大连市第十五-十八届高等数学竞赛试题(理工科)

PAGEPAGE10）一、填空题（本大题共10小题，每小题2分，总计20分）1．已知y2tanx，则dy 2．20

2xx2dx 3．x1t2，则d2y ycost

d2x1设f(x) 1ex ，则x0为f(x)的 124ex

型间断点。函数yyx)2y32y22xyx21yyx)的驻点为幂级数n0

axn在x2处条件收敛，则此级数的收敛半径为 n2L:x2y2

1

xdy4ydx 4 xL

y2曲线yex2的凸区间为 xt,yt2,zt3x2yz4平行的切线只有 条x2y2．2dxx2y2

)dy化为极坐标系下的先对后对的二次积分为0 3x（8分）已知limx0

e3x1

2，求lim f(x).1f1f(x)sin2x1（9分fx)在区间))fx)以T为fx)的周期为Tf(0)f(T)。（8分fx)x1

t|t|dtx1)fx)x轴所围成的封闭图形D的SDx轴旋转一周所成的旋转体的体积V。（9分fx,y)x22y2x2y2Dx,y)|x2y24,y0上的最大值和最小值。（本题8分）通过xeuyev

,变换方程z22x2 x2

z2 yxy

2 0y2七（本题10分）设u 1,u 2,n3时，u u u 。求证：1 2 n n1 n2八（本题8 分）求下列曲面积分

n（1）3uu 2u；（2）（1）3uu 2u；（2）1收敛。2n1nn1n1u

(x2(x2y2z2)3zy0

1x1x2（10分）fx)在ab上连续,且单调增加,求证:bxf(x)dxaba 2 a

f(x)dx。（10分fx)在abab)内二阶可导,fa)f(b)，f'(a)f

'(b)0

，试证：在ab内至少存在一点f)=0。）一、填空题（本大题共10小题，每小题2分，总计20分）1函数ye3x31的值域为 1设f(x)是连续函数，且f(x)x2limf(x)，则f(x) x1ddx

0x2x2

cost3dt f(x)(x2x)tan2

x的第一类间断点为x 5y5x 9

5(x1)3的凹区间是 _6．设为球面xa2(yb2(zc2R2R0的外侧，则曲面积分xdydz

ydzdx zdxdy 设xf(x)dxarcsin xC，则

1f(x

dxb设b

为非零向量，夹角为4

，且b

axbaxbx0 x若f(x)limxt

)2tx，则f(x) 1t1使二重积分(44x2y2)d达到最大的平面区域D为 D（9分）fx)在区间aaa0上连续，证明aa

f(x)dxf(x)f(x)]dx；0利用（1）的结论，计算定积分

sin

xdx。（8分已知极限lim

n2009

1ex4是不为零的有限数，试求以及极限值。nn

(n1)（8分）求函数zx4y4x22xyy2的极值。（9分设ux,y),vx,yD:x2y22x2y上具有连续的偏导数，D的边界曲线C上ux,y)xvx,y)y，求uu)v(v

v)u]dxdy 。x yD

x y六（本题8分计算 (x2z2)dv其中是球面x2y2(zR)2R2（R0）所包围的区域。（本题10分）（xtanx在(0,)内的有无穷多个可由小到大排列的正根x x1 2

xn

（2）级数 1x2n1 n

收敛。（8分）求闭曲线x2y23x4y4D的面积。xueuv（本题10分）设以uv为参数的方程组

yuv

zfx,y)，求 zeuvzfx,y)在uv1处的切平面和法线方程。（10分fx)x0limx0

f(2x)f(x)x

Af(0存在，且f(0)A。）（一、填空题（共10小题，每题2分，共20分）极限limex0

esinx3

；积分x2x22xx22x

(xcosx)2dx；

arctan

lnx2x22

y

；fx)有一个原函数为sinx

，则cosxcosx

xf'(x)dx；1xarcsin x5.x0x)kx2与1xarcsin x

是等价无穷小则k= ；n1

(x2)2n的收敛域；n4nx2y2z2R2设是 一周(R0)，其线密度为1，则其关于z轴的转动惯量 xyz0I= ；

( )x3

的可去间断点的个数为 ；xsinxx设zz(x,y) 由方程x；

2 y

3z2

x

确定，则z(x,y) 的驻点积分xx6

1dx；1（9分）fx)在(0,上有定义，fx)x1f(1)4x1

0,x2

0，有f(xx12

)x1

f(x2

)x2

f(x1

)fx)在(0,)fx)。（8分）设正值序列{xn

}满足lnxn

1 1，xn1证明：limxn

存在，并求其值。（8分）Lx2y21I（9分）

xdyydx Ax22BxyCy2L

，(A0,ACB20)。设f(x)在[0,1]连续，且f(x)0，证明：ln1f(x)dx1lnf(x)dx。00（8分）yfx)是区间[0,1]上任一正值连续函数。x0

(0,1)[0,x0

]上以f(x0

)为高的矩形面积等于在区间[x0

,1]上以yf(x)为曲边的曲边梯形面积。fx)区间[0,1]上单调增加，试证（1）x0（10分）

是唯一的。fx,y)ax22bxycy2x2y21上的最大值，最小值，其中abc0,b2ac0。（8分）设级数

(a a )收敛，n n1

b 绝对收敛，证明：n

ab 绝对收敛。nnn1 n1 n1（10分）fx,yD{0x1,0y1}上有四阶连续的偏导数，fx,y)D的边界上恒2fx2y2为2fx2y2D

f(x

y)

1 。48（本题10分）设fx)0，它在区间ab]上的任一子区间上不恒为0，且在ab]上二阶可导，fx)0fx)0在ab上最多只有一个根。大连市第十六届高等数学竞赛理工科一、填空（5*2=10分）设函数fx)x0点连续，且limx0

f(2x3x

1yfx在(0,f(0处的切线方程为 。设f(x

3xetdt2且yf(x)的反函数是yg(x)则g(2) 。0若函数 f( x

在区域

D: 0 x 1 ,0 连续，且f( x, y) d x dy,ff(x,)dxdy 。Dyx/2

Dcostdt的全长为 。z

f(xy,

yx

有二阶连续偏导数，则xy

= 。二、选择题（5*2=10分）

f(x

x3x)sinx

，则其（）有无穷多个第一类间断点 B.只有一个可去间断点C.有两个跳跃间断点 D.有三个可去间断点a 1naa 1na结论：a.ann1

收敛，则

(1)nann1a a 1na

收敛；b.若n

1收敛，则a 发nn1c.

1收敛，则an

收敛；d..若a2n

收敛，则a

3收敛，nn其中正确的个数是（）A.1 B.2 C.3

n1

n1 n13（1）f在x,y0 0连续（）

)（）f(x,y0

)xx0

（3）f(x0

,y)关于y在y0或（3）满足时（1）成立 成立时（2）或（3）中至多一个成C. （2）与（3）均满足时（1）成立 D.（1）成立时（2）与（3）均成立fx)在abfx)在ab上（）有界 B.有有限个间断点 C.单调 D.连续yx

2arctan x的渐近线有（ ）一条 B.二条 C.三条 D.四条三、（10分）ylnxylnxx轴围成平面图形D，（1）求D的面积A （2）求D绕直线xe旋转一周所得旋转体的体积。四、（10分fx)1x零点，当n为偶数时无零点。

x2 x3 (1)2 3

xn ，当n为奇数时恰有一个nfx)具有一阶连续导数，计算曲线积分fxsinydx[fxcosyx]dy，其CCA(2,2沿圆周x1)2(y212B(0,0)。R2x2y2六、（10分）R2x2y2

的底面接上一个相同材料的柱体hz0,x

y

R2h0)，为使整个立体h为多少？并求该立体关于z轴的转动惯量。七、（10分（10分）设在[1,1]上的连续函数f(x)满足如下条件：对[1,1]上的任意连续偶函数g(x)，积分11

fxgxdx0fx)是1,1]上的奇函数。八、（10分设yf(x)在(0,1)内具有二阶连续导数且f(x)0求证（1对于(0,1)内任一点x0存在唯一的(x)(0,1)使f(x)f(0)xf((x)x)成立令f(x)arctan x，求当x0时(x)的极限值。九、（10 分）设函数f(x) 有连续的二阶导数，且满足关系式x

x

3 x[f2(x)

1,

x0时，f(x)

1x22

不能再换为较小的数。十、（10分）已知x

1,x

1 ,x

1 ,,x

1 ,，求证（1）数列0 1 x34 0

x341

n1

x34nx （2）n

axn

4x10的唯一正根。大连市第十五届大学生高等数学竞赛题（一、填空题（2分*5=10分）设yln(1x2)，则函数图形的凸区间为 。xlnt

d2ydx2

e2xy0简化为 。积分21n21n2n2

(x1) 4xx2dx= 。1n212n212n222n

1

= 。无穷级数 n2n!n1

的和为 。二、选择题（5*2分=10分）1. 若f(x)f(x),(x)(,0)内f(x)0,f(x)0，则f(x)在(,0)内（）f(x)0,f(x)0；B. f(x)0,f(x)0；C. f(x)0,f(x)0；D. f(x)0,f(x)0fx)yfx在点x,fx))y2x垂直，0 0则当x0时，该函数在xx 处的微分dy是（）0与x同阶但非等价的无穷小；与等价的无穷小；比x高阶的无穷小；比x低阶的无穷小。 I1

2sin(sin x)dx,I0

2cos(sin xdx，则（）0I1

1I2

1I1

I I2

1I1

；D. I I1

1。x2yx2y2

在点（0，0）处（）不连续；偏导数存在；C.任一方向的方向导数存在；D.可微。5. 若

a ,n

b 发散，则（ ）nn1 n1(ann1

b)发散；B.nn1

(a bn

)发散；C.n1

(abn

)发散；D.n1

(a2n

b2