】7564【名师点睛】周期数列是周期现象的应用，周期数列问题在高考中常出现．这类试题综合性强一般会融汇数列，数论，函数等知识解题，方法灵活多变，具有较高的技巧性．学生应进行相关的培训，才能在应付这些试题时有比较好的把握．例3.【2018届山西省康杰中学高三上学期第一次月考】定义在R上的函数,且时,,则满足=A.1B.C.D.【答案】C【解析】∵，则时，∴∵∴，即∵∴故选C.例4.定义在上的函数对任意，都有，则等于（）A.B.C.D.【答案】D【解析】由由已知可得及所求，所以可联想到周期性，所以考虑，所以是周期为4的周期函数，故，而.例5【高考题】定义在上的函数满足，则的值为（）A.B.C.D.【答案】C，而.【名师点睛】（1）本题的思路依然是将无解析式的自变量通过函数性质向含解析式的自变量靠拢，而数较大，所以考虑判断函数周期性。（2）如何快速将较大自变量缩至已知范围中？可利用带余除法除以周期，观察余数。则被除数的函数值与余数的函数值相同，而商即为被除数利用周期缩了多少次达到余数。例如本题中，从而（3）本题推导过程中也有其用处，其含义是间隔为3的自变量函数值互为相反数，相比周期，它的间隔更小，所以适用于利用周期缩小自变量范围后，进行“微调”从而将自变量放置已知区间内.例6.已知是定义在上的函数，满足，当时，，则函数的最小值为（）A.B.C.D.【答案】B例7.已知定义域为的函数满足，且函数在区间上单调递增，如果，且，则的值（）A.可正可负【答案】DB.恒大于0C.可能为0D.恒小于0【解析】思路一：题目中给了单调区间，与自变量不等关系，所求为函数值的关系，从而想到单调性，而可得，因为，所以，进而将，由装入了中，所以由可得关于可得，下一步需要转化中心对称，所以有.代入可得，从而思路二：本题运用数形结合更便于求解.先从分析出关于中心对称，令代入到可得。中心对称的函数对称区间单调性相同，从而可作出草图.而，即的中点位于的左侧，所以比距离更远，结合图象便可分析出恒小于0.【名师点睛】（1）本题是单调性与对称性的一个结合，入手点在于发现条件的自变量关系，与所求函数值关系，而连接它们大小关系的“桥梁”是函数的单调性，所以需要将自变量装入同一单调区间内。而对称性起到一个将函数值等价转化的作用，进而与所求产生联系.（2）数形结合的关键点有三个：第一个是中心对称图像的特点，不仅仅是单调性相同，而且是呈“对称”的关系，从而在图像上才能看出的符号；第二个是，进而可知；第三个是，既然是数形结合，则题中条件也要尽可能转为图像特点，而表现出中点的位置，从而能够判断出距离中心对称点的远近.例8.已知定义域为的函数在上有和两个零点，且与都是偶函数，则A.在上的零点个数至少有（）个B.C.D.【答案】C解：为偶函数关于轴对称为周期函数，且划分为将关于轴对称在中只含有四个零点而共组所以在中，含有零点共两个所以一共有806个零点.【名师点睛】（1）周期函数处理零点个数时，可以考虑先统计一个周期的零点个数，再看所求区间包含几个周期，相乘即可.如果有不满一个周期的区间可单独统计.（2）在为周期函数分段时有一个细节：“一开一闭”，分段的要求时“不重不漏”，所以在给周期函数分段时，一端为闭区间，另一端为开区间，不仅达到分段要求，而且每段之间保持队型，结构整齐，便于分析.（3）当一个周期内含有对称轴（或对称中心）时，零点的统计不能仅限于已知条件，而要看是否由于对称产生新的零点。其方法一是可以通过特殊值的代入，二是可以通过图像，将零点和对称轴标在数轴上，看是否有由对称生成的零点（这个方法更直观，不易丢解）.例9【2018届安徽省六安市第一中学高三上学期第五次月考】设函数是定义在上的偶函数，且，当时，，若在区间内关于的方程有且只有4个不同的根，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】∵∴函数，图象的对称轴为，即，∵在区间∴函数内方程和有且只有4个不同的根，内仅有4个不同的公共点．的图象在区间，解得结合图象可得只需满足．∴实数的取值范围是．【名师点睛】已知函数零点个数（方程根的个数）求参数值（取值范围）的方法（1）直接法：通过解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数的值（或范围）；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域的问题，并结合题意加以解决；（3）数形结合法：先对函数解析式变形，化为两个函数的形式，然后在同一平面直角坐标系中画出两个函数的图象，然后根据两个图象的位置关系得到关于参数的不等式（组），求得解集后可得范围，解题时要注意一些特殊点的相对位置．例10【2018届吉林省梅河口市第五中学高三4月月考】如果的定义域为，对于定义域内的任意，存在实数使得成立，则称此函数具有“性质”；具有“性质”，且具有“性质”.给出下列命题：①函数具有“②若奇函数③若函数，则；性质”，图象关于点成中心对称，且在上单调递减，则在上单调递减，在上单调递增；④若不恒为零的函数同时具有“性质”和“性质”，且函数对，都有成立，则函数是周期函数.其中正确的是__________（写出所有正确命题的编号）．【答案】①③④【解析】∴函数②∵奇函数具有“具有“性质”；故①正确；性质”，且，是周期为4的函数，故②不正确；∵图象关于点成中心对称，且在上单调递减，∴图象也关于点成中心对称，且在上上单调递减，根据偶函数的对称得出：在④∵若不恒为零的函数上单调递增；故③正确；同时具有“性质”和“性质”，为偶函数，且周期为3，故④正确．故答案为：①③④．【精选精练】1．【2018届河北省石家庄高三教学质量检测（二）】已知定义在上的奇函数满足，且当时，，则()A.B.18C.D.2【答案】C2．【2018届江西省南昌市高三第一轮训练】已知定义在上的奇函数（）满足，且，则A.B.C.D.【答案】B【解析】,说明函数的周期为6，，则，由函，则数为定义在上的奇函数，则又，则，选B.3．【2018届广东省茂名市高三上学期第一次综合测试】定义在R上函数的图象关于直线x=−2对称，且函数是偶函数.若当x∈[0,1]时，，则函数在区间[−2018,2018]上零点的个数为()A.2017B.2018C.4034D.4036【答案】D∴，故，∴函数是周期为2的偶函数．又当x∈[0,1]时，，画出与图象如下图所示，由图象可知在每个周期内两函数的图象有两个交点，所以函数在区间[−2018,2018]上零点的个数为2018⨯2=4036．选D．【名师点睛】函数零点的应用是高考考查的热点，主要考查利用零点的个数或存在情况求参数的取值范围，难度较大．解题时常用的方法有以下几种：(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域的问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形得到两个函数，并在同一平面直角坐标系中画出两个函数的图象，然后利用数形结合求解．4．【2018届河北省武邑中学高三上学期第五次调研】函数是定义在上的奇函数，且为偶函数，当时，，若有三个零点，则实数的取值集合是（）A.B.D.C.【答案】C【解析】因为函数是定义在上的奇函数，且当的部分图象如图所示，时，，故当时，，所以函数有三个零点，即函数上相切时，即和函数的图象有三个交点，当直线与函数的图象在有2周期为4，所以实数的取值集合是.故选C.【名师点睛】本题考查函数的零点、函数的对称轴和周期性；本题的易错点是利用函数为偶函数正确得到函数的对称性，要注意判定奇偶性的自变量是，由为偶函数得到，而不是.5．【2018届贵州省遵义市高三上学期第二次联考】设是定义在上的偶函数，，都有，且当时，，若函数（）在区间内恰有三个不同零点，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】由可得函数的图象关于对称，即∵函数（）在区间内恰有三个不同零点，∴函数和的图象在区间内有三个不同的公共点．作出函数的图象如图所示．①当时，函数为增函数，结合图象可得，要使两函数的图象有三个公共点，则需满足在点A处的函数值小于2，在点B处的函数值大于2，即，解得；②当时，函数为减函数，【名师点睛】对于已知函数零点个数（或方程根的个数）求参数的取值或范围时，一般转化为两函数的图象的公共点的个数的问题，利用数形结合的方法求解．（1）若分离参数后得到（为参数）的形式，则作出函数的图象后，根据直线和函数的图象的相对位置得到参数的取值范围．（2）若不能分离参数，则可由条件化为的形式，在同一坐标系内画出函数和函数的图象，根据两图象的相对位置关系得到参数的取值范围．6．【2018届四川省成都市第七中学高三上学期一诊】定义在上的奇函数满足是偶函数，且当时，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】函数，是定义在上的奇函数，，，函数是定义在上的偶，则，可得的周期是，，故选C.7．【2018届山东省曲阜市高三上学期期中】已知函数的定义域为的奇函数，当（）时，，且，，则A.B.C.D.【答案】B8．【2018届山东省枣庄市第三中学高三一调模拟】已知定义在上的函数；②对任意的图象关于轴对称，则下列结论正确的是（）满足条件：①对任意的有；③函数的，都有且，都A.B.D.C.【答案】C【解析】∵对任意的x∈R,都有f(x+4)=f(x)；∴函数是4为周期的周期函数，∵函数f(x+2)的关于y轴对称∴函数函数f(x)的关于x=2对称，∵对任意的,且,都有.∴此时函数在[0,2]上为增函数，则函数在[2,4]上为减函数，则f(7)=f(3)，f(6.5)=f(2,5)，f(4.5)=f(0.5)=f(3.5)，则f(3.5)<f(3)<f(2.5)，即f(4.5)<f(7)<f(6.5)，故选：C.9.【2018届江西省重点中学盟校高三第一次联考】定义在上的偶函数满足，且在上单调递减，设,，，则,,的大小关系是（）A.B.C.D.【答案】C10【2018届贵州省贵阳市第一中学高三12月月考】已知是定义在上的奇函数，满足在区间，当时，，则函数上所有零点之和为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】由已知是定义在R上的奇函数，所以，又时，，所以的周期是2，且得是其中一条对称轴，又当，，于是图象如图所示，【名师点睛】本题主要考查函数的零点问题，根据条件判断函数的周期性，对称性，以及利用方程和函数之间的关系进行转化是解决本题的关键．11．【2018届山西省吕梁市高三上学期第一次模】函数在单调递增，且关于对称，若，则的的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】函数图像是由图像向左平移个单位后得到，故关于轴对称，且在满足上递减.故等价于，解得.12【2018届重庆市高三4月调研测试（二诊）】已知定义在上的奇函数的值为（），且，则A.B.C.D.【答案】A∴，又∴，．选A．【名师点睛】函数的奇偶性、对称性和周期性是函数的三个重要性质，这三个性质具有紧密的联系，即已知其中的两个则可推出第三个性质，考查时常将这三个性质结合在一起，并结合函数的图象、零点等问题，这类问题的难度较大、具有一定的综合性.专题06函数的图象【热点聚焦与扩展】高考对函数图象的考查，形式多样，命题形式主要有，由函数的性质及解析式选图；由函数的图象来研究函数的性质、图象的变换、数形结合解决问题等，其重点是基本初等函数的图象以及函数的性质在图象上的直观体现．常常与导数结合考查.（一）基础知识1、描点法作函数图象步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数解析式；(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)；(4)列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线.2、做草图需要注意的信息点：做草图的原则是：速度快且能提供所需要的信息，通过草图能够显示出函数的性质。在作图中草图框架的核心要素是函数的单调性，对于一个陌生的可导函数，可通过对导函数的符号分析得到单调区间，图象形状依赖于函数的凹凸性，可由二阶导数的符号决定（详见“知识点讲解与分析”的第3点），这两部分确定下来，则函数大致轮廓可定，但为了方便数形结合，让图象更好体现函数的性质，有一些信息点也要在图象中通过计算体现出来，下面以常见函数为例，来说明作图时常体现的几个信息点：（1）一次函数：,若直线不与坐标轴平行，通常可利用直线与坐标轴的交点来确定直线.特点：两点确定一条直线.信息点：与坐标轴的交点.（2）二次函数：，其特点在于存在对称轴，故作图时只需做出对称轴一侧的图象，另一侧由对称性可得.函数先减再增，存在极值点——顶点，若与坐标轴相交，则标出交点坐标可使图象更为精确.特点：对称性信息点：对称轴，极值点，坐标轴交点.（3）反比例函数：,其定义域为，是奇函数，只需做出正版轴图象即可（负半轴依靠对称做出），坐标轴为函数的渐近线.特点：奇函数（图象关于原点中心对称），渐近线.信息点：渐近线注：（1）所谓渐近线：是指若曲线无限接近一条直线但不相交，则称这条直线为渐近线。渐近线在作图中的作用体现为对曲线变化给予了一些限制，例如在反比例函数中，轴是渐近线，那么当无限向轴接近，但不相交，则函数在正半轴就不会有轴下方的部分。，曲线（2）水平渐近线的判定：需要对函数值进行估计：若（或）时，常数，则称直线为函数的水平渐近线例如：当时，，故在轴正方向不存在渐近线当时，，故在轴负方向存在渐近线（3）竖直渐近线的判定：首先在处无定义，且当时，时，（或），那么称为的竖直渐近线例如：在处无定义，当，所以为的一条渐近线.综上所述：在作图时以下信息点值得通过计算后体现在图象中：与坐标轴的交点；对称轴与对称中心；极值点；渐近线.2、函数图象变换：设函数（1）平移变换：，其它参数均为正数：：：的图象向左平移个单位的图象向右平移个单位的图象向上平移个单位的图象向下平移个单位：（2）对称变换：：与：与的图象关于轴对称的图象关于轴对称的图象关于原点对称：与（3）伸缩变换：：：图象纵坐标不变，横坐标变为原来的图象横坐标不变，纵坐标变为原来的（4）翻折变换：：即正半轴的图象不变，负半轴的原图象不要，换上与正半轴图象关于轴对称的图象：即轴上方的图象不变，下方的图象沿轴对称的翻上去.（二）方法与技巧：1、在处理有关判断正确图象的选择题中，常用的方法是排除法，通过寻找四个选项的不同，再结合函数的性质即可进行排除，常见的区分要素如下：（1）单调性：导函数的符号决定原函数的单调性，导函数图象位于轴上方的区域表示原函数的单调增区间，位于轴下方的区域表示原函数的单调减区间（2）函数零点周围的函数值符号：可通过带入零点附近的特殊点来进行区分（3）极值点（4）对称性（奇偶性）——易于判断，进而优先观察（5）函数的凹凸性：导函数的单调性决定原函数的凹凸性，导函数增区间即为函数的下凸部分，减区间为函数的上凸部分.2、利用图象变换作图的步骤：（1）寻找到模板函数（2）找到所求函数与（以此函数作为基础进行图象变换）的联系（3）根据联系制定变换策略，对图象进行变换.3、如何制定图象变换的策略（1）在寻找到联系后可根据函数的形式了解变换所需要的步骤，其规律如下：①若变换发生在“括号”内部，则属于横坐标的变换②若变换发生在“括号”外部，则属于纵坐标的变换（2）多个步骤的顺序问题：在判断了需要几步变换以及属于横坐标还是纵坐标的变换后，在安排顺序时注意以下原则：①横坐标的变换与纵坐标的变换互不影响，无先后要求②横坐标的多次变换中，每次变换只有发生相应变化例如：可有两种方案方案一：先平移（向左平移1个单位），此时。再放缩（横坐标变为原来的），此时系数只是添给，即方案二：先放缩（横坐标变为原来的），此时，再平移时，若平移个单位，则，故向左平移个单位（只对加），可解得③纵坐标的多次变换中，每次变换将解析式看做一个整体进行例如：有两种方案方案一：先放缩：，再平移时，将解析式看做一个整体，整体加1，即方案二：先平移：，则再放缩时，若纵坐标变为原来的倍，那么，无论取何值，也无法达到，所以需要对前一步进行调整：平移个单位，再进行放缩即可（）4、变换作图的技巧：（1）图象变换时可抓住对称轴，零点，渐近线。在某一方向上他们会随着平移而进行相同方向的移动。先把握住这些关键要素的位置，有助于提高图象的精确性（2）图象变换后要将一些关键点标出：如边界点，新的零点与极值点，与轴的交点等【经典例题】例1【2017浙江，7】函数y=f(x)的导函数的图像如图所示，则函数y=f(x)的图像可能是【答案】D【解析】原函数先减再增，再减再增，且由增变减时，极值点大于0，因此选D．例2【2017课标3】函数的部分图像大致为（）ABD．C【答案】DD例3【2018届江西师范大学附属中学高三4月月考】函数y=x+cosx的大致图象是（）A.B.C.D.【答案】B【方法点晴】本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年