上课用第二章方程

对于微观粒子，牛顿方程已不适用。一、波函数基本形式

一个沿x

轴正向传播的频率为的平面简谐波:第27章薛定谔方程1、一维自由粒子的波函数用指数形式表示：取复数实部微观粒子的运动状态描述微观粒子运动基本方程波函数薛定谔方程§27.1薛定谔得出的波动方程

对于动量为P

、能量为E

的一维自由微观粒子，根据德布罗意假设，其物质波的波函数相当于单色平面波，类比可写成：量子力学中一维自由粒子波函数的一般形式！这里的和一般都为复数。（三维）自由粒子波函数

波函数本身无直观物理意义，只有模的平方反映粒子出现的概率，在这一点上不同于机械波，电磁波!单位体积内粒子出现的概率!2、玻恩（M..Born)的波函数统计解释:概率密度：3、波函数满足的条件1、单值：在一个地方出现只有一种可能性；2、连续：概率不会在某处发生突变；3、有限4、粒子在整个空间出现的总概率等于1即：波函数归一化条件波函数满足的条件：单值、有限、连续、归一1、由归一化条件得:2、粒子的概率密度为:例：作微运动的粒子被束缚在0<x<a的范围内。

已知其波函数为试求：1、常数A；

2、粒子在0到a/2区域出现的概率；

3、粒子在何处出现的概率最大？解:在0<x<a/2区域内，粒子出现的概率为：3、概率最大的位置应满足因为：0<x<a处粒子出现的概率最大。所以二、薛定谔方程的建立1、一维自由粒子薛定谔方程的建立薛定谔方程是量子力学基本假设之一，不能理论推导证明一维自由粒子的含时薛定谔方程以一维自由粒子为例

薛定谔2、一维势场中运动粒子薛定谔方程一维运动粒子含时薛定谔方程推广到三维情况，薛定谔方程可写为：讨论2.数学上，对任意能量值E,薛定谔方程都有解，但从物理角度而言，仅仅满足波函数条件（单值、有限、连续、归一）的解才有物理意义。3.薛定谔方程是对时间的一阶偏微分方程,因此波动形式解要求在方程中必须有虚数因子

i，波函数是复函数。4.只有动量确定的自由粒子才能用平面波的描写。1.薛定谔方程是量子力学中的一项基本假设。3、定态薛定谔方程若势能U

与

t无关，仅是坐标的函数。粒子在空间各处出现的概率不随时间变化的。定态：概率不随时间变化的状态1）定态2）定态薛定谔方程不显含时间薛定谔方程的一般表达式设一个特解代入薛定谔方程，得：令上式两边同时等于一常数E,则左边:右边:----一维定态薛定谔方程普遍形式一

、一维无限深势阱1、势能曲线金属中自由电子的势能曲线§27.2无限深方势阱中的粒子U-a/2●a/2●●2、无限深势阱U

与t

无关，一维定态薛定谔方程：U-a/2●a/2●●势阱外E为有限值，所以势阱内（1）解方程令:（2）确定常数A、1）当时——奇函数。2）当时——偶函数。l的其它整数值对应的解没有独立的物理意义，不影响分布由波函数连续性，边界条件(-a/2)=0(a/2)=0由由两项结果合并：而：即：阱内粒子能量只能取离散值，称为能量的本征值。由于在处的连续性——标准化条件能量量子化是粒子处于束缚态所具有的性质。因由归一化条件：能量本征函数能量本征波函数：本征波函数描述的粒子状态称为粒子的能量本征态。x-a/2a/2o基态n=1激发态n=2激发态n=3激发态n=4E=E0E=4E0E=9E0E=16E0能量本征函数（概率密度）与坐标的关系经典观点：

不受外力的粒子在势阱内自由运动，在各处出现的概率密度是相等；经典粒子可以处于静止的能量为零的最低状态。量子论观点：

概率密度是波函数模的平方，与位置有关;量子粒子的最小能量不为零。

无限深方势阱中粒子的每一个能量本征态对应于得不多以博得一个特定波长的驻波！

结论：讨论:(1)无限深方势阱中粒子能量量子化

n是量子数，En是能量本征值，又称能级。(2)无限深方势阱粒子能谱为离散能谱，能级分布不均匀

n越大,能级间隔越大。基态，其余称为激发态(3)势阱中粒子波函数是驻波基态除x=-a/2,x=a/2无节点.

第一激发态有一个节点,k激发态有k=n-1个节点.(4)概率密度分布不均匀当n时过渡到经典力学

-a/2a/2o基态n=1激发态n=2激发态n=3激发态n=4E=E0

xE=4E0E=9E0E=16E0已知粒子所处的势场为1、在x<0粒子势能为无穷大,定态薛定谔方程方程的解必处处为零,根据波函数的标准化条件，在边界上2、在0<x<a区域粒子势能为零，定态薛定谔方程§27.3势垒穿透1、一维半无限深方势阱类似于简谐振子的方程，其通解：代入边界条件得：所以，3、在x>a区域粒子势能不为零（U0），定态薛定谔方程其通解为其通解为在x时波函数应有限，所以D=0波函数标准化条件要求在边界上波函数连续；波函数的一阶导数连续，否则会导致二阶导数发散，薛定谔方程失去意义

结果说明粒子仍有一定的概率进入xa区域表明：（1）能量量子化（2）在区域粒子出现的概率不为零。经典物理：粒子不能进入E<U的区域(动能

0)。量子物理：粒子有波动性，遵从不确定关系，粒子穿过势垒区和能量守恒并不矛盾。只要势垒区宽度x=a不是无限大，x=a很小时，

P和E很大，以致可以有：怎样理解粒子通过势垒区?粒子能量就有不确定量EE+E>U02526E<U0,粒子仍可以一定的概率穿越势垒——势垒穿透或隧道效应隧道效应应用：

核的衰变是通过隧道效应出来的对不同的核，算出的衰变概率和实验一致。rRU35MeV4.25MeV0核力势能库仑势能UTh+He2382344

针尖非常尖锐,接近原子尺寸，针尖与表面接近到零点几毫米时，电子波函数重叠，若加一小的直流电位差，出现隧道电流I，电流对针尖表面距离d

十分敏感,d增加0.1nm,I减小一个数量级。保持I不变，针尖的轨道提供了表面电子云分布或原子分布状况。可以分辨出表面单个原子和原子台阶，原子结构，超晶格结构，表面缺陷细节，观测活体DNA基因，病毒。2、STM(ScanningTunnelingMicroscope)

观察固体表面原子情况的超高倍显微镜。图象处理系统扫描探针样品表面电子云电子仪器STM1991年2月IBM的“原子书法”小组又创造出“分子绘画”艺术—“CO

小人”图中每个白团是单个CO分子竖在铂片表面上的图象，上端为氧原子，

CO分子的间距：0.5nm；“分子人”身高：5nm，堪称为世界上最小的“小人图”移动分子实验的成功，表明人们朝着用单一原子和小分子构成新分子的目标又前进了一步,其内在意义目前尚无法估量。

下图为镶嵌了48个Fe

原子的Cu

表面的扫描隧道显微镜照片。48个Fe

原子形成“电子围栏”，围栏中的电子形成驻波：由于这一贡献，宾尼格、罗赫尔和鲁斯卡三人分享了1986年度的诺贝尔物理奖。