上海市高二下学期数学复数的几何意义及复数集内的方程

第第页/共6页12.2复数的几何意义及复数集内的方程【学习要点】复平面：建立直角坐标系用来表示复数的平面叫做复平面，x轴、y轴分别叫做实轴和虚轴，原点表示复数0，表示实数的点都在x轴上，表示纯虚数的点都在y轴上.复数的向量表示：设复数z=a+bi(a、bgR)在复平面内对z(a,b)应点，连结oz，那么向量o?表示复数z二a+bi，且规定相等的向量表示同一个复数.复数Z=a+bi(a、bgR)的模就是其在复平面内所对应的点Z(a,b)到坐标原点的距离.设复数z=a+bi，Z=c+di(a,b,c,dgR)在复平面上所对应的向量分12别是OZ=(a,b)，OZ=(c,d)，贝Uz+z=(a+c)+(b+d)i，OZ+OZ=(a+c,b+d)•121212两个复数z,z和的几何意义可以在复平面上用平行四边形法贝解12释.对于一兀二次方程ax2+bx+c=0(a丰0)，当A<0时，方程有两个互相共轭的虚数根x=-b±如一b2i•而且这两个根同样满足韦达定理.2a2a共轭虚根定理：如果虚数z是实系数一元n次方程axn+axn-i+——fax+ann-110=0（a,a…agR,a丰0）的根，那么Z也是这个方程的根.01nn【例题讲解与训练】例1•已知agR，请判断复数z=a2-2a+4-（a2-2a+2）i在复平面上对应的点z在第几象限？〖变式训练1〗复数z=mZ_2i（mgR,i为虚数单位）在复平面上对应的点不可能位于（）TOC\o"1-5"\h\z（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限5兀-,若0g（兀，-），则复数（cos0+sin0）+（sin0-cos0）i在复平面内所对4应的点在（）（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限设zgC，若z2为纯虚数，则z在复平面上的对应点落在（）（A）实轴上（B）虚轴上（C）直线y二±心丰0）上（D）以上都不对例2•设复数z二x+yi（x,ygR）在复平面上所对应的点是z，画出满足下列条件的点z的集合所表示的图形.(1)Rez<2,Imz<1；(2)z<2,Rez+Imz=2〖变式训练2〗设复数z二x+yi(x,ygR)在复平面上所对应的点是z，画出满足下列条件的点z的集合所表示的图形.(1)2<z<3；(2)z<2，Imz>1.已知向量对应的复数为1+i，若a点坐标为(1,3)，则b点坐标为.若复数z=a+i(agR)与它的共轭复数7所对应的向量互相垂直，则a的值为例3•已知复数z「笃满足|z」=|^|=1，且|z+z?］二忑，求证:：z-=变式训练3〗1.若复数复数z1、z2满足|z=z=1，且|z+z=J31.若复数复数z1、22•若复数复数z、J2•若复数复数z、J满足|z=z=z-z=1，则|z+z=.2112121123.在复平面上，正方形ABCD的两个顶点A,B对应的复数分别为1+2i,3-5i.求另外两个顶点C,D对应的复数.例4•若复数z满足|z-1+i=1，求|z|的最大值和最小值.变式训练4〗若zGC，且|z+l-i|=1，求|z-2-2i|的最大值；若zgC，且|z+2+i|<2，求|z|的最大值；若复数z满足|z+1+|z-1|=4，求|z-1|的最大值和最小值.例5•已知|z=z=1,z+z二-+Qi，求复数z、z2.112122212〖变式训练5〗_z已知复数z1、z2满足|zj=47+1,|z2|=。-1,且|z1-zj=4,求才2与|z1+z2|的值.已知复数z满足|z|=\辽，z2的虚部为2,设z、z2、z-z2在复平面上的对应点分别为A、B、C，求AABC的面积.已知|z=1，且z5+z=1，求复数z.例6•已知关于x的方程x2+ax+b=0(a,bgR)的一个根为3+4i，求a,b的值.〖变式训练6〗方程4x2+mx+1=0(mgR)，则结论正确的是()方程的两根互为共轭复数方程的两根互为共轭复数，则m=0(c)若x为方程的一个虚根，则x也为方程的根(D)若m<0，则方程的两根一定为正数在复数集内分解因式：2)x4-4.1)x2-2)x4-4.已知1-2i是实系数方程x2+px+q=0的一个虚根，求p+q的值.例7.已知关于x的方程x2-px+1二0(peR)的两个根为x、x，若12lx1-xJ=1，求实数p的值.〖变式训练7〗已知关于x的方程x2+5x+m二0(mgR)的两个根为x、x，且12x一x=3，12求m的值.已知关于x的方程2x2+3ax+a2-a=0至少有一个模为1的复数根,求实数a值.已知关于x的方程3x2-6(m-1)x+m2+1=0的两根x,x满足12x+x=2，12求实数m的值.例8•若关于x的方程x2-(1-i)x+m+2i=0有实数根，求实数m的值及方程的根.〖变式训练8〗若关于x的方程x2+(k+2i)x+2+ki=0有实数根，求此实根及实数k的值.已知关于x的方程x2+(k2-k+2kx)i=0(kgR)有一个纯虚数根，求k的值.已知关于x的方程x2+zx+4+3i=0有实数根，求复数z的模的最小值.例9•已知方程2x3-13x2+46x-65二0有一个根是2-3i,求该方程其他的根.〖变式训