第十三轴的强度与应力课件

1扭轉的意義在上一章我們已說明了樑的定義，本章將針對軸詳加討論之。一根細長的構件，當其一端固定，另一端承受扭轉力矩作用，或是其兩端同時承受大小相等，方向相反之扭轉力矩作用時，則此細長構件稱為軸（Shaft），而扭轉力矩簡稱為扭矩（Torque）。如圖13-1(a)所示，當我們使用螺絲起子旋緊或拆卸一根螺絲時，我們所施於螺絲起子的作用即為扭矩，而螺絲起子之金屬桿即為軸。如圖13-1(b)所示，為一馬達帶動一轉軸旋轉，此軸即承受扭矩之作用。13-1扭轉的意義1扭轉的意義在上一章我們已說明了樑的定義，本章將針對軸詳加1我們在研究軸的強度與應力時，均假設其所承受之扭矩為純扭矩，即此軸除了承受扭矩之外，不得有其他之負荷加諸於其上（如彎曲力矩），稱為純扭矩。13-1扭轉的意義我們在研究軸的強度與應力時，均假設其所承受之扭矩為純扭矩，即2在分析軸之純扭矩負荷時，尚須符合下列假設條件：（1）軸之材料須為均勻材質。（2）扭矩之作用面須與軸線垂直，不得傾斜。（3）軸承受扭矩負荷後，軸不可發生彎曲現象。（4）軸承受扭矩負荷後，軸之長度不可發生變化。（5）軸扭轉時所產生的應力與應變，須符合虎克定律。（6）軸扭轉後，其斷面仍保持平面，且直徑保持直線而不彎曲。13-1扭轉的意義在分析軸之純扭矩負荷時，尚須符合下列假設條件：13-1扭轉313-1扭轉的意義13-1扭轉的意義413-1扭轉的意義13-1扭轉的意義5由上式可知，在同一圓軸上，半徑愈大處，其剪應力愈大。即圓軸承受一扭矩作用後，其在圓軸表面上之剪應力最大，而在軸線上的剪應力為零。13-1扭轉的意義由上式可知，在同一圓軸上，半徑愈大處，其剪應力愈大。即圓軸承6如圖13-3所示，為圓軸之橫截面，則在此橫截面上的所承受之扭矩，即為此截面上各微小面積上的內力對軸心所產生的扭矩和，即：13-1扭轉的意義如圖13-3所示，為圓軸之橫截面，則在此橫截面上的所承受之713-1扭轉的意義13-1扭轉的意義813-1扭轉的意義13-1扭轉的意義9而空心圓軸之極截面係數為：13-1扭轉的意義而空心圓軸之極截面係數為：13-1扭轉的意義10則空心圓軸之最大剪應力為：13-1扭轉的意義則空心圓軸之最大剪應力為：13-1扭轉的意義11軸承受純扭矩作用時，其破壞應力為張應力。如鑄鐵、石材、混凝土等脆性材料承受扭矩作用時，因張應力之作用面為材料之破壞面，故其破裂角度必與圓柱之軸線成45°角，如圖13-5(a)所示。而剪應力之作用面則為垂直軸線之橫切面。如圖13-5(b)所示，為粉筆承受扭矩作用後之破裂情形。由圖13-5(b)所示中可知，在粉筆表面的每一個微小面積，均承受等值之張應力與壓應力作用，且因破裂角度沿張應力之方向破壞，並使其破裂角度與軸線成45°破壞。13-1扭轉的意義軸承受純扭矩作用時，其破壞應力為張應力。如鑄鐵、石材、混凝土1213-1扭轉的意義13-1扭轉的意義1313-1扭轉的意義13-1扭轉的意義1413-1扭轉的意義13-1扭轉的意義1513-1扭轉的意義13-1扭轉的意義1613-1扭轉的意義13-1扭轉的意義1713-1扭轉的意義13-1扭轉的意義1813-1扭轉的意義13-1扭轉的意義1913-2扭轉角的計算13-2扭轉角的計算20扭轉角的單位為弧度（rad），其大小與扭矩及軸長成正比，而與剪割彈性係數及極慣性矩成反比。13-2扭轉角的計算扭轉角的單位為弧度（rad），其大小與扭矩及軸長成正比，而與21剪割彈性係數G及極慣性矩J的乘積GJ，稱為扭轉剛度（TorsionalRigidity），GJ值愈大，表示材料受扭矩負荷後，愈不容易扭轉變形；反之，若GJ值愈小，表示材料受扭矩負荷後，則愈容易扭轉變形。13-2扭轉角的計算剪割彈性係數G及極慣性矩J的乘積GJ，稱為扭轉剛度（To2213-2扭轉角的計算13-2扭轉角的計算2313-2扭轉角的計算13-2扭轉角的計算2413-2扭轉角的計算13-2扭轉角的計算2513-2扭轉角的計算13-2扭轉角的計算26圓軸的功用，最主要的就是將馬達或引擎產生的動力傳達出去。如圖13-7所示，即為一馬達將其動力傳達給一齒輪之情形。上圖中，我們若在圓軸之右端觀看時，馬達產生順時針的扭矩，而齒輪因慣性的作用，因而產生逆時針之扭矩，此逆時針的扭矩必與馬達產生的扭矩大小相等。若其須將動力傳達給二個以上的齒輪時，則各齒輪所獲得之扭矩和，必等於馬達所產生的扭矩。如圖13-8所示，則：13-3動力與扭轉的關係圓軸的功用，最主要的就是將馬達或引擎產生的動力傳達出去。如圖2713-3動力與扭轉的關係13-3動力與扭轉的關係28如圖13-9所示，若馬達之扭矩傳給齒輪B及齒輪C，此時，此圓軸之總扭轉角為AB段的扭轉角與BC段的扭轉角之和，即：13-3動力與扭轉的關係如圖13-9所示，若馬達之扭矩傳給齒輪B及齒輪C，此時，2913-3動力與扭轉的關係13-3動力與扭轉的關係3013-3動力與扭轉的關係13-3動力與扭轉的關係3113-3動力與扭轉的關係13-3動力與扭轉的關係3213-3動力與扭轉的關係13-3動力與扭轉的關係3313-3動力與扭轉的關係13-3動力與扭轉的關係3413-3動力與扭轉的關係13-3動力與扭轉的關係3513-3動力與扭轉的關係13-3動力與扭轉的關係3613-4輪軸大小的計算13-4輪軸大小的計算3713-4輪軸大小的計算13-4輪軸大小的計算3813-4輪軸大小的計算13-4輪軸大小的計算3913-4輪軸大小的計算13-4輪軸大小的計算40圓軸承受扭矩作用後，其材料內部任一點之剪應力大小和該點距軸心之長度成正比，即其在圓軸表面上之剪應力最大，愈靠近軸心的剪應力就會愈小，而在軸心時的剪應力為零。因此，在軸心附近部分的材料其實對抵抗扭矩的剪應力幫助不大。所以，在工程應用上，為了減輕軸的重量及節省材料，又不會降低太多軸的強度，一般均採用空心圓軸來作為軸的材料。13-5

實心圓軸與空心圓軸的比較圓軸承受扭矩作用後，其材料內部任一點之剪應力大小和該點距軸心4113-5

實心圓軸與空心圓軸的比較13-5實心圓軸與空心圓軸的比較4213-5

實心圓軸與空心圓軸的比較13-5實心圓軸與空心圓軸的比較4313-5

實心圓軸與空心圓軸的比較13-5實心圓軸與空心圓軸的比較4413-5

實心圓軸與空心圓軸的比較13-5實心圓軸與空心圓軸的比較4513-5

實心圓軸與空心圓軸的比較13-5實心圓軸與空心圓軸的比較4613-5

實心圓軸與空心圓軸的比較13-5實心圓軸與空心圓軸的比較4713-5

實心圓軸與空心圓軸的比較13-5實心圓軸與空心圓軸的比較481扭轉的意義在上一章我們已說明了樑的定義，本章將針對軸詳加討論之。一根細長的構件，當其一端固定，另一端承受扭轉力矩作用，或是其兩端同時承受大小相等，方向相反之扭轉力矩作用時，則此細長構件稱為軸（Shaft），而扭轉力矩簡稱為扭矩（Torque）。如圖13-1(a)所示，當我們使用螺絲起子旋緊或拆卸一根螺絲時，我們所施於螺絲起子的作用即為扭矩，而螺絲起子之金屬桿即為軸。如圖13-1(b)所示，為一馬達帶動一轉軸旋轉，此軸即承受扭矩之作用。13-1扭轉的意義1扭轉的意義在上一章我們已說明了樑的定義，本章將針對軸詳加49我們在研究軸的強度與應力時，均假設其所承受之扭矩為純扭矩，即此軸除了承受扭矩之外，不得有其他之負荷加諸於其上（如彎曲力矩），稱為純扭矩。13-1扭轉的意義我們在研究軸的強度與應力時，均假設其所承受之扭矩為純扭矩，即50在分析軸之純扭矩負荷時，尚須符合下列假設條件：（1）軸之材料須為均勻材質。（2）扭矩之作用面須與軸線垂直，不得傾斜。（3）軸承受扭矩負荷後，軸不可發生彎曲現象。（4）軸承受扭矩負荷後，軸之長度不可發生變化。（5）軸扭轉時所產生的應力與應變，須符合虎克定律。（6）軸扭轉後，其斷面仍保持平面，且直徑保持直線而不彎曲。13-1扭轉的意義在分析軸之純扭矩負荷時，尚須符合下列假設條件：13-1扭轉5113-1扭轉的意義13-1扭轉的意義5213-1扭轉的意義13-1扭轉的意義53由上式可知，在同一圓軸上，半徑愈大處，其剪應力愈大。即圓軸承受一扭矩作用後，其在圓軸表面上之剪應力最大，而在軸線上的剪應力為零。13-1扭轉的意義由上式可知，在同一圓軸上，半徑愈大處，其剪應力愈大。即圓軸承54如圖13-3所示，為圓軸之橫截面，則在此橫截面上的所承受之扭矩，即為此截面上各微小面積上的內力對軸心所產生的扭矩和，即：13-1扭轉的意義如圖13-3所示，為圓軸之橫截面，則在此橫截面上的所承受之5513-1扭轉的意義13-1扭轉的意義5613-1扭轉的意義13-1扭轉的意義57而空心圓軸之極截面係數為：13-1扭轉的意義而空心圓軸之極截面係數為：13-1扭轉的意義58則空心圓軸之最大剪應力為：13-1扭轉的意義則空心圓軸之最大剪應力為：13-1扭轉的意義59軸承受純扭矩作用時，其破壞應力為張應力。如鑄鐵、石材、混凝土等脆性材料承受扭矩作用時，因張應力之作用面為材料之破壞面，故其破裂角度必與圓柱之軸線成45°角，如圖13-5(a)所示。而剪應力之作用面則為垂直軸線之橫切面。如圖13-5(b)所示，為粉筆承受扭矩作用後之破裂情形。由圖13-5(b)所示中可知，在粉筆表面的每一個微小面積，均承受等值之張應力與壓應力作用，且因破裂角度沿張應力之方向破壞，並使其破裂角度與軸線成45°破壞。13-1扭轉的意義軸承受純扭矩作用時，其破壞應力為張應力。如鑄鐵、石材、混凝土6013-1扭轉的意義13-1扭轉的意義6113-1扭轉的意義13-1扭轉的意義6213-1扭轉的意義13-1扭轉的意義6313-1扭轉的意義13-1扭轉的意義6413-1扭轉的意義13-1扭轉的意義6513-1扭轉的意義13-1扭轉的意義6613-1扭轉的意義13-1扭轉的意義6713-2扭轉角的計算13-2扭轉角的計算68扭轉角的單位為弧度（rad），其大小與扭矩及軸長成正比，而與剪割彈性係數及極慣性矩成反比。13-2扭轉角的計算扭轉角的單位為弧度（rad），其大小與扭矩及軸長成正比，而與69剪割彈性係數G及極慣性矩J的乘積GJ，稱為扭轉剛度（TorsionalRigidity），GJ值愈大，表示材料受扭矩負荷後，愈不容易扭轉變形；反之，若GJ值愈小，表示材料受扭矩負荷後，則愈容易扭轉變形。13-2扭轉角的計算剪割彈性係數G及極慣性矩J的乘積GJ，稱為扭轉剛度（To7013-2扭轉角的計算13-2扭轉角的計算7113-2扭轉角的計算13-2扭轉角的計算7213-2扭轉角的計算13-2扭轉角的計算7313-2扭轉角的計算13-2扭轉角的計算74圓軸的功用，最主要的就是將馬達或引擎產生的動力傳達出去。如圖13-7所示，即為一馬達將其動力傳達給一齒輪之情形。上圖中，我們若在圓軸之右端觀看時，馬達產生順時針的扭矩，而齒輪因慣性的作用，因而產生逆時針之扭矩，此逆時針的扭矩必與馬達產生的扭矩大小相等。若其須將動力傳達給二個以上的齒輪時，則各齒輪所獲得之扭矩和，必等於馬達所產生的扭矩。如圖13-8所示，則：13-3動力與扭轉的關係圓軸的功用，最主要的就是將馬達或引擎產生的動力傳達出去。如圖7513-3動力與扭轉的關係13-3動力與扭轉的關係76如圖13-9所示，若馬達之扭矩傳給齒輪B及齒輪C，此時，此圓軸之總扭轉角為AB段的扭轉角與BC段的扭轉角之和，即：13-3動力與扭轉的關係如圖13-9所示，若馬達之扭矩傳給齒輪B及齒輪C，此時，7713-3動力與扭轉的關係13-3動力與扭轉的關係7813-3動力與扭轉的關係13-3動力與扭轉的關係7913-3動力與扭轉的關係13-3動力與扭轉的關係8013-3動力與扭轉的關係13-3動力與扭轉的關係8113-3動力與扭轉的關係13-3動力與扭轉的關係8213-3動力與扭轉的關係13-3動力與扭轉的關係8313-3動力與扭轉的關係13-3動力與扭轉的關係8