现代投资学第二讲组合投资与风险分解课件

第二章组合投资与风险分解第一节证券组合的收益与风险第二节组合投资模型第三节最小方差集合与有效集合性质第四节单指数模型第五节多指数模型第六节风险分解(1)第二章组合投资与风险分解第一节证券组合的收益与风险(组合投资的最优选择是实现投资者的预期效用最大化，这就需要对投资者的效用函数形式作出假定并对其最大化形式进行求解，然而对于一般形式的效用函数或证券收益分布而言，最优状态下组合投资选择的结果很难通过求解得出，因此，1952年马可维兹（Markowitz）所提出的证券组合投资理论——均值方差方法由于给出了组合投资的最优选择结果从而被认为是金融微观分析的一个重要的研究领域，该理论研究在一定风险下，如何选择一个证券投资组合，使得所获收益最高。2组合投资的最优选择是实现投资者的预期效用最大化，这就需要对投构建证券投资组合的主要目的在于分散风险，并使得期望收益最大，在此基础上所提出的组合投资理论主要基于如下基本假设：（1）已知投资收益率的概率分布；（2）风险用方差或标准差度量；（3）影响投资结果的因素仅有均值、方差；(4)投资者遵守占优原则：对于投资者假设：投资者为不满足和风险厌恶型。3构建证券投资组合的主要目的在于分散风险，并使得期望收益最大，第一节证券组合的收益与风险所谓证券投资组合(简称证券组合或投资组合)是指将全部投入资金按某种比例分散投资于两种或两种以上证券而构成的一个组合。假设证券组合是由n种不同证券构成，其中在第i种证券上投资的资金比例为 ，简称为第i种证券投资权重。则证券组合可记为如下的形式4第一节证券组合的收益与风险所谓证券投资组合(简称在证券X组合中，权重时表示买入证券i；表示卖空证券i,将其所得资金投资于组合内其他证券；当时，表示投资在证券上的资金有卖空其他证券收入的资金。设证券i的收益率为，其概率分布为则证券的预期收益率(期望收益率)为5在证券X组合中，权重时表示买入证券i；5证券i(收益率)的方差为标准差为，而证券i和k(收益率)的协方差为对于证券组合X，其收益率为6证券i(收益率)的方差为6X的预期收益率为X的方差为

(4.4)7X的预期收益率为(4.4)7其中注意到与的相关系数定义为

8其中8所以又有特别，我们来看等比例组合的情形，此时

9所以又有9分别表示n个证券方差和它们的协方差的平均值。显然如果，我们仍用方差表示风险，则上式表明，如果按等比例做证券组合，当组合中的证券数量达到一定程度时，单个证券的风险将不发生作用，而证券组合的风险主要取决于证券之间的协方差，即证券收益率之间的相互关系。对于非等比例组合，上述结论仍然成立。10分别表示n个证券方差和它们的协方差的平均值。显上式的第一部分我们成为证券组合的非系统风险，第二部分我们称为证券组合的系统风险。组合投资使得系统风险平均化，大大地减少了非系统风险。在不允许卖空时，注意到,有11上式的第一部分我们成为证券组合的非系统风险，第二部分我们称为即证券组合的风险，总是小于等于单一证券的最大风险，这是一个非常重要的结论，是现代证券理论的基础。同时，我们还可以通过改变的比例，使取最小值，这也是十分重要的推断，是现代证券投资理论的核心。12即证券组合的风险，总是小于等于单一证券的最大风险，这是一个非第二节期望效用原理与均值方差准则一、期望效用准则二、一般的效用函数三、均值方差准则13第二节期望效用原理与均值方差准则一、期望效用准则13期望效用准则效用函数是消费者按照自己的主观偏好来评价各种消费品满足程度的度量尺度。当选择的对象是确定的，偏好关系满足完备性、自反性、传递性和连续性时，则存在效用函数且消费者可以按照效用最大化进行消费选择。当选择对象包括不确定因素情形时，我们称为随机消费，冯•诺伊曼和莫根斯坦证明了如果投资者满足一系列合理的一致性条件假设，由期望效用函数的存在性即期望效用表示可得出不确定性条件下投资者对随机消费情形下的最佳选择。

14期望效用准则效用函数是消费者按照自己的主观偏好来评价各种消费所谓消费者个体的偏好关系有期望效用表示，是指存在一个效用函数使得随机消费优于随机消费的充分必要条件为，这里表示个体按不确定因素发生的概率计算的期望值。决策者将选择一策略使结果的期望效用极大化。15所谓消费者个体的偏好关系有期望效用表示，是指存在一个效用函数一般的效用函数16一般的效用函数161717181819192020均值方差准则均值方差准则在证券投资理论中，一种方便的风险定义就是把围绕收益率期望的波动性即收益率的方差（或者标准差）称为证券的风险。证券均值方差准则的最大优点在于只要考虑投资收益的期望值与方差(标准差)便可以做出决策，也正因为这一优点，它成为投资分析中最著名的有效准则之一。21均值方差准则均值方差准则21按照均值方差准则，无论是哪一类投资者，在风险相同的情况下，总是偏好期望收益高的投资对象，但在期望收益一定时，投资者的选择就依据对风险的偏好程度,选择风险小的投资对象。22按照均值方差准则，无论是哪一类投资者，在风险相同的情况下均值方差准则：对于证券1和2，当且仅当时，证券1优于证券2，其中分别为证券1和证券2的收益，它们都是随机变量。23均值方差准则：对于证券1和2，当且仅当23均值方差准则是预期效用的一种特殊情况，假设投资者为风险回避者，且其效用函数为二次型，某证券(或证券组合)的收益为R，则他的效用由下式决定:其中可以取任意值，而。24均值方差准则是预期效用的一种特殊情况，假设投资者为风险回避者投资者的期望效用为而由于,故上式可以写成该式说明二次函数的期望效用可以表示为证券收益的均值和证券收益的方差的函数。25投资者的期望效用为25进一步由上述推导可得出以下结论该式说明当方差增加而期望收益不发生变化时，因其期望效用减少，投资者的状况会恶化。该式说明当方差不变而期望收益增加时，投资者的状况会变好，因为其期望效用增加了。26进一步由上述推导可得出以下结论26一般均值方差准则由于它对于投资者效用函数的设定过于严格，特别是它不是在可能情况的全部区间上定义的，所以极大地限制了其应用范围。更一般的均值方差模型可以表示为：其中为参数，亦是风险厌恶因子，它反映了投资者对均值和方差的均衡，当决策者对低于的收益减少特别敏感或者厌恶，可取，这样给赋以一个很大的权数，使获得高收益的机会减少，这表明投资者宁愿获得较低的收益也不愿意遭受损失。27一般均值方差准则由于它对于投资者效用函数的设定过于严格，特282829293030第二节组合投资模型考虑一个证券组合X，它由N个证券组成，每个证券的预期收益率为，方差记为，证券间的协方差记、于是证券组合的收益率的方差可以表示成在给定预期收益率水平之下，如何选择证券组合的权重，使证券组合具有最小方差呢?31第二节组合投资模型考虑一个证券组合X，它由N个证券组记为确定最小方差集合，我们考虑如下优化模型，即一般的马柯维茨模型这是一个等式约束的极值问题，我们可以构造Lagrange函数32记为确定根据Lagrange乘数法解得

得(4.25)(4.26)33根据Lagrange乘数法解得(4.25)(4.26)3（4.26）分别左乘和得记34（4.26）分别左乘和得34于是解方程组得将代入（4.26），得

其中(4.29)35于是解方程组得(4.29)35注意36注意36为求全局最小方差资产组合点，令：

得到

于是可解得37为求全局最小方差资产组合点，令：373838我们有两基金分离定理定理任一最小方差集合上的投资组合都可以唯一地表示为全局最小方差和可分散化资产组合的组合。39我们有两基金分离定理39我们将代入(4.25)得

(4.29)(4.30)40我们将代入(4.25)得(4.29)(4.30)（4.29）式给出了证券组合权重与预期收益率的关系。（4.30）式给出了证券组合预期收益率与方差的关系,且说明在平面上面有双曲线形式，而在平面上可有抛物线形式。在平面上的抛物线，其顶点在,如图4.6所示。41（4.29）式给出了证券组合权重与预期收益率的关系。（4.3图4.5平面上的一支双曲线型图4.6平面上的抛物线42图4.5平面上的一支双曲线型图4.6平面上的抛物线4最小方差集合在顶点上半部的证券组合集合称为有效集合。有效集合中所有证券组合符合以下准则：给定某一标准差，有效集合中的证券组合具有可获得的最大预期收益率。显然最小方差集合在顶点的下半部分对应点的预期收益率最低。在上面确定最小方差集合的过程中，权重约束为,求得的结果诸中可能有为正的也有为负的，它反映了允许卖空的情形。43最小方差集合在顶点上半部的证券组合集合称为有效集合。43在有些情况下，投资者把不进行卖空作为一种投资策略，因此，讨论在不允许卖空的约束下如何确定最小方差集合是必要的。这时在约束条件中需要加入相应的模型为这是二次规划模型。利用Kuhn-Tucker条件，可得到其解所满足的必要条件。44在有些情况下，投资者把不进行卖空作为一种投资策略，因此，讨最优证券组合管理例一个投资者正考虑对三家公司的股票进行五年期的投资。这三家公司是Polaroid、Raytheon和Lotus。依据市场分析以及统计预测，她获得的有关数据：

公司收益间的协方差

Cov(Polaroid的收益,Raytheon的收益)=34(%)2

Cov(Polaroid的收益,Lotus的收益)=103(%)2

Cov(Raytheon的收益,Lotus的收益)=-27(%)2该投资者共有＄400,000可用于投资，同时她要求在保证五年期望收益超过60%的前提下，能使所投资证券组合的标准差（standarddeviation）为最小。公司五年期望收益（%）收益的方差Polaroid80190Raytheon35110Lotus6515045最优证券组合管理例一个投资者正考虑对三家公司的股票进行五年期最优证券组合管理若以P、R、L分别记投资Polaroid、Raytheon和Lotus股票所占总投资额的比例，以上问题可表述如下：

MINIMIZE(证券组合的标准差) S.T.: P+R+L=1.0 （比例）

1.80P+1.35R+1.65L≥1.60（目标收益）

P,R,L≥0证券组合的方差=P2Var(P)+R2Var(R)+L2Var(L)+2PRCov(P,R)+2PLCov(P,L)+2RLCov(R,L)46最优证券组合管理若以P、R、L分别记投资Polaroid、RS>T.P+R+L=1.0 （比例）1.80P+1.35R+1.65L≥1.60 （目标收益）P,R,L≥0用EXCEL软件进行求解，得到最优解： P=0.285 R=0.309 L=0.406 STANDARDDEVIATION=8.585证券组合的最优化模型证券组合的最优化模型47S>T.证券组合的最优化模型证券组合的最优化模型47证券组合的最优化模型同样的，有时候投资者会在限制标准差为一个给定值的前提下，要求获得一个能使期望收益达到最大的投资证券组合。例如，投资者可以限制标准差最大不得超过11.5(%)，此时的最优化模型为：

MAXIMIZE 1.80P+1.35R+1.65L S.T.: P+R+L=1.0 P,R,L≥0 最优证券组合是：

P=0.635 R=0.061 L=0.304 EXPECTEDRETURN=1.72748证券组合的最优化模型同样的，有时候投资者会在限制标准差为一个最优证券组合管理投资组合的管理者所面临的问题是要使投资的资产进行最有效的组合，从而满足投资者的需要。一般说来，管理者在使投资组合最优化时，有两个最基本的目标：1.使投资组合的期望收益最大化2.使投资组合的风险最小化。在实际应用中，这两个目标几乎总是相互矛盾的。也就是说，要获得一个高期望收益的投资组合，那么就要面对高风险；而要获得一个低风险的组合，那么所获得组合的期望收益也低。49最优证券组合管理投资组合的管理者所面临的问题是要使投资的资产最优证券组合管理如果要对AT&T、Boeing和DEC公司的股票进行组合投资，所获的数据、估计的期望收益、方差和协方差等：资产名称年期望收益AT&TBoeingDECAT&T11%163-5Boeing14%3221DEC7%-511050最优证券组合管理如果要对AT&T、Boeing和DEC公司的一个简单的模型A=投资于AT&T股票占总投资额的比例B=投资于Boeing股票占总投资额的比例D=投资于DEC股票占总投资额的比例这三个变量要满足：A+B+D=151一个简单的模型A=投资于AT&T股票占总投资额的比例51一个简单的模型证券组合的期望收益可表示为：

R=11A+14B+7D证券组合的方差可表示为：

VARIANCE

=16A2+3AB-5AD+3BA+22B2+BD-5DA+DB+10D2

=16A2+6AB-10AD+22B2+2BD+10D2而标准差是方差的平方根：52一个简单的模型证券组合的期望收益可表示为：

R=1一个简单的模型现在我们要使证券组合的期望收益为11%。最优化模型

s.t.：

A+B+D=1 （比例)

11A+14B+7D=11 （收益）

A≥0,B≥0,D≥0 （非负条件）

求解该模型，得：

STANDARDDEVIATION=2.4008%

A=0.3769

B=0.3561

D=0.267053一个简单的模型现在我们要使证券组合的期望收益为11%。最优化模型的扩展我们还可以针对不同数值的期望收益来求解模型，此时所获得的最优解信息：期望收益最优

标准差比例AT&TBoeingDEC8%2.1794%0.250.00.759%1.8949%0.37540.07120.553410%2.0162%0.37620.21360.410211%2.4008%0.37690.35610.267012%2.9474%0.37770.49850.123813%3.5901%0.33330.66670.000014%4.6904%0.01.00.054模型的扩展我们还可以针对不同数值的期望收益来求解模型，此时所模型的扩展可依据此表作出这三种股票的有效边界。这样，一旦投资者在期望收益率和可接受的风险水平中作出权衡，就可按相应比例进行证券组合投资。如一个投资者决定选择期望收益率为12%而标准差为2.9474%的证券组合，那么她就应将总投资的37.77%投资于AT&T，49.85%投资于Boeing，12.38%投资于DEC。这个组合会达到12%的期望收益且标准差为2.9474%，而且没有更好的期望收益率在12%的证券组合会有更小的标准差了。55模型的扩展可依据此表作出这三种股票的有效边界。这样，一旦投资标准差期望值模型的扩展56标准差期望值模型的扩展56模型的扩展57模型的扩展57第三节有效边界的讨论及性质58第三节有效边界的讨论及性质58595960606161626263636464存在无风险资产时的有效集合65存在无风险资产时的有效集合6566666767几何意义情形168几何意义68情形26969情形370情形370717172727373第四节单指数模型在上节的讨论中，各证券间协方差我们可以作任何假定，它们可以是由证券间存在的任意数量和种类的关系产生，而且在计算风险时所用的公式

中，我们必须对所选择的证券间的协方差进行估计。如果证券数目太大，我们就必须进行大量的协方差估计，使得在计算任一给定证券组合的方差时，需要花费大量时间。这是使用上节中的马柯维茨模型所存在的问题。单指数模型能使我们克服这一困难，使得确定证券组合的方差计算过程变得简单。74第四节单指数模型在上节的讨论中，各证券间协方差我们可以第四节单指数模型在股票市场中，我们发现，当市场投资组合(如股票市场指数)的收益率显著上升或下降时，几乎所有股票的收益率都随之上升或下降，虽然可能有一些股票的收益率可能比另一些股票的收益率上升或下降得要快，但总的来说都是呈相同趋势变化。这意味着，市场投资组合收益率的变化，能充分反映各种证券的共同变化趋势。因此，对各个证券收益率之间的协方差的计算，可用每一证券收益率与市场投资组合收益率之间的协方差代替。单指数模型就是在假定证券的收益率只受市场投资组合即单指数收益率的影响下，去确定证券组合的权重。75第四节单指数模型在股票市场中，我们发现，当市场投资组合第四节单指数模型设证券的收益率具有简单线性结构，即其收益率r和市场投资组合收益率具有关系式

其中A、B为待估参数，为残差。假设市场中有N个证券，则按上述结构，第J证券的收益率满足

(4.33)76第四节单指数模型设证券的收益率具有简单线性结构，即其收第四节单指数模型在单指数模型的讨论中，假定影响各个证券收益率的因素有两类：第一类称为宏观因素。例如通货膨胀率，主要利率的变化、就业率等，在任何情况下，这些因素的影响都是相当大的，几乎所有企业，所有公司都不同程度地受到它们的影响，会引起证券价格总体水平的变化，再通过市场的推动，会影响到市场投资组合收益率水平，进而影响到各证券的收益率。因而宏观因素影响整个市场的收益率。77第四节单指数模型在单指数模型的讨论中，假定影响各个证券第四节单指数模型第二类称为微观因素。例如一种新产品的推出或老产品的淘汰，局部地区火灾或一个公司主要领导的变化，它们都只对个别企业或公司产生影响而不会影响到市场投资组合的收益率。从而使个别证券的收益率偏离市场特征线，出现残差。所以微观因素仅影响个别证券的收益率。78第四节单指数模型第二类称为微观因素。78第四节单指数模型其他类型的因素在单指数模型中不予考虑。例如行业因素，某些事件对某一行业内的所有企业产生影响，但却不足以影响到整个经济形势或市场投资的收益率。虽然这类因素也能引起残差，但我们假设残差只由微观因素所致。79第四节单指数模型其他类型的因素在单指数模型中不予考虑。7第四节单指数模型从而我们有如下的假设，对证券有

同时我们还假设(4.35)(4.36)(4.37)80第四节单指数模型从而我们有如下的假设，对证券(4.35第四节单指数模型式（4.36）说明在任一时期残差可能为正，也可能为负，但期望值为零。式（4.37）说明证券残差与市场投资组合收益率不相关，即它与市场投资组合是多头或空头无关，不因市场投资组合为多头而成正值，也不因市场投资组合为空头而为负值。由单指数模型结构假设(4.33)和以上各项假设有(4.38)81第四节单指数模型式（4.36）说明在任一时期残差可能为第四节单指数模型(4.39)(4.40)82第四节单指数模型(4.39)(4.40)82第四节单指数模型从而(4.41)(4.42)83第四节单指数模型从而(4.41)(4.42)83第四节单指数模型(4.38)式给出了证券的特征方程，(4.42)式表明特征方程中的系数即模型结构中的系数恰好为证券的风险系数。(4.39)式给出了证券收益率的方差，它刻画了证券的风险，（4.39）式右边的第一项称为证券投资的系统风险。可以看做是与整个市场投资组合有关的风险。它是由市场投资组合中各证券的风险共同作用而产生。是所有证券都无法避免的风险。（4.39）式右边的第二项称为残差方差或非系统风险，可以看做是由微观因素所带来的风险，它仅影响到个别证券，是可以通过证券组合所能消去的风险。因而（4.39）式表明证券总体风险＝系统风险＋非系统风险84第四节单指数模型(4.38)式给出了证券的特征方程，(另外，我们再注意，系统风险本身是两项之积，第一项是证券的-因子，它表示证券收益率随市场投资组合的变动影响程度，第二项是市场投资组合收益率的方差，表示市场投资组合收益率的变化幅度。第二项非系统风险，即残差方差，表示证券收益率由于偏离了特征线而引起的那部分方差的大小。因而在单指数模型的假设下，证券收益率的总体方差来自两部分：一部分是特征线的变动(即系统风险)，另一部分是各点偏离特征线的程度(即非系统风险)。第四节单指数模型85另外，我们再注意，系统风险本身是两项之积，第四节单指数模第四节单指数模型下面考虑在单指数模型下，证券组合的结构。设满足单指数模型的n个证券的证券组合

，则证券组合仍有单指数结构(4.43)86第四节单指数模型下面考虑在单指数模型下，证券组合的结构第四节单指数模型注意(4.35)～(4.37)式，有(4.45)(4.44)87第四节单指数模型注意(4.35)～(4.37)式，有(第四节单指数模型在单指数模型下，(4.43)表明证券组合仍具有同类的单指数结构，(4.44)表明证券组合的因子为各证券因子的加权平均，而(4.45)表明证券组合的方差(风险)与单个证券类似，仍由两部分构成，第一项是由市场投资组合方差反映的系统性风险，第二项反映的是组合中各证券非系统风险的加权平均(以为权重)。88第四节单指数模型在单指数模型下，(4.43)表明证券组第四节单指数模型通过以上讨论，在单指数模型下，马柯维茨组合投资模型为：89第四节单指数模型通过以上讨论，在单指数模型下，马柯维茨

第四节单指数模型与马柯维茨组合投资模型相比，该模型所需要估计的数值大为减少，它只需估计各证券的值、预期收益率、值、残差方差及市场投资组合的预期收益率和方差，这比估计各证券之间协方差的工作量少一个数量级。但该模型的精确程度不如马柯维茨组合投资模型，它依赖于各证券收益率的单指数结构假设的合理性。90

第四节单指数模型与马柯维茨组合投资模型相比，第五节多指数模型在更多的情况下，证券的收益率要受到包括市场因素在内的多种因素共同作用的影响，使得影响协方差的因素有多个。这些因素，可能是一系列经济指数，如通货膨胀率、失业率、利率、工业增长率等。设有个影响因素，把这些因素作为指数，它们的收益率分别用 表示。显然，如果各指数收益率之间不存在相关关系，那么它们就可以直接用于证券分析。但是现在经济活动中各种指数之间，往往存在某种程度的相关性，这些需要我们剔除它们之间的相关性。在斯密特正交化手续中，当我们把内积用协方差代替时，就可以作到这点。正因如此，在下面的讨论中，我们假定各指数收益率之间不存在相关性。91第五节多指数模型在更多的情况下，证券的收益率要受到包括第五节多指数模型设任一证券的收益率可以表示成如下的多指数模型：其中是影响证券收益率的第i个指数的收益率( ),是度量第i个指数收益率变化对证券J收益率影响的因子，是证券J与各指数无关的平均收益率，是证券J收益率与各指数无关的残差。92第五节多指数模型设任一证券的收益率可以表示成如下的多指第五节多指数模型在多指数模型中，假设在上述假设下，类似单指数模型，我们可以得到93第五节多指数模型在多指数模型中，假设93第五节多指数模型同单指数模型一样，对于证券组合，有94第五节多指数模型同单指数模型一样，对于证券组合第五节多指数模型其中从而在多指数模型下，证券组合收益率的方差为95第五节多指数模型其中95第五节多指数模型这时，马柯维茨组合投资模型为96第五节多指数模型这时，马柯维茨组合投资模型为96第五节多指数模型在多指数模型中，使用较广泛的情形是证券收益率依赖于一个市场指数M和一个行业指数G的模型。即N=2的情形，此时其中97第五节多指数模型在多指数模型中，使用较广泛的情形是证券目前来看，能够用来解释证券收益率之间相关因素的指数有４～５个，这时构造的多指数模型效果较好。在使用多指数模型时，所需要估计的数据为：n个证券的预期收益率n个证券的残差方差n个市场指数的-因子n个指数的预期收益率n个指数收益率的方差第五节多指数模型98目前来看，能够用来解释证券收益率之间相关因素的指数有４～５个第五节多指数模型这样，在给定目标预期收益率下，我们就可以构造优化模型，可以求出投资组合的权重，使其具有最小的证券组合方差。99第五节多指数模型这样，在给定目标预期收益率下，我们就可第六节风险分解100第六节风险分解100101101102102103103104104105105106106107107108108109109论文：110论文：110本章结束(111)本章结束(111)第二章组合投资与风险分解第一节证券组合的收益与风险第二节组合投资模型第三节最小方差集合与有效集合性质第四节单指数模型第五节多指数模型第六节风险分解(112)第二章组合投资与风险分解第一节证券组合的收益与风险(组合投资的最优选择是实现投资者的预期效用最大化，这就需要对投资者的效用函数形式作出假定并对其最大化形式进行求解，然而对于一般形式的效用函数或证券收益分布而言，最优状态下组合投资选择的结果很难通过求解得出，因此，1952年马可维兹（Markowitz）所提出的证券组合投资理论——均值方差方法由于给出了组合投资的最优选择结果从而被认为是金融微观分析的一个重要的研究领域，该理论研究在一定风险下，如何选择一个证券投资组合，使得所获收益最高。113组合投资的最优选择是实现投资者的预期效用最大化，这就需要对投构建证券投资组合的主要目的在于分散风险，并使得期望收益最大，在此基础上所提出的组合投资理论主要基于如下基本假设：（1）已知投资收益率的概率分布；（2）风险用方差或标准差度量；（3）影响投资结果的因素仅有均值、方差；(4)投资者遵守占优原则：对于投资者假设：投资者为不满足和风险厌恶型。114构建证券投资组合的主要目的在于分散风险，并使得期望收益最大，第一节证券组合的收益与风险所谓证券投资组合(简称证券组合或投资组合)是指将全部投入资金按某种比例分散投资于两种或两种以上证券而构成的一个组合。假设证券组合是由n种不同证券构成，其中在第i种证券上投资的资金比例为 ，简称为第i种证券投资权重。则证券组合可记为如下的形式115第一节证券组合的收益与风险所谓证券投资组合(简称在证券X组合中，权重时表示买入证券i；表示卖空证券i,将其所得资金投资于组合内其他证券；当时，表示投资在证券上的资金有卖空其他证券收入的资金。设证券i的收益率为，其概率分布为则证券的预期收益率(期望收益率)为116在证券X组合中，权重时表示买入证券i；5证券i(收益率)的方差为标准差为，而证券i和k(收益率)的协方差为对于证券组合X，其收益率为117证券i(收益率)的方差为6X的预期收益率为X的方差为

(4.4)118X的预期收益率为(4.4)7其中注意到与的相关系数定义为

119其中8所以又有特别，我们来看等比例组合的情形，此时

120所以又有9分别表示n个证券方差和它们的协方差的平均值。显然如果，我们仍用方差表示风险，则上式表明，如果按等比例做证券组合，当组合中的证券数量达到一定程度时，单个证券的风险将不发生作用，而证券组合的风险主要取决于证券之间的协方差，即证券收益率之间的相互关系。对于非等比例组合，上述结论仍然成立。121分别表示n个证券方差和它们的协方差的平均值。显上式的第一部分我们成为证券组合的非系统风险，第二部分我们称为证券组合的系统风险。组合投资使得系统风险平均化，大大地减少了非系统风险。在不允许卖空时，注意到,有122上式的第一部分我们成为证券组合的非系统风险，第二部分我们称为即证券组合的风险，总是小于等于单一证券的最大风险，这是一个非常重要的结论，是现代证券理论的基础。同时，我们还可以通过改变的比例，使取最小值，这也是十分重要的推断，是现代证券投资理论的核心。123即证券组合的风险，总是小于等于单一证券的最大风险，这是一个非第二节期望效用原理与均值方差准则一、期望效用准则二、一般的效用函数三、均值方差准则124第二节期望效用原理与均值方差准则一、期望效用准则13期望效用准则效用函数是消费者按照自己的主观偏好来评价各种消费品满足程度的度量尺度。当选择的对象是确定的，偏好关系满足完备性、自反性、传递性和连续性时，则存在效用函数且消费者可以按照效用最大化进行消费选择。当选择对象包括不确定因素情形时，我们称为随机消费，冯•诺伊曼和莫根斯坦证明了如果投资者满足一系列合理的一致性条件假设，由期望效用函数的存在性即期望效用表示可得出不确定性条件下投资者对随机消费情形下的最佳选择。

125期望效用准则效用函数是消费者按照自己的主观偏好来评价各种消费所谓消费者个体的偏好关系有期望效用表示，是指存在一个效用函数使得随机消费优于随机消费的充分必要条件为，这里表示个体按不确定因素发生的概率计算的期望值。决策者将选择一策略使结果的期望效用极大化。126所谓消费者个体的偏好关系有期望效用表示，是指存在一个效用函数一般的效用函数127一般的效用函数1612817129181301913120均值方差准则均值方差准则在证券投资理论中，一种方便的风险定义就是把围绕收益率期望的波动性即收益率的方差（或者标准差）称为证券的风险。证券均值方差准则的最大优点在于只要考虑投资收益的期望值与方差(标准差)便可以做出决策，也正因为这一优点，它成为投资分析中最著名的有效准则之一。132均值方差准则均值方差准则21按照均值方差准则，无论是哪一类投资者，在风险相同的情况下，总是偏好期望收益高的投资对象，但在期望收益一定时，投资者的选择就依据对风险的偏好程度,选择风险小的投资对象。133按照均值方差准则，无论是哪一类投资者，在风险相同的情况下均值方差准则：对于证券1和2，当且仅当时，证券1优于证券2，其中分别为证券1和证券2的收益，它们都是随机变量。134均值方差准则：对于证券1和2，当且仅当23均值方差准则是预期效用的一种特殊情况，假设投资者为风险回避者，且其效用函数为二次型，某证券(或证券组合)的收益为R，则他的效用由下式决定:其中可以取任意值，而。135均值方差准则是预期效用的一种特殊情况，假设投资者为风险回避者投资者的期望效用为而由于,故上式可以写成该式说明二次函数的期望效用可以表示为证券收益的均值和证券收益的方差的函数。136投资者的期望效用为25进一步由上述推导可得出以下结论该式说明当方差增加而期望收益不发生变化时，因其期望效用减少，投资者的状况会恶化。该式说明当方差不变而期望收益增加时，投资者的状况会变好，因为其期望效用增加了。137进一步由上述推导可得出以下结论26一般均值方差准则由于它对于投资者效用函数的设定过于严格，特别是它不是在可能情况的全部区间上定义的，所以极大地限制了其应用范围。更一般的均值方差模型可以表示为：其中为参数，亦是风险厌恶因子，它反映了投资者对均值和方差的均衡，当决策者对低于的收益减少特别敏感或者厌恶，可取，这样给赋以一个很大的权数，使获得高收益的机会减少，这表明投资者宁愿获得较低的收益也不愿意遭受损失。138一般均值方差准则由于它对于投资者效用函数的设定过于严格，特139281402914130第二节组合投资模型考虑一个证券组合X，它由N个证券组成，每个证券的预期收益率为，方差记为，证券间的协方差记、于是证券组合的收益率的方差可以表示成在给定预期收益率水平之下，如何选择证券组合的权重，使证券组合具有最小方差呢?142第二节组合投资模型考虑一个证券组合X，它由N个证券组记为确定最小方差集合，我们考虑如下优化模型，即一般的马柯维茨模型这是一个等式约束的极值问题，我们可以构造Lagrange函数143记为确定根据Lagrange乘数法解得

得(4.25)(4.26)144根据Lagrange乘数法解得(4.25)(4.26)3（4.26）分别左乘和得记145（4.26）分别左乘和得34于是解方程组得将代入（4.26），得

其中(4.29)146于是解方程组得(4.29)35注意147注意36为求全局最小方差资产组合点，令：

得到

于是可解得148为求全局最小方差资产组合点，令：3714938我们有两基金分离定理定理任一最小方差集合上的投资组合都可以唯一地表示为全局最小方差和可分散化资产组合的组合。150我们有两基金分离定理39我们将代入(4.25)得

(4.29)(4.30)151我们将代入(4.25)得(4.29)(4.30)（4.29）式给出了证券组合权重与预期收益率的关系。（4.30）式给出了证券组合预期收益率与方差的关系,且说明在平面上面有双曲线形式，而在平面上可有抛物线形式。在平面上的抛物线，其顶点在,如图4.6所示。152（4.29）式给出了证券组合权重与预期收益率的关系。（4.3图4.5平面上的一支双曲线型图4.6平面上的抛物线153图4.5平面上的一支双曲线型图4.6平面上的抛物线4最小方差集合在顶点上半部的证券组合集合称为有效集合。有效集合中所有证券组合符合以下准则：给定某一标准差，有效集合中的证券组合具有可获得的最大预期收益率。显然最小方差集合在顶点的下半部分对应点的预期收益率最低。在上面确定最小方差集合的过程中，权重约束为,求得的结果诸中可能有为正的也有为负的，它反映了允许卖空的情形。154最小方差集合在顶点上半部的证券组合集合称为有效集合。43在有些情况下，投资者把不进行卖空作为一种投资策略，因此，讨论在不允许卖空的约束下如何确定最小方差集合是必要的。这时在约束条件中需要加入相应的模型为这是二次规划模型。利用Kuhn-Tucker条件，可得到其解所满足的必要条件。155在有些情况下，投资者把不进行卖空作为一种投资策略，因此，讨最优证券组合管理例一个投资者正考虑对三家公司的股票进行五年期的投资。这三家公司是Polaroid、Raytheon和Lotus。依据市场分析以及统计预测，她获得的有关数据：

公司收益间的协方差

Cov(Polaroid的收益,Raytheon的收益)=34(%)2

Cov(Polaroid的收益,Lotus的收益)=103(%)2

Cov(Raytheon的收益,Lotus的收益)=-27(%)2该投资者共有＄400,000可用于投资，同时她要求在保证五年期望收益超过60%的前提下，能使所投资证券组合的标准差（standarddeviation）为最小。公司五年期望收益（%）收益的方差Polaroid80190Raytheon35110Lotus65150156最优证券组合管理例一个投资者正考虑对三家公司的股票进行五年期最优证券组合管理若以P、R、L分别记投资Polaroid、Raytheon和Lotus股票所占总投资额的比例，以上问题可表述如下：

MINIMIZE(证券组合的标准差) S.T.: P+R+L=1.0 （比例）

1.80P+1.35R+1.65L≥1.60（目标收益）

P,R,L≥0证券组合的方差=P2Var(P)+R2Var(R)+L2Var(L)+2PRCov(P,R)+2PLCov(P,L)+2RLCov(R,L)157最优证券组合管理若以P、R、L分别记投资Polaroid、RS>T.P+R+L=1.0 （比例）1.80P+1.35R+1.65L≥1.60 （目标收益）P,R,L≥0用EXCEL软件进行求解，得到最优解： P=0.285 R=0.309 L=0.406 STANDARDDEVIATION=8.585证券组合的最优化模型证券组合的最优化模型158S>T.证券组合的最优化模型证券组合的最优化模型47证券组合的最优化模型同样的，有时候投资者会在限制标准差为一个给定值的前提下，要求获得一个能使期望收益达到最大的投资证券组合。例如，投资者可以限制标准差最大不得超过11.5(%)，此时的最优化模型为：

MAXIMIZE 1.80P+1.35R+1.65L S.T.: P+R+L=1.0 P,R,L≥0 最优证券组合是：

P=0.635 R=0.061 L=0.304 EXPECTEDRETURN=1.727159证券组合的最优化模型同样的，有时候投资者会在限制标准差为一个最优证券组合管理投资组合的管理者所面临的问题是要使投资的资产进行最有效的组合，从而满足投资者的需要。一般说来，管理者在使投资组合最优化时，有两个最基本的目标：1.使投资组合的期望收益最大化2.使投资组合的风险最小化。在实际应用中，这两个目标几乎总是相互矛盾的。也就是说，要获得一个高期望收益的投资组合，那么就要面对高风险；而要获得一个低风险的组合，那么所获得组合的期望收益也低。160最优证券组合管理投资组合的管理者所面临的问题是要使投资的资产最优证券组合管理如果要对AT&T、Boeing和DEC公司的股票进行组合投资，所获的数据、估计的期望收益、方差和协方差等：资产名称年期望收益AT&TBoeingDECAT&T11%163-5Boeing14%3221DEC7%-5110161最优证券组合管理如果要对AT&T、Boeing和DEC公司的一个简单的模型A=投资于AT&T股票占总投资额的比例B=投资于Boeing股票占总投资额的比例D=投资于DEC股票占总投资额的比例这三个变量要满足：A+B+D=1162一个简单的模型A=投资于AT&T股票占总投资额的比例51一个简单的模型证券组合的期望收益可表示为：

R=11A+14B+7D证券组合的方差可表示为：

VARIANCE

=16A2+3AB-5AD+3BA+22B2+BD-5DA+DB+10D2

=16A2+6AB-10AD+22B2+2BD+10D2而标准差是方差的平方根：163一个简单的模型证券组合的期望收益可表示为：

R=1一个简单的模型现在我们要使证券组合的期望收益为11%。最优化模型

s.t.：

A+B+D=1 （比例)

11A+14B+7D=11 （收益）

A≥0,B≥0,D≥0 （非负条件）

求解该模型，得：

STANDARDDEVIATION=2.4008%

A=0.3769

B=0.3561

D=0.2670164一个简单的模型现在我们要使证券组合的期望收益为11%。最优化模型的扩展我们还可以针对不同数值的期望收益来求解模型，此时所获得的最优解信息：期望收益最优

标准差比例AT&TBoeingDEC8%2.1794%0.250.00.759%1.8949%0.37540.07120.553410%2.0162%0.37620.21360.410211%2.4008%0.37690.35610.267012%2.9474%0.37770.49850.123813%3.5901%0.33330.66670.000014%4.6904%0.01.00.0165模型的扩展我们还可以针对不同数值的期望收益来求解模型，此时所模型的扩展可依据此表作出这三种股票的有效边界。这样，一旦投资者在期望收益率和可接受的风险水平中作出权衡，就可按相应比例进行证券组合投资。如一个投资者决定选择期望收益率为12%而标准差为2.9474%的证券组合，那么她就应将总投资的37.77%投资于AT&T，49.85%投资于Boeing，12.38%投资于DEC。这个组合会达到12%的期望收益且标准差为2.9474%，而且没有更好的期望收益率在12%的证券组合会有更小的标准差了。166模型的扩展可依据此表作出这三种股票的有效边界。这样，一旦投资标准差期望值模型的扩展167标准差期望值模型的扩展56模型的扩展168模型的扩展57第三节有效边界的讨论及性质169第三节有效边界的讨论及性质58170591716017261173621746317564存在无风险资产时的有效集合176存在无风险资产时的有效集合651776617867几何意义情形1179几何意义68情形218069情形3181情形370182711837218473第四节单指数模型在上节的讨论中，各证券间协方差我们可以作任何假定，它们可以是由证券间存在的任意数量和种类的关系产生，而且在计算风险时所用的公式

中，我们必须对所选择的证券间的协方差进行估计。如果证券数目太大，我们就必须进行大量的协方差估计，使得在计算任一给定证券组合的方差时，需要花费大量时间。这是使用上节中的马柯维茨模型所存在的问题。单指数模型能使我们克服这一困难，使得确定证券组合的方差计算过程变得简单。185第四节单指数模型在上节的讨论中，各证券间协方差我们可以第四节单指数模型在股票市场中，我们发现，当市场投资组合(如股票市场指数)的收益率显著上升或下降时，几乎所有股票的收益率都随之上升或下降，虽然可能有一些股票的收益率可能比另一些股票的收益率上升或下降得要快，但总的来说都是呈相同趋势变化。这意味着，市场投资组合收益率的变化，能充分反映各种证券的共同变化趋势。因此，对各个证券收益率之间的协方差的计算，可用每一证券收益率与市场投资组合收益率之间的协方差代替。单指数模型就是在假定证券的收益率只受市场投资组合即单指数收益率的影响下，去确定证券组合的权重。186第四节单指数模型在股票市场中，我们发现，当市场投资组合第四节单指数模型设证券的收益率具有简单线性结构，即其收益率r和市场投资组合收益率具有关系式

其中A、B为待估参数，为残差。假设市场中有N个证券，则按上述结构，第J证券的收益率满足

(4.33)187第四节单指数模型设证券的收益率具有简单线性结构，即其收第四节单指数模型在单指数模型的讨论中，假定影响各个证券收益率的因素有两类：第一类称为宏观因素。例如通货膨胀率，主要利率的变化、就业率等，在任何情况下，这些因素的影响都是相当大的，几乎所有企业，所有公司都不同程度地受到它们的影响，会引起证券价格总体水平的变化，再通过市场的推动，会影响到市场投资组合收益率水平，进而影响到各证券的收益率。因而宏观因素影响整个市场的收益率。188第四节单指数模型在单指数模型的讨论中，假定影响各个证券第四节单指数模型第二类称为微观因素。例如一种新产品的推出或老产品的淘汰，局部地区火灾或一个公司主要领导的变化，它们都只对个别企业或公司产生影响而不会影响到市场投资组合的收益率。从而使个别证券的收益率偏离市场特征线，出现残差。所以微观因素仅影响个别证券的收益率。189第四节单指数模型第二类称为微观因素。78第四节单指数模型其他类型的因素在单指数模型中不予考虑。例如行业因素，某些事件对某一行业内的所有企业产生影响，但却不足以影响到整个经济形势或市场投资的收益率。虽然这类因素也能引起残差，但我们假设残差只由微观因素所致。190第四节单指数模型其他类型的因素在单指数模型中不予考虑。7第四节单指数模型从而我们有如下的假设，对证券有

同时我们还假设(4.35)(4.36)(4.37)191第四节单指数模型从而我们有如下的假设，对证券(4.35第四节单指数模型式（4.36）说明在任一时期残差可能为正，也可能为负，但期望值为零。式（4.37）说明证券残差与市场投资组合收益率不相关，即它与市场投资组合是多头或空头无关，不因市场投资组合为多头而成正值，也不因市场投资组合为空头而为负值。由单指数模型结构假设(4.33)和以上各项假设有(4.38)192第四节单指数模型式（4.36）说明在任一时期残差可能为第四节单指数模型(4.39)(4.40)193第四节单指数模型(4.39)(4.40)82第四节单指数模型从而(4.41)(4.42)194第四节单指数模型从而(4.41)(4.42)83第四节单指数模型(4.38)式给出了证券的特征方程，(4.42)式表明特征方程中的系数即模型结构中的系数恰好为证券的风险系数。(4.39)式给出了证券收益率的方差，它刻画了证券的风险，（4.39）式右边的第一项称为证券投资的系统风险。可以看做是与整个市场