流体力学08章课件

第8章气体一维定常流动

8.1一维定常流动方程

8.1.1连续方程

8.1.2动量方程

8.1.3状态方程

8.1.4能量方程

8.2亚、超声速气体流动的基本性质

8.3一维定常等熵流动气体动力学函数

8.4激波和膨胀波

8.5气体在喷管和等截面管内的加速流动流体力学8.1一维定常流动方程

气体高速流动时，密度、温度等参数将发生变化，气体流动问题的完整描述包括连续方程、动量方程、状态方程和能量方程。在下面的讨论中，下标“1”和“2”分别代表气流入口和气流出口截面上的参数。8.1.1连续方程根据质量守恒定律，一维定常流动在任何过流断面上的质量流量为一常数，即气体一维定常流动8.1一维定常流动方程8.1.2动量方程对于一维定常流动，一般形式的动量积分方程简化为而不计质量力时定常流动欧拉方程则简化为8.1.3状态方程理想气体的状态方程及其微分式分别气体一维定常流动8.1一维定常流动方程图8-1气体一维定常流动能量平衡能量方程根据能量守恒定律，前面列出的热量、功量和能量之间的关系用数学式表达就是8.1一维定常流动方程用控制体气体总质量m除以上式并整理，得

能量方程对上式微分(视出口截面为任意截面、入口截面为参考截面)，有以上就是一维定常流动的比焓形式能量方程。对于浮力影响微弱的气体流动，宏观位能项与其他项相比可忽略不计，比焓形式能量方程可以简化，特别是对以下一些特殊的流动——

绝能流动(q=0,w=0)，能量方程简化为8.1一维定常流动方程h0=h+u2/2称为总焓或滞止焓。上式表示绝能流动时气体的总焓保持不变。绝热流动(q=0)，能量方程简化为能量方程表示气体总焓的增加或减小就等于外界对气体或气体对外界做的机械功。无机械功的流动(w=0)，能量方程简化为表示气体总焓的增加或减小是外界对气体加热或气体对外界放热的结果。8.1一维定常流动方程

机械功形式对比焓的定义式微分，有dh=de+pdv+vdp又由热力学第一定律，有dq+dwf=de+pdv合并以上两式，得能量方程再将它代入比焓形式能量方程并整理，最后得第8章气体一维定常流动

8.1一维定常流动方程

8.2亚、超声速气体流动的基本性质

8.2.1声速和马赫数

8.2.2亚超声速流场中小扰动传播特性

8.2.3通流面积对气体流动的影响

8.3一维定常等熵流动气体动力学函数

8.4激波和膨胀波

8.5气体在喷管和等截面管内的加速流动流体力学8.2亚、超声速气体流动的基本性质

在第7章讨论水击中已得到小扰动传播速度的数学式，即声速和马赫数将上式写成热力学等熵过程，就是而对于比热容为常数的理想气体，则有

马赫数被定义为气体流动的当地速度u与同地声速c0之比，并用符号Ma表示，即Ma=u/c0。8.2亚、超声速气体流动的基本性质

声速和马赫数令则上式按泰勒级数在Ma2=0的邻域展开、并忽略Ma2的二次方以上项，易得类似分析，可得Ma=0.1:Dr/r0=0.005,Dp/p0=0.007,DT/T0=0.005。8.2亚、超声速气体流动的基本性质

可见，气体流动在Ma<0.1时，按不可压流动计算所得流动参数值的相对误差不超过1％。实际中一般根据典型流速(如外流的来流速度或物体在气体中的运动速度)所对应的马赫数大小将流动分为——

不可压流动：

M<0.3

亚声速流动：

0.3≤M≤0.7跨声速流动：0.7<M<1.3超声速流动：1.3<M≤5高超声速流动：M>5当然，实际中还需根据具体流动情况决定如何考虑压缩性以及激波和膨胀波问题。声速和马赫数8.2亚、超声速气体流动的基本性质

8.2.2亚、超声速流场中小扰动的传播特性

流动气体中或运动物体在静止气体中产生的扰动，其传播特性在Ma<1和Ma>1时有着本质的不同。图8-2表示气流在不同马赫数下经过固定点扰动源后3个时间单位内(小)扰动传播的情况，气流方向从左至右，不考虑能量损失。

Ma=0(图8-2a)。小扰动产生的球面波以声速向四面八方传播。扰动达整个流体空间。

Ma<1(图8-2b)。扰动源产生的球面波在向周围传播的同时还被气流带往下游，波面在顺流方向上传播速度要快一些，在逆流方向上则慢一些。扰动达整个流场。气体一维定常流动8.2亚、超声速气体流动的基本性质

图8-2小扰动传播特性亚超声速流场中扰动传播8.2亚、超声速气体流动的基本性质

亚超声速流场中扰动传播

Ma=1(图8-2c)。扰动源产生的球面波在顺流方向上以2倍声速传播，在逆流方向上传播速度为零。垂直于来流方向且包含扰动点的平面成为分界面，扰动只在其下游流场传播、不能向上游流场传播。

Ma>1(图8-2d)。扰动区和寂静区的分界面是以扰动源为顶点的圆锥面。分界面包络的圆锥体称为马赫锥，在马赫锥内传播的扰动波称为马赫波，气流速度与马赫锥母线之间的夹角称为马赫角m：sinm=c0/u=1/Ma，Ma越大则m越小。扰动在亚、超声速流场中传播的差异在于：亚声速流场中任何扰动都将传遍整个流场，超声速流场中扰动则被限于扰动源下游的流场中。8.2亚、超声速气体流动的基本性质

合并上面两式、并应用声速关系式dp/dr=c02，易得通流面积对气体流动的影响由上面两式及欧拉方程可见：

Ma<1时，dA与du异号，表示通流面积减小则流速增大、压强和密度减小。反之亦反。

Ma>1时，dA与du同号，表示通流面积减小则流速减小、压强增大、密度增大；反之亦反。即气体作超声速流动并加速时，密度的减小要快于流速的增大，因此只有增大通流面积才能保证通过的质量流量保持不变。8.2亚、超声速气体流动的基本性质

Ma=1时，dA=0，对应于极值截面且在实际中只能是最小截面，也就是说，声速只发生在最小通流截面上。在M≈1的情况下，通流面积的微小变化就有可能引起流速发生大的变化，因此在最小通流截面附近面积的变化要缓慢，否则易导致流动的不稳定。根据上述流速与通流面积之间的关系还可推知，如果气流在管段入口为亚声速、而要求在出口成为超声速，则需要采用缩扩喷管(即拉伐尔喷管)。通流面积对气体流动的影响8.3一维定常等熵流动气体动力学函数气体在透平机械中、空气绕过物体的流动等，如果忽略气体的粘性及其与外界的热交换，则在不发生强压缩波的情况下都可视为等熵流动。8.3.1滞止参数流动的气体等熵绝热地减速到速度为零时对应的温度、压强和密度称为滞止参数。

滞止温度T0

绝能流动的能量方程为对于理想气体，h0=cpT0，h=cpT；所以气体一维定常流动8.3一维定常等熵流动气体动力学函数

滞止压力p0

应用理想气体绝热等熵过程的热力学方程，有

极限流速umax

在滞止焓定义式中令T=0,就得理想气体绝能流动的极限流速，即

滞止密度r0应用理想气体状态方程，有式中，(k

R

T0)1/2称为滞止声速。滞止参数8.3一维定常等熵流动气体动力学函数临界截面图8-4缩扩喷管中气体加速流动

临界声速是指临界截面上的声速，用符号c*表示。由临界温比和极限流速，易得8.3一维定常等熵流动气体动力学函数临界截面总温在流动中保持不变时，临界声速为一常数。因此，除马赫数外，气体动力学还将当地流速与临界声速之比作为一个重要参数。

速度系数l被定义为当地流速与临界声速之比：l=u/c*，即易得l和Ma一一对应的关系为8.3一维定常等熵流动气体动力学函数8.3.3气体动力学函数

气体流动的一些量可表达为速度系数l或马赫数Ma的函数，这些函数统称为气体动力学函数。根据l或Ma将这些函数值列成表，称为气体动力学函数表或一维定常等熵流动函数表。

状态参数比函数包括温比、压比和密度比三个函数。由滞止温度和速度系数的定义式以及理想气体绝热等熵流动的过程方程，易得气体一维定常流动温比函数：压比函数：密度比函数：8.3一维定常等熵流动气体动力学函数

流量函数理想气体一维定常流动，有气体动力学函数q(l)称为q流量函数。见图8-6，q(l)在0<l

<1区间递增，在1<l

<l

max区间递减，在l

=1达到最大值：q(1)=1。上面的质量流量式还可写成即8.3一维定常等熵流动气体动力学函数气体动力学函数图8-6流量函数随l的变化，k=1.48.3一维定常等熵流动气体动力学函数

冲量函数流场中任一截面的动量通量(单位时间内作用的动量)以及作用于该截面的总压力之和(qmu+pA)称为冲量。对于理想气体，有气体动力学函数应用温比函数和速度系数关系并整理，得再应用质量流量式并整理，最后得或8.3一维定常等熵流动气体动力学函数f(l)和r(l)都称为冲量函数。如图8-7所示，r(l)为递减函数；而f(l)在0<l<1区间递增，在1<l<lmax区间递减，在l=1达到最大值。气体动力学函数图8-7冲量函数随l的变化，k=1.4第8章气体一维定常流动

8.1一维定常流动方程

8.2亚、超声速气体流动的基本性质

8.3一维定常等熵流动气体动力学函数

8.4激波和膨胀波

8.4.1正激波

8.4.2斜激波

8.4.3膨胀波

8.5气体在喷管和等截面管内的加速流动流体力学8.4激波和膨胀波

流动气体经过波阵面时压强和密度跃升、流速突降的波动称为激波；流动气体经过波阵面时压强和密度下降、流速增大的波动称为膨胀波。8.4.1正激波

波阵面与流速方向垂直的激波称为正激波。

基本方程

将坐标系取在激波面上，并使控制体包含激波面，如图8-9中虚线所示。根据质量、动量和能量平衡关系，有气体一维定常流动8.4激波和膨胀波

以上3个方程——即连续方程、动量方程和能量方程——包含波前和波后参数各3个，若已知波前参数，则可求解波后参数；反之亦然。由于激波发生的时间极短，波面又可看成为没有厚度和质量，所以这些方程对于非惯性坐标系和非定常流动也适用。正激波图8-9正激波8.4激波和膨胀波

正激波前后流动参数之间的关系

1)流速关系由理想气体的状态方程、比定压热容以及绝能流动能量方程，有正激波能量方程两端分别除以连续方程两端，有

将前式代入上式并整理，得这就是正激波前后流速或速度系数应满足的关系式中流速都是指相对于波阵面的速度。8.4激波和膨胀波

2)密度关系

由连续方程和速度关系式，得

正激波

3)静压关系

应用动量方程和连续方程，有显然p2/p1>1，即正激波后气体静压大于激波前静压。将Ma-l关系代入上式简化，得8.4激波和膨胀波

4)总压关系

由压比函数、速度系数关系和静压关系，可得正激波易证p02<p01，即发生正激波将引起总压即能量损失，正激波的热力过程是非等熵的。

5)温度关系

由理想气体状态方程、静压关系和密度关系，得8.4激波和膨胀波

6)熵增关系

流动的理想气体的热力过程熵增关系为正激波由p02<p01、k>1可知，正激波的热力过程伴随有熵增；但是，在波前马赫数Ma1<1.3的条件下熵增还很小，在初步计算中可忽略不计。实际中常用皮托管测量超声速气流的总压，由于在马赫数Ma1>1.3条件下熵增即损失较大，测量结果需作修正——即测量前或测量后皮托管须校准。用皮托管测量亚声速气流总压的结果往往可直接应用。8.4激波和膨胀波

8.4.2斜激波

波阵面与流速不垂直的激波称为斜激波。图8-11表示超声速气流绕过平面凹角的流动产生斜激波。

基本方程和波前波后气体参数间关系如图8-11所示，将坐标取在斜激波的波面上，并用t和n代表波面的切线和法线方向，来流与t方向间夹角b称为激波角，波后流速与来流间夹角d称为气流转折角。根据质量、动量和能量关系，有气体一维定常流动8.4激波和膨胀波

斜激波图8-11超声速气流绕过凹角产生斜激波8.4激波和膨胀波

比较正激波和斜激波的方程容易看出，只要用u1n、u2n替换u1、u2，用Ma1sinb、Ma2sin(b-d)替换Ma1、Ma2，则关于正激波的全部关系式(涉及总压的除外)都可应用于斜激波。下面仅讨论气流转折角d与斜激波位置角b之间的关系。由图8-11中几何关系以及密度关系式，有斜激波合并以上两式，经整理得8.4激波和膨胀波

关于斜激波的几点说明

a)由Ma1和d求激波斜角b时一般会得到两个解，较大的b值称为强激波解，较小的b值称为弱激波解，具体取哪个解由边界条件确定，但弱激波解更普遍。

b)由上面气流转折角公式对Ma1进行偏微分求极值并令Ma1∞，就得极限转折角dmax。在任何Ma1下实际气流转折角都在0与dmax之间。对于k

=1.4，d

max=45.6o。

c)以上斜激波关系式适用于任何形状波面的激波，不管是附体激波还是离体激波，也无论是平面激波还是弯曲激波。斜激波8.4激波和膨胀波

8.4.3膨胀波

超声速气流绕平面凸角流动时将产生膨胀波，这是一系列源于凸角的小扰动马赫波，覆盖一个伞形区，气流在绕过凸角膨胀的过程中方向也转折了一个角度d，如图8-12所示。这种膨胀流动也称为普朗特-迈耶尔流动。普朗特-迈耶尔流动为等熵过程，系列马赫波的波面角为m

=arcsin(1/Ma)，波前波后气体流速在垂直于波面方向的分量就等于当地声速：uq

=usinm=c0。等熵过程表示流动是无旋的，采用原点位于凸角的极坐标系(沿波面为r方向、沿垂直于波面为q方向)，则可设普朗特-迈耶尔流动的速度势函数为Φ=r

f(θ)气体一维定常流动8.4激波和膨胀波

即沿波面和垂直于波面的流速分量分别为膨胀波ur和uq都只是q的函数即与r无关，因为绕凸角的超声速流动在r方向无特征尺度。图8-12绕凸角的膨胀波8.4激波和膨胀波

由uq

=usinm=c0=dur/dq和绝能流动能量方程，有积分得膨胀波按图8-13规定马赫线角q、马赫角m和气流转折角d(Ma)，则Ma=1：q=0、ur=0，得C=0。将C代入后上式可写成显函数形式，即8.4激波和膨胀波

所以另外膨胀波图8-13凸角为原点的极坐标合并上面二式得8.4激波和膨胀波

将前面马赫线角q公式代入，最后得气流从声速Ma1=1开始绕凸角膨胀到任意马赫数Ma2=Ma>1所经历的转折角d(Ma)为：膨胀波又由图8-13写出马赫线角q、马赫角m和气流转折角d(Ma)三者间关系，有上式称为普朗特-迈耶尔函数。若气流从Ma1>1开始绕凸角膨胀到Ma2>Ma1，则气流的实际转折角d为第8章气体一维定常流动

8.1一维定常流动方程

8.2亚、超声速气体流动的基本性质

8.3一维定常等熵流动气体动力学函数

8.4激波和膨胀波

8.5气体在喷管和等截面管内的加速流动

8.5.1收缩喷管

8.5.2缩扩喷管

8.5.3等截面管流体力学8.5气体在喷管和等截面管内的加速流动喷管是依靠通道截面积的变化使气流加速的几何结构。从本章前面的讨论已知，将气体在管内加速到声速或小于声速的流动，只需采用收缩喷管；而将气体在管内从亚声速加速到超声速流动，则要采用缩扩喷管。另外，气体在等截面管内流动时，由于内摩擦产生的热量或气体与外界的热交换，也将引起气体的加速或减速。8.5.1收缩喷管

图8-14表示一收缩喷管相接于一个大体积气体压力容器的流动。容器内气体参数给定时，为获得一定的流量只要选定喷管的出口面积和喷管压比pe/p0，p0、pe分别为容器内和喷管出口的设定压强。喷管内气体流动可认为是等熵的。气体一维定常流动8.5气体在喷管和等截面管内的加速流动采用收缩喷管流量系统时，需满足压比条件p*/p0≤pe/p0<1。在实际过程中，工况变化可能导致喷管出口压强(背压)pb偏离设计压强pe，因此喷管系统的实际流量为收缩喷管图8-14气体在收缩喷管中的加速流动8.5气体在喷管和等截面管内的加速流动若pb/p0≤p*

/p0，则流量达到最大值：收缩喷管此后不管背压如何减小，喷管出口处气体参数都保持临界状态不变，流量也不变。收缩喷管在pb/p0<p*

/p0情况下流量达到极值的现象称为几何壅塞。收缩喷管出现壅塞后流量不再随背压减小而增大。8.5气体