初数学压轴题

一．解答题（共19小题）bb1．（2013?扬州）假如10=n，那么b为n的劳格数，记为b=d（n），由定义可知：10=n与b=d（n）所表示的b、n两个量之间的同一关系．（1）依据劳格数的定义，填空：d（10）=﹣2；，d（10）=（2）劳格数有以下运算性质：若m、n为正数，则d（mn）=d（m）+d（n），d（）=d（m）﹣d（n）．依据运算性质，填空：=（a为正数），若d（2）=0.3010，则d（4）=，d（5）=，d（0.08）=；（3）如表中与数x对应的劳格数d（x）有且只有两个是错误的，请找犯错误的劳格数，说明原因并更正．x1.5356891227d（x）3a﹣b+c2a﹣ba+c1+a﹣b﹣c3﹣3a﹣3c4a﹣2b3﹣b﹣2c6a﹣3b2．（2012?安庆一模）先阅读以下资料，再解答后边的问题．一般地，若n4a=b（a＞0且a≠1，b＞0），则n叫做以a为底b的对数，记为logab（即logab=n）．如3=81，则4叫做以3为底81的对数，记为log381（即log381=4）．（1）计算以下各对数的值：log4=，log16=，log64=．222（2）察看（1）中三数4、16、64之间知足如何的关系式，log24、log216、log264之间又知足如何的关系式；（3）猜想一般性的结论：logaM+logaN=（a＞0且a≠1，M＞0，N＞0），并依据幂的运算法例：am?an=am+n以及对数的含义证明你的猜想．3．（2012?沈阳模拟）认真阅读资料，此后回答以下问题：a+b）1=a+b，（a+b）我们初中学习了多项式的运算法例，相应的，我们可以计算出多项式的张开式，如：（2=a2+2ab+b2，（a+b）3=（a+b）2（a+b）=a3+3a2b+3ab2+b3，⋯下边我们挨次对（a+b）n张开式的各项系数进一步研究发现，当n取正整数时可以独自列成表中的形式：上边的多项式张开系数表称为“杨辉三角形”；认真察看“杨辉三角形”，用你发现的规律回答以下问题：（1）多项式（a+b）n的张开式是一个几次几项式？并展望第三项的系数；（2）请你展望一下多项式（a+b）n张开式的各项系数之和．（3）联合上述资料，推测出多项式（a+b）n（n取正整数）的张开式的各项系数之和为S，（结果用含字母n的代数式表示）．4．（2009?佛山）阅读资料：把形如ax2+bx+c的二次三项式（或其一部分）配成完满平方式的方法叫做配方法．配方法的基本形式是完满平方公式的逆写，即222a±2ab+b=（a±b）．比方：（x﹣1）2+3、（x﹣2）2+2x、（x﹣2）2+x2是x2﹣2x+4的三种不同样形式的配方（即“余项”分别是常数项、一次项、二次项﹣﹣见横线上的部分）．请依据阅读资料解决以下问题：（1）比较上边的例子，写出x2﹣4x+2三种不同样形式的配方；（2）将a2+ab+b2配方（最少两种形式）；（2223）已知a+b+c﹣ab﹣3b﹣2c+4=0，求a+b+c的值．5．（2007?东营）依据以下10个乘积，回答以下问题：11×29；12×28；13×27；14×26；15×25；16×24；17×23；18×22；19×21；20×20．1）试将以上各乘积分别写成一个“□2﹣?2”（两数平方差）的形式，并写出此中一个的思虑过程；2）将以上10个乘积依据从小到大的次序摆列起来；（3）若用a1b1，a2b2，⋯，anbn表示n个乘积，此中a1，a2，a3，⋯，an，b1，b2，b3，⋯，bn为正数．试由（1）、（2）猜想一个一般性的结论．（不要求证明）26．（2006?浙江）假如一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“奇异数”．如：4=202，12=42﹣22，20=62﹣42，因此4，12，20都是“奇异数”（1）28和2012这两个数是“奇异数”吗？为何？（2）设两个连续偶数为

2k+2

和2k（此中

k取非负整数），由这两个连续偶数结构的奇异数是

4的倍数吗？为何？（3）两个连续奇数的平方差（

k取正数）是奇异数吗？为何？8．（2015?于洪区一模）如图1，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一点，连结AD，以AD为一边且在AD的右边作正方形ADEF．1）假如AB=AC，∠BAC=90°，①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图2，线段CF、BD所在直线的地点关系为，线段CF、BD的数目关系为；②当点D在线段BC的延伸线上时，如图3，①中的结论能否仍旧建立，并说明原因；2）假如AB≠AC，∠BAC是锐角，点D在线段BC上，当∠ACB知足什么条件时，CF⊥BC（点C、F不重合），并说明原因．9．（2015?菏泽）如图，已知∠ABC=90°，D是直线AB上的点，AD=BC．1）如图1，过点A作AF⊥AB，并截取AF=BD，连结DC、DF、CF，判断△CDF的形状并证明；2）如图2，E是直线BC上一点，且CE=BD，直线AE、CD订交于点P，∠APD的度数是一个固定的值吗？假如，恳求出它的度数；若不是，请说明原因．10．（2015?铁岭一模）已知：

△ABC中，BD、CE分别是

AC、AB边上的高，

BQ=AC，点

F在

CE的延伸线上，CF=AB，求证：AF⊥AQ．11．（2013?庐阳区校级模拟）如图，将两个全等的直角三角形△ABD、△ACE拼在一同（图1）．△ABD不动，（1）若将△ACE绕点A逆时针旋转，连结DE，M是DE的中点，连结MB、MC（图2），证明：MB=MC．（2）若将图1中的CE向上平移，∠CAE不变，连结DE，M是DE的中点，连结MB、MC（图3），判断并直接写出MB、MC的数目关系．3）在（2）中，若∠CAE的大小改变（图4），其余条件不变，则（2）中的MB、MC的数目关系还建立吗？说明原因．12．（2012?昌平区模拟）（1）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=∠BAD．求证：EF=BE+FD；2）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=∠BAD，1）中的结论能否仍旧建立？3）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，E、F分别是边BC、CD延伸线上的点，且∠EAF=∠BAD，1）中的结论能否仍旧建立？若建立，请证明；若不建立，请写出它们之间的数目关系，并证明．13．（2011?泰安）已知：在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D是AB的中点，点E是AB边上一点．（1）直线BF垂直于直线CE于点F，交CD于点G（如图1），求证：AE=CG；（2）直线AH垂直于直线CE，垂足为点H，交CD的延伸线于点M（如图2），找出图中与BE相等的线段，并证明．14．（2005?扬州）（本题有3小题，第（1）小题为必答题，满分5分；第（2）、（3）小题为选答题，此中，第（2）小题满分3分，第（3）小题满分6分，请从中任选1小题作答，如两题都答，以第（2）小题评分．）在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．（1）当直线MN绕点C旋转到图1的地点时，求证：①△ADC≌△CEB；②DE=AD+BE；2）当直线MN绕点C旋转到图2的地点时，求证：DE=AD﹣BE；3）当直线MN绕点C旋转到图3的地点时，试问DE、AD、BE拥好像何的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．注意：第（2）、（3）小题你选答的是第2小题．15．（2012?淮安）阅读理解如图1，△ABC中，沿∠BAC的均分线AB1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿∠B1A1C的均分线A1B2折叠，剪掉重复部分；⋯；将余下部分沿∠BnAnC的均分线AnBn+1折叠，点Bn与点C重合，不论折叠多少次，只需最后一次恰巧重合，∠BAC是△ABC的好角．小丽展现了确立∠BAC是△ABC的好角的两种情况．情况一：如图2，沿等腰三角形ABC顶角∠BAC的均分线AB1折叠，点B与点C重合；情况二：如图3，沿∠BAC的均分线AB1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿∠B1A1C的均分线A1B2折叠，此时点B1与点C重合．研究发现（1）△ABC中，∠B=2∠C，经过两次折叠，∠BAC是不是△ABC的好角？（填“是”或“不是”）．2）小丽经过三次折叠发现了∠BAC是△ABC的好角，请研究∠B与∠C（不如设∠B＞∠C）之间的等量关系．根据以上内容猜想：若经过n次折叠∠BAC是△ABC的好角，则∠B与∠C（不如设∠B＞∠C）之间的等量关系为．应用提高（3）小丽找到一个三角形，三个角分别为15°、60°、105°，发现60°和105°的两个角都是此三角形的好角．请你达成，假如一个三角形的最小角是4°，试求出三角形其余两个角的度数，使该三角形的三个角均是此三角形的好角．16．（2011?房山区一模）已知：等边三角形ABC1）如图1，P为等边△ABC外一点，且∠BPC=120°．试猜想线段BP、PC、AP之间的数目关系，并证明你的猜想；2）如图2，P为等边△ABC内一点，且∠APD=120°．求证：PA+PD+PC＞BD．17．（2010?丹东）如图，已知等边三角形ABC中，点D，E，F分别为边AB，AC，BC的中点，M为直线BC上一动点，△DMN为等边三角形（点M的地点改变时，△DMN也随之整体挪动）．（1）如图1，当点M在点B左边时，请你判断EN与MF好像何的数目关系？点F能否在直线NE上？都请直接写出结论，不用证明或说明原因；（2）如图2，当点M在BC上时，其余条件不变，（1）的结论中EN与MF的数目关系能否仍旧建立？若成立，请利用图2证明；若不建立，请说明原因；（3）若点M在点C右边时，请你在图3中画出相应的图形，并判断（1）的结论中EN与MF的数目关系能否仍旧建立？若建立，请直接写出结论，不用证明或说明原因．18．（2006?西岗区）如图，以△ABC的边AB、AC为直角边向外作等腰直角△ABE和△ACD，M是BC的中点，请你研究线段DE与AM之间的关系．说明：（1）假如你经历频频研究，没有找到解决问题的方法，请你把研究过程中的某种思路写出来（要求至少写3步）；（2）在你经历说明（1）的过程今后，可以从以下①、②中采纳一个增补或改换已知条件，达成你的证明．①画出将△ACM绕某一点顺时针旋转180°后的图形；②∠BAC=90°（如图）附带题：如图，若以△ABC的边AB、AC为直角边，向内作等腰直角△ABE和△ACD，其余条件不变，试一试究线段DE与AM之间的关系．19．（2006?大连）如图1，Rt△ABC中AB=AC，点D、E是线段AC上两动点，且AD=EC，AM垂直BD，垂足M，AM的延伸线交BC于点N，直线BD与直线NE订交于点F．试判断△DEF的形状，并加以证明．说明：（1）假如你经历频频研究，没有找到解决问题的方法，请你把研究过程中的某种思路写出来（要求至少写3步）；（2）在你经历说明（1）的过程今后，可以从以下①、②中采纳一个增补或许改换已知条件，达成你的证明．1、画出将△BAD沿BA方向平移2、点K在线段BD上，且四边形

BA长，此后顺时针旋转90°后图形；AKNC为等腰梯形（AC∥KN，如图2）．附带题：如图3，若点D、E是直线AC上两动点，其余条件不变，试判断△DEF的形状，并说明原因．参照答案与试题分析一．解答题（共19小题）1．（2013?扬州）假如10b=n，那么b为n的劳格数，记为b=d（n），由定义可知：10b=n与b=d（n）所表示的b、n两个量之间的同一关系．（1）依据劳格数的定义，填空：﹣2；d（10）=1，d（10）=﹣2（2）劳格数有以下运算性质：若m、n为正数，则

d（mn）=d（m）+d（n），d（

）=d（m）﹣d（n）．依据运算性质，填空：=3（a为正数），若d（2）=0.3010，则d（4）=0.6020，d（5）=0.6990，d（0.08）=1.0970；（3）如表中与数x对应的劳格数d（x）有且只有两个是错误的，请找犯错误的劳格数，说明原因并更正．x

1.53

5

6

8

9

12

27d（x）

3a﹣b+c

2a﹣b

a+c

1+a﹣b﹣c

3﹣3a﹣3c

4a﹣2b

3﹣b﹣2c6a﹣3b【考点】整式的混淆运算；反证法．【专题】压轴题．【分析】（1）依据定义可知，d（10）和d（10﹣2）就是指10的指数，据此即可求解；（2）依据d（a3）=d（a?a?a）=d（a）+d（a）+d（a）即可求得的值；（3）经过9=32，27=33，可以判断d（3）能否正确，同理以依据5=10÷2，假定d（5）正确，可以求得d（2）的值，即可经过d（8），d（12）作出判断．【解答】解：（﹣21）d（10）=1，d（10）=﹣2；故答案为：1，﹣2；（2）==3；由于d（2）=0.3010故d（4）=d（2）+d（2）=0.6020，d（5）=d（10）﹣d（2）=1﹣0.3010=0.6990，﹣2）+d（10﹣2；d（0.08）=d（8×10）=3d（2）=﹣1.0970（3）若d（3）≠2a﹣b，则d（9）=2d（3）≠4a﹣2b，d（27）=3d（3）≠6a﹣3b，从而表中有三个劳格数是错误的，与题设矛盾，∴d（3）=2a﹣b，d（5）≠a+c，则d（2）=1﹣d（5）≠1﹣a﹣c，∴d（8）=3d（2）≠3﹣3a﹣3c，d（6）=d（3）+d（2）≠1+a﹣b﹣c，表中也有三个劳格数是错误的，与题设矛盾．d（5）=a+c．∴表中只有d（1.5）和d（12）的值是错误的，应纠正为：d（1.5）=d（3）+d（5）﹣1=3a﹣b+c﹣1，d（12）=d（3）+2d（2）=2﹣b﹣2c．【讨论】本题察看整式的运算，正确理解规定的新的运算法例是要点．2．（2012?安庆一模）先阅读以下资料，再解答后边的问题．一般地，若an=b（a＞0且a≠1，b＞0），则n叫做以a为底b的对数，记为logab（即logab=n）．如34=81，则4叫做以3为底81的对数，记为log381（即log381=4）．（1）计算以下各对数的值：log4=2，log16=4，log64=6．222（2）察看（1）中三数4、16、64之间知足如何的关系式，log4、log16、log64之间又知足如何的关系式；222（3）猜想一般性的结论：logaM+logaN=loga（MN）（a＞0且a≠1，M＞0，N＞0），并依据幂的运算法例：mnm+n以及对数的含义证明你的猜想．a?a=a【考点】同底数幂的乘法．【专题】压轴题；新定义．【分析】（1）依据资料表达，联合2462=4，2=16，2=64即可得出答案；（2）依据（1）的答案可得出log24、log216、log264之间知足的关系式；（3）设logaM=b1，logaN=b2，则ab1=M，ab2=N，分别表示出MN及b1+b2的值，即可得出猜想．【解答】解：（1）log24=2，log216=4，log264=6；2）log24+log216=log264；3）猜想logaM+logaN=loga（MN）．证明：设logaM=b1，logaN=b2，则ab1b2=M，a=N，故可得MN=ab1b2b1+b2，b1+b2=loga（MN），?a=alogaM+logaN=loga（MN）．【讨论】本题察看了同底数幂的乘法运算，题目出得比较奇异，解题思路以资料的形式给出，需要同学们认真阅读，理解并灵巧运用所给的信息．3．（2012?沈阳模拟）认真阅读资料，此后回答以下问题：a+b）1=a+b，（a+b）我们初中学习了多项式的运算法例，相应的，我们可以计算出多项式的张开式，如：（2=a2+2ab+b2，（a+b）3=（a+b）2（a+b）=a3+3a2b+3ab2+b3，⋯下边我们挨次对（a+b）n张开式的各项系数进一步研究发现，当n取正整数时可以独自列成表中的形式：上边的多项式张开系数表称为“杨辉三角形”；认真察看“杨辉三角形”，用你发现的规律回答以下问题：（1）多项式（a+b）n的张开式是一个几次几项式？并展望第三项的系数；（2）请你展望一下多项式（a+b）n张开式的各项系数之和．（3）联合上述资料，推测出多项式（a+b）n（n取正整数）的张开式的各项系数之和为S，（结果用含字母n的代数式表示）．【考点】完满平方公式．【专题】压轴题；阅读型；规律型．【分析】（1）由题意可求合适n=1，2，3，4，⋯时，多项式（a+b）n的张开式是一个几次几项式，第三项的系数是多少，此后找规律，即可求得答案；2）第一求合适n=1，2，3，4⋯时，多项式（a+b）n张开式的各项系数之和，即可求得答案；3）联合（2），即可推测出多项式（a+b）n（n取正整数）的张开式的各项系数之和．【解答】解：（1）∵当n=1时，多项式（a+b）1的张开式是一次二项式，此时第三项的系数为：0=，当n=2时，多项式（a+b）2的张开式是二次三项式，此时第三项的系数为：1=，当n=3时，多项式（a+b）3的张开式是三次四项式，此时第三项的系数为：3=，当n=4时，多项式（a+b）4的张开式是四次五项式，此时第三项的系数为：6=，⋯∴多项式（a+b）n的张开式是一个n次n+1项式，第三项的系数为：；（2）展望一下多项式（a+b）n张开式的各项系数之和为：2n；（3）∵当n=1时，多项式（a+b）1张开式的各项系数之和为：1+1=2=21，当n=2时，多项式（a+b）2张开式的各项系数之和为：1+2+1=4=22，当n=3时，多项式（a+b）3张开式的各项系数之和为：1+3+3+1=8=23，当n=4时，多项式（a+b）4张开式的各项系数之和为：1+4+6+4+1=16=24，⋯∴多项式（a+b）n张开式的各项系数之和：S=2n．【讨论】本题属于规律性、阅读性题目．本题难度较大，由特别到一般的概括方法的应用是解本题的要点．4．（2009?佛山）阅读资料：把形如2ax+bx+c的二次三项式（或其一部分）配成完满平方式的方法叫做配方法．配方法的基本形式是完满平方公式的逆写，即222a±2ab+b=（a±b）．22222﹣2x+4的三种不同样形式的配方（即“余项”分别是常比方：（x﹣1）+3、（x﹣2）+2x、（x﹣2）+x是x数项、一次项、二次项﹣﹣见横线上的部分）．请依据阅读资料解决以下问题：1）比较上边的例子，写出x2﹣4x+2三种不同样形式的配方；2）将a2+ab+b2配方（最少两种形式）；3）已知a2+b2+c2﹣ab﹣3b﹣2c+4=0，求a+b+c的值．【考点】完满平方公式．【专题】压轴题；阅读型．【分析】（1）（2）本题察看对完满平方公式的灵巧应用能力，由题中所给的已知资料可得x2﹣4x+2和a2+ab+b2的配方也可分别常数项、一次项、二次项三种不同样形式；（3）经过配方后，求得a，b，c的值，再代入代数式求值．【解答】解：（1）x2﹣4x+2的三种配方分别为：x2﹣4x+2=（x﹣2）2﹣2，x2﹣4x+2=（x+）2﹣（2+4）x，x2﹣4x+2=（x﹣）2﹣x2；2）a2+ab+b2=（a+b）2﹣ab，a2+ab+b2=（a+b）2+b2；3）a2+b2+c2﹣ab﹣3b﹣2c+4，=（a2﹣ab+b2）+（b2﹣3b+3）+（c2﹣2c+1），=（a2﹣ab+b2）+（b2﹣4b+4）+（c2﹣2c+1），222=（a﹣b）+（b﹣2）+（c﹣1）=0，从而有a﹣b=0，b﹣2=0，c﹣1=0，即a=1，b=2，c=1，∴a+b+c=4．【讨论】本题察看了依据完满平方公式：222进行配方的能力．a±2ab+b=（a±b）5．（2007?东营）依据以下10个乘积，回答以下问题：11×29；12×28；13×27；14×26；15×25；16×24；17×23；18×22；19×21；20×20．21）试将以上各乘积分别写成一个“□﹣?”（两数平方差）的形式，并写出此中一个的思虑过程；2）将以上10个乘积依据从小到大的次序摆列起来；3）若用a1b1，a2b2，⋯，anbn表示n个乘积，此中a1，a2，a3，⋯，an，b1，b2，b3，⋯，bn为正数．试由1）、（2）猜想一个一般性的结论．（不要求证明）【考点】平方差公式．【专题】压轴题．【分析】利用两数的和与这两数的差的积，就是它们的平方差．如11×29；可想几加几等于29，几减几等于2﹣92，同理思虑其余的．11，可得20+9和20﹣9，可得11×29=20222222；【解答】解：（1）11×29=20﹣9；12×28=20﹣8；13×27=20﹣722222214×26=20﹣6；15×25=20﹣5；16×24=20﹣4；22222217×23=20﹣3；18×22=20﹣2；19×21=20﹣1；2220×20=20﹣0．（4比方，11×29；假定

分）2211×29=□﹣○，22由于□﹣○=（□+○）（□﹣○）；因此，可以令□﹣○=11，□+○=29．22解得，□=20，○=9．故11×29=20﹣9．（5分）222）这10个乘积依据从小到大的次序挨次是：11×29＜12×28＜13×27＜14×26＜15×25＜16×24＜17×23＜18×22＜19×21＜20×20．（7分）（3）①若a+b=40，a、b是自然数，则2分）ab≤20=400．（82若a+b=40，则ab≤20=400．（8分）③若a+b=m，a、b是自然数，则ab≤．（9分）④若a+b=m，则ab≤．（9分）若a1+b1=a2+b2=a3+b3=an+bn=40．且|a1﹣b1|≥|a2﹣b2|≥|a3﹣b3|≥≥n|a﹣bn|，a1b1≤a2b2≤a3b3≤≤anbn．（10分）⑥若a1+b1=a2+b2=a3+b3=an+bn=m．且|a1﹣b1|≥|a2﹣b2|≥|a3﹣b3|≥⋯≥n﹣|abn|，a1b1≤a2b2≤a3b3≤⋯≤anbn．（10分）说明：给出结论①或②之一的得（1分）；给出结论③或④之一的得（2分）；给出结论⑤或⑥之一的得（3分）．【讨论】本题主要察看了乘法的平方差公式．即两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差，这个公式就叫做乘法的平方差公式．6．（2006?浙江）假如一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“奇异数”．如：4=22﹣02，12=42﹣22，20=62﹣42，因此4，12，20都是“奇异数”（1）28和2012这两个数是“奇异数”吗？为何？（2）设两个连续偶数为2k+2和2k（此中k取非负整数），由这两个连续偶数结构的奇异数是4的倍数吗？为何？3）两个连续奇数的平方差（k取正数）是奇异数吗？为何？【考点】平方差公式．【专题】压轴题；新定义．【分析】（1）试着把28、2012写成平方差的形式，解方程即可判断是不是奇异数；2）化简两个连续偶数为2k+2和2k的差，再判断；3）设两个连续奇数为2k+1和2k﹣1，则（2k+1）2﹣（2k﹣1）2=8k=4×2k，即可判断两个连续奇数的平方差不是奇异数．【解答】解：（1）设28和2012都是“奇异数”，设28是x和x﹣2两数的平方差获得，x2﹣（x﹣2）2=28，解得：x=8，∴x﹣2=6，28=82﹣62，设2012是y和y﹣2两数的平方差获得，22则y﹣（y﹣2）=2012，解得：y=504，y﹣2=502，2012=5042﹣5022，因此28，2012都是奇异数．2）（2k+2）2﹣（2k）2=（2k+2﹣2k）（2k+2+2k）=4（2k+1），∴由2k+2和2k结构的奇异数是4的倍数，且是奇数倍．（3）设两个连续奇数为2k+1和2k﹣1，则（2k+1）2﹣（2k﹣1）2=8k=4×2k，即：两个连续奇数的平方差是4的倍数，是偶数倍，不知足连续偶数的奇异数为4的奇数倍这一条件．∴两个连续奇数的平方差不是奇异数．【讨论】本题第一察看了阅读能力、研究推理能力．对知识点的察看，主假如平方差公式的灵巧应用．7．（2007?淄博）依据以下10个乘积，回答以下问题：11×29；12×28；13×27；14×26；15×25；16×24；17×23；18×22；19×21；20×20．21）试将以上各乘积分别写成一个“□﹣○”（两数平方差）的形式，并写出此中一个的思虑过程；2）将以上10个乘积依据从小到大的次序摆列起来；3）试由（1）、（2）猜想一个一般性的结论．（不要求证明）【考点】整式的混淆运算；绝对值．【专题】压轴题；规律型．【分析】（1）依据要求求出两数的均匀数，再写成平方差的形式即可．2）减去的数越大，乘积就越小，据此规律填写即可．3）依据摆列的次序可得，两数相差越大，积越小．222222；【解答】解：（1）11×29=20﹣9；12×28=20﹣8；13×27=20﹣722222214×26=20﹣6；15×25=20﹣5；16×24=20﹣4；22222217×23=20﹣3；18×22=20﹣2；19×21=20﹣1；2220×20=20﹣0比方，11×29；假定

⋯（4分）2211×29=□﹣○，22由于□﹣○=（□+○）（□﹣○）；因此，可以令□﹣○=11，□+○=29．22解得，□=20，○=9．故11×29=20﹣9．222）这10个乘积依据从小到大的次序挨次是：11×29＜12×28＜13×27＜14×26＜15×25＜16×24＜17×23＜18×22＜19×21＜20×20（3）①若a+b=40，a，b是自然数，则2ab≤20=400．2⋯（8分）②若a+b=40，则ab≤20=400．③若a+b=m，a，b是自然数，则ab≤．④若a+b=m，则ab≤．⑤若a，b的和为定值，则ab的最大值为．若a1+b1=a2+b2=a3+b3=⋯=an+bn=40．且|a1﹣b1|≥|a2﹣b2|≥|a3﹣b3|≥⋯≥n﹣|abn|，则ab≤ab≤ab≤⋯≤ab．⋯（10分）112233nn若a1+b1=a2+b2=a3+b3=⋯=an+bn=m．且|a1﹣b1|≥|a2﹣b2|≥|a3﹣b3|≥⋯≥n﹣|abn|，a1b1≤a2b2≤a3b3≤⋯≤anbn．⑧若a+b=m，a，b差的绝对值越大，则它们的积就越小．说明：给出结论①或②之一的得（1分）；给出结论③、④或⑤之一的得（2分）；给出结论⑥、⑦或⑧之一的得（3分）．【讨论】本题主要察看整式的混淆运算，找出规律是解答本题的要点．8．（2015?于洪区一模）如图1，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一点，连结AD，以AD为一边且在AD的右边作正方形ADEF．1）假如AB=AC，∠BAC=90°，①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图2，线段CF、BD所在直线的地点关系为垂直，线段CF、BD的数目关系为相等；②当点D在线段BC的延伸线上时，如图3，①中的结论能否仍旧建立，并说明原因；2）假如AB≠AC，∠BAC是锐角，点D在线段BC上，当∠ACB知足什么条件时，CF⊥BC（点C、F不重合），并说明原因．【考点】全等三角形的判断与性质．【专题】压轴题；开放型．【分析】（1）当点D在BC的延伸线上时①的结论仍建立．由正方形ADEF的性质可推出△DAB≌△FAC，所CF=BD，∠ACF=∠ABD．联合∠BAC=90°，AB=AC，获得∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°．即CF⊥BD．（2）当∠ACB=45°时，过点A作AG⊥AC交CB的延伸线于点G，则∠GAC=90°，可推出∠ACB=∠AGC，因此【解答】证明：（1）①正方形ADEF中，AD=AF，∵∠BAC=∠DAF=90°，∴∠BAD=∠CAF，又∵AB=AC，∴△DAB≌△FAC，CF=BD，∠B=∠ACF，∴∠ACB+∠ACF=90°，即CF⊥BD．当点D在BC的延伸线上时①的结论仍建立．由正方形ADEF得AD=AF，∠DAF=90度．∵∠BAC=90°，∴∠DAF=∠BAC，∴∠DAB=∠FAC，又∵AB=AC，∴△DAB≌△FAC，∴CF=BD，∠ACF=∠ABD．∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠ABC=45°，∴∠ACF=45°，∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90度．CF⊥BD．2）当∠ACB=45°时，CF⊥BD（如图）．原因：过点A作AG⊥AC交CB的延伸线于点G，则∠GAC=90°，∵∠ACB=45°，∠AGC=90°﹣∠ACB，∴∠AGC=90°﹣45°=45°，∴∠ACB=∠AGC=45°，∴AC=AG，∵∠DAG=∠FAC（同角的余角相等），AD=AF，∴△GAD≌△CAF，∴∠ACF=∠AGC=45°，BCF=∠ACB+∠ACF=45°+45°=90°，即CF⊥BC．【讨论】本题察看三角形全等的判断和直角三角形的判断，判断两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．判断两个三角形全等，先依据已知条件或求证的结论确立三角形，此后再依据三角形全等的判断方法，看缺什么条件，再去证什么条件．9．（2015?菏泽）如图，已知∠ABC=90°，D是直线AB上的点，AD=BC．1）如图1，过点A作AF⊥AB，并截取AF=BD，连结DC、DF、CF，判断△CDF的形状并证明；2）如图2，E是直线BC上一点，且CE=BD，直线AE、CD订交于点P，∠APD的度数是一个固定的值吗？假如，恳求出它的度数；若不是，请说明原因．【考点】全等三角形的判断与性质．【专题】压轴题．【分析】（1）利用SAS证明△AFD和△BDC全等，再利用全等三角形的性质得出FD=DC，即可判断三角形的形状；2）作AF⊥AB于A，使AF=BD，连结DF，CF，利用SAS证明△AFD和△BDC全等，再利用全等三角形的性质得出FD=DC，∠FDC=90°，即可得出∠FCD=∠APD=45°．【解答】解：（1）△CDF是等腰直角三角形，原因以下：∵AF⊥AD，∠ABC=90°，∴∠FAD=∠DBC，在△FAD与△DBC中，，∴△FAD≌△DBC（SAS），FD=DC，∴△CDF是等腰三角形，∵△FAD≌△DBC，∴∠FDA=∠DCB，∵∠BDC+∠DCB=90°，∴∠BDC+∠FDA=90°，∴△CDF是等腰直角三角形；2）作AF⊥AB于A，使AF=BD，连结DF，CF，如图，∵AF⊥AD，∠ABC=90°，∴∠FAD=∠DBC，在△FAD与△DBC中，，∴△FAD≌△DBC（SAS），FD=DC，∴△CDF是等腰三角形，∵△FAD≌△DBC，∴∠FDA=∠DCB，∵∠BDC+∠DCB=90°，∴∠BDC+∠FDA=90°，∴△CDF是等腰直角三角形，∴∠FCD=45°，AF∥CE，且AF=CE，∴四边形AFCE是平行四边形，∴AE∥CF，∴∠APD=∠FCD=45°．【讨论】本题察看了全等三角形的判断与性质的运用，平行四边形的判断及性质的运用，等腰直角三角形的判定及性质的运用．解答时证明三角形全等是要点．10．（2015?铁岭一模）已知：△ABC中，BD、CE分别是AC、AB边上的高，BQ=AC，点F在CE的延伸线上，CF=AB，求证：AF⊥AQ．【考点】全等三角形的判断与性质．【专题】证明题；压轴题．【分析】第一证明出∠ABD=∠ACE，再有条件BQ=AC，CF=AB可得△ABQ≌△ACF，从而获得∠F=∠BAQ，此后再依据∠F+∠FAE=90°，可得∠BAQ+∠FAE═90°，从而证出AF⊥AQ．【解答】证明：∵BD、CE分别是AC、AB边上的高，∴∠ADB=90°，∠AEC=90°，∴∠ABQ+∠BAD=90°，∠BAC+∠ACE=90°，∴∠ABD=∠ACE，在△ABQ和△ACF中，∴△ABQ≌△ACF（SAS），∴∠F=∠BAQ，∵∠F+∠FAE=90°，∴∠BAQ+∠FAE═90°，AF⊥AQ．【讨论】本题主要察看了全等三角形的判断与性质，要点是掌握全等三角形的判断方法，以及全等三角形的性质定理．11．（2013?庐阳区校级模拟）如图，将两个全等的直角三角形△ABD、△ACE拼在一同（图1）．△ABD不动，（1）若将△ACE绕点A逆时针旋转，连结DE，M是DE的中点，连结MB、MC（图2），证明：MB=MC．（2）若将图1中的CE向上平移，∠CAE不变，连结DE，M是DE的中点，连结MB、MC（图3），判断并直接写出MB、MC的数目关系．3）在（2）中，若∠CAE的大小改变（图4），其余条件不变，则（2）中的MB、MC的数目关系还建立吗？说明原因．【考点】全等三角形的判断与性质．【专题】证明题；几何综合题；压轴题．【分析】（1）连结AM，依据全等三角形的对应边相等可得AD=AE，AB=AC，全等三角形对应角相等可得∠BAD=∠CAE，再依据等腰三角形三线合一的性质获得∠MAD=∠MAE，此后利用“边角边”证明△ABM和△ACM全等，依据全等三角形对应边相等即可得证；（2）延伸DB、AE订交于E′，延伸EC交AD于F，依据等腰三角形三线合一的性质获得BD=BE′，此后求出MB∥AE′，再依据两直线平行，内错角相等求出∠MBC=∠CAE，同理求出MC∥AD，依据两直线平行，同位角相等求出∠BCM=∠BAD，此后求出∠MBC=∠BCM，再依据等角同样边即可得证；（3）延伸BM交CE于F，依据两直线平行，内错角相等可得∠MDB=∠MEF，∠MBD=∠MFE，此后利用“角角边”证明△MDB和△MEF全等，依据全等三角形对应边相等可得MB=MF，此后依据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半证明即可．【解答】证明：（1）如图2，连结AM，由已知得△ABD≌△ACE，AD=AE，AB=AC，∠BAD=∠CAE，∵MD=ME，∴∠MAD=∠MAE，∴∠MAD﹣∠BAD=∠MAE﹣∠CAE，即∠BAM=∠CAM，在△ABM和△ACM中，，∴△ABM≌△ACM（SAS），MB=MC；（2）MB=MC．原因以下：如图3，延伸DB、AE订交于E′，延伸EC交AD于F，BD=BE′，CE=CF，M是ED的中点，B是DE′的中点，∴MB∥AE′，∴∠MBC=∠CAE，同理：MC∥AD，∴∠BCM=∠BAD，∵∠BAD=∠CAE，∴∠MBC=∠BCM，∴MB=MC；（3）MB=MC还建立．如图4，延伸BM交CE于F，CE∥BD，∴∠MDB=∠MEF，∠MBD=∠MFE，又∵M是DE的中点，MD=ME，在△MDB和△MEF中，，∴△MDB≌△MEF（AAS），MB=MF，∵∠ACE=90°，∴∠BCF=90°，MB=MC．【讨论】本题察看了全等三角形的判断与性质，等腰三角形三线合一的性质，等角同样边的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，以及三角形的中位线定理，综合性较强，但难度不大，作协助线结构出等腰三角形或全等三角形是解题的要点．12．（2012?昌平区模拟）（1）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=∠BAD．求证：EF=BE+FD；2）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=∠BAD，1）中的结论能否仍旧建立？3）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，E、F分别是边BC、CD延伸线上的点，且∠EAF=∠BAD，1）中的结论能否仍旧建立？若建立，请证明；若不建立，请写出它们之间的数目关系，并证明．【考点】全等三角形的判断与性质．【专题】证明题；压轴题；研究型．【分析】（1）可经过建立全等三角形来实现线段间的变换．延伸EB到G，使BG=DF，连结AG．目的就是要证明三角形AGE和三角形AEF全等将EF变换成GE，那么这样EF=BE+DF了，于是证明两组三角形全等就是解题的要点．三角形ABE和AEF中，只有一条公共边AE，我们就要经过其余的全等三角形来实现，在三角形ABG和AFD中，已知了一组直角，BG=DF，AB=AD，因此两三角形全等，那么AG=AF，∠1=∠2，那么∠1+∠3=∠2+∠3=∠EAF=∠BAD．由此就组成了三角形ABE和AEF全等的全部条件（SAS），那么就能得出EF=GE了．（2）思路和作协助线的方法与（1）完满同样，只可是证明三角形ABG和ADF全等中，证明∠ABG=∠ADF时，用到的等角的补角相等，其余的都同样．因此与（1）的结果完满同样．（3）依据（1）的思路，我们应当经过全等三角形来实现相等线段的变换．就应当在BE上截取BG，使BG=DF，连结AG．依据（1）的证法，我们可得出DF=BG，GE=EF，那么EF=GE=BE﹣BG=BE﹣DF．因此（1）的结论在（3）的条件下是不建立的．【解答】证明：（1）延伸EB到G，使BG=DF，连结AG．∵∠ABG=∠ABC=∠D=90°，AB=AD，∴△ABG≌△ADF．AG=AF，∠1=∠2．∴∠1+∠3=∠2+∠3=∠EAF=∠BAD．∴∠GAE=∠EAF．AE=AE，∴△AEG≌△AEF．EG=EF．∵EG=BE+BG．EF=BE+FD2）（1）中的结论EF=BE+FD仍旧建立．3）结论EF=BE+FD不建立，应当是EF=BE﹣FD．证明：在BE上截取BG，使BG=DF，连结AG．∵∠B+∠ADC=180°，∠ADF+∠ADC=180°，∴∠B=∠ADF．∵AB=AD，∴△ABG≌△ADF．∴∠BAG=∠DAF，AG=AF．∴∠BAG+∠EAD=∠DAF+∠EAD=∠EAF=∠BAD．∴∠GAE=∠EAF．AE=AE，∴△AEG≌△AEF．EG=EFEG=BE﹣BGEF=BE﹣FD．【讨论】本题察看了三角形全等的判断和性质；本题中经过全等三角形来实现线段的变换是解题的要点，没有明确的全等三角形时，要经过协助线来建立与已知和所求条件有关系全等三角形．13．（2011?泰安）已知：在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D是AB的中点，点E是AB边上一点．（1）直线BF垂直于直线CE于点F，交CD于点G（如图1），求证：AE=CG；（2）直线AH垂直于直线CE，垂足为点H，交CD的延伸线于点M（如图2），找出图中与BE相等的线段，并证明．【考点】全等三角形的判断与性质；等腰直角三角形．【专题】几何综合题；压轴题．【分析】（1）第一依据点D是AB中点，∠ACB=90°，可得出∠ACD=∠BCD=45°，判断出△AEC≌△CGB，即可得出AE=CG，（2）依据垂直的定义得出∠CMA+∠MCH=90°，∠BEC+∠MCH=90°，再依据AC=BC，∠ACM=∠CBE=45°，得出BCE≌△CAM，从而证明出BE=CM．【解答】（1）证明：∵点D是AB中点，AC=BC，ACB=90°，CD⊥AB，∠ACD=∠BCD=45°，∴∠CAD=∠CBD=45°，∴∠CAE=∠BCG，又∵BF⊥CE，∴∠CBG+∠BCF=90°，又∵∠ACE+∠BCF=90°，∴∠ACE=∠CBG，在△AEC和△CGB中，∴△AEC≌△CGB（ASA），AE=CG，2）解：BE=CM．证明：∵CH⊥HM，CD⊥ED，∴∠CMA+∠MCH=90°，∠BEC+∠MCH=90°，∴∠CMA=∠BEC，又∵∠ACM=∠CBE=45°，在△BCE和△CAM中，

，∴△BCE≌△CAM（AAS），∴BE=CM．【讨论】本题主要察看了全等三角形的判断方法以及全等三角形对应边相等的性质，难度适中．14．（2005?扬州）（本题有3小题，第（1）小题为必答题，满分5分；第（2）、（3）小题为选答题，此中，第（2）小题满分3分，第（3）小题满分6分，请从中任选1小题作答，如两题都答，以第（2）小题评分．）△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．（1）当直线MN绕点C旋转到图1的地点时，求证：△ADC≌△CEB；②DE=AD+BE；2）当直线MN绕点C旋转到图2的地点时，求证：DE=AD﹣BE；3）当直线MN绕点C旋转到图3的地点时，试问DE、AD、BE拥好像何的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．注意：第（2）、（3）小题你选答的是第2小题．【考点】全等三角形的判断与性质．【专题】证明题；压轴题；研究型．【分析】（1）依据已知可利用AAS证明①△ADC≌△CEB，由此可证②DE=AD+BE；（2）依据已知可利用AAS证明△ADC≌△CEB，由此可证DE=AD﹣BE；（3）依据已知可利用AAS证明△ADC≌△CEB，由此可证DE=BE﹣AD．【解答】证明：（1）①∵∠ADC=∠ACB=∠BEC=90°，∴∠CAD+∠ACD=90°，∠BCE+∠CBE=90°，∠ACD+∠BCE=90°．∴∠CAD=∠BCE．AC=BC，∴△ADC≌△CEB．∵△ADC≌△CEB，∴CE=AD，CD=BE．∴DE=CE+CD=AD+BE．解：（2）∵∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°，∴∠ACD=∠CBE．又∵AC=BC，∴△ACD≌△CBE．∴CE=AD，CD=BE．∴DE=CE﹣CD=AD﹣BE．（3）当MN旋转到图3的地点时，AD、DE、BE所知足的等量关系是DE=BE﹣AD（或AD=BE﹣DE，BE=AD+DE等）．∵∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°，∴∠ACD=∠CBE，又∵AC=BC，∴△ACD≌△CBE，AD=CE，CD=BE，DE=CD﹣CE=BE﹣AD．【讨论】本题要点察看了三角形全等的判判断理，一般两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理，但AAA、SSA，没法证明三角形全等，再依据全等三角形对应边相等得出结论．15．（2012?淮安）阅读理解如图1，△ABC中，沿∠BAC的均分线AB1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿∠B1A1C的均分线A1B2折叠，剪掉重复部分；⋯；将余下部分沿∠BAC的均分线AB折叠，点B与点C重合，不论折叠多少次，只需最nnnn+1n后一次恰巧重合，∠BAC是△ABC的好角．小丽展现了确立∠BAC是△ABC的好角的两种情况．情况一：如图2，沿等腰三角形ABC顶角∠BAC的均分线AB1折叠，点B与点C重合；情况二：如图3，沿∠BAC的均分线AB1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿∠B1A1C的均分线AB折叠，此时点B与点C重合．121研究发现（1）△ABC中，∠B=2∠C，经过两次折叠，∠BAC是不是△ABC的好角？是（填“是”或“不是”）．（2）小丽经过三次折叠发现了∠BAC是△ABC的好角，请研究∠B与∠C（不如设∠B＞∠C）之间的等量关系．根据以上内容猜想：若经过n次折叠∠BAC是△ABC的好角，则∠B与∠C（不如设∠B＞∠C）之间的等量关系为∠B=n∠C．应用提高（3）小丽找到一个三角形，三个角分别为15°、60°、105°，发现60°和105°的两个角都是此三角形的好角．请你达成，假如一个三角形的最小角是4°，试求出三角形其余两个角的度数，使该三角形的三个角均是此三角形的好角．【考点】翻折变换（折叠问题）．【专题】压轴题；规律型．【分析】（1）在小丽展现的情况二中，如图3，依据依据三角形的外角定理、折叠的性质推知∠B=2∠C；（2）依据折叠的性质、依据三角形的外角定理知∠A1A2B2=∠C+∠A2B2C=2∠C；依据四边形的外角定理知∠BAC+2∠B﹣2C=180°①，依据三角形ABC的内角和定理知∠BAC+∠B+∠C=180°②，由①②可以求得∠B=3∠C；利用数学概括法，依据小丽展现的三种情况得出结论：∠B=n∠C；3）利用（2）的结论知∠B=n∠C，∠BAC是△ABC的好角，∠C=n∠A，∠ABC是△ABC的好角，∠A=n∠B，∠BCA是△ABC的好角；此后三角形内角和定理可以求得其余两个角的度数可以是4、172；8、168；16、160；44、132；88°、88°．【解答】解：（1）△ABC中，∠B=2∠C，经过两次折叠，∠BAC是△ABC的好角；原因以下：小丽展现的情况二中，如图3，∵沿∠BAC的均分线AB1折叠，∴∠B=∠AA1B1；又∵将余下部分沿∠B1A1C的均分线A1B2折叠，此时点B1与点C重合，∴∠A1B1C=∠C；∵∠AA1B1=∠C+∠A1B1C（外角定理），∴∠B=2∠C，∠BAC是△ABC的好角．故答案是：是；（2）∠B=3∠C；以以下图，在△ABC中，沿∠BAC的均分线AB折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿∠BAC111的均分线A1B2折叠，剪掉重复部分，将余下部分沿∠B2A2C的均分线A2B3折叠，点B2与点C重合，则∠BAC是△ABC的好角．证明以下：∵依据折叠的性质知，∠B=∠AAB，∠C=∠ABC，∠ABC=∠AAB，112211122∴依据三角形的外角定理知，∠A1A2B2=∠C+∠A2B2C=2∠C；∵依据四边形的外角定理知，∠BAC+∠B+∠AA1B1﹣∠A1B1C=∠BAC+2∠B﹣2∠C=180°，依据三角形ABC的内角和定理知，∠BAC+∠B+∠C=180°，∴∠B=3∠C；由小丽展现的情况一知，当∠B=∠C时，∠BAC是△ABC的好角；由小丽展现的情况二知，当∠B=2∠C时，∠BAC是△ABC的好角；由小丽展现的情况三知，当∠B=3∠C时，∠BAC是△ABC的好角；故若经过n次折叠∠BAC是△ABC的好角，则∠B与∠C（不如设∠B＞∠C）之间的等量关系为∠B=n∠C；（3）由（2）知设∠A=4°，∵∠C是好角，∴∠B=4n°；∵∠A是好角，∴∠C=m∠B=4mn°，此中m、n为正整数得4+4n+4mn=180∴假如一个三角形的最小角是4°，三角形其余两个角的度数是4、172；8、168；16、160；44、132；88°、88°．【讨论】本题察看了翻折变换（折叠问题）．解答本题时，充分利用了三角形内角和定理、三角形外角定理以及折叠的性质．难度较大．16．（2011?房山区一模）已知：等边三角形ABC1）如图1，P为等边△ABC外一点，且∠BPC=120°．试猜想线段BP、PC、AP之间的数目关系，并证明你的猜想；2）如图2，P为等边△ABC内一点，且∠APD=120°．求证：PA+PD+PC＞BD．【考点】等边三角形的性质；等式的性质；三角形三边关系；全等三角形的判断与性质．【专题】证明题；压轴题．【分析】（1）AP=BP+PC，原因是延伸BP至E，使PE=PC，连结CE，由∠BPC=120°，推出等边△CPE，获得CP=PE=CE，∠PCE=60°，依据已知等边△ABC，推出AC=BC，∠ACP=∠BCE，依据三角形全等的判断推出△ACP≌△BCE，得出AP=BE即可求出结论；（2）在AD外侧作等边△AB′D，由（1）得PB′=AP+PD，依据三角形的三边关系定理获得PA+PD+PC＞CB′，再证△AB′C≌△ADB，依据全等三角形的性质推出CB′=BD即可．【解答】猜想：AP=BP+PC，1）证明：延伸BP至E，使PE=PC，连结CE，∵∠BPC=120°，∴∠CPE=60°，又PE=PC，∴△CPE为等边三角形，∴CP=PE=CE，∠PCE=60°，∵△ABC为等边三角形，∴AC=BC，∠BCA=60°，∴∠ACB=∠PCE，∴∠ACB+∠BCP=∠PCE+∠BCP，即：∠ACP=∠BCE，∴△ACP≌△BCE（SAS），∴AP=BE，∵BE=BP+PE，∴AP=BP+PC．2）证明：在AD外侧作等边△AB′D，则点P在三角形ADB′外，连结PB'，B'C，∵∠APD=120°∴由（1）得PB′=AP+PD，在△PB′C中，有PB′+PC＞CB′，PA+PD+PC＞CB′，∵△AB′D、△ABC是等边三角形，AC=AB，AB′=AD，∠BAC=∠DAB′=60°，∴∠BAC+∠CAD=∠DAB′+∠CAD，即：∠BAD=∠CAB′，∴△AB′C≌△ADB，CB′=BD，PA+PD+PC＞BD．【讨论】本题主要察看同样边三角形的性质和判断，全等三角形的性质和判断，三角形的三边关系，等式的性质等知识点的理解和掌握，本题是一个拔高的题目，有必定的难度．17．（2010?丹东）如图，已知等边三角形ABC中，点D，E，F分别为边AB，AC，BC的中点，M为直线BC上一动点，△DMN为等边三角形（点M的地点改变时，△DMN也随之整体挪动）．（1）如图1，当点M在点B左边时，请你判断EN与MF好像何的数目关系？点F能否在直线NE上？都请直接写出结论，不用证明或说明原因；（2）如图2，当点M在BC上时，其余条件不变，（1）的结论中EN与MF的数目关系能否仍旧建立？若成立，请利用图2证明；若不建立，请说明原因；（3）若点M在点C右边时，请你在图3中画出相应的图形，并判断（1）的结论中EN与MF的数目关系能否仍旧建立？若建立，请直接写出结论，不用证明或说明原因．【考点】等边三角形的性质；全等三角形的判断与性质．【专题】压轴题；动点型；研究型．【分析】（1）可经过全等三角形来证明EN与MF相等，假如连结DE，DF，那么DE就是三角形ABC的中位线，可得出三角形ADE，BDF，DFE，FEC都是等边三角形，那么∠DEF=∠DFM=60°，DE=DF，而∠MDN和∠FDE都是60°加上一个∠NDF，因此三角形MDF和EDN就全等了（ASA）．由此可得出EN=MF，∠DNE=∠DMB，已知了BD=DF，DM=DN，因此三角形DBM≌三角形DFN，因此∠DFN=∠DBM=120°，因此∠DFN是三角形DFE的外角因此N，F，E在同向来线上．2）（3）证法同（1）都要证明三角形MDF和EDN全等，证明过程中都要作出三角形的三条中位线，此后依据三条中位线分红的小等边三角形的边和角相等来得出两三角形全等的条件，因此结论仍旧建立．【解答】解：（1）判断：EN与MF相等（或EN=MF），点F在直线NE上，2）建立．连结DF，NF，证明△DBM和△DFN全等（AAS），∵△ABC是等边三角形，AB=AC=BC．又∵D，E，F