材料力学 第七章弯曲变形课件

第七章弯曲变形

§1梁的挠度和转角§2梁的挠曲线近似微分方程§3积分法计算梁的变形§4叠加法计算梁的变形刚度条件§5简单超静定梁回顾：弯曲内力——在外力作用下，梁的内力沿轴线的变化规律。弯曲应力——在外力作用下，梁内应力沿横截面高度的分布规律。

本章:弯曲变形——在外力作用下，梁在空间位置的变化规律。研究弯曲变形的目的1）刚度计算；2）解简单的超静定梁。一、挠曲线：

在平面弯曲的情况下，梁变形后的轴线在弯曲平面内成为一条曲线，这条曲线称为挠曲线。

性质：连续、光滑、弹性、极其平坦的平面曲线。三、转角：

横截面绕中性轴转过的角度。用“”表示。qq二、挠度：横截面形心沿垂直于轴线方向的位移。用“y”表示。挠曲线MAB＝MCD＝0MBC＝const答案D五、挠曲线的特征：光滑连续曲线(1)FA＝0,FB＝0MCD＝const答案DABCD光滑连续曲线(2)光滑连续曲线(3)

ABCD答案CFA＝0MBD＝constFB＝FP2、曲率与挠曲线的关系（数学表达式)3、挠曲线与弯矩的关系：联立（1）、（2）两式得……（1）（2）→→§7-2梁的挠曲线近似微分方程1、曲率与弯矩的关系：步骤：（EI为常量）1、根据荷载分段列出弯矩方程M（x）。2、根据弯矩方程列出挠曲线的近似微分方程并进行积分。3、根据弯曲梁变形的边界条件和连续条件确定积分常数。边界条件：§7-3用积分法计算梁的变形FalAB连续条件：思考题：列出图示结构的边界条件和连续条件。边界条件：连续条件：边界条件：连续条件：d)确定挠曲线、转角方程e)自由端的挠度及转角解：a)建立坐标系并写出

弯矩方程b)写出微分方程并积分c)应用位移边界条件求积分常数x=0,y=0;x=L,y=0.

例：求分布载荷简支的最大挠度和最大转角(EI=常数）xCql/2ql/2d)确定挠曲线和转角方程e)最大挠度及最大转角c)应用位移边界条件求积分常数x=0,y=0;x=L,y=0.

xCql/2ql/2解：a)建立坐标系并写出弯矩方程b)写出微分方程并积分左侧段（0≤x1≤a）：右侧段（a≤x2≤L）：例：求图示梁的跨中的挠度和转角（EI=常数）

FlABC左侧段右侧段（a≤x2≤L）：c)应用位移边界条件和连续条件求积分常数x=0,y=0;x=L,y=0.

x1=x2

=a，y1=y2

；y'1

=y'2FlABCFlABC讨论：1、此梁的最大挠度和最大转角。

左侧段：

右侧段：当a＞b时——当a＞b时——最大挠度发生在AC段最大挠度一定在左侧段当a＞b时——最大挠度发生在AC段梁跨中的挠度为：

2、a=b时此梁的最大挠度和最大转角。FlABC

梁上有分布载荷，集中力与集中力偶。弯矩：弯矩的叠加原理----

梁在几个载荷共同作用下的弯矩值，等于各载荷单独作用下的弯矩的代数和。§7-4用叠加法计算梁的变形

一、叠加法计算梁的变形1）梁在简单载荷作用下挠度、转角应为已知或有变形表可查；

2）叠加法适用于求梁个别截面的挠度或转角值。1、前提条件：弹性、小变形。2、叠加原理：各荷载同时作用下，梁任一截面的挠度或转角，等于各荷载分别单独作用下同一梁同一截面挠度或转角的代数和。3、叠加法的特征：

c)叠加FaABa=FaABa+aABa例：求图示梁C截面的挠度。解：1、载荷分解如图2、查梁的简单载荷变形表3、叠加l/2ABl/2+l/2ABl/2=l/2ABl/2例：求图示梁B截面的挠度（EI已知）。解：1)结构分解如图2)查梁的简单载荷变形表3)叠加ABla+ABqala=B3）求D截面转角例悬臂梁ABC受力如图所示。试用叠加法求解：1）载荷分解将原梁设想为由图所示的b，c，d，e所组成。AB部分受均布载荷q及在B截面受到集中力

和集中力偶的作用，其刚度为2EI。BC部分可看作受均布载荷作用的悬臂梁，其刚度为EI。2）计算

4）计算3）计算

5）计算例：拐杆如图，A处为一轴承，允许杆在轴承内自由转动，但不能上下移动，已知：E=210Gpa，G=0.4E，求B截面的垂直位移。分析：B点的垂直位移由：

AB段弯曲和CA杆扭转而引起。FByB1FBACCMA=FLAByB2F例、用叠加法求图示等截面直梁A、D、E（BC之中点）点的挠度。解：结构和载荷分解如图。

E（1）（2）Fq=F/aF（4）FDCa（3）FFaFq=F/a例:用叠加法求AB梁上E处的挠度.

解:1)分解2)位移计算a.B点位移b.E点位移二、梁的刚度条件

校核刚度：

设计截面尺寸三、刚度计算

确定外载荷在土建工程中，一般只对梁的挠度加以控制，控制范围在内。

在机械工程中，对挠度和转角都要控制，挠度控制在：转角控制在：其中[]称为许用转角；[δ/L]称为许用挠跨比。

例悬臂梁AB受力如图所示。材料的许用应力，弹性模量E=210MPa，梁的许用挠度，试选工字钢的型号。解（1）按强度条件选择截面

所需的抗弯截面系数：选用20a号工字钢，其几何特性：

（2）刚度校核梁的最大挠度发生在自由端，其值为：

因为，所以刚度不满足要求。由得选用32a号工字钢，其几何特性为：因它均满足强度条件和刚度条件，故选用32a号工字钢。

F2ABCDF2ABCDF2Ba

CABL

a

CMF2ABCF1D=++=F2=2KNABL=400mma=0.1mCF1=1KND200mm例：下图为一空心圆杆，内外径分别为：d=40mm、D=80mm，杆的E=210GPa，工程规定C点的[δ]=,B点的[]=0.001弧度,试校核此杆的刚度.利用叠加求复杂载荷下的变形=++图1图2图3F1F2F2F2=2KNABL=400mma=0.1mCF1=1KND200mmABCD2BaCF2ABLaCM校核刚度刚度足够

由梁在简单荷载作用下的变形表和前面的变形计算可看出：梁的挠度和转角除了与梁的支座和荷载有关外还取决于下面三个因素：材料——梁的位移与材料的弹性模量

E成反比；截面——梁的位移与截面的惯性矩

I成反比；跨长——梁的位移与跨长

L的n次幂成正比。三、提高梁刚度的措施1、增大梁的抗弯刚度（EI）

2、调整跨长和改变结构

（同提高梁的强度的措施相同.）3、预加反弯度（预变形与受力时梁的变形方向相反，目的起到一定的抵消作用）

不同类的材料，“E”和“G”都相差很多（钢E=200GPa,铜E=100GPa）,故可选用不同类的材料以达到提高刚度的目的。但是改换材料，其原料费用也会随之发生很大的改变！注意：

同类的材料，“E”值相差不多，“”相差较大，故换用同类材料只能提高强度，不能提高刚度。C由平衡方程可以解出全部未知数静定问题平衡方程数=未知数。§7-5简单超静定梁二个平衡方程，三个未知数。平衡方程数<未知数超静定问题去掉多余约束而成为：

形式上的静定结构——基本静定基=CCC静定问题1、用多余约束反力代替多余约束（取静定基，原则：便于计算）2、在多余约束处根据变形协调条件列出变形的几何方程3、把物理条件代入几何方程列出力的补充方程求出多余反力。

5、计算梁的内力、应力、强度、变形、刚度。解超静定的步骤——(静力、几何、物理条件)4、根据静力平衡条件，解出超静定梁的其它所有支座反力。超静定梁C静定基=C例：求图示梁的约束反力，并绘内力图。

解：一、解除多约束（B处支座）以多余约束RB来代替，基本静定梁的受力形式见图a所示。二、建立变形协调方程，求出多余约束反力。先将图a受力形式分解成单独荷载下的受力形式（图b、c）。即：

①

变形协调方程为：其中：

①

代入①中得：

解出：

三、由静力平衡方程解出其余的约束反力四、绘内力图

例图示静不定梁，等截面梁AC的抗弯刚度EI，拉杆BD的抗拉刚度EA，在F力作用下，试求BD杆的拉力和截面C的挠度。Fl/2l/2ABCDl1、选择基本静定梁。解：Fl/2l/2ABC2、列出变形协调条件。解得：3、在基本静定梁上由叠加法求

。在F力单独作用下：在力单独作用下：Fl/2l/2ABC解得：在本例中，在F力作用下，拉杆BD伸长，因而B处下移，B处下移的大小应该等于拉杆的伸长量，即例梁AB和BC在B处铰接，A、C两端固定，梁的抗弯刚度均为EI，F=40kN，q=20kN/m。画梁的剪力图和弯矩图。从B处拆开，使超静定结构变成两个悬臂梁。变形协调方程为：FBMAFAyB1FBMCFCyB2物理关系解FBFBMAFAMCFCyB1yB2代入得补充方程：确定A端约束力梁的抗弯刚度均为EI，F=40kN，q=20kN/m。FBF´BMAFAMCFCyB1yB2确定B端约束力梁AB和BC在B处铰接，A、C两端固定，梁的抗弯刚度均为EI，F=40kN，q=20kN/mMAFAMCFCA、B端约束力已求出最后作梁的剪力图和弯矩图

弯矩图请同学自行完成F=40kN，q=20kN/m。画梁的剪力图和弯矩图。解：一、CD杆为刚性杆时的内力

先将结构分解成图示形式。此时

CD杆为刚性，变形为零。

AC梁在C处的挠度为：

——

①DB梁在D处的挠度为

——

②变形协调条件为：

即

解出：

例：图示结构，①CD杆如为刚性杆，求CD杆内力。②如CD杆刚度为E