大连理工大学2000-2017年数学分析真题

大连理工大学2000年数学分析真题 2大连理工大学2001年数学分析真题 4大连理工大学2002年数学分析真题 6大连理工大学2003年数学分析真题 8大连理工大学2004年数学分析真题 10大连理工大学2005年数学分析真题 12大连理工大学2006年数学分析真题 14大连理工大学2008年数学分析真题 16大连理工大学2009年数学分析真题 18大连理工大学2010年数学分析真题 20大连理工大学年数学分析真题 22大连理工大学2013年数学分析真题 24大连理工大学2014年数学分析真题 25大连理工大学2015年数学分析真题 28大连理工大学2016年数学分析真意 30大连理工大学2017年数学分析真题 32大连理工大学2000年数学分析真题一.从以下的第一到第八题中选取6题解答，每题10分证明：f1于区间x

（其中0<0

<1）一致连续，但是于（0,1）内不一致连续。f于[a，b]fx于[a，b]内Riemann可积。证明：Dirichlet函数：0,x为无理数fx1

,x

p有理数在所有无理点连续，在有理点间断。q q4.证明：若fb，（指（a，b）b，fxdx0fx，xa,b。5.n1

nenx于（0,+∞）不一致收敛，但是对于0，于,一致收敛。6.f6.fx

sinx,x0，在x0处有连续的二阶导数。1,x01a,b,c的椭球体的体积。计算第二类曲面积分：xdydzydzdxzdxdy ，其中， 是三角形x,y,z0，xyz1，法方向与x,y,z轴成锐角为正。假设liman

a，证明liman

a2a na1 2 n2

a。2nIS

nx3dydzy3dzdxz3dxdy，S为椭球面

x2a2

y2z2b2 c2

1的外侧。12.设x0，n

C，1n

n

在0gxClim1n

gxn

xg013.证明：一个严格递增函数的间断点只能是第一类间断点14.fx,y于,a,bIyfx,ydxya,bfx,bdx发 散，证明，Iy于ya,b非一致收敛。大连理工大学2001年数学分析真题数学分析试题一.从以下的1到8题中选答6题fxx2在区间[0，M内一致连续（M为任意正数，但是在[0,+∞不一致连续f在[a,b]fx在[a,b]Riemann可积。>，那么广义积分

sinxdx收敛1fgx为区间(a,b)上的连续函数，对任意的b有：fxdxgxdxfxgx于(a,b) 证明：若

a 收敛，那么n

aenx在[0,∞)一致收敛nn1 n16.fxex,x0f0,x07.ux,tatat1

xatd2

xat

2ux,t

2ux,t其中，和分别是可以求导一次和求导两次的已知函数，计算 a2t2 x2R的球的表面积二.从9到14题中选取6题limf0，求证

fx0x

x xfxdx10.fxdxa

收敛，且limfx，那么0xIS

x3dydzy3dzdxz3dxdy，S

x2a2

y2b2

z21的c2外侧12.ff1Snxf1的正数，在区间一致收敛，但是不在(0,1)一致收敛13.f0f1lim1fn0n014.证明：若u

xCa,b，n,,,且n

ubn

ux不在[a,b)一致nn1 n1收敛大连理工大学2002年数学分析真题一.（60分）从以下8题中选答6题，每题6分。1.f，且limff在上一致连续。x2.证明： fx1 在上一致连续（ 为<1x（0,1]内不一致连续。

的任何正数），但在讨论级数 1nln

的敛散性。n2证明：若正项级数

x 收敛，则n

x2也收敛，反之不然。nn1 n1limx11。x0

x0Riemannx的极限为零。0证明函数列Sn

x

x ，n于,一致收敛。1n2x2证明函数列Sn

x

nx1n2x2

，n于,非一致收敛。f于,f0f必为常数。fx0,有定义，limfA，且对任何x0f2xf，证明xfxA。f于[a,+∞)Ifuxdx于u,上一致连续。aflimf

1xftdt。x

xx0fxlim1xftdtlim

fx。xx0

x计算第二型曲面积分Ix2dydzy2dzdxz2dxdy ，S

为球面Sxa2yb2zc2R2的外侧。大连理工大学2003年数学分析真题一.（100分）以下各题为必答题，每题10分。设n

n

都是有界数列，证明limxnn

limynn

limn

yn叙述下列极限的柯西收敛原理（1）limxa

fx（2）limfxxfxsinx在,gxsinx2在,上不一致连续。1fxex2x0，证明：对任何自然数nf0。,x0f在,limfA，证明limfA。x n设正项级数

a r>n

ar收敛。逆命题成立否？nn1 n1f在[a,+∞)上一致连续，且广义积分flimf0。a x证明：函数列f n

x1xxnn,,在[0,1]上一致收敛到0，但函数列g x1x n

1,2,在[0,1]上非一致收敛。fxx2在[0，上展开为正弦级数。

fa,b是不全为零的实数。x2y21二.（50分）从以下11-20题中选答5题，每题10分。xnn,,limxn n

0。证明：存在无数多个下标n，使对所有自然数k，都有x x 。n nk设C是一跳无重点，逐段光滑的闭曲线且坐标原点在闭曲线的内部。计算积分 xdyydx。C x2y2设fyxy0,y0。问lim fy是否存在。x,y0,0fyzaxy2bxycz2在x轴正向的方向导数取最大值64.15.设fx在[0,1]上可微，f00，且fxfx。证明：fx0，x0,1。16f在区间(a,b)f

x 1f在n f n f n n (a,b)中内闭一致收敛于fx。17.设fx在[a,b]上连续，gx在[a,b]上可积，且fx>0，证明limb

fnxgxdxnmaxfx。na

1 118.已知x2

。计算积分

x2cos 。e dx0 2

e xdx019Dxy0x,0y，并且函数gxyax2bxycy2dxdy（a,b,c,d是常数DgxyyDyDgxy0。20.设幂级数

n0

axn的收敛半径R<+∞，且在开区间n

上一致收敛。证明它在R,R上也一致收敛。大连理工大学2004年数学分析真题叙述数列发散的定义，并证明数列发散。设fx在[a，b]上连续，对xb，定义inf f证明：mx在[a，b]上连atx续。fx,上可导，且limflimfA。证明：存在一点，使得x xf0。

f

在(0,1]

limx0

3x2

x在(0,1]上一致连续。设

，且有

a

n1

收敛。a n

limnan

1c0

1 an求级数n1

nn2n1的和。2n

n1 n17.f在[0,1]ffminf1。证明：存在2f4。证明：对于任意a>0，广义积分x 关于 一致收敛。e sintdx0

t0,设二元函数fyd上连续，函数列在[a,b]上一致收敛，且nab，函数列 在[a,b]上一致收敛，且cxd，求证：函数列n n nf在[a,b]上一致收敛。n nfx在[0,1]x1limn

xnfxdxf1。n 0Aaij

axx ，求的体积。iji ji,j1AaRnhxij

axx hx在条件iji jnxii1

1A的最小特征值。

i,j1y13.计算积分：2y

z2

2

x2

2

y2

xyz

3和立方体2z x 0xa,0yb,0ccxyz x

3处看为逆时针方向。2假设函数un

x在[a，b上上可导，级数

uxxn

a,b

ux在[a，b]nn1

n1 n1x在[a，b]上一致收敛。nfx分别展开为正弦级数和余弦级数。大连理工大学2005年数学分析真题一.计算题1求极限：lima1n

2a na2 n2

，其中liman

a。limex11x2 x

x3、证明区间(0,1)和(0，+∞)具有相同的势。计算积分D

1 dxdyDxyyx围成的区域。y2xI

ydxxdy，C：x

22y21方向为逆时针。C x2y26.a>0,b>0，证明a1b1ab。 b1

b x2y ,y x 二.设fy x

，讨论函数的连续性和可微性。y

0,0三.设fx在(a,b)内二次可微，求证：a,b，满足f2fabf

f 2 4四.fR上二次可导，0

R，fx0

0，limfx0，limfx0，证明：fx在Rx x上恰有两个零点。.n0

n。3n1 .讨论函数项级数xn2en2xn1

n2en2x

在(0,1)和(1，+∞)的一致收敛性。.计算x2dydzy2dzdxz2dxdy，其中z2x2y2z=0，z=2所截部分的外侧。八.设fx在[0,1]上单调增加，f00，f11，证明0,1，使得f3。.fx在[0，∞xdx绝对收敛，证明：0 limnfxxdxf0xdx n0 n 0.计算x2dydzy2dzdxz2dxdy，其中z2x2y2z=0，z=2所截部分的外侧。十一.f在[0,1]f1，证明f3fx在[0，∞xdx绝对收敛，证明：0 limnfxxdxf0xdx n0 n 0十三.证明：下极限liminf

ln1an

1时，级数a

收敛；上极限

n lnnln1anlimln1ann lnn

nn1时，级数ann1

发散；大连理工大学2006年数学分析真题一.每小题5分。利用定积分的定义求极限lim 1

1 1nn1 n2 2n计算limx1，其中[a]表示不超过a的最大整数x x3.fxarcsinx2f30设函数uvy满足xuyv0，求和yuxv1 fx1x=0Taylor级数n1x2 n

n1

n1

xn的收敛范围fxxxfx展成正弦级数x试证曲面 x于a计算积分1x

a0上任意点处的切平面在各坐标轴上的截距之和等yzxsinyyzdy0 x y)sin 10.设f 1 )sin 1x x

a0为任意正数，证明fx在[0，+∞)上一致连续二.（10分f在[0,c]ff00ababc有fabfafb三.（10分）设fx定义于[a,b]上且有第一类间断点，证明fx在[a,b]上有界四.（10分）fyax22bxycy2fyx2y21上的最大值和最小值b2ac0,a,b,c0.（10分）f在[0,1]上可导且0x,f00，试证：[1fxdx]21fx3dx0 0六.（15分）设函数f在[0,∞]上连续，积分I

，当 和

时都收I关于在区间[a,b]上一致收敛

t ftdt0

a b

七.（15分）计算曲面积分

3xy

dydz

2ycoszx12dzdx3zexy12dxdy，其S中S是曲面xyzyzxzxy1的外表面八.（15 分）设函数fy,z在点,y,z附近二次连续可微，且0 0 0fx,y,zx 0 0

2x2

fx0

,y,z0

0z0 0

的领域V，使得对任意的zVxfyzx的一个极小值点0九.（15分）设函数列在[a，b]M>0n和nxb，有k1

axM成立，证明：如果级数kn1

ax在[a,b]收敛，则必一致收敛n大连理工大学2008年数学分析真题一.1.a0，x0

n

1(x2

n1

axn1

a)，证明：limx 。an n

1lim(cos

x2。x xfxlimxn1的连续性。nxn1，讨论广义积分xsinxdx的敛散性。0 x1005.已知fx,yxy，00，uu2，求证：fx,y在(0,0)点可微。fxx2在[0，+∞)上非一致连续。 x2y2 xy

,x2y20

2f

2f f

x,

x2y2

，求 0,0，

0,0。x2y2

xy yx8.（1）x1x2x0。22）由（1lim1n

1n2

2)(1n2

n)，n2。n2f在[a,b](a,b)上可导，baf,a,b，fabf。2fx在,Fourier不是整数。二.fx在[a,b]上有定上有定义任意取值有只有两点共同取得，则fx在[a,b]上不连续。三.数列b

0，且ab

lima

a

0。n nnn1

n 1 2 n n四.an

单调递减，且ann1

sinnx在,limnan n

0。五0

arctanx （1）的定义域为,2（2）在,2上连 x2 续。x2y2sinxy0（1）(0,0yyxy00（2）x=0取得极大值。 七.fyzlnx2lny3lnzS：x2y2z26r a3b3c3108a3b3c3。八.求解

xz

dydz

yx2

z2dzdx

2xyy2

z

z

a2a2x2y2S正方向与z轴成锐角。九.在有限区间，对xIfIfx n x n在[a,b]上一致收敛。十.fMmaxf

a

fx

，求证：bfxdxba(y0ya n 2

n1yii1

i n i i。ba3。) M12n2十一.f在区间[0,1](0,1)fk1 2

,,kn

是n个正x

,,x

，使得n k nk。1 2 n

i i

fxi

ii1大连理工大学2009年数学分析真题一.解答下列问题。a

11

1

1，判断

是否收敛。n设n

22 33 nnlimnalimnan

n1n

n 1 2

1。limnlimnaa afxencosx

0,1设uf(xy,y

2u

2u。x x2

xyflimxfafx。xa xa6.f在[a,b]ffbff。2 求极限lim xn xlnx2x xFouriorfxx x9.f3x21在,上的极值。10.Vxyz0xyz1所围成的区域，求z2dxdydz。V完成下列各题二.设定义在,上的f满足：对任意的x,0，使得0ffx IfxI上是一个常数。0 0 0.fx在(a,+∞)有界连续，证明：对任意 T，存在x，x ,n，使得n nlimfn

Tfn

0。四.设f[a,b]ffba

f2xdx1，证明bfx2dxbx2f2xdx1。 4a a 五.f在(a,+∞)

n

dxxfn1

a收n收an1

1fn1

收敛。六.fx均在[a,b)上有原函数，且在[a,b)上一致收敛于fx，证明：fx在[a,b)上也n有原函数。七.f，若1

x2n1ffx是偶函数。.a>b>，证明ab

bab。九.a>0acb20，求椭圆ax22bxycy21的长、短轴。

x2y2z22ax十.I

y2z2dxz2x2dyx2y2

dz，: ，zba，从(b,0,0)看是顺时针方向。sin1

x2y

2bx十一. 证明1 xdx在0p2非一致收敛，但在0p2一致收敛，为正常0 xp数。大连理工大学2010年数学分析真题一.计算题（共50分，每小题10分）x2( 4x2( 4x22)x0

x2sin2x 。2.fx2xxeddtfx,fx。x tI1xb

xdx，b1。0 lnx求级数n1

nxn的和。5.设a0,b1(ab

1(x b，求极限limx。1 2

n1 2 n xn

n n二.证明题（共20分，每小题10分）x0，证明xarctanx。1xfx在[a,b]上连续，证明若ba

f2xdx0，则fx0,xa,b。三.（15分）讨论sinxydx关于y在所定义区间上的一致收敛性：0 x1）[a,b]（0<a<b<∞； （2）(，∞)四分）

xyx2y2x2y2

,x2y20

在(0,0)处的连续性、可偏导性和可微性。

0 x2y20五.（13分）

x y( , ) z z

，其中F的偏导数连续，求z,z。六.（13分）若

及

0xnyn

xy2。n 1 x

0,y

2 2 七.（13分）求球面x2y2z250与锥面x2y2z2所截出的曲线在点(3,4,5)处的切线与法平面方程。八分）计算

x3dydz

y3dzdxz3dxdy

，其中为上半椭球面

x2a2

y2b2

z21，定c2向取上侧。大连理工大学2011年数学分析真题一.解答下列各题（每小题6分，共60分）1.求极限 1 1 。limxxx0 an2n2.aa 1，nan2n

1。1 n1 n an

n0eIe0

x2cosbxdx，其中I。2x0x

x3sinxx

x3

x5。6 6 120fy2x4y42x22y2的所有极值点。设afxnn1

aenx，x0f在(0，+∞)上连续可微。nfgxy满足

，

g

2fg2fg0。x2 y2fxsinxxfxFourier级数。计算I1dy1 y

dx。0 y 1x3证明fxx3在x0处三阶导数不存在。10分二.设

f

0

，且在[0,1]上连续，证明：

limn

maxni1ni1fininn

x。三.数列单调递减趋于0，且存在常数M，使得对任意的n，有n

nk

aM，k n求证n1

a 收敛。n四.（10分）f在[0,1]xfxf3。

fx2。证明：.fx在[0,1]上连续且单调递增，函数gxgxdx收敛，求证：0 xlim1fxgpxdxf0gxdx。p0 x 0 x.fx[a,b]a

g0gxbfxgxdx0fx恒为常数。a七.x2y1x22y2z21的交线上离原点最近的点。八.zzx,y满足

2z2

(2

)2zyyxz的函数，则2y2y 2y

x2y2

xyx2z2

)2。xz九.ILx2y2R2xzL a h的交线，从x轴正向看去为反时针方向。

1a0,h0大连理工大学2013年数学分析真题一.解答下列各题（每小题6分）设a1

n1

a21n2

，n

lima。n nf在[a,b](a,b)ff0。求证：对任意的aR，存在bfaf。设an

n n!

,2。判断级数n1

a的敛散性。n4.Dyxyxy，计算二重积分exy。Dfx0x展开为正弦级数。fycosxyR2上是否一致连续，证明你的结论。

n0

nxnxx2x2y2

的和函数。fyR2lim(x

y

)a0，其中r

fyR2上有最小值。

r

fxx0fx在任何其他点不连续。10.fx是[0,1]ff0a在点ffa。以下各题每题10分x)二.证明不等式x)

11

x，x0。xe2三.设f在[0,1]上二阶连续可微，且 f时，若f0，求证：xe21xfxdx21fxdx。0 30四.利用含参变量的积分求

I

arctanatanx。2 dx。0 tanx五.f在f10f3。六.设fy在R2上连续可微且f0求证存在单射g:R2使得f gye是常函数。七.计算e

sin

3y

ydx

xsiny

y4

L

sinx，0x

，方向是A(0,0B,0)八.fyza2x2

b2y2

c2z

ax2

by2

2 x2

y

z

1下的最值，其2中a>b>c>02 .fxn0

sin2nxn!

在,ff。十.设无穷积分f0

limx

0x

0。大连理工大学2014年数学分析真题一.解答下列各题（每题6分，共60分）令bn

a aqa0 1

qn，其中1

n0

是有界数列，0<q<1。证明n

收敛。xx0

时

1o2。122dy计算2dy0

cosx。2 dx。y xflimx

fx0fx2nR上有最小值。x2nfxlnx

x0处展开为幂级数。11x26.fyx2 6.fyx2 y

ff在原点不可x2y20微。x xfx0,x0x xf是非负递减函数，且fxfo1。1 x设曲线xetcostyetsint,0t，求曲线的弧长。计算x3dydzy3dzdxz3dxdyx2y2z2R2，方向朝外。二.L0ffyLxyxya,a>0f上一致连续。

x

在三.f在f

xftdt,x0时，求证：fx0。0四.fx0连续，且limx0

ff0f0。x五.fxx0

点有n+1fn1x0

0fxx0

点做Taylor展开有

f

h 1fx hfx0

fx0

h

0 n hn，其中0

1limn n

n1。.fx在[0,1]fx1f0f1fxdx0。证明：对任意的0正整数n，有nk0

f( )1。kn 2k七.

a n

bn1

blimbn n

0。证明：级数n1

n1 n1ab收敛。nn八.试求

f

x2

2

2在闭区域

D x,yx2

2xy3y

6上的最大值和最小值。.xesinxsin2xdx关于在,上收敛，但不是一致收敛。1.fxn1enxfxx0x0上连续可微。nn1大连理工大学2015年数学分析真题一.解答下列各题（每题6分，共60分）。求lim1(sinsin

sin。nn n n nlimxaaxxa xa

a0。21sin2

1dx

cos

dx。0 1x2 0 1x2fxcos1在上是否一致连续？说明你的理由。x5. f在[0,1]f,f1，证明：存在f2。 xyx2y2x2y2

,x2y20

f f

x,y

，求 x,y,

x,y。x2y2

x 设

x2

的Fourier级数，并由此求级数 1

的和。fx ，x fxn 2 n

2n1求积分xdxdyDxypxypqxayxab所围yD成。求心形线rcos0所围图形的面积。10.若

u vn

，n，则

uv是否一定收敛？说明你的理由。nnn1 n1以下各题每题10分。二.f在[0,1](0,1)f0ff。fx0x。三.f在[2+∞上连续可微，fx单调递增，且limf，求证：xcosfdx收敛。2四.f在2f。证明lim2fnxdx1。0 2 n0五.fn

x

xn1x2n

nn

在和上的一致收敛性，其中01为常数。六.F1eut0 t

sintdtF在[0,+∞)(0,+∞)F的表达式。七.求x2y22yyz(0,1,0)向看去，L为逆时针方向。八.椭球面x2a2

y2b2

z21在第一象限中某点的切平面与坐标平面围成一个四面体，c2n求四面体体积的最小值。n九.

n

nea

na eb，ann

0

ann1

收敛，则nb 收敛。nan1 n大连理工大学2016年数学分析真题一.解答下列各题（每题6分，共60分）。1.求极限lim1n1。nnlimxsintdt。x0f为[a,b]fab

1 bfxdxfafb2 baa 211cosax,x0x确定a,b的值，使得函数fx x0 在,1 导数。

lnbx2,x0xfx在闭区间[a,b]

1fthftdtfxfa，其中axb。,x0

h0h0把函数fx 4

Fourier

1111。 4 3 5 74,0xfx在[a,+∞上一致连续，且fxdxlimfx0。fxsin3xx6

a处展开成幂级数。

xx2y2R2x2z2R2公共部分的表面积与体积。若存在C，使得x2

x x1

xx2

xn1