连续时间Fourier变换 课件

第4章连续时间Fourier变换第4章连续时间Fourier变换上一章，我们研究了如何把周期信号分解为指数信号的线形叠加，这样对于我们的信号处理是非常方便的。同时，也看到这一表示是如何用来描述LTI系统对这些信号的作用效果的。那么，能否对非周期信号进行类似的处理？本章便是研究由周期信号推导到非周期信号的扩展。2而对于非周期信号，它们则是在频率上无限小地靠近的。将会看到，相当广泛的一类信号，其中包括全部有限能量的信号，也能够经由复指数信号的线性组合来表示。1对周期信号而言，这些复指数基本信号构造单元全是成谐波关系的；4.0引言上一章，我们研究了如何把周期信号分解为指数信号的线形因此，作为线性组合表示所取的形式是一个积分，而不是求和。

处理原则：一个非周期信号能够看成是周期无限长的周期信号。在这种表示中所得到的系数谱称为Fourier变换；而利用这些系数将信号表示为复指数信号线性组合的综合积分本身则称之为Fourier反变换。

更加确切些就是，在一个周期信号的Fourier级数表示中，当周期增加时，基波频率就减少，成谐波关系的各分量在频率上愈趋靠近。当周期变成无穷大时，这些频率分量就形成一个连续域，从而Fourier级数的求和也就变成了一个积分。因此，作为线性组合表示所取的形式是一个积分，而不是求傅立叶的两个最主要的贡献——“周期信号都可表示为谐波关系的正弦信号的加权和”——傅里叶的第一个主要论点“非周期信号都可用正弦信号的加权积分表示”

——傅里叶的第二个主要论点傅立叶的两个最主要的贡献——4.1非周期信号的表示：连续时间傅立叶变换为了对Fourier变换表示的实质求得更深入地了解，我们先由研究过的连续时间方波的Fourier级数表示入手。该信号的基波周期是T，基波频率就为.该方波信号的Fourier级数为：4.1非周期信号的表示：连续时间傅立叶变换为了对Fo图4.2周期方波的Fourier级数系数及其包络，T1固定。T=8T1T=4T1T=16T1图4.2周期方波的Fourier级数系数及其包络，T1固定-T/2T/2T/2-T/2频谱演变的定性观察-T/2T/2T/2-T/2频谱演变的定性观察

-T0T….….对非周期信号建立Fourier表示的基本思想当周期信号的周期T趋于∞时,就演变成了非周期信号-T频率也变成连续变量。对周期信号当周期信号的周期T趋于∞时,就演变成了非周期信号频率也变成连续变量。对周期信号当周期信号的周期T趋于∞时,傅立叶变换傅立叶逆变换（4月14日）傅立叶傅立叶（4月14日）与之间的关系：

周期信号的频谱是非周期信号频谱的抽样；而非周期信号的频谱是周期信号频谱的包络。与之间的关系：周期信号的频其中综合公式4-8是由一个连续信号的频域表达式X(jω)求得其时域表达式x(t)的公式，称为傅立叶反变换式。分析公式4－9是由一个信号的时域表达式x(t)求得其频域表达式X(jω)的公式，称为傅立叶变换或傅立叶积分。由此得到非周期信号的傅立叶变换公式：当时：Fourier变换对其中综合公式4-8是由一个连续信号的频域表达式X(jω)这种一个信号的时域表达式x(t)和频域表达式X(jω)之间通过傅立叶变换与反变换建立联系x(t)←→X(jω)，称之为一个傅立叶变换对.注意：1时域表达式x(t)是一个关于时间的函数，表达的是在不同时间点函数幅度值的不同，自变量为时间t；

2频域表达式X(jω)表达的是把信号分解为不同频率的指数信号的组合（只不过这些指数信号的频率变化是连续的），这些不同频率的指数信号在总信号中所占分量的大小,自变量为频率ω。

3

两者都是同一信号的不同表达方式，而不是不同的信号。两者之间的转换（即傅立叶变换与反变换）也是同一信号的由时域表达式推导频域表达式或由频域表达式推导时域表达式的过程。这种一个信号的时域表达式x(t)和频域表达式X(jω)之

(a)X(ω)是一个密度函数的概念(b)X(ω)是一个连续谱(c)X(ω)包含了从零到无限高 频的所有频率分量(d)各频率分量的频率不成谐波关系。注意：综合公式(4.8)对非周期信号所起的作用与(3.38)式对周期信号的作用相同，因为两者都相当于把一个信号表示为一组复指数信号的线性组合。(a)X(ω)是一个密度函数的概念注意：综合如果某非周期信号的总能量（即时域绝对值平方积分)有限,即则该信号傅立叶变换收敛。或者，同时满足下列三个条件的信号傅立叶变换也收敛：1在整个定义域绝对可积:2任何有限区间只有有限个起伏;3任何有限区间只有有限个不连续点，且每个不连续点都是有限值。4.12Fourier变换的收敛如果某非周期信号的总能量（即时域绝对值平方积分)有限,即4尽管这两组条件都给出了一个信号存在Fourier变换的充分条件，但是下一节将会看到，倘若在变换过程中可以使用冲激函数，那么，在一个无限区间内，既不绝对可积，又不具备平方可积的周期信号也可以认为具有Fourier变换。这样，就有可能把Fourier级数和Fourier变换纳入到统一的框架内。尽管这两组条件都给出了一个信号存在Fourier变换的充4.1.3连续时间Fourier变换举例4.1.3连续时间Fourier变换举例一．矩形脉冲信号幅度频谱：相位频谱：一．矩形脉冲信号幅度频谱：相位频谱：频谱图幅度频谱相位频谱频宽：频谱图幅度频谱相位频谱频宽：二．单边指数信号二．单边指数信号频谱图幅度频谱：相位频谱：频谱图幅度频谱：相位频谱：三．直流信号不满足绝对可积条件，不能直接用定义求三．直流信号不满足绝对可积条件，不能直接用定义求时域无限宽，频带无限窄时域无限宽，频带无限窄证明wO证明wO四．符号函数处理方法：tea-tea-做一个双边函数不满足绝对可积条件四．符号函数处理方法：tea-tea-做一个双边函数不满足绝频谱图频谱图五．升余弦脉冲信号五．升余弦脉冲信号频谱图其频谱比矩形脉冲更集中。频谱图其频谱比矩形脉冲更集中。六．冲激函数冲激函数积分是有限值，可以用公式求。而u(t)不满足绝对可积条件，不能用定义求。六．冲激函数冲激函数积分是有限值，可以用公式求。而u(t)不虽然在上一节我们的注意力主要是集中在非周期信号上，其实对于周期信号也能够建立Fourier变换表示。这样一来，就可以在统一框架内考虑周期和非周期信号。事实上将会看到：4.2周期信号的傅立叶变换

1可以直接由周期信号的Fourier级数表示构造出一个周期信号的Fourier变换；2所得到的变换在频域是由一串冲激所组成，各冲激的面积正比于Fourier系数。虽然在上一节我们的注意力主要是集中在非周期信号上，其实对显然，周期信号是不满足上面的收敛判断式的，而且把周期信号x(t)代入傅立叶变换公式，得到的积分结果也是无穷大。那么如何求它的傅立叶变换？教材上通过傅立叶反变换来求的。由于周期信号的傅立叶变换应当正比于其傅立叶级数系数，且根据计算又是无穷大，我们猜测是一个冲激。因此通过求频域冲激信号的傅立叶反变换。

显然，周期信号是不满足上面的收敛判断式的，而且把周期信考虑一个信号x(t)，其Fourier变换X(jw)是一个面积为出现在处的单独的一个冲激，即由(4.8)式的反变换公式得到：将上面结果再加以推广，如果X(jw)是在频率上等间隔的一组冲激函数的线性组合，即那么利用(4.8)式，可得：考虑一个信号x(t)，其Fourier变换X(jw)是一因此，一个Fourier级数系数为的周期信号的Fourier交换，可以看成是出现在成谐波关系的频率上的一串冲激函数，发生于第k次谐波频率上的冲激函数的面积是第k个Fourier级数系统的倍。因此，一个Fourier级数系数为的周期信号例4.6再次考虑图4.1的方波信号，其Fourier级数系数为：因此，该信号的Fourier变换X(jw)是：例4.6再次考虑图4.1的方波信号，其Fourier级数系不同的仅仅是比例因子以及用的是冲激函数而不是条线图不同的仅仅是比例因子以及用的是冲激函数而不是条线图4.3连续时间Fourier变换性质本节主要介绍了连续时间傅立叶变换的性质。这些性质都可以由两大公式本身的运算推导出来。熟练掌握不但有利于我们进行变换与反变换，更有利于我们运用傅立叶变换，解决以后的一些实际问题。4.3连续时间Fourier变换性质本节主要介绍了连主要内容对称性质

线性性质奇偶虚实性

尺度变换性质时移特性

频移特性

微分性质

时域积分性质主要内容对称性质线性性质意义傅里叶变换具有惟一性。傅氏变换的性质揭示了信号的时域特性和频域特性之间的确定的内在联系。讨论傅里叶变换的性质，目的在于：了解特性的内在联系；利用性质求X(ω)；了解在通信系统领域中的应用。意义傅里叶变换具有惟一性。傅氏变换的性质揭示一．对称性质1．性质2．意义一．对称性质1．性质2．意义例3-7-1例3-7-2相移全通网络例3-7-1例3-7-2相移全通网络二．线性性质1．性质2．例3-7-3二．线性性质1．性质2．例3-7-3三．奇偶虚实性在“傅里叶变换的表示”中曾介绍过。由定义可以得到证明：三．奇偶虚实性在“傅里叶变换的表示”中曾介绍过。由定义可以得设f(t)是实函数（为虚函数或复函数情况相似，略）显然设f(t)是实函数（为虚函数或复函数情况相似，略）显然四．尺度变换性质意义(1)

0<a<1时域扩展，频带压缩。(2)a>1时域压缩，频域扩展a倍。四．尺度变换性质意义(1)

0<a<1时域扩展，频带压缩时移加尺度变换证明时移加尺度变换证明(1)

0<a<1时域扩展，频带压缩。脉冲持续时间增加a倍，变化慢了，信号在频域的频带压缩a倍。高频分量减少，幅度上升a倍。(1)

0<a<1时域扩展，频带压缩。脉冲持续时间增加a持续时间短，变化快。信号在频域高频分量增加，频带展宽，各分量的幅度下降a倍。此例说明：信号的持续时间与信号占有频带成反比，有时为加速信号的传递，要将信号持续时间压缩，则要以展开频带为代价。（2）a>1时域压缩，频域扩展a倍。持续时间短，变化快。信号在频域高频分量增加，频带展宽，各分量连续时间Fourier变换尺度变换性质证明综合上述两种情况因为尺度变换性质证明综合上述两种情况因为五．时移特性幅度频谱无变化，只影响相位频谱，时移加尺度变换五．时移特性幅度频谱无变化，只影响相位频谱，时移加尺度变换时移加尺度变换证明时移加尺度变换证明例3-7-4（时移性质）求图(a)所示三脉冲信号的频谱。解：

例3-7-4（时移性质）求图(a)所示三脉冲信号的因为脉冲个数增多，频谱包络不变，带宽不变。因为脉冲个数增多，频谱例3-7-5方法一：先标度变换，再时延方法二：先时延再标度变换相同例3-7-5方法一：先标度变换，再时延方法二：先2．证明

1．性质

六．频移特性2．证明1．性质六．频移特性3．说明4．应用通信中调制与解调，频分复用。3．说明4．应用通信中调制与解调，频分复用。例3-7-6已知矩形调幅信号

解：因为例3-7-6已知矩形调幅信号解：因为频谱图频谱图七．微分性质时域微分性质频域微分性质或七．微分性质时域微分性质或1．时域微分注意1．时域微分注意注意如果f(t)中有确定的直流分量，应先取出单独求傅里叶变换，余下部分再用微分性质。注意如果f(t)中有确定的直流分量，应先取出单独求时域微分性质证明即时域微分性质证明即求三角函数的频谱密度函数．例3-7-7求三角函数的频谱密度函数．例3-7-7分析X分析X第65

页解X第65页解X2．频域微分性质或推广2．频域微分性质或推广例3-7-8解：例3-7-8解：例3-7-9解：例3-7-9解：八．时域积分性质也可以记作：八．时域积分性质也可以记作：时域积分性质证明变上限积分用带时移的单位阶跃的无限积分表示，成为交换积分顺序，即先求时移的单位阶跃信号的傅里叶变换时域积分性质证明变上限积分用带时移的单位阶跃的无限连续时间Fourier变换九、帕斯瓦尔定理改变一下积分次序，有帕斯瓦尔定理表明了时域和频域总能量的积分在数值上的关系。有时候可以用来解决一些问题。该式称为帕斯瓦尔定理。现证明如下:设x(t)和X(jw)是一对Fourier变换，则得:九、帕斯瓦尔定理改变一下积分次序，有帕斯瓦尔定理表明了4.4卷积性质在第3章已经知道，如果一个周期信号用一个Fourier级数来表示，也就是按(3.38)式：作为成谐波关系的复指数信号的线性组合来表示，那么，一个LTI系统对这个输入的响应也能够用一个Fourier级数来表示。因为复指数信号是LTI系统的特征函数，所以输出的Fourier级数系数是输入的那些系数乘以对应谐波频率上的系统频率响应的值。现将这一结论推广到非周期信号去。4.4卷积性质在第3章已经知道，如果一个周期信号用一个Fo卷积定理时域卷积定理时域卷积对应频域频谱密度函数乘积。卷积定理揭示了时间域与频率域的运算关系，在通信系统和信号处理研究领域中得到大量应用。例如：在频繁选择性滤波中，可以对限制相关频率的过滤通过。卷积定理时域卷积定理时域卷积对应频域频谱密度函数乘积。卷积定H(jw)=0消除或衰减掉H(jw)=1通过H(jw)=0消除或衰减掉H(jw)=1通过4.4.1举例例4.184.4.1举例例4.18连续时间Fourier变换4.5相乘性质频域卷积定理卷积定理揭示了时间域与频率域的运算关系，在通信系统和信号处理研究领域中得到大量应用。4.5相乘性质频域卷积定理卷积定理揭示了时间域与频率域的运时域卷积定理的证明因此所以卷积定义交换积分次序时移性质时域卷积定理的证明因此所以卷积交换积分次序时移一个信号去乘另外一个信号可以理解为用一个信号去调制,另一个信号的振幅，因此两个信号相乘又称幅度调制，故相乘性质又称调制性质S(t)的变换P(t)=cosw0tr(t)=s(t)p(t)一个信号去乘另外一个信号可以理解为用一个信号去调制,另一个信设信号s(t)的频谱S(jw)如图4.23(a)所示，信号p(t)那么设信号s(t)的频谱S(jw)如图4.23(a)所示，信号4.5.1具有可变中心频率的频率选择性滤波相乘性质应用：（1）在通信系统中的幅度调制；（2）在中心频率可调的频率选择性带通滤波器的实现上，其中心频率可以很简单地用一个调谐旋钮来调节。利用一个固定特性的频率选择滤波器，然后恰当地移动信号频谱的办法来改变滤波器的中心频率，其中就要用到正弦幅度调制的原理。4.5.1具有可变中心频率的频率选择性滤波相乘性质应用：（连续时间Fourier变换连续时间Fourier变换求系统的响应。将时域求响应，转化为频域求响应。二．应用用时域卷积定理求频谱密度函数。求系统的响应。将时域求响应，转化为频域求响应。二．应用例3-8-1X例3-8-1X4.6傅立叶变换性质和基本傅立叶变换对一览表本节采用列表方式给出了连续时间傅立叶变换的一些基本特性，和一些常见的重要的信号的傅立叶变换对，应该牢记掌握4.6傅立叶变换性质和基本傅立叶变换对一览表本节4.7用线性常系数微分方程表征的系统如第二章所说，线性常系数微分方程可以表征系统的特征。但从时域计算的方法要解出这个方程，或者要由输入求输出，输出求输入都是很麻烦的计算。但引入频域的傅立叶变换后，大大简化了我们的工作。4.7用线性常系数微分方程表征的系统如第二章所说，*频率响应的求法：1.用微分方程表征的系统*频率响应的求法：1.用微分方程表征的系统例：由微分方程所描述的系统通过求频率响应可直接求出其单位冲激响应。例：由微分方程所描述的系统通过求频率响应可直接例4.24一稳定的LTI系统由下列微分方程所表征：利用公式：得：例4.24一稳定的LTI系统由下列微分方程所表征：利用公式：例4.25一稳定的LTI系统由下列微分方程所表征：利用公式：得：例4.25一稳定的LTI系统由下列微分方程所表征：利用公式：例4.26设例4.25系统的输入为：于是得：例4.26设例4.25系统的输入为：于是得：例：2.以方框图表征的系统例：2.以方框图表征的系统*级联

*并联H1(j)H2(j)H3(j)H1(j)H2(j)H3(j)3.互联系统的H(jw)*级联*并联H1(j)H2(j)H3(4反馈联结4反馈联结本章小结本章完成的主要任务是，首先，在上一章周期信号“分解”成用指数信号线形叠加表示的基础上，通过周期趋向无穷大的极端推导，得出非周期信号的分解——傅立叶变换。从而引入了信号的频域表达式的概念。时域表达与频域表达是同一信号的不同表达方式，因此可以通过傅立叶变换和傅立叶反变换来相互转换。由于傅立叶变换具有的各个性质，尤其是线性、微分性质和卷积与相乘性质，可以非常方便地处理一些在时域比较麻烦的问题，如线性常系数微分方程表征的系统的问题。本章小结本章完成的主要任务是，首先，在上一章周期信号本章要求掌握以下知识点1傅立叶变换和频域表达式的概念；2傅立叶变换和傅立叶反变换的公式；3傅立叶变换的收敛判定；4周期信号的傅立叶变换方法；5傅立叶变换九大性质；6常用傅立叶变换对；运用常用傅立叶变换对和变换性质解决变换与反变换的题目8用傅立叶变换解线性常系数微分方程；

本章要求掌握以下知识点1傅立叶变换和频域表达式的概念；第4章连续时间Fourier变换第4章连续时间Fourier变换上一章，我们研究了如何把周期信号分解为指数信号的线形叠加，这样对于我们的信号处理是非常方便的。同时，也看到这一表示是如何用来描述LTI系统对这些信号的作用效果的。那么，能否对非周期信号进行类似的处理？本章便是研究由周期信号推导到非周期信号的扩展。2而对于非周期信号，它们则是在频率上无限小地靠近的。将会看到，相当广泛的一类信号，其中包括全部有限能量的信号，也能够经由复指数信号的线性组合来表示。1对周期信号而言，这些复指数基本信号构造单元全是成谐波关系的；4.0引言上一章，我们研究了如何把周期信号分解为指数信号的线形因此，作为线性组合表示所取的形式是一个积分，而不是求和。

处理原则：一个非周期信号能够看成是周期无限长的周期信号。在这种表示中所得到的系数谱称为Fourier变换；而利用这些系数将信号表示为复指数信号线性组合的综合积分本身则称之为Fourier反变换。

更加确切些就是，在一个周期信号的Fourier级数表示中，当周期增加时，基波频率就减少，成谐波关系的各分量在频率上愈趋靠近。当周期变成无穷大时，这些频率分量就形成一个连续域，从而Fourier级数的求和也就变成了一个积分。因此，作为线性组合表示所取的形式是一个积分，而不是求傅立叶的两个最主要的贡献——“周期信号都可表示为谐波关系的正弦信号的加权和”——傅里叶的第一个主要论点“非周期信号都可用正弦信号的加权积分表示”

——傅里叶的第二个主要论点傅立叶的两个最主要的贡献——4.1非周期信号的表示：连续时间傅立叶变换为了对Fourier变换表示的实质求得更深入地了解，我们先由研究过的连续时间方波的Fourier级数表示入手。该信号的基波周期是T，基波频率就为.该方波信号的Fourier级数为：4.1非周期信号的表示：连续时间傅立叶变换为了对Fo图4.2周期方波的Fourier级数系数及其包络，T1固定。T=8T1T=4T1T=16T1图4.2周期方波的Fourier级数系数及其包络，T1固定-T/2T/2T/2-T/2频谱演变的定性观察-T/2T/2T/2-T/2频谱演变的定性观察

-T0T….….对非周期信号建立Fourier表示的基本思想当周期信号的周期T趋于∞时,就演变成了非周期信号-T频率也变成连续变量。对周期信号当周期信号的周期T趋于∞时,就演变成了非周期信号频率也变成连续变量。对周期信号当周期信号的周期T趋于∞时,傅立叶变换傅立叶逆变换（4月14日）傅立叶傅立叶（4月14日）与之间的关系：

周期信号的频谱是非周期信号频谱的抽样；而非周期信号的频谱是周期信号频谱的包络。与之间的关系：周期信号的频其中综合公式4-8是由一个连续信号的频域表达式X(jω)求得其时域表达式x(t)的公式，称为傅立叶反变换式。分析公式4－9是由一个信号的时域表达式x(t)求得其频域表达式X(jω)的公式，称为傅立叶变换或傅立叶积分。由此得到非周期信号的傅立叶变换公式：当时：Fourier变换对其中综合公式4-8是由一个连续信号的频域表达式X(jω)这种一个信号的时域表达式x(t)和频域表达式X(jω)之间通过傅立叶变换与反变换建立联系x(t)←→X(jω)，称之为一个傅立叶变换对.注意：1时域表达式x(t)是一个关于时间的函数，表达的是在不同时间点函数幅度值的不同，自变量为时间t；

2频域表达式X(jω)表达的是把信号分解为不同频率的指数信号的组合（只不过这些指数信号的频率变化是连续的），这些不同频率的指数信号在总信号中所占分量的大小,自变量为频率ω。

3

两者都是同一信号的不同表达方式，而不是不同的信号。两者之间的转换（即傅立叶变换与反变换）也是同一信号的由时域表达式推导频域表达式或由频域表达式推导时域表达式的过程。这种一个信号的时域表达式x(t)和频域表达式X(jω)之

(a)X(ω)是一个密度函数的概念(b)X(ω)是一个连续谱(c)X(ω)包含了从零到无限高 频的所有频率分量(d)各频率分量的频率不成谐波关系。注意：综合公式(4.8)对非周期信号所起的作用与(3.38)式对周期信号的作用相同，因为两者都相当于把一个信号表示为一组复指数信号的线性组合。(a)X(ω)是一个密度函数的概念注意：综合如果某非周期信号的总能量（即时域绝对值平方积分)有限,即则该信号傅立叶变换收敛。或者，同时满足下列三个条件的信号傅立叶变换也收敛：1在整个定义域绝对可积:2任何有限区间只有有限个起伏;3任何有限区间只有有限个不连续点，且每个不连续点都是有限值。4.12Fourier变换的收敛如果某非周期信号的总能量（即时域绝对值平方积分)有限,即4尽管这两组条件都给出了一个信号存在Fourier变换的充分条件，但是下一节将会看到，倘若在变换过程中可以使用冲激函数，那么，在一个无限区间内，既不绝对可积，又不具备平方可积的周期信号也可以认为具有Fourier变换。这样，就有可能把Fourier级数和Fourier变换纳入到统一的框架内。尽管这两组条件都给出了一个信号存在Fourier变换的充4.1.3连续时间Fourier变换举例4.1.3连续时间Fourier变换举例一．矩形脉冲信号幅度频谱：相位频谱：一．矩形脉冲信号幅度频谱：相位频谱：频谱图幅度频谱相位频谱频宽：频谱图幅度频谱相位频谱频宽：二．单边指数信号二．单边指数信号频谱图幅度频谱：相位频谱：频谱图幅度频谱：相位频谱：三．直流信号不满足绝对可积条件，不能直接用定义求三．直流信号不满足绝对可积条件，不能直接用定义求时域无限宽，频带无限窄时域无限宽，频带无限窄证明wO证明wO四．符号函数处理方法：tea-tea-做一个双边函数不满足绝对可积条件四．符号函数处理方法：tea-tea-做一个双边函数不满足绝频谱图频谱图五．升余弦脉冲信号五．升余弦脉冲信号频谱图其频谱比矩形脉冲更集中。频谱图其频谱比矩形脉冲更集中。六．冲激函数冲激函数积分是有限值，可以用公式求。而u(t)不满足绝对可积条件，不能用定义求。六．冲激函数冲激函数积分是有限值，可以用公式求。而u(t)不虽然在上一节我们的注意力主要是集中在非周期信号上，其实对于周期信号也能够建立Fourier变换表示。这样一来，就可以在统一框架内考虑周期和非周期信号。事实上将会看到：4.2周期信号的傅立叶变换

1可以直接由周期信号的Fourier级数表示构造出一个周期信号的Fourier变换；2所得到的变换在频域是由一串冲激所组成，各冲激的面积正比于Fourier系数。虽然在上一节我们的注意力主要是集中在非周期信号上，其实对显然，周期信号是不满足上面的收敛判断式的，而且把周期信号x(t)代入傅立叶变换公式，得到的积分结果也是无穷大。那么如何求它的傅立叶变换？教材上通过傅立叶反变换来求的。由于周期信号的傅立叶变换应当正比于其傅立叶级数系数，且根据计算又是无穷大，我们猜测是一个冲激。因此通过求频域冲激信号的傅立叶反变换。

显然，周期信号是不满足上面的收敛判断式的，而且把周期信考虑一个信号x(t)，其Fourier变换X(jw)是一个面积为出现在处的单独的一个冲激，即由(4.8)式的反变换公式得到：将上面结果再加以推广，如果X(jw)是在频率上等间隔的一组冲激函数的线性组合，即那么利用(4.8)式，可得：考虑一个信号x(t)，其Fourier变换X(jw)是一因此，一个Fourier级数系数为的周期信号的Fourier交换，可以看成是出现在成谐波关系的频率上的一串冲激函数，发生于第k次谐波频率上的冲激函数的面积是第k个Fourier级数系统的倍。因此，一个Fourier级数系数为的周期信号例4.6再次考虑图4.1的方波信号，其Fourier级数系数为：因此，该信号的Fourier变换X(jw)是：例4.6再次考虑图4.1的方波信号，其Fourier级数系不同的仅仅是比例因子以及用的是冲激函数而不是条线图不同的仅仅是比例因子以及用的是冲激函数而不是条线图4.3连续时间Fourier变换性质本节主要介绍了连续时间傅立叶变换的性质。这些性质都可以由两大公式本身的运算推导出来。熟练掌握不但有利于我们进行变换与反变换，更有利于我们运用傅立叶变换，解决以后的一些实际问题。4.3连续时间Fourier变换性质本节主要介绍了连主要内容对称性质

线性性质奇偶虚实性

尺度变换性质时移特性

频移特性

微分性质

时域积分性质主要内容对称性质线性性质意义傅里叶变换具有惟一性。傅氏变换的性质揭示了信号的时域特性和频域特性之间的确定的内在联系。讨论傅里叶变换的性质，目的在于：了解特性的内在联系；利用性质求X(ω)；了解在通信系统领域中的应用。意义傅里叶变换具有惟一性。傅氏变换的性质揭示一．对称性质1．性质2．意义一．对称性质1．性质2．意义例3-7-1例3-7-2相移全通网络例3-7-1例3-7-2相移全通网络二．线性性质1．性质2．例3-7-3二．线性性质1．性质2．例3-7-3三．奇偶虚实性在“傅里叶变换的表示”中曾介绍过。由定义可以得到证明：三．奇偶虚实性在“傅里叶变换的表示”中曾介绍过。由定义可以得设f(t)是实函数（为虚函数或复函数情况相似，略）显然设f(t)是实函数（为虚函数或复函数情况相似，略）显然四．尺度变换性质意义(1)

0<a<1时域扩展，频带压缩。(2)a>1时域压缩，频域扩展a倍。四．尺度变换性质意义(1)

0<a<1时域扩展，频带压缩时移加尺度变换证明时移加尺度变换证明(1)

0<a<1时域扩展，频带压缩。脉冲持续时间增加a倍，变化慢了，信号在频域的频带压缩a倍。高频分量减少，幅度上升a倍。(1)

0<a<1时域扩展，频带压缩。脉冲持续时间增加a持续时间短，变化快。信号在频域高频分量增加，频带展宽，各分量的幅度下降a倍。此例说明：信号的持续时间与信号占有频带成反比，有时为加速信号的传递，要将信号持续时间压缩，则要以展开频带为代价。（2）a>1时域压缩，频域扩展a倍。持续时间短，变化快。信号在频域高频分量增加，频带展宽，各分量连续时间Fourier变换尺度变换性质证明综合上述两种情况因为尺度变换性质证明综合上述两种情况因为五．时移特性幅度频谱无变化，只影响相位频谱，时移加尺度变换五．时移特性幅度频谱无变化，只影响相位频谱，时移加尺度变换时移加尺度变换证明时移加尺度变换证明例3-7-4（时移性质）求图(a)所示三脉冲信号的频谱。解：

例3-7-4（时移性质）求图(a)所示三脉冲信号的因为脉冲个数增多，频谱包络不变，带宽不变。因为脉冲个数增多，频谱例3-7-5方法一：先标度变换，再时延方法二：先时延再标度变换相同例3-7-5方法一：先标度变换，再时延方法二：先2．证明

1．性质

六．频移特性2．证明1．性质六．频移特性3．说明4．应用通信中调制与解调，频分复用。3．说明4．应用通信中调制与解调，频分复用。例3-7-6已知矩形调幅信号

解：因为例3-7-6已知矩形调幅信号解：因为频谱图频谱图七．微分性质时域微分性质频域微分性质或七．微分性质时域微分性质或1．时域微分注意1．时域微分注意注意如果f(t)中有确定的直流分量，应先取出单独求傅里叶变换，余下部分再用微分性质。注意如果f(t)中有确定的直流分量，应先取出单独求时域微分性质证明即时域微分性质证明即求三角函数的频谱密度函数．例3-7-7求三角函数的频谱密度函数．例3-7-7分析X分析X第163

页解X第65页解X2．频域微分性质或推广2．频域微分性质或推广例3-7-8解：例3-7-8解：例3-7-9解：例3-7-9解：八．时域积分性质也可以记作：八．时域积分性质也可以记作：时域积分性质证明变上限积分用带时移的单位阶跃的无限积分表示，成为交换积分顺序，即先求时移的单位阶跃信号的傅里叶变换时域积分性质证明变上限积分用带时移的单位阶跃的无限连续时间Fourier变换九、帕斯瓦尔定理改变一下积分次序，有帕斯瓦尔定理表明了时域和频域总能量的积分在数值上的关系。有时候可以用来解决一些问题。该式称为帕斯瓦尔定理。现证明如下:设x(t)和X(jw)是一对Fourier变换，则得:九、帕斯瓦尔定理改变一下积分次序，有帕斯瓦尔定理表明了4.4卷积性质在第3章已经知道，如果一个周期信号用一个Fourier级数来表示，也就是按(3.38)式：作为成谐波关系的复指数信号的线性组合来表示，那么，一个LTI系统对这个输入的响应也能够用一个Fourier级数来表示。因为复指数信号是LTI系统的特征函数，所以输出的Fourier级数系数是输入的那些系数乘以对应谐波频率上的系统频率响应的值。现将这一结论推广到非周期信号去。4.4卷积性质在第3章已经知道，如果一个周期信号用一个Fo卷积定理时域卷积定理时域卷积对应频域频谱密度函数乘积。卷积定理揭示了时间域与频率域的运算关系，在通信系统和信号处理研究领域中得到大量应用。例如：在频繁选择性滤波中，可以对限制相关频率的过滤通过。卷积定理时域卷积定理时域卷积对应频域频谱密度函数乘积。卷积定H(jw)=0消除或衰减掉H(jw)=1通过H(jw)=0消除或衰减掉H(jw)=1通过4.4.1举例例4.184.4.1举例例4.18连续时间Fourier变换4.5相乘性质频域卷积定理卷积定理揭示了时间域与频率域的运算关系，在通信系统和信号处理研究领域中得到大量应用。4.5相乘性质频域卷积定理卷积定理揭示了时间域与频率域的运时域卷积定理的证明因此所以卷积定义交换积分次序时移性质时域卷积定理的证明因此所以卷积交换积分次序时移一个信号去乘另外一个信号可以理解为用一个信号去调制,另一个信号的振幅，因此两个信号相乘又称幅度调制，