(完整word版)2019深圳市高三数学一模试卷(理)

深圳市深圳市2019年高三年级第一次调研考试 数学(理科)试题第页共20页0200300P81368125125125TOC\o"1-5"\h\z81 36 8E0——200—300——76.8元， 10分125 125 125按照方案2奖励的总金额为：2(28260312)76.814131.2元， 11分Q方案1奖励的总金额1多于方案1奖励的总金额2,预计方案2投资较少. 12分【说明】本题以健身锻炼为背景，考查应用超几何分布、二项分布等分布列模型及分层抽样与期望等统计学和概率知识对数据进行分析处理及决策的数学建模能力，综合考查了考生应用数学模型及所学知识对数据的处理能力及建模、解模的数学应用意识 ^21.(本小题满分12分)x,a已知定义域为(0,)的函数f(x)e(x—2).(其中常数e=2.71828,是自然对

x数的底数)(1)求函数f(x)的递增区间；(2)若函数f(x)为定义域上的增函数，且 f(x1)f(x2) 4e,证明：x1x22.TOC\o"1-5"\h\z解：(1)易知f(x)e(x"x一a), 1 分x①若a0,由f(x)0解得x1,函数f(x)的递增区间为(1, ); 2分②若0a1,则x(0函面)1(1,)f(x)00f(x)Z极大值]极小值ZTOC\o"1-5"\h\z函数f(x)的递增区间为(0,后)和(1, )； 3分③若a1,则f(x)e(x11(x1)0,x

函数f（x）的递增区间为（0,）;④若a1,则x(0,1)1(1,0)/a(Ta, )f(x)00f(x)Z极大值]极小值Z函数f（x）的递增区间为（0,1）和（ja,）； 综上，若a0,f（x）的递增区间为（1,）；若0a1,f（x）的递增区间为（0,卤）和（1,）；若a1,函数f（x）的递增区间为（0,）；若a1,函数f（x）的递增区间为（0,1）和（«,）.(2)Q函数f(x)为(0,)上的增函数，TOC\o"1-5"\h\z一、x, 1一a1,即f(x)e(x—2), 6 分x注意到f(1) 2e,故f(x1)f(x2) 4e2f(1),不妨设0x11x2, 7分（法一）欲证x〔x22,只需证x22x1，只需证f（x2）f（2x1），4e,即证4ef(x1) f(2%),即证f(x)f(2x1)4e,令(x)f(x)f(2x),0x1,只需证(x) (1),2x2,(x)f(x)f(2x)e2x(x1)2[e (x )-(3^)2],x(2x)下证（x）0,即证2x2下证（x）0,即证2x2e(x1)(3x)2(2x)20,由熟知的不等式ex1x由熟知的不等式ex1x可知e2x2(ex1)2(1x1)2 x2,2x2当0x1时，即'1,

xe2x2(x1) (3x)x1(3x)x2 (2x)2 (x2)2x33x2x1一9 1(x2)210分易知当0x1时易知当0x1时，x22x10,3 2 2x33x2x1(x1)(x22x1)0,e2x2(x1) (3x)2(2x)20,11分(x)0,即(x)单调递增，即(x)(1),从而XiX22得证.12分(法二)令g(x)f(x)eX(x1)2(x1)xe(x1)eX(x1)1)(x3x22)3 ，xxe2x2(x1) (3x)2(2x)20,11分(x)0,即(x)单调递增，即(x)(1),从而XiX22得证.12分(法二)令g(x)f(x)eX(x1)2(x1)xe(x1)eX(x1)1)(x3x22)3 ，xx(0,1)1(1,)g(x)0g(x)]极小值Zx则g(x)匕广由上表可画出f(x)ex(x12)的图象，如右图实线所示,x1右图虚线所不为函数 f(x)ex(x-2)(0x1)的图象x陋典0)-如)4(-v,AV]))关于点Q(1,2e)对称后白^函数h(x)4ef(2x)的图象,设图中点A(x1,f(x1)),则C(2x1,f(x2)),B(x2,f(x2)),欲证x1x2 2,只需证x2 2x1,只需证点B不在点C的左侧即可,即证当1x2时,4ef(2x) f(x)恒成立,即证4e2x,e(x六)ex(x12),xx,1即证ex(x2x)2xze(x4e,10分由基本不等式可知x/1Ce(-2

x、 2x)ex,(x1 、cx/1c、：3)2e(x2x)e2e2(2x)x1(2x)x272牛昭目一x1e(x2x)e2x(x2xx x22得证.12分解决问本题以基本初等函数及不等式证明为载体，考查学生利用导数分析、解决问题的能力，分类讨论思想及逻辑推理、数学运算等数学核心素养，具有较强的综合性22.(本小题满分10分)选修4一4:坐标系与参数方程x2tcos,在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 （t为参数），以坐标原ytsin,点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系， 曲线C的极坐标方程为 2cos,直线l与曲线C交于不同的两点A,B.（1）求曲线C的参数方程；TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"1（2）若点P为直线l与X轴的交点，求—的取值范围.PAPB解：(1)2cos等价于22cos, 1分将2x2y2,cos x代入上式， 2分可得曲线C的直角坐标方程为x2y22x0,即（x1）2y21,x1cos,曲线C的参数方程为 （为参数）. 5分ysin,x2tcos,（2）将 ,代入曲线C的直角坐标方程，ytsin,2TOC\o"1-5"\h\z整理得：t6tcos80, 6分2 .. 2 8由题思得=36cos320,故cos一，9「0 2 8又cos2 1,cos(-,1], 7分9设方程t26tcos80的两个实根分别为t1,t2,则t〔t2 6cos,t〔t28, 8 分t1与t2同号，由参数t的几何意义，可得PAPBt1t2t1t2 6cos,PAPBt1t2PAPBt11 (|pa||pb|)22|pa||pbTOC\o"1-5"\h\z2 i2 2PA PB PA PB2 2(t1t2)22t1t29cos2 4(t1 t2)2 16Qc0s2 (9,5

9cos2164 15一(4,9cos2164 15一(4,露iPA212PB,-一15的取值范围为(,，？］.41610分【说明】本题主要考查了极坐标方程与直角坐标方程互化、直线的参数方程、直线与圆的位置关系等知识点，重点考查数形结合思想，体现了数学运算、逻辑推理等核心素养.23.(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲设函数f(x)x1x2,g(x) x2mx1.(1)当m 4时，求不等式f(x)g(x)的解集；1(2)若不等式f(x)g(x)在［2,―］上恒成立，求实数m的取值范围.2解：(1)f(x)x1x2,TOC\o"1-5"\h\z2x1,x 1,f(x) 3,1x2, 1分2x1,x2,当m4时，g(x) x24x1,①当x1时，原不等式等价于x22x0,解得2x0,2x1； 2分②当1x2时，原不等式等价于x24x20,解之，得2・.2x2 .2，1x2收； 3分③当x2时，g(x)g(2) 11,而f(x)f(2)3,不等式f(x)g(x)解集为空集. 4分综上所述，不等式f(x)g(x)的