数字信号处理PPT

1第一章离散时间信号与系统2第一章学习目标

掌握序列的概念及其几种典型序列的定义,掌握序列的基本运算，并会判断序列的周期性。掌握线性/移不变/因果/稳定的离散时间系统的概念并会判断。理解常系数线性差分方程及其用迭代法求解单位抽样响应。了解对连续时间信号的时域抽样，掌握奈奎斯特抽样定理，了解抽样的恢复过程。3第一章离散时间信号与系统x(n)代表第n个序列值，在数值上等于信号的采样值x(n)只在n为整数时才有意义一、离散时间信号—序列序列：对模拟信号进行等间隔采样，采样间隔为T，得到

n取整数。对于不同的n值，是一个有序的数字序列：该数字序列就是离散时间信号。实际信号处理中，这些数字序列值按顺序存放于存贮器中，此时nT代表的是前后顺序。为简化，不写采样间隔，形成x(n)信号，称为序列。41、序列的运算移位翻褶和积累加差分时间尺度变换卷积和51）移位序列x(n)，当m>0时x(n-m)：延时/右移m位x(n+m)：超前/左移m位62）翻褶x(-n)是以n=0的纵轴为 对称轴将序列x(n)

加以翻褶73）和

同序列号n的序列值逐项对应相加84）积同序号n的序列值逐项对应相乘95）累加106）差分前向差分：后向差分：117）时间尺度变换

抽取

插值128）卷积和设两序列x(n)、h(n)，则其卷积和定义为：1）翻褶：2）移位：3）相乘：4）相加：13举例说明卷积过程

14151617

卷积和与两序列的前后次序无关182、几种典型序列1）单位取样序列192）单位阶跃序列与单位抽样序列的关系203）矩形序列

与其他序列的关系214）实指数序列

为实数225）复指数序列为数字域频率236）正弦序列

模拟正弦信号：数字域频率是模拟域频率对采样频率的归一化频率247）任意序列

x(n)可以表示成单位取样序列的移位加权和，也可表示成与单位取样序列的卷积和。例：253、序列的周期性若对所有n存在一个最小的正整数N，满足则称序列x(n)是周期性序列，周期为N。26例：因此，x(n)是周期为8的周期序列27讨论一般正弦序列的周期性28分情况讨论1）当为整数时2）当为有理数时3）当为无理数时29303132例：判断是否是周期序列33讨论：若一个正弦信号是由连续信号抽样得到，则抽样时间间隔T和连续正弦信号的周期T0之间应是什么关系才能使所得到的抽样序列仍然是周期序列？设连续正弦信号：抽样序列：当为整数或有理数时，x(n)为周期序列34令：例：N，k为互为素数的正整数即N个抽样间隔应等于k个连续正弦信号周期354、序列的能量序列的能量为序列各抽样值的平方和36二、线性移不变系统一个离散时间系统是将输入序列变换成输出序列的一种运算。离散时间系统T[·]x(n)y(n)371、线性系统若系统满足叠加原理：或同时满足： 可加性： 比例性/齐次性：其中：则此系统为线性系统。3839例：证明由线性方程表示的系统是非线性系统40

增量线性系统

线性系统x(n)y0(n)y(n)412、移不变系统若系统响应与激励加于系统的时刻无关，则称为移不变系统（或时不变系统）42例：试判断是否是移不变系统43

同时具有线性和移不变性的离散时间系统称为线性移不变系统LSI：LinearShiftInvariant443、单位抽样响应和卷积和单位抽样响应h(n)是指输入为单位抽样序列 时的系统输出：T[·]45对LSI系统，讨论对任意输入的系统输出T[·]x(n)y(n)46一个LSI系统可以用单位抽样响应h(n)来表征，任意输入的系统输出等于输入序列和该单位抽样响应h(n)的卷积和。LSIh(n)x(n)y(n)474849505152思考:

当x(n)的非零区间为[N1,N2]，h(n)的非零区间为[M1,M2]时，求解系统的输出y(n)又如何分段？结论：若有限长序列x(n)的长度为N，h(n)的长度为M，则其卷积和的长度L为：

L=N+M-1534、LSI系统的性质交换律h(n)x(n)y(n)x(n)h(n)y(n)54结合律h1(n)x(n)h2(n)y(n)h2(n)x(n)h1(n)y(n)h1(n)*h2(n)x(n)y(n)55分配律h1(n)+h2(n)x(n)y(n)h1(n)x(n)y(n)h2(n)565、因果系统若系统n时刻的输出，只取决于n时刻以及n时刻以前的输入序列，而与n时刻以后的输入无关，则称该系统为因果系统。LSI系统是因果系统的充要条件：576、稳定系统稳定系统是有界输入产生有界输出的系统若LSI系统是稳定系统的充要条件：则58例：某LSI系统，其单位抽样响应为试讨论其是否是因果的、稳定的。59结论：因果稳定的LSI系统的单位抽样响应是因果的，且是绝对可和的，即：60三、常系数线性差分方程用差分方程来描述时域离散系统的输入输出关系。一个N阶常系数线性差分方程表示为：其中：61求解常系数线性差分方程的方法：1）经典解法2）递推解法3）变换域方法62例1：已知常系数线性差分方程 若边界条件 求其单位抽样响应。6364例2：已知常系数线性差分方程同上例 若边界条件 求其单位抽样响应。6566例3：已知常系数线性差分方程同上例 若边界条件 讨论系统的线性性和移不变性。6768697071

一些关于差分方程的结论：一个差分方程不能唯一确定一个系统常系数线性差分方程描述的系统不一定是线性移不变的不一定是因果的不一定是稳定的72差分方程系统结构Z-1ax(n)y(n)73四、连续时间信号的抽样74

讨论：采样前后信号频谱的变化什么条件下，可以从采样信号不失真地恢复出原信号751、理想抽样冲激函数：理想抽样输出：7677抽样信号的频谱是模拟信号频谱以抽样频率为周期进行周期延拓而成频谱幅度是原信号频谱幅度的1/T倍若信号的最高频率则延拓分量产生频谱混叠78奈奎斯特抽样定理

要想抽样后能够不失真地还原出原信号，则抽样频率必须大于两倍信号谱的最高频率792、抽样的恢复利用低通滤波器还原满足奈奎斯特抽样定理的抽样信号。ΩΩs/2-Ωs/2T

0H(jΩ)H[jΩ]理想低通滤波器:80输出：讨论81823、实际抽样抽样脉冲不是冲激函数，而是一定宽度的矩形周期脉冲

其中系数Ck随k变化抽样信号频谱83抽样信号的频谱是连续信号频谱的周期延拓，周期为Ωs若满足奈奎斯特抽样定理，则不产生频谱混叠失真抽样后频谱幅度随着频率的增加而下降幅度变化并不影响信号恢复，只要取8485解：86874、正弦信号的抽样连续时间正弦信号：88作业89解：1-2已知线性移不变系统的输入为，系统的单位抽样响应为，试求系统的输出，并画图。901-10设有一系统，其输入输出关系由以下

差分方程确定设系统是因果性的。（a）求该系统的单位抽样响应（b）由（a）的结果，利用卷积和求输入

的响应91（a）系统是因果性的92系统的单位抽样响应9394第二章学习目标掌握z变换及其收敛域，掌握因果序列的概念及判断方法会运用任意方法求z反变换理解z变换的主要性质理解z变换与Laplace/Fourier变换的关系掌握序列的Fourier变换并理解其对称性质掌握离散系统的系统函数和频率响应，系统函数与差分方程的互求，因果/稳定系统的收敛域95第二章z变换时域分析方法变换域分析方法： 连续时间信号与系统

Laplace变换

Fourier变换 离散时间信号与系统

z变换

Fourier变换96一、z变换的定义及收敛域1、z变换的定义序列x(n)的z变换定义为：z是复变量，所在的复平面称为z平面972、z变换的收敛域与零极点对于任意给定序列x(n)，使其z变换X(z)收敛的所有z值的集合称为X(z)的收敛域。

级数收敛的充要条件是满足绝对可和981）有限长序列991002）右边序列101

因果序列

的右边序列，Roc:因果序列的z变换必在处收敛在处收敛的z变换，其序列必为因果序列1023）左边序列1034）双边序列104105106107108109给定z变换X(z)不能唯一地确定一个序列，只有同时给出收敛域才能唯一确定。X(z)在收敛域内解析，不能有极点，故：右边序列的z变换收敛域一定在模最大的有限极点所在圆之外左边序列的z变换收敛域一定在模最小的有限极点所在圆之内110111二、z反变换实质：求X(z)幂级数展开式z反变换的求解方法： 围线积分法（留数法） 部分分式法 长除法z反变换:从X(z)中还原出原序列x(n)1121、围线积分法（留数法）

根据复变函数理论，若函数X(z)在环状区域内是解析的，则在此区域内X(z)可展开成罗朗级数，即 而

其中围线c是在X(z)的环状收敛域内环绕原点的一条反时针方向的闭合单围线。113

若F(z)在c外M个极点zm，且分母多项式z的阶次比分子多项式高二阶或二阶以上，则：利用留数定理求围线积分，令若F(z)在围线c上连续，在c内有K个极点zk，则：114留数的计算公式单阶极点的留数：115116117118思考：n=0,1时，F(z)在围线c外也无极点，为何1191201211221232、部分分式展开法X(z)是z的有理分式，可分解成部分分式：对各部分分式求z反变换：1241251261273、幂级数展开法（长除法）把X(z)展开成幂级数级数的系数就是序列x(n)128根据收敛域判断x(n)的性质，在展开成相应的z的幂级数收敛域x(n)将X(z)展成z的X(z)的分子分母按z的因果序列负幂级数降幂排列左边序列正幂级数升幂排列129解：由Roc判定x(n)是因果序列，用长除法展成z的负幂级数130解：由Roc判定x(n)是左边序列，用长除法展成z的正幂级数131解：X(z)的Roc为环状，故x(n)是双边序列极点z=1/4对应右边序列，极点z=4对应左边序列先把X(z)展成部分分式132133134三、z变换的基本性质与定理1、线性若则1352、序列的移位若则1361373、乘以指数序列若则证：1384、序列的线性加权（z域求导数）若则同理：1391405、共轭序列若则证：1416、翻褶序列若则1427、初值定理证：因为x(n)为因果序列1438、终值定理

设x(n)为因果序列，且X(z)=ZT[x(n)]的极点处于单位圆以内（单位圆上最多在z=1处可有一阶极点），则：1441459、有限项累加特性设x(n)为因果序列，即x(n)=0，n<0则146nmm=n014710、序列的卷积和（时域卷积和）设y(n)为x(n)与h(n)的卷积和：则且148149150四、序列的z变换与连续时间信号的Laplace变换、Fourier变换的关系序列的z变换：连续时间信号的Laplace变换：连续时间信号的Fourier变换：1511、序列的z变换与理想抽样信号的Laplace变换理想抽样信号：

其Laplace变换：152其z变换：比较理想抽样信号的Laplace变换：得：153z平面：

（极坐标）即：是复平面s平面到z平面的映射： (直角坐标）s平面：抽样序列的z变换=理想抽样信号的Laplace变换154单位圆外部r>1右半平面σ>0单位圆内部r<1左半平面σ<0单位圆r=1虚轴σ=0Z平面S平面155s平面到z平面的映射是多值映射。辐射线ω=Ω0T平行直线Ω

=Ω0正实轴ω=0实轴Ω

=0Z平面S平面Ω:Ω:ω:ω:156序列Z变换与模拟信号Laplace之间的关系：1572、序列的z变换与理想抽样信号的Fourier变换抽样序列在单位圆上的z变换

=其理想抽样信号的Fourier变换

Fourier变换是Laplace变换在虚轴上的特例。即:s=jΩ映射到z平面为单位圆158下面再来讨论序列的Z变换与模拟信号的傅立叶变换之间的关系根据前面的讨论，我们知道：而：所以有：159序列的Fourier变换

单位圆上序列的z变换160五、序列的Fourier变换及其对称性质序列的Fourier变换和反变换：161若序列x(n)绝对可和，即则其Fourier变换存在且连续，是序列的z变换在单位圆上的值：162若序列的Fourier变换存在且连续，且是其z变换在单位圆上的值，则序列x(n)一定绝对可和，将展成Fourier级数，其系数即为x(n)：

163164165序列的Fourier变换的对称性质定义： 共轭对称序列：共轭反对称序列：任意序列可表示成xe(n)和xo(n)之和:其中：166其中：同样，x(n)的Fourier变换也可分解成：167对称性质

序列Fourier变换168实数序列的对称性质

序列Fourier变换169实数序列的Fourier变换满足共轭对称性实部是ω的偶函数虚部是ω的奇函数幅度是ω的偶函数幅角是ω的奇函数170六、离散系统的系统函数、

系统的频率响应LSI系统的系统函数H(z)： 单位抽样响应h(n)的z变换其中：y(n)=x(n)*h(n)Y(z)=X(z)H(z)171系统的频率响应：单位圆上的系统函数单位抽样响应h(n)的Fourier变换1721、若LSI系统为因果稳定系统

稳定系统的系统函数H(z)的Roc须包含单位圆， 即频率响应存在且连续H(z)须从单位圆到的整个z域内收敛

1）因果：2）稳定：序列h(n)绝对可和，即而h(n)的z变换的Roc：3）因果稳定：Roc：1731742、系统函数与差分方程常系数线性差分方程：取z变换则系统函数1751761771781793、系统的频率响应的意义1）LSI系统对复指数序列的稳态响应：1802）LSI系统对正弦序列的稳态响应输出同频正弦序列幅度受频率响应幅度加权相位为输入相位与系统相位响应之和1813）LSI系统对任意输入序列的稳态响应其中：微分增量（复指数）：1824、频率响应的几何确定法利用H(z)在z平面上的零极点分布频率响应：183则频率响应的令幅角：幅度：184零点位置影响凹谷点的位置与深度零点在单位圆上，谷点为零零点趋向于单位圆，谷点趋向于零极点位置影响凸峰的位置和深度极点趋向于单位圆，峰值趋向于无穷极点在单位圆外，系统不稳定1851861871881891905、IIR系统和FIR系统无限长单位冲激响应（IIR）系统：单位冲激响应h(n)是无限长序列有限长单位冲激响应（FIR）系统：单位冲激响应h(n)是有限长序列191IIR系统：至少有一个FIR系统：全部全极点系统：分子只有常数项零极点系统：分子不止常数项收敛域内无极点，是全零点系统192IIR系统：至少有一个有反馈环路，采用递归型结构FIR系统：全部无反馈环路，多采用非递归结构193第二章学习目标掌握z变换及其收敛域，掌握因果序列的概念及判断方法会运用任意方法求z反变换理解z变换的主要性质理解z变换与Laplace/Fourier变换的关系掌握序列的Fourier变换并理解其对称性质掌握离散系统的系统函数和频率响应，系统函数与差分方程的互求，因果/稳定系统的收敛域194第三章离散傅里叶变换DFT:DiscreteFourierTransform195一、Fourier变换的几种可能形式

时间函数频率函数连续时间、连续频率—傅里叶变换连续时间、离散频率—傅里叶级数离散时间、连续频率—序列的傅里叶变换离散时间、离散频率—离散傅里叶变换196连续时间、连续频率—傅里叶变换时域连续函数造成频域是非周期的谱，而时域的非周期造成频域是连续的谱密度函数。197连续时间、离散频率—傅里叶级数

时域连续函数造成频域是非周期的谱，而频域的离散对应时域是周期函数。198离散时间、连续频率—序列的傅里叶变换

时域的离散化造成频域的周期延拓，而时域的非周期对应于频域的连续199离散时间、离散频率—离散傅里叶变换

一个域的离散造成另一个域的周期延拓，因此离散傅里叶变换的时域和频域都是离散的和周期的200四种傅里叶变换形式的归纳时间函数频率函数连续和非周期非周期和连续连续和周期(T0)非周期和离散(Ω0=2π/T0)离散(T)和非周期周期(Ωs=2π/T)和连续离散(T)和周期(T0)周期(Ωs=2π/T)和离散(Ω0=2π/T0)201二、周期序列的DFS及其性质202

虽然表现形式上和连续周期函数是相同的，但是离散傅里叶级数的谐波，独立成分有限，这是和连续傅里叶级数不同之处(后者有无穷多个谐波成分)，这是因为：r为任意整数也就是

因而对离散傅里叶级数,只能取k=0到k=N-1的独立谐波分量,不然就会产生二义性.因而，可展成如下的离散傅里叶级数．即这里的1/N是一个常用的常数,是k次谐波的系数。203求解系数注意：其它r时:204对离散傅里叶级数式两端同乘,然后从n＝0到N-1的一个周期内求和，则得到当k=r时，当k≠r时，因为：205把r换成k可得这就是求k＝0到N-1的N个谐波系数的公式。同时看出也是一个以N为周期的周期序列，即这和复指数只在k＝0,1，…，N一1时才各不相同，即离散博里叶级数只有N个不同的系数的说法是一致的。所以可看出，时域周期序列的离散傅里叶级数频域(即其系数)也是一个周期序列。因而我们把两式一起看作是周期序列的离散傅里叶级数(DFS)对。206周期序列的DFS正变换和反变换：其中：207208209210

可看作是对的一个周期做变换然后将变换在平面单位圆上按等间隔角抽样得到211DFS的性质1、线性：其中，为任意常数若则2122、序列的移位2133、调制特性2144、对偶性因为所以有：上式即为：2155、周期卷积和若则21621721821922005…054321…432154…543210…321043…432105…210532…321054…105421…210543…054310…105432…543212…123450…345011…111100…110067…012345…-4-3-2-110

8

6

10

14

12

221同样若则222三、离散傅里叶变换（DFT）同样：X(k)也是一个N点的有限长序列223有限长序列的DFT正变换和反变换：其中：224x(n)的N点DFT是x(n)的z变换在单位圆上的N点等间隔抽样；x(n)的DTFT在区间[0，2π]上的N点等间隔抽样。225226227228229四、离散傅里叶变换的性质DFT正变换和反变换：2301、线性：这里，序列长度及DFT点数均为N若不等，分别为N1，N2，则需补零使两序列长度相等，均为N，且若则2312、序列的圆周移位

定义：232233有限长序列的圆周移位导致频谱线性相移，而对频谱幅度无影响。234调制特性：时域序列的调制等效于频域的圆周移位2352363、共轭对称性序列的Fourier变换的对称性质中提到：其中：任意序列可表示成和之和:237238其中：共轭反对称分量：共轭对称分量：任意周期序列：239定义：则任意有限长序列：圆周共轭反对称序列：圆周共轭对称序列：240圆周共轭对称序列满足：241圆周共轭反对称序列满足：242同理：其中：243244对称性质1证明：245对称性质2246证明：247对称性质3证明：248对称性质4证明：249对称性质5对称性质6250

序列DFT共轭对称性251

序列DFT实数序列的共轭对称性252纯虚序列的共轭对称性

序列DFT253偶序列的DFT偶对称即时有：对称性质7254255证明：256奇对称序列的DFT奇对称即时有：证明同上对称性质8257DFT的奇偶虚实性x(n)X(k)偶序列偶序列奇序列奇序列实序列实部为偶，虚部为奇虚序列实部为奇，虚部为偶实偶实偶实奇虚奇虚偶虚偶虚奇实奇258

例：设x1(n)和x2(n)都是N点的实数序列，试用一次N点DFT运算来计算它们各自的DFT:2592602614、对偶性若则有：2625、DFT形式下的Parseval定理2632646、圆周卷积和若则265266圆周卷积过程：1）补零2）周期延拓3）翻褶，取主值序列4）圆周移位5）相乘相加NNN267268…-3-2-101234567…543210111100…10011110011……11110011110…1001111100111110011111000111100011118

10

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6

269270同样，可得若则2717、有限长序列的线性卷积与圆周卷积线性卷积：N点圆周卷积：NN272讨论圆周卷积和线性卷积之间的关系：对x1(n)和x2(n)补零，使其长度均为N点；对x2(n)周期延拓：圆周卷积：273N274275276小结：线性卷积求解方法时域直接求解补N-N1个零x(n)N点DFT补N-N2个零h(n)N点DFTN点IDFTy(n)=x(n)*h(n)z变换法DFT法2778、线性相关与圆周相关线性相关：自相关函数：278相关函数不满足交换率：279相关函数的z变换：280相关函数的频谱：281圆周相关定理282283当时，圆周相关可完全代表线性相关类似于线性卷积与圆周卷积之间的关系284六、抽样z变换—频域抽样理论时域抽样定理：在满足奈奎斯特定理条件下，时域抽样信号可以不失真地还原原连续信号。频域抽样呢？抽样条件？内插公式？285286287x(n)为无限长序列—混叠失真x(n)为有限长序列，长度为M由频域抽样序列还原得到的周期序列是原非周期序列的周期延拓序列，其周期为频域抽样点数N。所以：时域抽样造成频域周期延拓同样，频域抽样造成时域周期延拓288频率采样定理若序列长度为M，则只有当频域采样点数:时，才有即可由频域采样不失真地恢复原信号，否则产生时域混叠现象。289用频域采样表示的内插公式290291用频域采样表示的内插公式292293294七、用DFT对模拟信号作频谱分析295对连续时间非周期信号的DFT逼近1）将在轴上等间隔（T）分段2）将截短成有限长序列2963）频域抽样：一个周期分N段，采样间隔，时域周期延拓周期为:

297对连续时间非周期信号的DFT逼近过程

1）时域抽样

2）时域截断

3）频域抽样近似逼近：298对连续时间周期信号的DFS逼近1）将在轴上等间隔（T）分段2992）频域截断：长度正好等于一个周期近似逼近：300信号的频谱分析：计算信号的傅里叶变换301302303304频率响应的混叠失真及参数的选择305同时提高信号最高频率和频率分辨率，需增加采样点数N。所以：信号最高频率与频率分辨率之间的矛盾306307308309

1-14有一调幅信号

用DFT做频谱分析，要求能分辨的所有频率分量，问(1)抽样频率应为多少赫兹（Hz）?(2)抽样时间间隔应为多少秒（Sec）?(3)抽样点数应为多少点？(4)若用频率抽样，抽样数据为512点，做频谱分析，求，512点，并粗略画出的幅频特性，标出主要点的坐标值。310（1）抽样频率应为解：（2）抽样时间间隔应为311312313314315频谱泄漏改善方法：对时域截短，使频谱变宽拖尾，称为泄漏1）增加x(n)长度2）缓慢截短316栅栏效应改善方法：增加频域抽样点数N（时域补零），使谱线更密DFT只计算离散点（基频F0的整数倍处）的频谱，而不是连续函数317频率分辨率提高频率分辨率方法： 增加信号实际记录长度 补零并不能提高频率分辨率318319320321322323324八、序列的抽取与插值信号时间尺度变换（抽样频率的变换） 抽取：减小抽样频率 插值：加大抽样频率3251、序列的抽取将x(n)的抽样频率减小D倍 每D个抽样中取一个，D为整数， 称为抽样因子326相当于抽样间隔增加D倍后对时域连续信号的抽样327328329330序列域直接抽取：

时域序列乘脉冲串3313323332、序列的插值将x(n)的抽样频率增加I倍 相邻两点之间等间隔插入I-1个零点，

I称为插值因子3343353、比值为有理数的抽样率转换将x(n)的抽样频率增加I/D倍 先插值I倍，再作D倍抽取336337小结本章主要讲几个问题：（1）付里叶变换的四种形式（2）离散付里叶级数（3）离散付里叶变换（4）离散付里叶变换的有关性质（5）频率抽样理论（6）离散付里叶变换的应用（7）DFT逼近连续时间信号产生的问题338第四章快速傅里叶变换FFT:FastFourierTransform1965年，Cooley,Tukey《机器计算傅里叶级数的一种算法》339一、直接计算DFT的问题及改进途径340运算量复数乘法复数加法一个X(k)NN–1N个X(k)(N点DFT)N2N(N–1)实数乘法实数加法一次复乘42一次复加2一个X(k)4N2N+2(N–1)=2(2N–1)N个X(k)(N点DFT)4N22N(2N–1)341改善DFT运算效率的基本途径：利用DFT运算的系数的固有对称性和周期性，改善DFT的运算效率。1.合并法：合并DFT运算中的某些项。2.分解法：将长序列DFT利用对称性和周期性，分解为短序列DFT。342343把N点数据分成二半：其运算量为：再分二半：+=+++=这样一直分下去，剩下两点的变换。344FFT算法分类:时间抽选法

DIT:Decimation-In-Time频率抽选法

DIF:Decimation-In-Frequency345二、按时间抽选的基-2FFT算法1、算法原理设序列点数N=2L，L为整数。若不满足，则补零将序列x(n)按n的奇偶分成两组：N为2的整数幂的FFT算法称基-2FFT算法。346则x(n)的DFT:347再利用周期性求X(k)的后半部分348349分解后的运算量：复数乘法复数加法一个N/2点DFT(N/2)2N/2(N/2–1)两个N/2点DFTN2/2N(N/2–1)一个蝶形12N/2个蝶形N/2N总计运算量减少了近一半350N/2仍为偶数，进一步分解：N/2N/4351同理：其中：352353这样逐级分解，直到2点DFT当N=8时，即分解到X3(k)，X4(k)，X5(k)，X6(k)，k=0,1354

m=1m=2m=3355FFT算法中一些概念

（1）“级”概念将N点DFT先分成两个N/2点DFT，再是四个N/4点DFT…直至N/2个两点DFT.每分一次称为“一”级运算。因为N=2L所以N点DFT可分成L级如上图所示依次m=1,m=2….L共L级356（2）“组”概念

每一级都有N/2个蝶形单元，例如：N=8,则每级都有4个蝶形单元。每一级的N/2个蝶形单元可以分成若干组，每一组具有相同的结构，相同的因子分布，第m级的组数为：例：N=8=23，分3级。m=1级,分成四组,每组系数为m=2级,分成二组,每组系数为m=3级,分成一组,每组系数为3572、运算量当N=2L时，共有L级蝶形，每级N/2个蝶形，每个蝶形有1次复数乘法2次复数加法。复数乘法：复数加法：比较DFT358

m=1m=2m=33593、算法特点1）原位计算m表示第m级迭代，k，j表示数据所在的行数3602）倒位序倒位序自然序00000000100410010102201011063011001141001015510101136110111771113613623）蝶形运算对N=2L点FFT，输入倒位序，输出自然序，第m级运算每个蝶形的两节点距离为2m–1第m级运算：363

m=1m=2m=3364

因子的确定方法结论：每由后向前（m由L-->1级）推进一级，则此系数为后级系数中偶数序号的那一半。365

蝶形运算两节点的第一个节点为k值，表示成L位二进制数，左移L–

m位，把右边空出的位置补零，结果为r的二进制数。方法二：3664）存储单元输入序列x(n):N个存储单元系数：N/2个存储单元3674、DIT算法的其他形式流图输入倒位序输出自然序输入自然序输出倒位序输入输出均自然序相同几何形状输入倒位序输出自然序输入自然序输出倒位序368

369370371372373三、按频率抽选的基-2FFT算法1、算法原理设序列点数N=2L，L为整数。将X(k)按k的奇偶分组前，先将输入x(n)按n的顺序分成前后两半：374375

按k的奇偶将X(k)分成两部分：376令则X(2r)和X(2r+1)分别是x1(n)和x2(n)的N/2点DFT，记为X1(k)和X2(k)377x1(0)x1(1)-1x1(2)x1(3)-1x2(0)x2(1)-1x2(2)x2(3)-1N/2点DFTN/2点DFTx(0)x(7)x(1)x(2)x(3)x(4)x(5)x(6)X1(0)=X(0)X2(0)=X(1)X1(1)=X(2)X1(2)=X(4)X1(3)=X(6)X2(1)=X(3)X2(2)=X(5)X2(3)=X(7)378N/2仍为偶数，进一步分解：N/2N/4379x3(0)x3(1)-1-1x4(0)x4(1)N/4点DFTN/4点DFTx1(0)x1(1)x1(2)x1(3)X3(0)=X1(0)=X(0)X4(0)=X1(1)=X(2)X3(1)=X1(2)=X(4)X4(1)=X1(3)=X(6)380同理：其中：381382逐级分解，直到2点DFT当N=8时，即分解到x3(n)，x4(n)，x5(n)，x6(n)，n=0,13833842、算法特点1）原位计算-1L级蝶形运算，每级N/2个蝶形，每个蝶形结构：

m表示第m级迭代，k，j表示数据所在的行数3852）蝶形运算对N=2L点FFT，输入自然序，输出倒位序，两节点距离：2L-m=N/2m第m级运算：386387方法二：蝶形运算两节点的第一个节点为k值，表示成L位二进制数，左移m-1位，把右边空出的位置补零，结果为r的二进制数。3883893、DIT与DIF的异同基本蝶形不同DIT:先复乘后加减DIF:先减后复乘运算量相同都可原位运算DIT和DIF的基本蝶形互为转置390

m=1m=2m=3391四、IFFT算法比较：IDFT:DFT:392393共轭FFT共轭乘1/N直接调用FFT子程序计算IFFT的方法：394五、线性卷积的FFT算法1、线性卷积的FFT算法需运算量：若系统满足线性相位，即：则需运算量：若L点x(n)，M点h(n)，则直接计算其线性卷积y(n)395FFT法：以圆周卷积代替线性卷积1)H(k)=FFT[h(n)]N/2*log2N4)y(n)=IFFT[Y(k)]N/2*log2N3)Y(k)=H(k)X(k)N2)X(k)=FFT[x(n)]N/2*log2NN396比较直接计算和FFT法计算的运算量讨论：1）当2）当3971）重叠相加法

N398

399重叠相加法例子4002）重叠保留法

舍弃yi(n)的前M-1个点，再将yi(n)顺次连接，即得y(n)。分段右移序列卷积N401重叠保留法(1)402403

404

405重叠保留法例子4062、线性相关的FFT算法

若L点x(n)，M点y(n)，计算线性相关：407408第五章数字滤波器的基本结构

409一、数字滤波器结构的表示方法

数字滤波器的系统函数：常系数线性差分方程:410加法器常数乘法器单位延时基本运算单元方框图流图411例：二阶数字滤波器方框图结构流图结构412流图结构节点源节点支路阱节点网络节点分支节点输入支路相加器节点的值=所有输入支路的值之和输出支路支路的值=支路起点处的节点值传输系数413二、IIR数字滤波器的基本结构1）系统的单位抽样相应h(n)无限长IIR数字滤波器的特点：3）存在输出到输入的反馈，递归型结构2）系统函数H(z)在有限z平面（）上有极点存在414IIR数字滤波器的基本结构：直接Ⅰ型直接Ⅱ型（典范型）级联型并联型4151、直接Ⅰ型差分方程:需N+M个延时单元416直接I型结构的特点此结构的特点为：(1)两个网络级联：第一个横向结构M节延时网络实现零点，

第二个有反馈的N节延时网络实现极点。(2)共需(N+M)级延时单元(3)系数ai,bi不是直接决定单个零极点，因而不能很好地进行滤

波器性能控制。(4)极点对系数的变化过于灵敏，从而使系统频率响应对系统

变化过于灵敏，也就是对有限精度（有限字长）运算过于灵

敏，容易出现不稳定或产生较大误差。4172、直接Ⅱ型（典范型）

直接II型原理将上面直接I型结构的两部分看成两个独立的网络（即两个子系统）。原理：一个线性时不变系统，若交换其级联子系统的次序，系统函数不变。把此原理应用于直接I型结构。即：（1）交换两个级联网络的次序（2）合并两个具有相同输入的延时支路。得到另一种结构即直接II型。418（1）对调对调419（2）合并只需实现N阶滤波器所需的最少的N个延时单元，故称典范型。（）合并420直接II型特点直接II型结构特点：(1)两个网络级联。第一个有反馈的N节延时网络实现极点；

第二个横向结构M节延时网络实现零点。(2)实现N阶滤波器（一般N>=M)只需N级延时单元，

所需延时

单元最少。故称典范型。(3)同直接I型一样，具有直接型实现的一般缺点。421

直接型的共同缺点：系数，对滤波器的性能控制作用不明显极点对系数的变化过于灵敏，易出现不稳定或较大误差运算的累积误差较大422例子已知IIRDF系统函数，画出直接I型、直接II型的结构流图。解：为了得到直接I、II型结构，必须将H(z)化为Z-1的有理式x(n)8-411Z-1Z-1y(n)5/4-3/4Z-1Z-1Z-11/8Z-1-25/4Z-1Z-1Z-1-3/41/8-411-28y(n)x(n)注意反馈部分系数符号4233、级联型将系统函数按零极点因式分解:424将共轭成对的复数组合成二阶多项式，系数即为实数。为采用相同结构的子网络，也将两个实零点/极点组合成二阶多项式当零点为奇数时：有一个当极点为奇数时：有一个425426各二阶基本节的排列次序有种当M=N时，二阶因子配对方式有种427级联型的特点：调整系数，能单独调整滤波器的第k对零点，而不影响其它零极点

具有最少的存储器便于调整滤波器频率响应性能调整系数，能单独调整滤波器的第k对极点，而不影响其它零极点4284、并联型将因式分解的H(z)展成部分分式：当N为奇数时，有一个组合成实系数二阶多项式：429430431并联型的特点：通过调整系数，可单独调整一对极点位置，但不能单独调整零点位置各并联基本节的误差互相不影响，故运算误差最小可同时对输入信号进行运算，故运算速度最高432转置定理：原网络中所有支路方向倒转，并将输入x(n)和输出y(n)相互交换，则其系统函数H(z)不改变。433434例：设IIR数字滤波器差分方程为：试用四种基本结构实现此差分方程。解：对差分方程两边取z变换，得系统函数：435得直接Ⅰ型结构：典范型结构：436将H(z)因式分解：得级联型结构：437将H(z)部分分式分解：得并联型结构：438三、FIR数字滤波器的基本结构1）系统的单位抽样响应h(n)有限长，设N点

FIR数字滤波器的特点：2）系统函数H(z)在处收敛，有限z平面只有零点，全部极点在z=0处（因果系统）3）无输出到输入的反馈，一般为非递归型结构系统函数：z=0处是N-1阶极点有N-1个零点分布于z平面4394401、横截型（卷积型、直接型）差分方程:4412、级联型N为偶数时，其中有一个（N-1个零点）将H(z)分解成实系数二阶因式的乘积形式:442级联型的特点系数比直接型多，所需的乘法运算多每个基本节控制一对零点，便于控制滤波器的传输零点4433、频率抽样型N个频率抽样H(k)恢复H(z)的内插公式：444子系统：

是N节延时单元的梳状滤波器

在单位圆上有N个等间隔角度的零点：频率响应：445单位圆上有一个极点：与第k个零点相抵消，使该频率处的频率响应等于H(k)谐振器子系统：446

447频率抽样型结构的优缺点调整H(k)就可以有效地调整频响特性若h(n)长度相同，则网络结构完全相同，除了各支路增益H(k)，便于标准化、模块化有限字长效应可能导致零极点不能完全对消，导致系统不稳定系数多为复数，增加了复数乘法和存储量448

修正频率抽样结构将零极点移至半径为r的圆上：449为使系数为实数，将共轭根合并由对称性：又h(n)为实数，则450将第k个和第(N-k)个谐振器合并成一个实系数的二阶网络：451当N为偶数时，还有一对实数根k=0,N/2处：452453N为奇数时只有一个实数根在k=0处：z=r4544、快速卷积结构4555、线性相位FIR滤波器的结构FIR滤波器单位抽样响应h(n)为实数，且满足：偶对称：或奇对称：即对称中心在(N-1)/2处则这种FIR滤波器具有严格线性相位。456N为奇数时457h(n)偶对称，取“+”h(n)奇对称，取“”，且458N为偶数时459第六章IIR数字滤波器的设计方法数字滤波器：

是指输入输出均为数字信号，通过一定运算关系改变输入信号所含频率成分的相对比例或者滤除某些频率成分的器件。

高精度、稳定、体积小、重量轻、灵活，不要求阻抗匹配，可实现特殊滤波功能优点：460第六章学习目标理解数字滤波器的基本概念了解最小相位延时系统理解全通系统的特点及应用掌握冲激响应不变法掌握双线性变换法了解利用模拟滤波器设计IIR数字滤波器的设计过程了解利用频带变换法设计各种类型数字滤波器的方法461第一节、数字滤波器的基本概念1、数字滤波器的分类

经典滤波器：

现代滤波器： 选频滤波器维纳滤波器卡尔曼滤波器自适应滤波器等462按功能分：低通、高通、带通、带阻、全通滤波器463按实现的网络结构或单位抽样响应分：FIR滤波器（N-1阶）IIR滤波器（N阶）4642、数字滤波器的设计过程用一个因果稳定的离散LSI系统的系统函数H(z)逼近此性能指标按设计任务，确定滤波器性能要求，制定技术指标利用有限精度算法实现此系统函数：如运算结构、字长的选择等实际技术实现：软件法、硬件法或DSP芯片法4653、数字滤波器的技术要求选频滤波器的频率响应：

为幅频特性：表示信号通过该滤波器后各频率成分的衰减情况

为相频特性：反映各频率成分通过滤波器后在时间上的延时情况466

：通带截止频率

：阻带截止频率

：通带容限

：阻带容限阻带：过渡带：通带：理想滤波器不可实现，只能以实际滤波器逼近467通带最大衰减：阻带最小衰减：其中：当时，称为3dB通带截止频率468第二节、IIRDF设计方法469一、IIRDF系统函数IIRDF是一个递归型系统，其系统函数：470二、IIRDF频率特性它是由三个参量来表征：1.幅度平方响应2.相位响应3.群延时4711.幅度平方响应

通常我们用的数字滤波器一般属于选频滤波器，幅频特性表示信号通过该滤波器后频率成分衰减情况。本章主要研究由幅频特性提出指标的选频滤波器的设计，即根据幅度平方响应来设计。472由于冲激响应h(n)为实函数，故满足：即满足共轭对称条件。若

是H(z)的极点，则：是H(z-1)的极点.又由于H(z)的有理表达式中各系数为实数，因而，零极点必然都以共轭对形式出现，故必有：两极点存在473所以（1）H(z)H(z-1)的极点既是共轭的，又是以单位圆镜像对称的。（2）为了使H(z)成为可实现的系统，故取：单位圆内的那些极点作为H(z)的极点单位圆外的那些极点作为H(z-1)的极点H(z)的零点一般不是唯一确定的，可在z平面上的任意位置。（3）如果选H(z)H(z-1)在z平面单位圆内的零点作为H(z)的零点，则所得到的是最小相位延时滤波器。474幅度平方响应

的极点既是共轭的，又是以单位圆成镜像对称的H(z)的极点：单位圆内的极点4752.相位响应

滤波器的相频特性反映各频率成分通过滤波器后在时间上的延时情况。因此，即使两个滤波器幅频特性相同，而相频特性不一样，对相同的输入，滤波器输出的信号波形也是不一样的。如果对输出波形有要求，则需要考虑相频特性的技术指标，例如语音合成，波形传输、图像信号处理等对波形有严格的要求，则需要设计线性相位数字滤波器。（放在第七章讲）4763.群延时

它是滤波器平均延迟的一个度量，定义为相频特性对角频率w的一阶导数的负值。即：477三、IIRDF的设计方法设计IIR数字滤波器系统函数有两种方法：1、间接方法2、直接方法4781、间接方法由于模拟滤波器设计技术是非常成熟的，归一化各种模拟低通滤波器的系统函数已有表可查，利用成熟的设计技术，可得到一个间接设计IIRDF的方法，即间接设计方法。这种方法通常要先设计一中间滤波器，然后通过映射或频率变换完成最终IIR数字滤波器的设计。这种间接设计方法中包括：

(1)由模拟滤波器设计数字滤波器

(2)频率变换法（分为模拟频率变换法和数字频率变换法）来设计数字滤波器4792、直接方法直接方法(计算机辅助设计法)

（1）在频域利用幅度平方误差最小法直接设计IIR数字滤波器。（2）在时域直接设计IIR数字滤波器此法根据性能指标和一定的逼近准则，直接利用计算机完成设计。480第三节、用模拟滤波器设计IIR数字滤波器设计思想：

s平面z平面

模拟系统数字系统H(z)的频率响应要能模仿Ha(s)的频率响应，

即s平面的虚轴映射到z平面的单位圆因果稳定的Ha(s)映射到因果稳定的H(z)， 即s平面的左半平面Re[s]<0

映射到z平面的单位圆内|z|<1481设计方法：-冲激响应不变法-阶跃响应不变法-双线性变换法482第四节、冲激响应不变法数字滤波器的单位冲激响应 模仿模拟滤波器的单位冲激响应1、变换原理T—抽样周期4834842、混迭失真仅当数字滤波器的频响在折叠频率内重现模拟滤波器的频响而不产生混迭失真：数字滤波器的频率响应是模拟滤波器频率响应的周期延拓，周期为485

实际系统不可能严格限带，都会混迭失真，在 处衰减越快，失真越小当滤波器的设计指标以数字域频率给定时，不能通过提高抽样频率来改善混迭现象4863、模拟滤波器的数字化方法487系数相同：极点：s平面

z平面稳定性不变：s平面z平面488当T很小时，数字滤波器增益很大，易溢出，需修正令：则：489试用冲激响应不变法，设计IIR数字滤波器例：设模拟滤波器的系统函数为解：据题意，得数字滤波器的系统函数：设T=1s，则490模拟滤波器的频率响应：数字滤波器的频率响应：4914、优缺点优点：缺点：保持线性关系： 线性相位模拟滤波器转变为线性相位数字滤波器频率响应混迭 只适用于限带的低通、带通滤波器h(n)完全模仿模拟滤波器的单位抽样响应 时域逼近良好492例子2--1设低通DF的3dB带宽频率wc=0.2π,止带频率ws=0.4π,在w=ws处的止带衰减

20lg|H(ejws)|=-15dB,试用脉冲响应不变法（冲激不变法）设计一个Butterworth低通DF。解：设计分为4步。（1）将数字滤波器的设计指标转变为模拟滤波器的设计指标。采样频率由采样定理决定，设为fs=20kHz,则采样间隔为T=1/fs=1/20kHz493例子2--2对于冲激不变法，频率变换是线性的。494例子2--3(2)设计Ha(s)将上述设计指标代入求出N阶数495例子2--4496例子2--5497例子2--6498例子2--7x(n)0.5341.241-0.5331.59y(n)0.5341.241-0.533-1.0010.306y(n)x(n)并联型级联型-21.333499第五节、双线性变换法1、变换原理使数字滤波器的频率响应 与模拟滤波器的频率响应相似。冲激响应不变法、阶跃响应不变法：时域模仿逼近 缺点是产生频率响应的混叠失真500501502为使模拟滤波器某一频率与数字滤波器的任一频率有对应关系，引入系数c5032、变换常数c的选择2）某一特定频率严格相对应：1）低频处有较确切的对应关系：特定频率处频率响应严格相等，可以较准确地控制截止频率位置5043、逼近情况1）

s平面虚轴z平面单位圆2）左半平面单位圆内

s平面z平面右半平面单位圆外虚轴单位圆上5054、优缺点优点：避免了频率响应的混迭现象s平面与z平面为单值变换506缺点：

除了零频率附近，与之间严重非线性2）要求模拟滤波器的幅频响应为分段常数型，不然会产生畸变1）线性相位模拟滤波器非线性相位数字滤波器分段常数型模拟滤波器经变换后仍为分段常数型数字滤波器，但临界频率点产生畸变5075、预畸变

给定数字滤波器的截止频率，则按设计模拟滤波器，经双线性变换后，即可得到为截止频率的数字滤波器5086、模拟滤波器的数字化方法509可分解成级联的低阶子系统可分解成并联的低阶子系统510第六节、最小与最大相位延时系统、最小与最大相位超前系统LSI系统的系统函数：频率响应：511模：相角：512当位于单位圆内的零/极矢量角度变化为位于单位圆外的零/极矢量角度变化为0513令：单位圆内零点数为mi单位圆外的零点数为mo单位圆内的极点数为pi单位圆外的极点数为po则：514全部极点在单位圆内：po=0，pi=N因果稳定系统1）全部零点在单位圆内：

2）全部零点在单位圆外：

为最小相位延时系统为最大相位延时系统n<0时，h(n)=0相位延时系统515逆因果稳定系统1）全部零点在单位圆内：

2）全部零点在单位圆外：

全部极点在单位圆外：po=N，pi=0为最大相位超前系统为最小相位超前系统相位超前系统n>0时，h(n)=0516最小相位延时系统的性质1）在相同的系统中，具有最小的相位滞后2）最小相位延时系统的能量集中在n=0附近，而总能量相同5）级联一个全通系统，可以将一最小相位系统转变成一相同幅度响应的非最小相位延时系统4）在相同的系统中，唯一3）最小相位序列的最大：517第七节、全通系统对所有，满足：称该系统为全通系统518一阶全通系统：极点：零点：零极点以单位圆为镜像对称极点：零点：519实系数二阶全通系统两个零点（极点）共轭对称极点：零点：零点与极点以单位圆为镜像对称520N阶数字全通滤波器极点：的根零点：的根521全通系统的应用1）任一因果稳定系统H(z)都可以表示成全通系统Hap(z)和最小相位系统Hmin(z)的级联其中：H1(z)为最小相位延时系统， 为单位圆外的一对共轭零点522把H(z)单位圆外的零点： 映射到单位圆内的镜像位置： 构成Hmin(z)的零点。而幅度响应不变：5235242）级联一个全通系统可以使非稳定滤波器变成一个稳定滤波器把非稳定系统的单位圆外的极点映射到单位圆内单位圆外极点：5253）作为相位均衡器，校正系统的非线性相位，而不改变系统的幅度特性利用均方误差最小准则求均衡器Hap(z)的有关参数526第八节、阶跃响应不变法变换原理数字滤波器的阶跃响应 模仿模拟滤波器的阶跃响应 T—抽样周期527528阶跃响应不变法同样有频率响应