斯托克斯公式与旋度

第七节斯托克斯公式与旋度格林公式揭示了平面上的二重积分与第二类曲线积分之间的关系，下面我们再介绍一个公式，它揭示了空间中第二类曲面积分与第二类曲线积分的关系，是格林公式的推广.―、斯托克斯(S.G.G.Stokes)公式设£是具有边界曲线的定向曲面，我们规定其边界曲线廿的正向与定向曲面的£法向量符合右手法则.记作8£+.比如，若£是上半球面z=t'1-x2-y2的上侧，则8£+是xOy面上逆时针走向的单位圆周.定理1(斯托克斯公式)设£是一张光滑或分片光滑的定向曲面，£的正向边界8£+为光滑或分段光滑的闭曲线.如果函数P(x,y,z)、Q(x,Q(x,y,z)、R(x,y,z)在曲面£上具有一阶连续偏导数，则有dxdydydz+性一竺］dzdx+匡办)rdQdP_I8xdyj=1Pdx+Qdy+Rdz8£+为便于记忆斯托克斯公式可以用如下形式表示dydzdzdxdxdyjPdx+Qdy+Rdz=jj—OxOdyOOzL£pQR显然格林公式是斯托克斯公式的特殊情况.和平面上的曲线积分与路径无关的条件一样，有如下定理定理2设G是空间的一个一维单连通区域，F(x,y,z)=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k则F(x,y,z)沿g内定向曲线的积分与路径无关的充分且必要条件是OR_dQQP_dRdQ_dP

dydz，OzOx，dxOy则曲线积分』Pdx+Qdy+Rdz与路径无关，只与起、终点有关.Lzdx+xdy+ydz<例1计算J：—，其中l为平面x+y+z=1被坐标面x+y+zL所截下的三角形的整个边界，正向与三角形上侧的法向量之间符合右手规则.解由曲面积分定义可知=jzdx+xdy+ydzjzdx+xdy+ydz=jzdx+xdy+ydz利用斯托克斯公式fzdxfzdx+xdy+ydz=jjL£dydzdzdxdxdy666dx6y6zzxy-jjdydz+dzdx+dxdy=3jjdxdy=3jjdxdy=9££%2例2计算I-j(y2-z2)dx+(z2-x2)dy+(x2-y2)dzr3其中「是用平面尤+J+z=5截立方体[。，1]x[0,1]x[0,1]的表面所得的截痕，若从Z轴的正向看去，r取逆时针方向.解取£为平面X+y+z=3的上侧被r所围的部分，£的单位向量,111、en-（了^,孑,守），由斯托克斯公式及第二类曲面积分的定义得

=jj£dydzdzdxdxdyddddxdydzy2—z2z2—x2x2—y111=jj£dydzdzdxdxdyddddxdydzy2—z2z2—x2x2—y1113A.!)dVdddxdydzy2—z2z2—x2x2—y2dS2I』£-%jj(x+y+z)dS<3例3求j(x2—yz)dx+(y2—zx)dy+(z2—xy)dz,L为螺旋线Lx=acos0,y=asin0,z=b0(0<0<2兀)解由于在R3中，有dRdQdPdR—=—=—x—=—=—ydydz'dzdx0增大的方向为正向.dQdP——=——=-zdx8y该积分与路径无关，可取积分路径为直线AB，其中A(a,0,0),B(a,0,2兀b),所以

TOC\o"1-5"\h\z0增大的方向为正向.dQdP——=——=-zdx8y8兀3b33'00tf(x2-yz)dx+(y2-zx)dy+(z2-xy)dz=f2nbt28兀3b33二、旋度对于。⑴向量场F(x,y,z)=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k称下述向量{SRSQ^i+(SPSR\JU•ij{SRSQ^i+(SPSR\JU•ijkSSSSxSy正PQRVSxSy)SQ6P)k=为向量场f的旋度（rotation）记为rotFr・,ijkSSSSxSy正PQR即rotF=有了旋度的概念，斯托克斯公式可以写为ffrotF-dS=JF-dr当rotF=0时JF-dr与路径无关.L下面解释一下旋度的物理意义.第二类曲线积分「=JF-dr称为向量场F(M)沿L正向的环流量.L为了说明环流量的意义，我们以河流中的旋涡这样一个特殊的流速场F(M)为例，JF(M)-dr表示沿曲线Al正向的速度的环流量.为形象起AL见，不妨设aL是一个圆，我们设想作一个与该圆同样大小的小圆叶轮，叶轮的轴的方向与小圆正向符合右手规则，若将此叶轮放至旋涡中某点M处，叶轮开始转动，根据经验，转动的快慢与轴的方向和叶轮大小有关，即与转「八、—动的快慢取决于曲线积分Ar=JF-dr=JF-eds的大小，当轴垂直于alal旋涡表面(此时气的方向与V一致)时，转动较快，当轴与旋涡表面有倾角时，叶轮转动较慢，可见环流量Ar=JF-dr表示叶轮沿周界AL正向al转动趋势的大小.这个量表示了速度场F(M)相对于有向闭曲线AL的一种总体形态，但是不能反映出场内某点处的转动趋势的大小.为此，作Ar与小圆叶轮面积as(也表示叶轮面)之比，称为环流量平均面密度ArA5JF加al当aS缩向点M时，若极限ArA5JF加allimASTMAraSlimASTM1ASJF-dral存在，该极限值表示位于点M处的小水滴沿叶轮轴的方向转动趋势的大小，这就是环流量面密度的概念根据积分中值定理，存在M*GAS，使得A—ffrotF-endSA£=lim—LJJrotF-dS=limdSAStMA^AStMA.^=lim[rotF-e~]=rotFe-A—ffrotF-endSA£一个旋度处处为零的向量场称为无旋场，无旋无源场称为调和场，调和场是物理学中一类重要的场，这种场和调和函数间有着密切的联系.本章的几个主要公式都是微积分学基本公式在二维和三维空间中的推广.微积分基本公式JbF'(x)dx=F(b)-F(a)a-V——、、，、、曲线积分基本公式JNf-dr=f(r(b))-f(r(a))r格林公式jj\^^一竺jjxJy=jPdx+Qdy{dxdy)D沥+斯托克斯公式jjrotFdS=jF-dr£fffT..Tff.高斯公式JJJdivFdV=jjFdSQQQQ+三、向量微分算子为方便记，在场论中经常运用一个运算符号，它称为v（Nabla）算子，其定义为TOC\o"1-5"\h\zv=Qi+—j+—k

dydxdz这个算子可以作用到数量值函数